MOTI. branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare

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1 MOTI Meccanica: branca della fisica che sudia il moo dei corpi e le forze che lo fanno ariare Cinemaica: Dinamica: descrie il moo dei corpi senza fare riferimeno esplicio alle forze che agiscono su di essi è lo sudio della relazione esplicia ra le forze ed il loro effeo sul moo Per descriere un moo è necessario specificare la posizione del corpo in ogni isane. E quindi necessario definire un sisema di coordinae: Coordinae Caresiane Caso Mono-dimensionale O Coordinaa- spesso indicaa con X Origine delle Coordinae posizione dell osseraore Oggeo Coordinaa- spesso indicaa con - X O Oggeo Origine delle Coordinae posizione dell osseraore Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg 37-4

2 Caso Bidimensionale Coordinae Caresiane Ascissa X Ordinaa Y Coordinae Polari Disanza Radiale r Angolo θ y O O r θ ---> X,Y ---> r, θ E oiamene possibile rasformare le coordinae caresiane in polari e iceersa y r cos θ r sin θ r + y y θ r an Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg 37-4

3 Caso Tridimensionale Coordinae Caresiane z y Coordinae Sferiche y z r sin r sin r cos θ cos ϕ θ sin ϕ θ Coordinae Cilindriche r cos y r sin z z θ θ Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

4 Esempio alla laagna Trasformazioni di coordinae Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

5 Per descriere un moo è necessario, una ola specificaa la posizione del corpo, definire lo sposameno, la elocià e l accelerazione. Sposameno: Lo sposameno di un corpo è il eore il cui modulo è la disanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moo misuraa lungo la rea che li congiunge. La direzione è quella delle rea che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il erso è quello riolo dalla posizione iniziale alla posizione finale Tano più la posizione iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore sposameno. Per definire lo sposameno è necessario aer definio in precedenza sia l origine del sisema di coordinae che il sisema di coordinae da usare. Alrimeni non sapremmo da doe far parire il eore posizione. s p p 0 A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo il eore sposameno diena sempre più simile ad un segmeno della raieoria. Porando queso ragionameno al limie è possibile definire il eore sposameno infiniesimo ds che descrie lo sposameno ra due posizioni infiniamene icine ds ds dsdsds ds Il eore sposameno infiniesimo risula quindi essere un segmenino della raieoria. La raieoria risula essere composa dall iniluppo di ui i eori sposameno Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

6 Per descriere un moo è necessario, una ola specificao lo sposameno, definire quano elocemene un corpo si muoe Velocià: La elocià di un corpo è, per definizione, il rapporo fra lo spazio percorso cioè lo sposameno e l inerallo di empo impiegao per percorrerlo Poiché ho bisogno del eore sposameno, anche la elocià dorà essere un eore. Modulo: eore sposameno * /inerallo di empo Direzione: quella del eore sposameno Verso: quella del eore sposameno Tano più la posizione iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore elocià A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo il eore elocià diena sempre più icino alla angene alla raieoria. Porando queso ragionameno al limie è possibile definire il eore elocià isananea che dà la elocià di un puno maeriale nell isane. La elocià isananea risula essere angene alla raieoria s s is s s ds lim [] d [ m] [] s Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

7 Per descriere un moo è necessario, una ola specificao lo sposameno e la elocià, definire quano elocemene un corpo cambia la sua elocià Accelerazione: L accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporo fra il eore elocià isananea e l inerallo di empo associao Poiché ho bisogno del eore elocià, anche la accelerazione dorà essere un eore. Modulo: eore elocià * /inerallo di empo Direzione: dipende da caso a caso Verso: dipende da caso a caso Tano più la elocià iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore accelerazione A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo è possibile definire il eore accellerazione isananea a che dà la accelerazione di un puno maeriale nell isane. a a is d lim [] a d [ m] [] s Noa: Lo sposameno infiniesimo è un segmenino di raieoria La elocià isananea è sempre angene alla raieoria L accelerazione può aere un orienameno qualsiasi rispeo alla raieoria Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

8 Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg Sposameno infiniesimo dz z z dy y y d s s ds d dz d dy d d d ds d ds d ds d ds z y z y Velocià isananea Accelerazione isananea d s d d s d d s d d s d d d d d d d d d a z y z y d a d a d a d a d d d d s z y z y d a d a d a d a z y

9 Equazione Oraria s f empo s s y log 3 s s y s s 3 s s s 3 L equazione oraria permee di deerminare le componeni del eore posizione del corpo in sudio in qualsiasi isane di empo Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

10 Analogamene una equazione del ipo g empo y Permee di conoscere le componeni della elocià di un corpo in qualsiasi empo y Un discorso Analogo ale per l accellerazione Accellerazione, Velocia e Sposameno sono legae ra loro da relazioni maemaiche Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

11 Esempi alla laagna: - Calcolo della elocià e dell accellerazione noo lo sposameno - Calcolo dello sposameno noa la elocià Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg 37-4

12 Sposameno, elocià ed accelerazione relaia Per definire sia le quanià sposameno, elocià ed accelerazione è sao necessario definire un sisema di riferimeno. Cosa succede se deo cambiare queso sisema di riferimeno? y Se il nuoo sisema di coordinae è fermo rispeo al primo, cambiano i eori posizione ma il eore sposameno risula essere lo sesso in enrambi i sisemi di coordinae s p p 0 O k s, k + p k + p 0 p p 0 s y y Se il nuoo sisema di coordinae è fermo rispeo al primo allora il eore elocià risula essere lo sesso in enrambi i sisemi di coordinae s s O k O, s, s, s s Ragionameno analogo ale per l accelerazione Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg 37-4

13 Se il nuoo sisema di coordinae risula essere in moo rispeo al primo. La elocià eoriale di un corpo è relaia all osseraore che compie l osserazione + ps p s La elocià del passeggero rispeo all osseraore al suolo ps è pari alla elocià del passeggero rispeo al reno p sommaa alla elocià del reno rispeo al suolo s La elocià di un puno maeriale relaiamene ad un sisema di riferimeno fermo risula essere la somma della elocià del puno maeriale rispeo al sisema di coordinae in moo con la elocià del sisema di coordinae sesso Un ragionameno analogo ale nel caso a più dimensioni. E sufficiene scomporre secondo le componeni p.es.,y,z Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

14 Moo Circolare Coordinae Caresiane D Coordinae Polari D y r θ sposameno lungo le y sposameno lungo le a a y y d elocià lungo le d dy elocià lungo le y d meri m / s m / s d accelerazione lungo le m / s d d y accelerazione lungo le y m / s d y meri θ sposameno angolare r sposameno radiale a a θ r θ r dθ elocià d dr elocià d d θ d d r d angolare radiale accelerazione radiale rad meri rad / s m / s accelerazione angolare Ma in un moo circolare r cosane r 0 e a r 0 Riduco il problema in D rad / s m / s Nuoe Osserabili Periodo T : empo necessario per fare un giro Frequenza ν : /T Hz Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg

15 Cinemaica -Cunell Cap III + Cap VI pg pg pg Moo Circolare Coordinae Polari D r θ s r s r T r a a m/s d d d d a accelerazione angenziale a r m/s d d angenziale elocià m angenziale sposameno r π ν π ω ϑ θ / s s T rad/s d θ d d d a accellerazione angolare a s rad d dθ angolare elocià rad sposameno angolare θ θ θ π ω ν ω π ω ω ω Noa: Quando ω è cosane prende il nome di pulsazione

16 Forze Il ermine forza nel senso comune indica una razione od una spina Nell indicare una forza si usa una freccia in quano una razione o spina ha sempre una inensià il modulo una direzione ed un erso. Da un puno di isa fisico quindi la forza è un eore. Se la forza è una quanià reale dee poer essere misurabile, per essere misurabile dee indurre degli effei che possono essere quanificai. Prima legge di Newon Un corpo rimane nel suo sao di quiee o nel suo sao di moo reilineo a elocià cosane se una forza risulane non nulla non lo cosringe a ariare il suo sao di moo oppure Un corpo non soggeo a forze o la cui risulane di ue le forze a lui applicae è nulla permane nel suo sao di quiee o nel suo sao di moo reilineo uniforme L assenza di forze o il fao che la loro somma eoriale sia il eore nullo quindi implica l assenza di una ariazione di moo, cioè l assenza di accelerazione. Un corpo senza accelerazione si dice in equilibrio Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell

17 Esempio Incidene Sradale Esempio Le cinure di sicurezza nelle auo Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell

18 Seconda legge di Newon Se una forza risulane ΣF non nulla agisce su un corpo di massa m il modulo della conseguene accelerazione a è direamene proporzionale al modulo della forza risulane ed inersamene proporzionale alla massa. La direzione ed il erso dell accelerazione è uguale alla direzione e erso della forza risulane. ΣF a ΣF m ma La massa quello che noi quanifichiamo come la quanià di maeria risula essere il ermine di proporzionalià ra forza ed accelerazione. Maggiore è la massa di un corpo maggiore dorà essere la forza necessaria per dare al corpo una daa accelerazione. Le dimensioni della forza sono: [ ] [ ] [ m Kg ] [] s Forza [ N ] Newon L equazione di newon è di naura eoriale e quindi può essere scomposa nelle sue componeni caresiane, sferiche, cilindriche ΣF ΣF ΣF ΣF y z ma ma ma y z ma Poiché la massa è uno scalare compare ale e quale in ue le re equazioni Un corpo è quindi in equilibrio quando la somma di ue le forze ageni è nulla Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 3

19 Esempi alla laagna Calcolo legge del moo reilineo uniforme Calcolo legge moo uniformemene accelerao Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 4

20 Composizione delle forze Forza risulane Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 5

21 Forze in naura In naura esisono 4 forze fondamenali, con cui è possibile descriere ui i fenomeni naurali noi: Forza Graiazionale m m G r r F è responsabile di ui i fenomeni asronomici e ed è la forza che percepiamo nel modo più immediao Legge di graiazione uniersale di Newon Relaiià Generale Forza Eleromagneica lega gli eleroni al nucleo ed è responsabile di ui i fenomeni elerici Equazioni di Mawell Forza Nucleare fore.lega i maoni più elemenari della maeria sessa. Maniene unie le paricelle ed impedisce ai nuclei di disinegrarsi per la reciproca repulsione fra prooni. La forma esplicia complea è uora ignoa Forza Nucleare debole. Assicura la produzione di luce e calore per opera della fusione nucleare, è responsabile dei decadimeni radioaii. Qualsiasi alra forza deria da quese quaro La forma esplicia non è compleamene noa Forza peso Forza di ario Forza iscosa Forza elerosaica Forza di Lorenz F mg j g 9.80m/ s F kn F 0 k qq r 4πε r F 0 F q B Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 6

22 Esempio: Cadua libera Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 7

23 Esempio Cadua libera Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 8

24 Le equazioni di moo di un corpo in cadua libera NON dipandono dalla massa del corpo sesso. Quindi in assenza di ario un sasso es una piuma impiegano il medesimo empo per arriare a erra C e un bel filmao fao dagli asronaui sulla Luna hp://esuius.jsc.nasa.go/er/seh/feaher.ai Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 9

25 Esempio: Moo Parabolico Un proieile di massa m, iene sparao con elocià 5 m/s ad un angolo di 40 rispeo al suolo. Quale è la giaa del cannone e quale è la massima alezza raggiuna dal proieile rascurare l ario. Quale sarebbe l angolo che massimizza la giaa. Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 0

26 Esempio La elocià e l accellerazione sono molo differeni Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell

27 Applicazione delle leggi di Newon Cadua libera con ario Solleameno di un peso Slia con ario Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell

28 Terza legge di Newon Se un corpo esercia una forza su un secondo corpo, il secondo corpo esercia sul primo corpo una forza uguale in modulo e direzione ma opposa in erso. F F Le due forze sono ideniche ma engono eserciae su corpi diersi, con masse differeni. Quindi l effeo indoo da quese due forze ideniche può essere sensibilmene differene. Esempio F 36 N m asronae 000 kg m uomo 9 kg a a asronae uomo m / s m / s Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 3

29 Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 4

30 Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 5

31 Esempio Che forza deo applicare per aere la corda orizzonale Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 6

32 Esempio alla laagna esercizi dal Cunell Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 7

33 Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 8 Moo Circolare Coordinae Polari D r θ s r s r T r a a m/s d d d d a accelerazione angenziale a r m/s d d angenziale elocià m angenziale sposameno r π ν π ω ϑ θ / s s T rad/s d θ d d d a accellerazione angolare a s rad d dθ angolare elocià rad sposameno angolare θ θ θ π ω ν ω π ω ω ω Noa: Quando ω è cosane prende il nome di pulsazione

34 Moo circolare Uniforme Moo in cui : cosane ω cosane ω pulsazione T cosane T Periodo ν cosane ν frequenza Un corpo che si muoe in moo circolare uniforme subisce una forza non nulla dea cenripea SEMPRE direa erso il cenro F m r F mω r Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 9

35 Esempio alla laagna Le equazioni del moo roaorio Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cunell 0

36 Laoro ed Energia Il conceo di laoro inuiiamene quanifica la faica che una persona o una macchina deono fare per sposare un oggeo. Maggiore è lo sposameno del corpo, maggiore è la forza impiegaa per spingere, maggiore sarà la faica e inuiiamene maggiore dorà essere il laoro compiuo. Inuiiamene il laoro dorà quindi essere legao sia allo sposameno che all inensià della forza E chiaro che la componene della forza che laora è quella che induce direamene lo sposameno, cioè quella parallela alla sposameno dl F ds dl F ds cos θ Il laoro infiniesimo dl fao da una forza F per sposare un corpo di un rao ds si definisce come il prodoo scalare ra la forza e lo sposameno Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell

37 Il laoro: E un numero, infai non necessia di una direzione o di un erso E nullo se la forza è nulla E nullo se lo sposameno è nullo Spingere conro una cassa che rimane ferma non da laoro E nullo se lo sposameno è perpendicolare alla forza La forza di Lorenz è a laoro nullo E posiio se la forza è parallela allo sposameno laoro moore E negaio se la forza è opposa allo sposameno laoro resisene Il laoro si misura in Joule: [ F][ s] [ kg][ m] [ m] [] s [ kg][ m] [] s Laoro [ J ] Joule La definizione si può semplificare in alcuni casi paricolari e solo in quesi!! Caso D Non è più necessario il prodoo scalare dl Fds Sposameno Reilineo + Si può passare alla forma inegrale L F s cosθ Forza cosane In ui gli alri casi per calcolare il laoro è necessario risolere un inegrale di linea L F ds l A, B l B A Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell

38 Il laoro è la conseguenza dell applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associao ad una ariazione di elocià. Il calcolo del laoro secondo la definizione implica un processo di inegrazione che è il più delle ole lungo e complesso F ma L F s Fs ma s mas 0 L m + as 0 Vero Tuaia per una forza cosane: m per un m moo unif. accelerao m A Energia Cineica in A, E cin A Il laoro L fao da una forza F cosane per porare un corpo di massa m dal puno A al puno B può essere espresso dalla differenza dell energia cineica calcolaa in B ed in A Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 3

39 Il laoro è la conseguenza dell applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associao ad una ariazione di elocià. Il calcolo del laoro secondo la definizione implica un processo di inegrazione che è il più delle ole lungo e complesso dl F ds dl F dl m L m ds d d d d F d d m d m d m d Piu in generale: d m d d d m A Energia Cineica in A, Il laoro L fao da una qualsiasi forza F o somma di quese per porare un corpo di massa m dal puno A al puno B può essere espresso dalla differenza dell energia cineica calcolaa in B ed in A Teorema del laoro e dell energia cineica E cin A Quando una forza risulane non-nulla compie un laoro L su un corpo, l energia cineica del corpo aria dal suo alore iniziale E cin,0 al alore finale E cin,f e la differenza fra l energia cineica finale e quella iniziale è uguale al laoro compiuo dalla forza. L unià di misura dell energia cineica è oiamene il Joule Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 4

40 Esempi alla laagna: Calcolo del laoro da forza graiazionale mediane la definizione mediane il eorema L-Ecin Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 5

41 Nel caso di una forza semplice come la forza peso F- mg j il laoro risula essere indipendene dalla raieoria legao solo alla quoa iniziale e finale Noi cioè due puni A e B qualsiasi è possibile conoscere il laoro necessario per andare da A a B semplicemene con la formula mgh B -h A Energia Poenziale Per la forza peso e quindi possibile cosruire, in ogni puno dello spazio una funzione, Energia poenziale UP. L Energia poenziale di una massa m in un puno P è definia come il laoro necessario per porare la massa m da puno P ad un puno di riferimeno precedenemene deerminao. h P P F mg j h rif rif L P rif mgh U P mgh rif rif U P L P rif mgh mgh P P rif Poiché per la forza peso il laoro non dipende dalla raieoria ma unicamene dalla posizione di parenza e da quella di arrio allora l Energia Poenziale è uniocamene definia in ogni puno dello spazio Forze Conseraie Se il laoro compiuo da una forza nello sposare un corpo da una posizione ad un alra è indipendene dal cammino percorso, la forza è dea conseraia Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 6

42 Poiché in un campo conseraio il laoro fao per andare dal puno A al puno B non dipende dal percorso fao è possibile immaginare una raieoria che a puno A al puno di riferimeno per il calcolo del poenziale e da queso al puno P. L A P L A rif + L rif mg mg hrif ha + hp hrif h h mg h h rif U A U P A P P rif U P U A Quindi la differenza del alore dell energia poenziale calcolaa nel puno A e nel puno P fornisce il laoro necessario per porare un corpo dal puno A dal puno P al puno A. Per calcolare il laoro quindi la fisica ha a disposizione re differeni ecniche: La prima mediane, la definizione, implica una processo di inegrazione in più dimensioni che spesso può essere complesso o non risolibile analiicamene. L F ds l A, B La seconda per mezzo del eorema del Laoro e dell Energia Cineica, banale se si conoscono le elocià iniziale e finale. L m B m A La erza, nell ipoesi di forza conseraia, per mezzo dell energia poenziale. L U B U A In quesa ulima ecnica è necessario sapere SOLO ed ESCLUSIVAMNTE il alore dell energia poenziale nei due puni A e P. Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 7

43 L energia cineica e l energia poenziale sono quindi due quanià molo legae ra loro infai enrambe esprimono il laoro fao per andare ra due puni A e P L A L A P mp m P U A U P A E cin, P E cin, A E E cin, P cin, P E cin, A U A U P + U P U A + E cin, A Un corpo in cadua a mano a mano che diminuisce di quoa aumena di elocià ma diminuisce di energia Poenziale In alre parole è come se l energia poenziale si rasformasse in energia cineica Principio di conserazione dell energia meccanica La somma dell energia poenziale e dell energia cineica possedue da un corpo in un puno P si dice Energia Meccanica. L Energia Meccanica di un corpo, in un sisema isolao, si consera in ogni puno della sua raieoria Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 8

44 La forza peso ha la proprieà che il laoro compiuo non dipende dalla scela del cammino percorso - E sao possibile definire l Energia Poenziale - E sao possibile definire l Energia Meccanica - E alido il principio di conserazione dell Energia meccanica Forze Conseraie Se il laoro compiuo da una forza nello sposare un corpo da una posizione ad un alra è indipendene dal cammino percorso, la forza è dea conseraia Per una forza conseraia è quindi possibile definire la funzione Energia Poenziale Energia Poenziale Per una forza conseraia e quindi possibile cosruire, in ogni puno dello spazio una funzione, Energia poenziale UP. L Energia poenziale in un puno P è definia come il laoro necessario per porare il corpo dal puno P ad un puno di riferimeno precedenemene deerminao. U P Ogni forza conseraia ha la proprieà che il laoro che essa compie su un corpo lungo un cammino chiuso è nullo l P rif F ds Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 9

45 Esempi di forze conseraie Forza Peso: F mg j U P mgh P Forza Elasica: P k p F k i U Forza Graiazionale: m m m m F G r U P G r r p Forza Elerosaica: q q q q F r U P 4πε 0 r 4πε 0 r p Non ue le forze sono conseraie, una forza è non conseraia se il laoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso p.es. la forza di ario Poenza La poenza è la rapidià con cui iene compiuo il laoro L ed è definia come la deriaa del laoro rispeo al empo dl P [ P] Wa d [ kg][ m] [] s 3 Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 0

46 Esempio alla laagna Corpo in cadua libera + Energie Uso del principio di conserazione energia Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell

47 Cure di Poenziale E possibile meere in grafico l andameno del poenziale di una daa forza Forza Peso m kg g 9.8 m/s U h mgh Energia Poenziale Alezza L Energia Poenziale della forza peso è una funzione lineare dell alezza. Maggiore è l alezza maggiore è l energia poenziale. Oiamene la forza peso non ha puni di equilibrio Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell

48 Cure di Poenziale E possibile meere in grafico l andameno del poenziale di una daa forza Energia Poenziale Forza Elasica K 3.5 N/m Allungameno U k L Energia poenziale della forza elasica è una parabola con un minimo nel puno ad allungameno zero. Un minimo di poenziale anche relaio indica un puno di equilibrio sabile del sisema. Un puno cioè doe il corpo non è soggeo a forze. Laoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cunell 3

49 Moo Armonico Un maeriale elasico è un maeriale che ha la capacià di riacquisare la forma iniziale dopo essere sao compresso o deformao p.es. la molla La forza necessaria per allungare o accorciare una molla caso D è linearmene proporzionale all allungameno sesso. La cosane di proporzionalià k è dea cosane elasica F k 0 La osserabile 0 rappresena l esensione della molla quando non è soggea a forze, l osserabile indica l auale esensione della molla Se comprimo la molla la forza che esercio è negaia < F k 0 0 < 0 Se esendo la molla la forza che esercio è posiia > 0 F k 0 > 0 Per moii di semplicià si considera sempre la molla di esensione nulla, cioè 0 0. E facile correggere i calcoli in caso conrario Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

50 Per il principio di azione e reazione la forza che esercia la molla è di modulo e direzione uguale ma opposa in erso F k 0 Che per semplicià iene scria con 0 0 F k Il moo associao ad una forza del ipo F -k è deo moo armonico semplice ed l andameno della coordinaa in funzione del empi è rappresenao da una sinusoide Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

51 L escursione massima dalla posizione di equilibrio A è dea ampiezza del moo. L inerallo di empo T impiegao per compiere un ciclo è deo Periodo. ν w T π T Frequenza Pulsazione o Velocià angolare F k ma k d m d k Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

52 Un moo armonico semplice, si può anche descriere come la proiezione sull asse delle o delle y del moo, a elocià in modulo cosane, di un puno su una circonferenza moo circolare uniforme A cos y Asin a a y y ω ω Awsin Awcos A w Aw ω ω cos sin ω ω F m a m a + a y m A w 4 cos 4 w + A w sin w F m a maw a Aw L accelerazione in un moo circolare si dice cenripea è nel caso di moo circolare uniforme ale aω r Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

53 La forza elasica, che induce una oscillazione armonica, è una forza conseraia con poenziale U k La forza elasica o il poenziale armonico sono gli sereoipi di un gran numero di sisemi fisici, in praica di ui i fenomeni in cui è presene una oscillazione come ad esempio il pendolo Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

54 Pendolo F ma mg j+ τ F F y mg sin τ mg cos θ θ 0 θ Y τ X ma τ mg sin mg cos θ θ θ -mg Lo sposameno su una circonferenza può essere scrio come rθ se l angolo θ è sufficienemene piccolo allora sin θ θ l equazione che descrie dal pendolo F ma d m d r d θ m mr d d θ d F mg sin θ mgθ mr d θ d mgθ θ θ g cos θ 0 cos r 0 ω Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

55 La forza elasica ed il poenziale armonico approssimano una qualsiasi forza in prossimià di un puno di equilibrio sabile Sia U l energia poenziale di una generica forza conseraia F U I puni ed sono due puni di minimo di poenziale e quindi di equilibrio sabile Siluppiamo in serie U inorno al puno du U U + d U è un + numero il alore del d U d poenziale in +... du d è nullo in quano e puno di minimo relaio d U d è un numero posiio p. es. k in quano indica la concaià diu in U cosane + k Morale: a meno di cosani ho un poenziale armonico Moo Armonico - Cap. XI Cunell pg

56 Conserazione della quanià di moo Le leggi della dinamica sono in grado di preedere come un corpo risponde alle forze, A ole però con calcoli esremamene complessi. Il conceo di laoro ed la conserazione dell energia a ole permeono di semplificare di molo i calcoli. Esempio Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce parendo dal alore zero fino ad un alore massimo quando la palla enra in pieno conao con la mazza fino a riornare a zero quando la palla si allonana dalla mazza. Il comporameno preciso della forza è esremamene complicao e il più delle ole ignoo Se quello che ineressa sudiare è il moo della pallina è sufficiene conoscere la elocià iniziale e finale della palla, ciò che è accaduo durane l uro non sere Impulso Prodoo ra la forza F per l inerallo di empo durane il quale agisce impulso Fd impulso ma d d m d impulso d m d p d m d d m Quanià di moo Prodoo ra la massa e la elocià quanià di moo - Cap. VIII Cunell

57 Teorema impulso - quanià di moo Se su un corpo agisce una forza risulane F, l impulso della forza risulane è uguale alla ariazione della quanià di moo del corpo Dai due corpi che urano ra loro Forze inerne: Forze che I corpi all inerno del sisema eserciano l uno sull alro uro Forze eserne: Forze eserciae sui corpi del sisema da ageni eserni al sisema p.es. Graià F + F d m f, 0, F + F d m f, 0, e, e, Fe, + Fe, + F + F d m f, 0, + m f, 0, ΣFe + ΣFin d m f, + m f, m 0, m0, ΣFe + ΣFin d p f p0 Per il principio di azione e reazione la somma delle forze inerne è nulla ΣFe d p f p0 Se la somma delle forze eserne è nulla p p0 0 p f p 0 f quanià di moo - Cap. VIII Cunell

58 Principio di conserazione della quanià di moo La quanià di moo oale la risulane della somma eoriale delle quanià di moo dei singoli corpi di un sisema isolao rimane cosane si consera. Un sisema isolao è un sisema per cui è nulla la somma eoriale delle forze eserne che agiscono su di esso gli uri deono essere cioè elasici. Esempio p 0 m o f p f f m m + m f f E p Esempio M, o o m m 0, p 0, E f M, f 0, E cin, o + m0, + m m f m E f, cin. f + m + f m f, m m f, 0, 0, m m m m f m + m f, + m + 0, f m f, m m 0, f, 0, + f, m 0, f, f, m m + m f, 0, m f, quanià di moo - Cap. VIII Cunell 3

59 quanià di moo - Cap. VIII Cunell 4

60 Momeno Angolare Si definisce momeno angolare di un corpo di massa m, elocià rispeo ad puno P il eore L: L r m r p mr ω P r L Noa: L è un eore Dipende dal Puno P E sempre orogonale alla elocià ed al eore posizione Noa: Il momeno angolare è calcolao SEMPRE rispeo ad un puno P r L0 Un corpo che si muoe radialmene rispeo al puno P ha momeno angolare nullo L r m r m sin 0 0 P r L Un corpo che si muoe di moo circolare uniforme con cenro nel puno P ha momeno angolare cosane mr L r m r m sin 90 quanià di moo - Cap. VIII Cunell 5

61 Un corpo con momeno angolare non nullo non è deo che abbia una raieoria crua L Un corpo che si muoe in moo reilineo uniforme può aere momeno angolare non nullo P r θ L ϑ r m r m sin Momeno della forza M Si definisce momeno della forza M di un corpo rispeo ad puno P il prodoo eoriale ra la forza che agisce sul corpo e il eore che congiunge P al corpo: M r F P r M F Noa: M è un eore Dipende dal Puno P E sempre orogonale alla Forza ed al eore posizione Noa: Il momeno della forza è calcolao SEMPRE rispeo ad un puno quanià di moo - Cap. VIII Cunell 6

62 A parire dalle definizione di momeno angolare e momeno della forza è possibile riscriere la seconda equazione di Newon in ermini di M ed L F ma r F r M d r m d d d d m d d L d Il momeno della forza è pari alla deriaa rispeo al empo del momeno angolare quanià di moo - Cap. VIII Cunell 7

63 Principio di conserazione del Momeno Angolare: Se il momeno delle forze eserne ageni su un sisema è nullo, allora il Momeno Angolare Toale L o si consera. Vale sia eorialmene che per una sola componene In un sisema composo da un corpo: Quando si consera Lz il corpo si muoe con elocià angolare cosane Quando si consera L allora il moo aiene su un piano L esempio ipico sulla conserazione del momeno angolare è la ballerina che ruoando su se sessa rirae le braccia. La sua elocià angolare aumena L mr mr ω Forza Cenrale Una forza si dice cenrale quando la sua inensià dipende solo ed esclusiamene dalla disanza della sorgene ed il erso è radiale La forza di graià è una forza cenrale La forza elerosaica è una forza cenrale quanià di moo - Cap. VIII Cunell 8