Esercizi. 1, v 2 = 1. , v 3 = si determini un vettore non nullo appartenente a span{v 1, v 2 } span{v 3, v 4 }

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1 Esercizi Spazi veoriali. Nello spazio veoriale R 3 si considerino i veori v, v, v 3 si deermini un veore non nullo apparenene a span{v, v } span{v 3, v 4 }, v 4. Si deermini per quali valori del paramero reale il seguene insieme è un insieme di veori linearmene indipendeni v, v, v 3 Si deermini inolre la dimensione dello spazio W () span{v, v, v 3 }, al variare di. 3. Rispondere Vero o Falso, moivando la risposa, alle segueni affermazioni (a) i veori di una lisa che coniene due veori uguali sono sempre linearmene dipendeni (b) è possibile rovare una lisa di veori linearmene indipendeni che coniene un veore e il suo doppio (c) ogliendo un veore a una lisa di più di due veori linearmene indipendeni oengo ancora una lisa di veori linearmene indipendeni (d) dal fao che re veori di VO 3 sono due a due linearmene indipendeni, segue sempre che i re veori sono linearmene indipendeni. (e) siano v, v, v 3 VO 3 ; si ha sempre che v, v, v (v v ) sono linearmene dipendeni 4. Deerminare una base oronormale per lo spazio span{v, v }, dove v, v

2 Geomeria analiica. Calcolare l ampiezza degli angoli formai dalla diagonale principale del cubo con un lao ad essa incidene e con un lao ad essa non incidene.. Un eraedro regolare ha i lai di lunghezza deerminare le coordinae dei suoi verici rispeo a un opporuno riferimeno caresiano orogonale monomerico 3. Calcolare l ampiezza dell angolo formao da due faccie del eraedro. 4. In un sisema di riferimeno affine si considerino le ree di equazioni parameriche r) x + y 3 z x y z Deerminare se sono coincideni, incideni, parallele o sghembe. 5. Nel riferimeno caresiano orogonale monomerico RC(O, i, j, k) si consideri il puno P (,, ) e i veori v i+j e w i j+k. Deerminare se esise un piano passane per P e (a) parallelo a v e a w (b) parallelo a v e orogonale a w (c) orogonale a v e a w 6. Nel riferimeno caresiano orogonale monomerico RC(O, i, j, k) sono dai il puno P (,, )e la rea r di equazione { x + y + z 4 Deerminare la disanza di P da r. x y 7. Nel riferimeno caresiano orogonale monomerico RC(O, i, j, k) sia daa la rea di equazioni caresiane { x + z x y e il puno P (,, ). Deerminare le equazioni dei piani che conengono la rea di equazione paramerica e che x y z quella che collega due verici opposi poliedro le cui 4 faccie sono riangoli equilaeri

3 (a) passano per il puno P (b) sono paralleli alla rea s (c) sono orogonali alla rea s 8. Nel riferimeno caresiano orogonale monomerico RC(O, i, j, k) si considerino le ree di equazione caresiana { { x x + y r) y z Si deermini l equazione di una rea che passa per il puno O (,, ) e inerseca sia r sia s. 3 Marici e applicazioni lineari. Si deermini il rango delle segueni marici in funzione del paramero 3. Si deermini per quali valori del paramero la seguene marice è inveribile e per quei valori si calcoli l inversa: 3. Sia : R 3 R 3 l applicazione lineare associaa, rispeo alle basi canoniche, alla marice (a) Deerminare una base per Im e Ker, se esise. (b) Derminare una base per l immagine del soospazio generao dal veore (c) Sabilire se esise la conroimmagine del veore e al caso deerminarla. 3

4 4. Sia daa l applicazione lineare : R R 3 definia da (( )) x x + x x x x. x Si deermini la marice associaa a rispeo (a) le basi sandard di R e R 3 (b) le basi {( ) (, )}, rispeivamene di R e R 3., 5. Si considerino in R e R 3 le basi del puno (b) dell esercizio precedene. si consideri l applicazione lineare G che ha (rispeo le basi suddee) la seguene marice associaa Si deermini l immagine del generico veore ( x x ). 6. Si consideri l applicazione lineare : R 3 R 3 definia da x x + x x x 3 x + x x x 3 Si deermini al variare del paramero la dimensione di Ker( ) e Im( ). 7. Siano e G rasformazioni lineari da R in sé ali che (( )) ( ) (( )) ( ) (( G )) ( ) (( G )) ( ) 3 3 Si osservi che e G sono univocamene deerminae dalle condizioni pose. Si deermini la dimensione dell immagine di G. 4

5 4 Diagonalizzazione degli operaori. Nello spazio VO 3 si fissi un veore non nullo w. Si consideri l operaore3 che al veore v associa v w. è diagonalizzabile?. Indicare quali fra le segueni coppie di marici sono simili 4 e quali no, spiegandone il moivo (a) (b) (c) 3. Nel caso in cui la risposa all esercizio precedene sia posiiva si deermini una marice inveribile che realizza la similiudine. 4. L operaore di R 3 è definio nella base canonica {i, j, k} da (i) i + j k, (j) j k, (k) k Dire se è diagonalizzabile e, al caso, deerminare una base di auoveori. 5 Operaori orogonali, roazioni. Si consideri l operaore su R 3, : x Ax dove x R 3 e A a b b a b a Si deermini per quali valori dei parameri a e b l operaore é orogonale.. Si consideri l operaore su R 3, : x Ax dove x R 3 e A 3 (a) Si provi che è una roazione. (b) Si deermini un versore dell asse di roazione. (c) Si deermini il coseno dell angolo assoluo della roazione. 3 endomorfismo 4 coniugae 5