Equazione vettoriale del moto: traiettoria legge oraria. rappresentazione intrinseca della traiettoria ascissa curvilinea

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1 Equazione veoriale del moo: raieoria e legge oraria. Si dice che un corpo è in moo rispeo a un dao sisema di riferimeno S, quando la sua posizione in S cambia con il empo. Nello schema del puno maeriale, le caraerisiche del movimeno in S sono fornie dalla conoscenza del veore posizione r del puno in funzione del empo. Nel nosro conceo di empo è implicia l'ipoesi che esso vari con coninuià (e sia quindi rappresenabile con una variabile coninua. A ques'ipoesi ne corrisponde un'alra sulle caraerisiche del moo: la nosra inuizione infai ci suggerisce che, se consideriamo le posizioni di un puno maeriale p ai empi e +, la loro disanza sia ano più piccola quano più è piccolo. In ermini più formali assumiamo che, per ogni fissao, risuli r ( r( + 0 per 0. Ciò equivale all'ipoesi di coninuià del moo; in linea di principio, quindi, esso può essere descrio in maniera complea mediane l'equazione veoriale del moo r = r( (3.1) ove r( è espresso mediane funzioni coninue del empo (per variabile enro l'inervallo di empo cui si riferiscono le osservazioni sperimenali). La validià di quesa ipoesi non è conraddea dalle indicazioni sperimenali; d'alro cano, essa non può essere provaa sperimenalmene in modo direo, sani le ovvie limiazioni nell'effeiva realizzazione praica del procedimeno di limie per che ende a zero (quesa siuazione si inconra spesso nella Fisica, ove procedimeni rigorosi della Maemaica vanno inerpreai in modo opporuno). La funzione veoriale r( può essere rappresenaa per mezzo delle re funzioni scalari: x = x( y = y( (3.) z = z( che danno l'andameno nel empo delle coordinae caresiane del puno P nel riferimeno S. Rappresenazioni equivaleni possono essere fornie dalle analoghe equazioni corrispondeni ad alri sisemi di coordinae (per esempio polari). Le equazioni (3-) conengono la oalià delle informazioni cinemaiche sul moo del corpo, nel sisema di riferimeno scelo. Tali informazioni sono sia di ipo essenzialmene geomerico sia più propriamene fisiche: infai, come risulerà chiaro dalla successiva analisi, le prime permeono di individuare una curva geomerica, la raieoria, cioè l insieme delle posizioni occupae dal puno nel suo moo; le seconde caraerizzano le modalià con cui il corpo percorre nel empo la raieoria. In effei, dal puno di visa geomerico, il sisema di equazioni (3-) è un caso paricolare di rappresenazione in forma paramerica di una curva nello spazio, in cui il paramero uilizzao ha uavia un significao fisico speciale, essendo cosiuio dalla variabile empo. Per separare in modo più direo, nella descrizione del moo, l'aspeo geomerico da quello più propriamene cinemaico, è conveniene un alro approccio, basao sulla cosiddea rappresenazione inrinseca della raieoria. Supponiamo di conoscere la raieoria γ del puno maeriale (in forma esplicia o paramerica). Ogni posizione su ale curva può essere individuaa, uilizzando un'opporuna esensione del meodo, che uilizza assi di riferimeno caresiani e le corrispondeni coordinae. A ale scopo supponiamo di reificare la curva, rasformandola in una successione di segmeni (infiniesimi); definiamo su di essa un'origine Ω, un verso e scegliamo un'unià di misura per le lunghezze (fig. 3-). A ogni puno P sulla raieoria poremo allora fare corrispondere un numero reale s, deo ascissa curvilinea, il cui modulo fornisce, nell'unià scela, la lunghezza dell'arco di curva (reificao) ΩP; il segno sarà posiivo o negaivo a seconda che P si rovi, rispeo a Ω, dalla pare del verso posiivo o dalla pare opposa. Si osservi ad esempio la figura 3-: il puno

2 P ha ascissa s > 0, menre P1 ha ascissa s1 < 0. Con l'inroduzione della variabile s, la descrizione del moo di P si può effeuare conoscendo le due funzioni: r = r( s), (3.3) s = s(. In un sisema di coordinae caresiane, l'equazione veoriale r = r(s) è equivalene alle re equazioni scalari x = x(, y = y(, z = z(, (3.4) che cosiuiscono l'equazione della raieoria in forma paramerica, in ermini del paramero inrinseco s. L'equazione s = s( (3.5) rappresena invece l'equazione oraria (o legge oraria). Il moo è quindi compleamene descrio dalle quaro equazioni scalari (3-4) e (3-5). La conoscenza dell'equazione oraria permee di.esrarre mole informazioni sulle caraerisiche del moo. Inroduzione al conceo di velocià I dai di base per la descrizione e lo sudio dei moi sono cosiuii dall'insieme dei risulai di misurazioni associae di posizione e di empo. Esse possono essere organizzae in vari modi (soo forma di abelle, grafici e così via) e l'analisi delle loro correlazioni pora agli aspei caraerisici del moo in esame. Per lo sudio quaniaivo dell'evoluzione del moo sono cenrale imporanza i concei di velocià e di accelerazione. Le grandezze fisiche corrispondeni sono grandezze veoriali, le cui caraerisiche saranno qui inrodoe con l'ausilio di un esempio paricolare, ma isruivo: il moo piano di una pallina, lanciaa in direzione orizzonale da una cera quoa. La discussione si basa sui risulai di un esperimeno, condoo in condizioni ali da poer rascurare gli effei della resisenza dell'aria sul moo della pallina. La ecnica adoaa per l'osservazione e le misurazioni delle posizioni della pallina uilizza un flash ed una macchina foografica. In una successione di isani egualmene inervallai ( τ), il flash illumina la scena in cui avviene il moo, e la macchina foografica (che ha l ouraore sempre apero) regisra ue le corrispondeni immagini della pallina su un solo foogramma. I risulai di quese osservazioni sono sineicamene rappresenai nella figura 3-6; essa permee anche una prima analisi quaniaiva, uilizzando uno sfondo graduao di riferimeno parallelo al piano vericale del moo. La successione nel empo delle posizioni della pallina appare doaa di una regolarià che, ripresenandosi in maniera ancora più evidene nei casi in cui si ripea la misurazione riducendo τ, cosiuisce un indicazione della validià dell'ipoesi di coninuià del moo. In ques ipoesi, e nello schema del puno maeriale, possiamo quindi aspearci che la curva, che rappresena la raieoria della pallina, goda di definie proprieà di regolarià. Nel caso in esame, la figura 3-6 suggerisce per la raieoria una forma parabolica, con verice nel puno di lancio e asse vericale. Ciò è confermao da un'analisi più deagliaa delle informazioni conenue nella figura, uilizzando un sisema di coordinae caresiane

3 connesso con il reicolo di sfondo (asse x orizzonale e asse y vericale). Esraendo da ogni posizione regisraa in figura 3-6 le coordinae x ed y del cenro della pallina ai vari isani successivi, si possono cosruire i due grafici riporai in figura 3-7. Da essi si deduce che le equazioni parameriche della raieoria (piana) x = x( e y=y( sono di ipo rispeivamene lineare e quaaico in, e quindi la raieoria è effeivamene una parabola. Riornando ad un esame sineico della figura 3-6, possiamo esaminare gli sposameni (Pi+1 - Pi) della pallina fra le posizioni generiche agli isani i e i+1. Noiamo che ali veori cambiano al variare di i, cioè cambiano con il empo: precisamene, il loro modulo (che dà la disanza fra i puni Pi e Pi+1) aumena da un inervallo al successivo, e anche la loro direzione cambia, inclinandosi sempre più verso la vericale al crescere di i. La prima variazione suggerisce che il moo della pallina avviene con una rapidià variabile nel empo e la seconda indica che la direzione del moo cambia con il empo. Possiamo quindi pensare di dare un'espressione quaniaiva all'evoluzione nel empo del moo araverso l'inroduzione di opporune grandezze veoriali collegae ai suddei veori sposameno. Il veore velocià. Con riferimeno all'esperimeno descrio nel paragrafo precedene, consideriamo due isani, e ' = +, ove è uno degli isani i e coniene alcuni τ. Siano P e P' le posizioni occupae dalla pallina in ali isani e r( e r(') i corrispondeni veori posizione rispeo all'origine O del sisema di riferimeno (fig. 3-8). Una prima informazione sul moo (in è rappresenaa dal rapporo fra lo sposameno r = r(') - r( effeuao in ale inervallo di empo e la duraa di queso Nauralmene essa è solo un'informazione di ipo medio su quano è accaduo alla pallina fra e '; in effei, la sola conoscenza delle posizioni in ali isani non permee di sabilire, per esempio, se la pallina si sia effeivamene mossa in linea rea lungo la direzione di r oppure su una raieoria curva, e nemmeno di sapere, se il moo è avvenuo con rapidià uniforme o variabile in ale inervallo, o di conoscere la lunghezza del percorso compiuo. Il veore r( + r( v m = (3.7) viene quindi chiamao velocià media nell'inervallo. Essa non dipende dal percorso effeivamene compiuo nell'inervallo fra e ', ma solo dalle posizioni iniziali e finali, e dal empo di percorrenza. Una descrizione più fedele e punuale delle caraerisiche del moo può essere oenua quando, come nel caso in esame, si hanno uleriori informazioni sperimenali su ciò che accade fra e '; se cioè possiamo sudiare come si compora il veore vm al ridursi della duraa dell'inervallo emporale. In alri ermini, ci aspeiamo che ale descrizione possa essere daa dal valore limie della velocià media per che ende a zero. Definiamo quindi come velocià (isananea) al empo il veore. r( + r( v = lim v m = lim (3.8) 0 0 Tenendo cono della definizione di derivaa di un veore, possiamo concludere che v è la derivaa del veore posizione rispeo al empo e usare pcr esso la scriura d r( v = (3.9) Le caraerisiche generali di queso veore possono cssere oenue dall'esame della figura 3-8, ove sono evidenziai i passi di queso procedimeno di limie (consenii dai dai sperimenali a disposizione nel nosro

4 esempio paricolare). Nella figura è disegnaa anche la raieoria γ che, come si è discusso in precedenza, può essere oenua con uleriori dai sperimenali e con opporune inerpolazioni. Osserviamo che, per sua definizione, la velocià media fra e ' è un veore parallelo allo sposameno PP, e ha quindi la direzione della rea (secane) che inerseca γ P e P. Al ridursi di, P' ende a P e la direzione della secane PP' ende (per definizione) a quella della rea angene in P alla raieoria; di conseguenza, la velocià isananea al empo ha la direzione della rea angene alla raieoria nel puno P D'alra pare, al ridursi di, lo sposameno PP ende ad avvicinarsi alla raieoria e il suo modulo, che rappresena la lunghezza della corda corrispondene, è sempre meglio approssimao dalla lunghezza dell'arco di raieoria ( s ) da esso soeso (fig. 3-9). Si ha dunque. PP' lim = 1 s 0 s (3.10) In ermini più sineici, per ' che ende a la direzione della secane ende a divenare quella della angene e la corda ende a confondersi con l'arco elemenare. Possiamo quindi dire che il modulo della velocià isananea è il limie per che ende a zero del rapporo fra la lunghezza dell'arco di raieoria e il empo in cui l'arco è sao percorso; queso rapporo dà quindi effeivamene una misura della rapidià con cui viene via via percorsa la raieoria. Rappresenazione inrinseca della velocià Un'espressione formale, che esplicia le ciae caraerisiche del veore v, può essere facilmene oenua ricorrendo alla rappresenazione inrinseca della raieoria. La nozione che ora inroduciamo a ale scopo è quella di versore angene a una curva su cui siano sai definii un'origine e un verso posiivo per le ascisse curvilinee. Le precedeni considerazioni, relaive a secane e angene a una curva, ci permeono di procedere rapidamene. Dai due puni P e P' della curva, individuai dalle ascisse curvi linee s e s' = s + s, e deo r il veore PP', consideriamo il rapporo r / s e il suo limie per s che ende a zero (fig. 3-9). Queso veore ha la direzione della secane e il verso concorde con quello degli archi cresceni, cioè con quello scelo come posiivo sulla curva (si osservino nella figura 3-9 le due siuazioni con s' > s e s' < s). Nel limie considerao esso ende ad assumere la direzione angene alla curva in P e ad avere modulo uniario vedi la relazione (3-10), manenendo il verso concorde con quello dell'orienameno della curva. Esso è quindi il versore angene alla curva orienaa (nel puno P) e può essere espresso nella forma r u lim = (3.11) = s 0 s La conoscenza delle equazioni parameriche della curva permee quindi di deerminare u in ogni suo puno. Tenendo cono del ruolo di variabile inermedia fra r e giocao da s, e delle relazioni (3-9) e (3-11 ), possiamo sabilire il legame della velocià con le equazioni della raieoria e con la legge oraria (uilizzando le regole per la derivazione delle funzioni compose). v = = (3.1)

5 La (3-1) mosra espliciamene che la velocià è angene alla raieoria, e che il suo modulo è dao da. Il verso di v coincide con quello di u (a sua vola deerminao dalla scela faa per l'orienameno della raieoria) o con quello opposo, a seconda che il moo avvenga isananeamene nel verso scelo come posiivo per le ascisse curvilinee > 0 o nel verso opposo (fig.3.10). La grandezza v s = (3.13) è la pare scalare della velocià rispeo al versore u; essa viene chiamaa anche velocià scalare. È possibile quindi scrivere la velocià nella sua rappresenazione inrinseca. v = vsu = u = s& u (3.14) La conoscenza dell'equazione oraria del moo permee di deerminare la velocià scalare ad ogni isane, mediane l'operazione di derivazione rispeo al empo. Da quano precede dovrebbe essere chiaro che la grandezza veoriale velocià fornisce le informazioni necessarie per seguire gli sposameni elemenari di un corpo in movimeno. Il moo può essere considerao infai come una successione di sposameni (reilinei) infiniesimi = v, avvenui in inervalli emporali. Tali sposameni hanno, in ogni isane, la direzione e il verso (in generale variabili) de la corrispondene velocià isananea; hanno inolre inensià proporzionale a, ramie il modulo della velocià sessa. Secondo ale descrizione, è evidene che lo spazio percorso è la somma delle 1unghezze degli archi infiniesimi percorsi sulla raieoria e quindi è dao dalla somma delle grandezze elemenari = v v. Come è noo dall'analisi maemaica quesa somma può essere calcolaa ramie l'inegrale v ( = v( (spazio percorso) (3-15) 1 Espressione inrinseca dell'accelerazione Ii veore accelerazione riflee le diverse possibili variazioni elemenari del veore velocià (variazioni del suo modulo, cambiameni nella sua direzione orienaa) ed è quindi imporane riuscire a esprimerlo in una forma che mea in evidenza i singoli conribui di quesi due faori. Ciò si può fare parendo dalla sua definizione e dall'espressione inrinseca della velocià. È facile dimosrare che a si può esprimere come somma di due veori componeni, uno parallelo alla velocià, e collegao alla rapidià di variazione della pare scalare di quesa; e un alro perpendicolare alla velocià, dipendene dalla rapidià di variazione della sua direzione. Infai, applicando la regola di derivazione del prodoo alla (3-14), si ha. dv d dvs du a = = ( vsu ) = u + vs (3.3) Essendo v s = il 1 primo ermine si può scrivere nella forma d s a = u = & s u (3.4) Tale componene ha lo sesso verso di u se la velocià scalare cresce o verso opposo se la velocià scalare diminuisce. Esso è il componene di a che riflee le variazioni del modulo e/o del verso di v, e viene anche deo componene angenziale di a o brevemene accelerazione angenziale, in quano ha la direzione (angene alla raieoria) di v. 1

6 Per oenere un'espressione più significaiva del secondo componene di a (perpendicolare a u,) bisogna espliciare la derivaa del versore u rispeo al empo. A ale scopo ricordiamo che il versore angene u = dipende dalla scela del verso posiivo per le ascisse curvilinee s sulla raieoria, e non dalle effeive caraerisiche isananee del moo. È quindi conveniene esprimere la dipendenza di u dal empo araverso la variazione di u al cambiare di s ( che dipende dalla forma della raieoria) e di quella di s al cambiare di (che è più direamene collegaa al moo del puno ). Si ha quindi. du du du = = s& (3.5) La derivaa del versore u rispeo a s rappresena una caraerisica inrinseca della raieoria, dipendene dalle sue proprieà locali in P, e può essere espressa ramie la (- 8): du dϕ nella quale un è perpendicolare a u. È noo dalla geomeria che un elemeno di curva aorno a un generico puno P può essere approssimao con un elemeno di arco di una circonferenza, il cui cerchio associao è deeo cerchio osculaore; esso ha il cenro nel cosiddco cenro di curvaura C(P) della curva in P, e ha raggio ρ (raggio di curvaura; 1/ρ viene invece chiamao curvaura). La rea perpendicolare alla angene in P alla curva, giacene nel piano (del cerchio) osculaore è chiamaa normale principale e il versore della sua direzione, orienaa da P verso il cenro di curvaura, è proprio un (versore normale). Tui quesi elemeni sono mosrai in figura 3-15, nel caso di una curva piana, per la quale il piano osculaore coincide con il piano della curva. Sia ρ che un, così come u dipendono dal puno P, e sono quindi proprieà locali della curva. L'esensione al caso di una raieoria sghemba (per la quale anche il piano osculaore è una proprieà locale) è argomeno geomerico non approfondio in quesa sede. Poiché dϕ è uguale all'angolo soo il quale viene viso l elemeno di arco di curva dal cenro di ρ curvaura (fig e 3-16), si ha infine du 1 (3.6) ρ Sosiuendo nella (3-5) e nella (3-3) roviamo: s& a = a + an = au + anun = & s u + un (3.7) ρ Il componene an viene anche deo componene normale dell'accelerazione (o accelerazione normale). È imporane osservare che la corrispondene pare scalare è sempre non negaiva, per cui an puna sempre al cenro di curvaura; essa è quindi chiamaa accelerazione cenripea ed è esprimibile anche come vs v an ρ ρ Quindi an è presene in ogni moo su raieoria non reilinea e, di conseguenza, ogni moo con raieoria curva è accelerao. Poiché il cenro di curvaura si rova dalla pare della concavià della curva, anche a punerà in generale verso quella pare.

7 La rappresenazione di v daa dalla (3-14) e la decomposizione di a nei componeni a e an espressi dalla(3-7) vengono dee anche rappresenazioni inrinseche di ali veori. Per le applicazioni è uile ricordare i vari modi in cui può essere espresso il modulo dell'accelerazione, a seconda della rappresenazione usaa per il veore a. Così, olre che ramie la familiare formula, in ermini delle componeni caresiane: a = a + a + a, si porà scrivere il modulo di a, in ermini delle componeni inrinseche, x y a a + a n z =.