ESERCIZI E ALCUNE SOLUZIONI ANALISI MATEMATICA 1 SETTIMANA 27

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1 ESERCIZI E ALCUNE SOLUZIONI ANALISI MATEMATICA SETTIMANA 27.. Convergenza di inegrali generalizzai. () Per ognuno dei segueni inegrali impropri deerminae qual è l insieme dei valori del paramero α > per cui esso è convergene: (2) Sia g : (, + ) R definia da: + log 2 ( + ) α + α/2 d + e e α + 2 d log + 2α sin 2 (3) α ( 2 + ) d. g() = 2 2 log( + ). (a) Trovae quani sono e di che ordine sono gli zeri di g. (b) Per α R definie f α () = α 2 2 log( + ). (c) Sudiae, in funzione del paramero reale α, la convergenza di ciascuno dei segueni inegrali generalizzai: /2 /2 f α () d. (3) (Febbraio 25) (a) Trovae per quali valori di α R è convergene l inegrale generalizzao ( ) α arcan 6 d. + (b) Calcolae il valore dell inegrale, quando α è nell insieme rovao precedenemene.

2 .2. Miscellanea. () (Difficile) Cosruie un esempio di una funzione coninua f : [, + ) R + ale che + f() d sia convergene ma per la quale non sia vero che lim f() d =. (2) Uilizzae il crierio di confrono con funzioni inegrali per sudiare la convergenza delle segueni serie numeriche. (i) k log k, (ii) k(log k) 2, (iii) k(log k) log(log k)..3. Sudio del grafico di funzioni inegrali. () Sudiae l andameno (coninuià, limii agli esremi del campo di esisenza, crescia e decrescia) e disegnae approssimaivamene il grafico della curva di equazione: y = e, sul suo naurale dominio di definizione. Uilizzae il risulao precedene per disegnare il grafico di e F () := d. (2) Trovae i puni di massimo e minimo, relaivo ed assoluo, della funzione f : R R definia da + 2 f() := 2 +. Disegnae approssimaivamene il grafico di F : R R definia da F () := d. 2 (3) (Gennaio 25) Sia F : [, + ) R definia da F () := + 2 d. (a) Sudiae l andameno di F in [, + ) e disegnaene approssimaivamene il grafico. (b) Calcolae il valore minimo di F in [, + ). (4) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := d Campo di esisenza: la funzione f() := e è definia per > e in quesa semirea è coninua. Quindi f() è Riemann inegrabile in ogni inervallo del ipo [, ] oppure [, ] per >. Quindi F è sicuramene definia per >. 2

3 Segno e monoonia: poichè f() := e è coninua per > allora F è derivabile per >. Inolre f() > quindi F è sreamene crescene per >. Poichè F è sreamene crescene e F () = allora F () > per > e F () < per < <. Limii agli esremi del campo di esisenza: poichè F è crescene esisono sia lim F () + che lim F (). Sudiamo se quesi limii sono finii o infinii. e lim F () : osserviamo che per > quindi per < < + quindi e infine d < d = 2( ); F () = d > 2( ) lim F () > lim 2( ) = e lim F (): osserviamo che per > ; quindi per < e quindi F () := d < lim F () < lim d = e e d = e In conclusione enrambi i limii agli esremi del campo di esisenza sono finii: 2 < lim + F () = d < e la funzione F () esce dal puno = con angene vericale; invece < lim F () = d < e e la funzione F ha un asinoo orizzonale per +. Concavià: Volendo si può calcolare la derivaa seconda F () = d e ( = e + ) < d 2 e la concavià è sempre verso il basso. (5) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := d È una variane del precedene abbasanza più difficile per quano riguarda il campo di esisenza. 3

4 Campo di esisenza: la funzione f() := e è definia e coninua per ma non è limiaa per. Quindi, come nel caso precedene, f() è Riemann inegrabile in ogni inervallo del ipo [, ] oppure [, ] per >. F () porebbe essere definia anche per inerpreando F () come inegrale in senso generalizzao se < se f() := e fosse inegrabile in senso generalizzao in un inorno di. Queso è, in realà, vero, infai per < < < e < quindi, per il eorema del confrono < < e e < +. Quindi F `definia per ogni R Segno e monoonia: poichè f() := e è coninua per allora F è derivabile per. Inolre f() > quindi F è sempre sreamene crescene e allora F () > per > e F () < per <. Limii agli esremi del campo di esisenza: poichè F è crescene esisono sia lim F () che lim F (). Per quano riguarda lim F (), siamo nella sessa siuazione del primo esercizio e quindi < lim F () < e. Per quano riguarda lim F (), osserviamo che lim f() = +, quindi F non è inegrabile in senso generalizzao a e quindi lim F () =. Regolarià di F : F () è derivabile per. Invece non è derivabile per = dove ha un flesso con angene vericale. Concavià: { ( e F () = + 2) < per > ( ) e + 2 per < e c è un cambio di concavià per = 2. (6) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := d Analogo al precedene per quano riguarda l andameno di F () per >. Invece poichè la funzione inegranda non è inegrabile in senso generalizzao in nessun inorno di allora il campo di esisenza di F non si può esendere agli. Infine, F è sreamene crescene per >, ha un asinoo vericale per + e ha un asinoo orizzonale per +. 4

5 (7) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := ( 2 ) d Campo di esisenza: analogo al primo esercizio. Monoonia: cambia la monoonia poichè la funzione inegranda è negaiva per < < e posiiva per >. Quindi F () è posiiva ed ha un puno di minimo assoluo per = dove vale. Limii: le sime dei limii sono analoghe al primo caso. quindi per > F () = ( 2 ) < ( 2 ) per < ( 2 ) d < e dunque c è un asinoo orizzonale per + ( 2 ) d = e ( ) + 4e lim F () = ( 2 ) d < lim e ( ) + 4e = 4e. Invece per < < e quindi e ( 2 ) < per < < ( 2 ) F () = d < d = 2 2 < lim F () = ( 2 ) d < d = 2 + (8) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := ( 2 ) d (9) Sudiae l andameno e disegnae il grafico della funzione inegrale F () := ( 2 4) d 5