EQUAZIONI GONIOMETRICHE

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1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE ) risolvere: cos + cos 0 Si raa di un caso riconducibile ad un equazione algebrica di grado nell incognia cos, per cui si può scrivere: cos ± cos cos 80 + k60 ± 60 + k60 6) risolvere: sen + cos Si raa di un equazione lineare in seno e coseno non omogenea, per cui possiamo ricorrere al sisema: sin + cos sin + cos sin cos + cos ( cos ) sviluppando l equazione di II grado nell incognia cos oeniamo: cos + cos + cos 0 cos Le soluzioni oenue danno luogo ai due sisemi: ( cos ) 0 cos 0 cos cos 0 sin cos sin 0 ± 90 + k k k60 k60 k60 k k60 ) Ricordando le relazioni ra le funzioni goniomeriche degli angoli associai e complemenari, risolvere: cos ( 45 ) cos( + 0 ) Ricordiamo per prima cosa che l equazione: è risola per: cos α cos β α ± β + k60 Nel nosro caso si ha quindi:

2 ( 45 ) ± ( + 0 ) + k60 da cui i due insiemi di soluzioni: ) k k60 ) k k k0 ) Trovare ue le soluzioni dell equazione: sen Ricordiamo la soluzione dell equazione elemenare: senα α 60 + k60 α 0 + k60 Nel nosro caso si hanno quindi i due insiemi di soluzioni: ) risolvere: ) 60 + k60 ) 0 + k60 sin sin cos k80 : 60 + k80 Osserviamo che si raa di un equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, che può essere facilmene risola dividendo ui i ermini per cos. Si oiene infai: an an 0 k80 an (an ) k80 an 0 an ) sin + cos + 0 Traandosi di un equazione lineare in seno e coseno possiamo procedere uilizzando le formule parameriche: sin cos con an + + Ricordiamo che occorre preliminarmene verificare se 80 è soluzione. Si ha: sin80 + cos perano effeivamene abbiamo una soluzione: 80 + k60 Effeuiamo ora la sosiuzione con le parameriche:

3 ( ) k k60 0 an ) cos sen g 0 Applichiamo le formule di duplicazione del seno e del coseno: cos an sin k80 sin cos sin cos 0 an 50 + k80 cos an ± sin 0 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ) risolvere: sin cos > 0 Procediamo allo sudio del segno del numeraore e del denominaore della frazione. Per il numeraore si ha: sin > 0 sin > sin < I valori di che soddisfano le condizioni di cui sopra sono riporae nello schema seguene:

4 Per il denominaore, i valori che soddisfano la condizione: cos > 0 sono riporai nello schema seguene. Combinando i due schemi si oiene: Da ciò si deduce che la disequazione sin cos > 0 è soddisfaa per:

5 45 < < 90 5 < < 5 70 < < 5 ) risolvere: an an < 0 Possiamo procedere risolvendo la disequazione di grado nell incognia an. Si vede subio che la disequazione è risola per: 0 < an < La siuazione è rappresenaa nello schema seguene: Si vede quindi che la disequazione è soddisfaa per: 0 < < < < 40 ) Risolvere la disequazione ( cos ) cos < 0 nell inervallo 0 L espressione è cosiuia dal prodoo di due faori, quindi possiamo sudiare separaamene il segno di ciascuno di essi: cos > 0 cos > Passando all equazione si oiene: cos ± 0 6 ( ± )

6 Il primo faore risula quindi posiivo nell inervallo < <, evidenziao in verde nello 6 6 schema seguene: Passiamo ora a sudiare il segno del secondo faore: cos > 0 esso risula posiivo nell inervallo: < <, evidenziao in verde nello schema seguene: A queso puno sovrapponiamo i due schemi. In blu sono evidenziae le zone che soddisfano la disequazione originaria, quelle cioè in cui il prodoo dei due faori è negaivo.

7 In conclusione, nell inervallo 0, la disequazione è soddisfaa per: < < < < 6 6 g ) Risolvere: < 0 sen Procediamo allo sudio del segno di numeraore e denominaore della frazione. Per semplicià sudieremo la disequazione nell inervallo Per il numeraore si ha: N : g > 0 g > 0 < < 90 0 < < 70 D : sen > 0 sen > 60 < < 0 Passiamo ora alla rappresenazione grafica:

8 Nella corona più inerna è rappresenao il segno del numeraore, in quella più eserna quello del denominaore. Dall esame del grafico si evince che la disequazione è soddisfaa per: 0 < < < < 0 0 < < 70 ) sin cos + > sin Applichiamo per prima cosa le formule di duplicazione del seno: sin sin cos sin cos + > sin sin cos cos + sin > 0 procediamo ora raccogliendo a faor comune a gruppi: sin cos cos + sin > 0 ( cos )( sin ) > 0 sin (cos ) cos + > 0 procediamo ora allo sudio del segno dei due faori, limiandoci ai valori 0 < < 60 : cos > 0 cos > la disequazione evidenemene non è verificaa per nessun, quindi il faore è sempre negaivo sin > 0 sin > 0 < < 50 La siuazione è schemaizzaa nella figura seguene:

9 Si evince che la disequazione è soddisfaa per: 0 < < 0 50 < < 60 4sin ) Risolvere: 0 g Sudiamo il segno del numeraore: 4sin > 0 sin > 4 sin > sin < la siuazione è rappresenaa nello schema seguene: Il numeraore è posiivo nelle zone evidenziae in rosso. Per il denominaore abbiamo:

10 an > 0 an 0 k Quindi il denominaore è sempre posiivo ranne che per k, dove si annulla. E quindi necessario escludere quesi puni olre ai valori in cui la angene non è definia; in conclusione deve essere k La disequazione è quindi soddisfaa per: 5 7 0< < < < ) Risolvere: sin + 4sin cos + cos 0 Osserviamo che l equazione associaa è omogenea di grado in seno e coseno. Dividendo ciascun ermine per cos si oiene: an + 4 an + 0 an ± 4 an an da cui: an an La siuazione è rappresenaa nello schema seguene:

11 La disequazione è quindi soddisfaa per: < < < < < < ) Risolvere: 0 cos sin + Osserviamo che la disequazione è lineare in seno e coseno, per cui possiamo procedere uilizzando le formule parameriche: an cos sin con + + Procedendo con le sosiuzioni si ha: L equazione associaa ha due soluzioni coincideni in quano il discriminane è nullo. Infai la disequazione può essere riscria come: ( ) 0 Vediamo quindi che la disequazione è soddisfaa solo per il valore, ossia per: k k 6 an + + ) Risolvere: 0 cos cos > +

12 Posa la sosiuzione cos la disequazione divena: + > 0 Le soluzioni dell equazione associaa: + 0 sono quindi la disequazione è risola per: cos < cos > La prima delle due non ammee soluzioni, menre la seconda è soddisfaa per: 0 < < < 60 come si deduce dallo schema seguene: ) ( g )( sin + ) 0 Possiamo risolvere la disequazione sudiando il segno dei due faori. Si ha: an > 0 an > an < an > rapprendiamo la siuazione nello schema seguene:

13 In verde sono indicai gli inervalli in cui il faore risula posiivo. Noare che i valori 90 e 70 vanno esclusi in quano la angene non è definia. Passiamo ora a sudiare il segno del secondo faore: sin + > 0 sin > La disequazione evidenemene è soddisfaa per ogni 70. Riassumiamo la siuazione nello schema seguene: Si vede quindi che la disequazione è soddisfaa per: 0 < < 50 0 < < 0

14 RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI ) Senza uilizzare la calcolarice scienifica, calcolare il perimero di un riangolo reangolo, sapendo che l area è di 4 cm e che g β 4 Sappiamo che l area del riangolo reangolo è 4 cm quindi, con riferimeno alla figura, possiamo scrivere: bc 4 Inolre, per la definizione di angene dell angolo β, possiamo scrivere: b gβ c 4 Possiamo quindi cosruire un sisema con quese due equazioni: bc 4 b c 4 bc 48 b c 4 c 48 4 b c 4 c 64 b c 4 c 8 b 6 Possiamo a queso puno calcolare anche l ipoenusa con il eorema di Piagora: a b + c In conclusione il perimero richieso è: p ) Risolvere un riangolo reangolo sapendo che un caeo è lungo 4 cm e che l ipoenusa è 7/5 dell alro caeo. (E consenio l uso della calcolarice) La siuazione è schemaizzaa nella figura seguene.

15 Indicando con la misura del caeo incognio, possiamo scrivere il eorema di Piagora: e quindi l ipoenusa è: Il riangolo diviene dunque: Possiamo quindi scrivere: 45 cos β β cos 5 y β 8 RISOLUZIONE TRIANGOLI QUALSIASI 4) risolvere il riangolo di cui sono noi: b 4 c γ 6 Consideriamo il riangolo generico rappresenao in figura:

16 Essendo noi b, c e γ possiamo uilizzare il eorema dei seni: b c b 4 sin β sin γ sin β sin β sin β sin γ c L equazione è soddisfaa per β e β 4 4 Osserviamo che enrambi i valori sono acceabili in quano in corrispondenza di essi si oengono per α due valori enrambi acceabili: 7 α α Occorrerà quindi considerare due possibili soluzioni per il riangolo: prima soluzione 7 b 4 c γ β α 6 4 applichiamo ancora il eorema dei seni: a b sinα a b a 4 sinα sin β sin β ( 6 + ) ( + ) 4 seconda soluzione b 4 c γ β α 6 4 applichiamo il eorema dei seni: a b sinα a b a 4 sinα sin β sin β ( 6 ) ( ) 4 4) risolvere (senza uso della calcolarice scienifica) il riangolo di cui è noo: a 6 α 60 β 45

17 Osserviamo per prima cosa che possiamo subio ricavare la misura dell angolo γ : γ Possiamo risolvere il riangolo uilizzando il eorema dei seni: a b sin β b a b 6 sinα sin β sinα b a c sin γ c a c 6 4 sinα sin γ sinα c 4) Risolvere, senza usare la calcolarice, il riangolo ABC essendo noi: a 6 b 4 γ 45 Per prima cosa racciamo lo schizzo di un generico riangolo ( + ) Dai dai fornii deduciamo che occorre uilizzare il eorema di Carno: c c a + b ab cosγ 4 c 6 c

18 Noiamo che il lao c è congruene al lao a, dal che ne deduciamo che il riangolo è isoscele e quindi deve essere α γ 45. Perano risula: β 80 - ( ) 90 ) Risolvere, senza uilizzare la calcolarice scienifica, il riangolo di cui si conosce: a b α 60 Del riangolo si conoscono due lai e l angolo opposo ad uno di essi, quindi possiamo iniziare applicando il eorema dei seni per deerminare l angolo β : a b b senα senβ senβ senβ senα senβ a da cui si oengono le sue soluzioni: β 45 (acceabile) e β 5 (non acceabile, perché α + β 95 ) A queso puno possiamo ricavare l angolo γ: γ 80 -(α + β) 75 Per oenere il lao c uilizzeremo ancora una vola il eorema dei seni, ma prima di ciò è necessario ricavare il valore del seno dell angolo di 75 : sin 75 sin ( ) sin 45 cos0 + sin 0 cos A queso puno possiamo scrivere: a c a senγ 6 + c c 6 + senα senγ senα 4

19 PROBLEMI VARI In una circonferenza di raggio 0a è inscrio un reangolo ABCD. Deermina l ampiezza dell angolo BAC in modo che l area del reangolo sia 00a I limii di variazione di sono: 0 < < Si ha: Area AB BC AB 0a cos BC 0a sin Area a 400 sin cos 400a sin cos 00a 4sin cos sin cos 5 5 sin 6 6 Enrambi i valori sono acceabili