T.(a) T.(b) Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale. Cognome: Nome: Matricola: Prima parte: Teoria (punti 4+4).

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1 T.(a) T.(b) Es.1 Es. Es.3 Es.4 Toale Analisi e Geomeria 1 Quaro Appello Seembre 18 Docene: Numero di iscrizione: Cognome: Nome: Maricola: Prima pare: Teoria (puni 4+4). T.(a) Enunciare e dimosrare il eorema di unicià del limie di successioni in R.

2 T.(b) Dimosrare il seguene eorema: Se la lunghezza di un veore v() in R 3 (oppure in R ) è cosane al variare di in un inervallo I di R, allora il veore derivao v () è orogonale a v().

3 Seconda pare: Esercizi. Puneggi degli esercizi: Es.1: + Es.: ++++ Es.3: + Es.4: + Isruzioni: Tue le rispose devono essere moivae. Gli esercizi devono essere svoli su quesi fogli, nello spazio soo il eso e, in caso di necessià, sul rero. I fogli di brua non devono essere consegnai. Esercizio 1 (a) Scrivere in forma esponenziale e riporare sul piano di Gauss le soluzioni in C dell equazione: (b) Trovare i puni fissi della rasformazione C z 4 = e i( 3 π) f C che manda z C in f(z) = 1 i z + i (I puni fissi di f sono le soluzioni di f(z) = z.) Di quale rasformazione geomerica si raa? Moivare la risposa. (a) Soluzioni e loro rappresenazione sul piano di Gauss: (b) Puni fissi: Di quale rasformazione geomerica si raa? Spiegare. (a) L equazione z 4 = e i( 3 π) ha le quaro soluzioni complesse ( ) e i π +hπ 3 4, h =, 1,, 3. Facendo i coni, ali soluzioni si scrivono nel modo seguene: ( e i( π 6 ), e i( π 3 ), e i( 5π 6 ), e i( π 3 ) = e i( 4π )) 3

4 Quesi quaro puni sono i verici di un quadrao inscrio nella circonferenza uniaria. (b) L equazione (algebrica di primo grado) 1 i z + i = z ha una e una sola soluzione: z = i Siccome il coefficiene 1/i è uniario (ha modulo 1), la rasformazione z f(z) = 1 i z + i è la composizione di una roazione di cenro l origine (z 1 i z) e di una raslazione. Quindi è una isomeria, perché composizione di isomerie. E siccome f è una isomeria con un unico puno fisso, è una roazione, il cui cenro è il puno fisso i.

5 Esercizio Si sudi la funzione f(x) = ln x arcan (x 1), x (, + ) seguendo lo schema della abella soosane. (Riporare concisamene calcoli e spiegazioni soo la abella e sul rero del foglio). Asinoi: La rea x = è asinoo vericale per x +. Espressione semplificaa della derivaa prima: f (x) = (x 1)(x ) x[1 + (x 1) ] Puni di massimo locale e puni di minimo locale: x = 1 è puno di massimo locale per f; x = è puno di minimo locale per f Polinomio di Taylor di ordine di f nel puno x = 1: Per x 1, ln x arcan(x 1) = ln(1+(x 1)) arcan(x 1) = (x 1) (x 1) +o((x 1) ) (x 1)+o((x 1) ) Quindi, il Polinomio di Taylor di ordine di f nel puno x = 1 è 1 (x 1). Grafico qualiaivo: Figura 1: Grafico di f(x) = ln x arcan(x 1)

6 Esercizio 3 (a) Facendo uso dei crieri di convergenza, sabilire se l inegrale + è convergene. (b) Calcolare il valore numerico dell inegrale generalizzao + x e (x4) dx (1) xe (x) dx (a) L inegrale (1) converge? Spiegare. (b) Valore numerico dell inegrale generalizzao. Spiegare. (a) Per x +, la funzione e (x4) ende a + più velocemene di qualunque poenza di x. In paricolare, se x +.Quindi vale definiivamene la disuguaglianza x 4 e (x4 ) a sua vola equivalene a x 4 e (x4 ) < 1 x e (x4 ) < 1 x Quindi, per il crierio del confrono, + x e (x4) dx converge. (b) Uilizzando la regola di inegrale per sosiuzione, si vede facilmene che xe x dx = 1 e x + c, da cui abbiamo + x e x dx = M lim xe x dx = 1 [ M + lim M + e x ] M = 1 ( ) 1 lim M + e M = 1.

7 Esercizio 4 Si consideri la curva (, + ) C R 3 definia da ( 1 C() =,, 1 + ), (, + ) (a) Dimosrare che la curva C è piana e rovare l equazione del piano che la coniene. (b) Scrivere l equazione del piano normale alla curva C nel puno C(1). (a) Equazione del piano su cui giace la curva: (b) Equazione del piano normale alla curva (ossia, orogonale alla rea angene) nel puno P = C(1): (c) Curvaura nel puno P = C(1): (a) La curva è piana se, e solo se, esise un piano ax + by + cz + d = per il quale si ha, per ogni (, + ), ossia a 1 + b( ) + c d = ( a b) + (c + d) + a + c = Ques ulima uguaglianza vale per ogni (, + ) se, e solo se, a b =, c + d =, a + c = Ad esempio, possiamo prendere a = 1, b = 1, c = 1, d = 1. Perano la curva è piana, e il piano che la coniene è x y z + 1 = (b) Si ha C(1) = (, 1, ). Il veore angene non normalizzao (velocià veoriale isananea) è C () = ( 1 1, 1, 1 ) Quindi, in corrispondenza al valore = 1, abbiamo C (1) = (, 1, 1) Il piano normale a C nel puno C(1) è dunque il piano passane per C(1) = (, 1, ) e orogonale a C (1) = (, 1, 1): (x ) 1(y + 1) 1(z ) =, ossia x + y + z 1 = (c) Si ha C () = ( 3,, 3 ) e quindi C (1) = (,, ). La curvaura nel puno C(1) è daa da C (1) C (1) (, 1, 1) (,, ) C (1) 3 = (, 1, 1) 3 = (,, ) (, 1, 1) 3 = 3 ( ) 3 = 1 6 3