Fisica (Corso di Recupero)

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1 Uniersià degli Sudi di Perugia Facolà di Medicina e Chirurgia Fisica (Corso di Recupero) Do. ndrea Calandra lcune illusrazioni in quesa presenazione sono rae dal libro di eso adoao nel corso: D. Scannicchio, Fisica Biomedica, Edises.

2 . - Fisica, grandezze fisiche e sisemi di unià di misura. - Elemeni di algebra eoriale. - Cinemaica del puno maeriale. - Dinamica del puno maeriale Laoro ed energia Meccanica dei sisemi e lee Sai di aggregazione della maeria. I fluidi Saica dei fluidi Dinamica dei fluidi e circolazione del sangue 5/ Onde in mezzi elasici Il suono e l orecchio umano Gli ulrasuoni in medicina 8 5. Calorimeria Termoregolazione del corpo umano Termodinamica 6. - Inerazioni eleriche e magneiche 6. - Onde eleromagneiche Le radiazioni in medicina Capiolo : INTRODUZIONE Capiolo : MECCNIC DEL PUNTO E DEI SISTEMI Capiolo 3: MECCNIC DEI FLUIDI Capiolo 4: ONDE IN MEZZI ELSTICI Capiolo 5: TERMOLOGI Capiolo 6: ELERROMGNETISMO

3 Capiolo : INTRODUZIONE. - Fisica, grandezze fisiche e sisemi di unià di misura. - Elemeni di algebra eoriale

4 . Fisica, grandezze fisiche e sisemi di unià di misura

5 . Le origini della fisica Eimologia (greco) La parola Fisica deria dal Greco physis φύσις che appariene alla radice phyo (φύω) (genero, cresco). Il ermine physis indica dunque la oalià delle cose che nascono ed esisono nel loro dienire. Tale ermine fu coniao da risoele (384 a.c. - 3 a.c.) per indicare un complesso di aiià inelleuali che aea il suo cenro di ineresse nell osserazione, nello sudio e nell inerpreazione dei fenomeni naurali (filosofia della naura). Traduzione laina da: Umbero Garimberi, Il gioco delle opinioni Felrinelli Il laini radussero la parola physis con naura, che deria dalla radice laina gna (in greco gen), che significa generazione, da cui origina il erbo laino nasci (nascere, rarre origine), doe c è il senso di ciò che genera e fa scaurire da sé. La naura è l originario manifesarsi delle cose, il loro farsi luce. Eimologia (indoeuropeo) da: Emanuele Seerino, La filosofia anica La parola greca physis è cosruia sulla radice indoeuropea bhu, che significa essere, sreamene legaa alla radice bha, che significa luce. La parola physis significa allora essere e luce, cioè l essere nel suo manifesarsi. Per i primi filosofi la physis è il Tuo, è l'essere che si mosra illuminao, dunque isibile e dunque comprensibile. Si preende di spiegare ale realà senza gli impacci, i frainendimeni e i eli del mio, delle presenze deerminani degli dei e degli esseri sorannaurali. Eliminaa, nella ricerca dell'inerpreazione razionale del Tuo, ogni sorasruura miica, resa la physis, la naura.

6 Origini La Fisica rae le sue origini dall anica filosofia greca. Le inuizioni di Talee e Democrio sulla maeria e sul cosmo, il libro di risoele Physica sul moo dei corpi, e le concezioni asronomiche di Tolomeo sono i primi esempi di eorie della naura. Rirao di risoele, conserao a Palazzo laemps, Roma. Marmo, copia romana di un originale greco di Lisippo (33 a.c. ca.); il manello in alabasro è un'aggiuna moderna. Dalla collezione Ludoisi. La prima pagina della Fisica di risoele raa dall'edizione di Bekker (837).

7 . Il campo di indagine della Fisica Scopo La Fisica si occupa dello sudio degli aspei più generali dei fenomeni naurali cercando in essi quello che i è di essenziale per risalire alle leggi che goernano quesi fenomeni e ai principi uniersali da cui quese leggi deriano. Il meodo scienifico ll meodo scienifico è la modalià ipica con cui la scienza procede per raggiungere una conoscenza della realà oggeia, affidabile, erificabile e condiisibile. Esso è sao applicao e codificao da Galileo Galilei nella prima meà del XVII secolo. Si basa sulle osserazioni sperimenali le quali, associae alla inuizione, serono a riconoscere gli elemeni fondamenali e caraerisici di un fenomeno ed a formulare ipoesi sulla naura del processo (meodo induio) che deono essere soopose al aglio della erifica sperimenale. L aendibilià delle ipoesi e delle loro conseguenze logiche (eorie) dipende non solo dal successo che esse consenono di oenere nella inerpreazione del fenomeno in esame, ma anche, e specialmene, dalla conferma sperimenale di alre preisioni che si possono dedurre dallo schema eorico (meodo deduio). Il meodo scienifico consise in un coninuo alernarsi di osserazioni sperimenali e di aiià speculaia dello scienziao (meodo induio e meodo deduio). Corso di Episemologia

8 Osserazione Indiiduazione della problemaica Ipoesi Preisione da erificare Esperimeni per erificare la preisione Risulai nalisi e Inerpreazione dei risulai L ipoesi non è confermaa L ipoesi è confermaa legge Esperimeni uleriori suggerii dai risulai Unificazione di leggi simili in una eoria di alidià generale Principi Preisione di nuoi fenomeni naurali

9 3. Fisica Classica e Fisica Moderna La fisica classica (codificaa prima del XX secolo) può essere suddiisa in re capioli fondamenali: Meccanica - Cinemaica: sudio del moo dei sisemi, indipendenemene dalle cause che generano il moo. - Dinamica: sudio del moo dei sisemi in relazione alle cause (forze) che lo generano. - Saica: sudio delle configurazioni di equilibrio dei sisemi e delle condizioni per cui ali configurazioni si realizzano. Termodinamica Sudio del comporameno macroscopico di sisemi ermodinamici (sisemi complessi, cosiuii da un grande numero di paricelle, oero cosiuii da un gran numero di gradi di liberà) per i quali i meodi della meccanica risulano inefficaci. Eleromagneismo Sudio dei fenomeni e delle inerazioni di naura elerica e magneica e delle loro connessioni. * * * La fisica moderna (siluppaa a parire dal XX secolo) sudia ui quei fenomeni che aengono su scala aomica e subaomica, e ui quei fenomeni che implicano elocià prossime a quelle della luce. Le eorie principali che la cosiuiscono sono: Meccanica quanisica Sudio e inerpreazione dei fenomeni che aengono su scala aomica e subaomica. Relaiià risrea Sudio e inerpreazione di fenomeni che implicano elocià confronabili con la elocià della luce.

10 4. Grandezze fisiche Definizione Grandezze che inerengono nelle relazioni e nelle leggi fisiche. Una grandezza fisica, per essere ale, dee essere definia in maniera operaia, cioè mediane le operazioni che conducono alla sua deerminazione numerica. Una grandezza fisica è definia quando: - sia possibile sabilire, senza possibilià di equioco, la alidià dei principi di uguaglianza e di somma (e differenza); - sia fissaa una unià di misura. * * * Grandezze Scalari Grandezze deerminae dal numero che fissa il loro rapporo alla corrispondene unià di misura scela. Esempi: olume, massa, energia, pressione, emperaura. Grandezze eoriali Grandezze la cui deerminazione richiede l indiiduazione di un numero (inensià o modulo della grandezza), una direzione ed un erso; oero grandezze deerminae da un numero di parameri scalari (componeni del eore) pari alla dimensionalià dello spazio (3). Esempi: sposameno, elocià, accelerazione, forza, quanià di moo, campo elerico, campo magneico. Grandezze ensoriali di ordine n: grandezze deerminae da d n parameri scalari oe d è la dimensionalià dello spazio. Esempi: ensore degli sforzi, ensore di inerzia, polarizzazione elerica.

11 5. Sisemi di unià di misura Grandezze fondamenali: grandezze per le quali l unià di misura è definia in modo arbirario mediane l indiiduazione di un campione. Grandezze deriae: grandezze per le quali l unià di misura si deduce per mezzo delle relazioni che legano quese grandezze alle grandezze fondamenali. Crieri di scela delle grandezze fondamenali: Grandezze scele siano facilmene misurabili. Sia possibile scegliere per quese grandezze dei campioni facilmene riproducibili e sabili nel empo. * * * Sisema di unià di misura: Un sisema di unià di misura è definio quando sia saa compiua una scela delle grandezze fondamenali e delle corrispondeni unià di misura (mediane l indiiduazione dei relaii campioni), in numero sufficiene da poer esprimere l unià di misura di ue le alre grandezze (grandezze deriae) mediane le unià delle grandezze fondamenali. Sisemi di unià più diffusi: Sisema Inernazionale Sisema c.g.s. Sisema di Gauss Sisema ecnico o degli ingegneri

12 6. Sisema Inernazionale Grandezza fondamenale Inerallo di empo (Tempo) Unià SI Nome Simbolo Definizione Inerallo di empo che coniene periodi della radiazione secondo s corrispondene alla ransizione fra i due lielli iperfini dello sao fondamenale dell aomo di cesio 33. Lunghezza mero m Massa kilogrammo kg Temperaura ermodinamica kelin K Inensià di correne elerica ampere Inensià luminosa candela cd Quanià di sosanza mole mol Grandezze fondamenali supplemenari ngolo piano radiane rad ngolo solido seradiane sr Lunghezza percorsa dalla luce nel uoo nell inerallo di empo (/ )s. Massa di un campione di plaino-iridio conserao nel laboraorio di pesi e misure di Seres. Frazione /73,6 della emperaura ermodinamica del puno riplo dell acqua. Inensià di correne elerica che, manenua cosane in due conduori reilinei, paralleli, di lunghezza infinia, di sezione circolare rascurabile e posi alla disanza di m l uno dall alro nel uoo, produce ra i due conduori la forza di -7 N su ogni mero di lunghezza. Inensià luminosa, in una daa direzione, di una sorgene che emee una radiazione monocromaica di frequenza pari a 54 herz e che ha un inensià di radiazione in quella direzione di /683 wa per seradiane. Quanià di sosanza di un sisema che coniene ane enià elemenari quani sono gli aomi in, kg di carbonio. Le enià elemenari deono essere specificae e possono essere aomi, molecole, ioni, eleroni, ecc. oero gruppi specificai di ali paricelle ngolo piano al cenro che su una circonferenza inercea un arco di lunghezza uguale a quella del raggio ngolo solido al cenro che su una sfera inercea una caloa di area uguale a quella del quadrao il cui lao ha la lunghezza del raggio

13 7. Il radiane Il radiane s R rad s R Misura degli angoli in radiani ( radiani ) angolo giro : angolo piao angolo reo : s R R R : R / R R / 4 R R s

14 8. Mulipli e soomulipli Disanza che la radiazione cosmica di fondo ha percorso dal Big Bang 6 m Disanza media erra-sole =.495 m Diamero equaoriale della Terra = m Dimensioni di una cellula umana 5-5 m Raggio coalene aomico - m Dimensioni del nucleo aomico -4 m Raggio classico del proone -5 m Dimensione di un quark - m faore di moliplicazione prefisso simbolo 4 yoa Y zea Z 8 ea E 5 pea P era T 9 giga G 6 mega M 3 chilo k eo h deca da - deci d - ceni c -3 milli m -6 micro µ -9 nano n - pico p -5 femo f -8 ao a - zepo z -4 yoco y Lunghezza di Planck =, meri (la più piccola disanza olre la quale il conceo di dimensione perde ogni significao fisico) Massa dell'unierso osserabile = 3 5 kg Massa del sole = 3 kg Massa della erra = 6 4 kg Massa di una cellula umana - kg unià di massa aomica =, kg (/ massa dell'isoopo del carbonio) ( massa dell'aomo di idrogeno) Massa dell elerone = kg Massa del neurino. -35 kg

15 9. Dimensioni fisiche ed equazioni dimensionali Equazione dimensionale Le funzioni che legano le grandezze deriae (, B, ) alle grandezze fondameni (F, F, F 3, ) sono funzioni omogenee rispeo alle grandezze fondamenali, cioè possono esprimersi come il prodoo delle grandezze fondamenali eleae ad esponeni ineri posiii o negaii. Ciò iene descrio formalmene mediane l equazione dimensionale della grandezza deriaa : 3 [ ] [ F n F n F n 3 ] Esempi: elocià ed accelerazione [ ] [ LT ] [ a] [ LT ] Dimensioni fisiche I coefficieni n, n, n 3, che inerengono nell equazione dimensionale della grandezza deriaa prendono il nome di dimensioni fisiche di rispeo alle grandezze fondamenali F, F, F 3, Unià di misura delle grandezza deriae L unià di misura delle grandezze deriae si oiene immediaamene dall equazione dimensionale: è il prodoo delle unià fondamenali eleae agli esponeni che compaiono nell equazione dimensionale. Esempi: unià della elocià: ms - o m/s; unià di misura dell accelerazione ms - o m/s. Prodoo digrandezze fisiche Per un prodoo di grandezze fisiche (fondamenali o deriae) la relazione dimensionale si oiene dalla relazione analiica che rappresena il prodoo, sosiuendo alle grandezze le corrispondeni relazioni dimensionali ed applicando ai prodoi dei simboli delle grandezze fondamenali le normali regole dell algebra. mal [ ] [ M ][ LT ][ L][ T ] [ MLT LT ] [ ML T 3 ] Unià : kg m s -3 (wa)

16 . nalisi dimensionale nalisi dimensionale I due membri di un equazione fisica e ui gli addendi che appaiono in ciascun membro di ale equazione deono aere le sesse dimensioni fisiche. L analisi dimensionale è un supporo fondamenale per la erifica della correezza di un equazione o del risulao di un problema. ESERCIZIO Un puno maeriale lanciao erso l alo con elocià o raggiunge la massima quoa h daa da (g = accelerazione di graià): h o g Verificare che quesa equazione è dimensionalmene correa. o g L / T L / T L T LT L

17 . Elemeni di algebra eoriale

18 . Definizione di eore e sua rappresenazione Definizione Ene geomerico definio da una direzione, un erso ed un modulo (numero reale posiio) Rappresenazione Può essere rappresenao da un segmeno orienao B: direzione = quella della rea che congiunge e B erso = quello che pora da a B lungo ale rea modulo = lunghezza del segmeno B Denoazione Si denoa con il segmeno orienao che lo rappresena, o con una freccia al di sopra di una leera, o con una leera in grasseo: B Il modulo del eore si denoa rispeiamene con IBI o B B

19 . Componene di un eore rispeo ad una rea orienaa Definizione Dao un eore e una rea orienaa si definisce componene di rispeo a e si indica con la grandezza scalare ' B' cos B B B B

20 B caso B B ' B' cos B 'B' è concorde all ' asse cos ma B

21 B caso 9 B B ' B' cos B 'B' è concorde all'asse 9 cos B

22 B 3 caso 9 =B B ' B' cos B ' B' 9 B cos

23 B 4 caso 9 8 B B ' B' cos B 'B' ha erso opposo all ' asse 9 8 cos B

24 B 5 caso 8 B B ' B' cos B 'B' è discorde all ' asse 8 cos min B

25 ' B' cos B B B B B B B B B =B B B B B B B ma min 'B' conc. cos B 'B' conc. 9 cos B ' B' 9 cos B 'B' disc. 9 8 cos B 'B' disc. 8 cos B

26 3. Componeni di un eore rispeo ad una coppia/erna caresiana y y B B B y ( ( B y B, B, y y B ) ) y y B (, y ) Un eore si può anche rappresenare elencando le sue componeni caresiane B ( B ) ( yb y) y Il modulo di un eore è pari alla radice quadraa della somma dei quadrai delle componeni

27 y z B B y B y z B z ),, ( B ),, ( B B B z y z y B B B z z y y z y ),, ( z y ) ( ) ( ) ( z y B B B z z y y B

28 4. Somma di n eori Definizione Dai n eori si applichi il primo eore in un puno qualsiasi, il secondo nell esremo del primo, il erzo nell esremo del secondo e così ia fino ad applicare l ulimo eore nell esremo del penulimo. Si definisce risulane o somma degli n eori e si indica con il simbolo R n il eore che ha origine coincidene con l origine del primo eore ed esremo coincidene con l esremo dell ulimo eore 3 R n n

29 Somma di due eori: regola del parallelogramma Proprieà La somma di due eori si oiene applicando i eori in un puno, cosruendo il parallelogramma di lai e e prendendo la diagonale a parire dal comune puno di applicazione.

30 5. Prodoo di un eore per uno scalare Definizione Dao un eore ed uno scalare a si definisce prodoo di per a e si indica con a il eore con: direzione = quella del eore erso = il erso di se a è posiio, quello opposo se a è negaio modulo = il prodoo del modulo di a e del modulo di Esempi

31 7. Differenza fra due eori Definizione Dai due eori e si definisce differenza fra e e si indica con il eore ( ) Proprieà Per deerminare la differenza si applicano i eori in un medesimo puno e si raccia il eore che a dall esremo di all esremo di

32 6. Versore Definizione Dao un eore si dice ersore di e si indica con il simbolo ˆ oppure ers( ) il eore di lunghezza uniaria che ha la direzione ed il erso di Proprieà Un qualsiasi eore può essere scrio come il prodoo del suo modulo per il suo ersore ˆ ˆ z Versori degli assi caresiani iˆ ersore asse ˆj ersore asse y kˆ ersore asse z î kˆ ĵ y

33 7. Rappresenazione caresiana di un eore y B B y y B j y ˆ i ˆ k j i z y ˆ ˆ ˆ î ĵ ),, ( B ),, ( B B B z y z y B B B z z y y z y Un qualsiasi eore può essere scrio come la somma dei prodoi delle sue componeni per i ersori omonimi

34 8. Prodoo scalare fra eori Definizione Dai due eori e si definisce prodoo scalare fra e e si indica con il simbolo la grandezza scalare: cos

35 caso cos cos

36 caso 9 cos 9 cos

37 3 caso 9 cos 9 cos Condizione necessaria e sufficiene affinché due eori siano perpendicolari è che il loro prodoo scalare sia nullo

38 4 caso 9 8 cos 9 8 cos

39 5 caso 8 cos 8 cos

40 cos cos 9 cos 9 cos 9 8 cos 8 cos

41 i cos ˆ B B z y k j i ˆ ˆ ˆ î y Proprieà Moliplicando scalarmene un eore per il ersore di un asse si oiene la componene del eore rispeo a quell asse Prodoo scalare, ersore e componene

42 9. Prodoo eoriale fra eori Definizione Dai due eori e si definisce prodoo eoriale fra e e si indica con il simbolo il eore: sin nˆ nˆ Condizione necessaria e sufficiene affinché due eori siano paralleli è che il loro prodoo eoriale sia nullo

43 Capiolo : MECCNIC DEL PUNTO E DEI SISTEMI. - Cinemaica del puno maeriale. - Dinamica del puno maeriale.3 - Laoro ed energia.4 - Meccanica dei sisemi

44 . Cinemaica del puno maeriale

45 . Il puno maeriale Un sisema meccanico può essere schemaizzao come un puno geomerico doao di massa pari a quella del sisema schemaizzao (puno maeriale) se: le sue dimensioni sono rascurabili rispeo a quelle che inerengo nel problema specifico (es. disanze percorse) non ha ineresse sudiare i cambiameni di orienazione del sisema e le sue deformazioni Esempi: * * * ) La Terra può essere schemaizzaa come un puno maeriale, se si sudia il suo moo di rioluzione aorno al Sole. ) La Terra non può essere schemaizzaa come un puno maeriale, se si sudia il suo moo di roazione diurna aorno all asse polare. Uno sesso sisema può essere o non essere schemaizzao come un puno maeriale, a seconda del problema considerao.

46 . Traieoria ed equazione oraria Consideriamo un puno P che si muoe su raieoria reilinea raieoria (reilinea) P() Posizione di P all isane Sabiliamo sulla raieoria reilinea un sisema di ascisse (asse delle ):. Prendiamo sulla raieoria un puno O come origine del sisema di ascisse. Scegliamo sulla raieoria un erso di percorrenza 3. ssociamo ad ogni puno P della raieoria il alore pari alla disanza di P da O presa con segno: alore posiio (negaio) se il erso di OP è concorde (discorde) con quello dell asse raieoria (reilinea) O () P() Equazione oraria Noa la raieoria, il moo del puno è compleamene descrio dalla conoscenza del alore di (posizione di P sulla raieoria) ad ogni isane, cioè dalla conoscenza della funzione che definisce il alore di ad ogni isane. Quesa funzione prende il nome di equazione oraria ()

47 Consideriamo un puno P che si muoe su raieoria curilinea. Sabiliamo sulla raieoria un sisema di ascisse curilinee:. Prendiamo sulla raieoria un puno O come origine del sisema di ascisse curilinee. Scegliamo sulla raieoria un erso di percorrenza 3. ssociamo ad ogni puno P della raieoria il alore reale s pari alla lunghezza dell arco OP presa con segno: s > se il erso che pora da O a P è concorde con il erso conenzionalmene scelo sulla raieoria s < se il erso che pora da O a P è discorde con il erso conenzionalmene scelo sulla raieoria raieoria (curilinea) O s() P() Posizione di P all isane Equazione oraria Noa la raieoria, il moo del puno è compleamene descrio dalla conoscenza del alore di s (posizione di P sulla raieoria) ad ogni isane, cioè dalla conoscenza della funzione che definisce il alore di s ad ogni isane. Quesa funzione prende il nome di equazione oraria. s s() Il moo del puno è compleamene descrio dalla conoscenza di: ) Equazione della raieoria ) Equazione oraria

48 3. Equazioni parameriche del moo Se non è noa la raieoria, l equazione oraria non è sufficiene a descriere il moo del puno. In queso caso, per descriere il moo del puno, è necessario conoscere la posizione (cioè le coordinae) del puno maeriale nello spazio ad ogni isane. Equazioni parameriche del moo Funzioni che descriono la dipendenza dal empo delle coordinae di P. z z() y z ( ) y( ) z( ) Equazioni parameriche del moo P() () y() y

49 4. Veore posizione y z î ĵ kˆ O P() r () k z j y i r ˆ ) ( ) ˆ ( )ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z z r y y y r r O P z O P y O P ) ( ), ( ), ( ) ( P z y Rappresenazione caresiana del eore posizione Veore posizione ) ( ) ( OP r Componeni del eore posizione Traieoria Posizione di P all isane Indiidua la posizione di P all isane Le componeni del eore posizione coincidono con le funzioni che definiscono le equazioni parameriche del moo.,, O

50 5. Veore sposameno P( ) r P(+ ) r () r( ) Veore sposameno nell inerallo di empo [, + ] r r( ) r( ) Caraerizza in modulo direzione e erso lo sposameno del puno nell inerallo di empo [, + ]

51 6. Veore elocià media P( ) r P( + ) r () M r( ) Veore elocià media nell inerallo di empo [, + ] M r r( ) r( ) direzione: rea che congiunge P() e P(+) erso: quello che pora da P() a P(+) modulo: quello di P() P(+) diiso Caraerizza in modulo direzione e erso lo sposameno del puno nell inerallo di empo [, + ], e la rapidià con cui queso sposameno è aenuo.

52 7. Veore elocià isananea () P( ) M P( + ) Veore elocià isananea all isane ( ) lim r lim r( ) r( ) dr d direzione: indiidua la direzione del moo: rea angene alla raieoria in P() erso: indiidua il erso del moo modulo: caraerizza la rapidià con cui cambia la posizione del puno all isane

53 8. Veore accelerazione media e isananea () ( ) Veore ariazione di elocià nell inerallo di empo [, + ] ( ) ( ) Veore accelerazione media nell inerallo di empo [, + ] a M ( ) ( ) Caraerizza in modulo, direzione e erso la ariazione di elocià del puno nell inerallo di empo [, + ] Caraerizza in modulo, direzione e erso la ariazione di elocià del puno nell inerallo di empo [, + ], e la rapidià con cui quesa ariazione è aenua. Veore accelerazione isananea all isane a( ) lim lim ( ) ( ) d d Caraerizza in modulo, direzione e erso la rapidià con cui cambia la elocià del puno all isane

54 9. ccelerazione angenziale il eore elocià aria in modulo e non in direzione (moo reilineo) () ( ) ( ) () ( ) ( ) a () a( ) lim Se il eore elocià aria perché aria il suo modulo, e non la sua direzione (moo reilineo), allora il eore accelerazione è parallelo al eore elocià e quindi è angene alla raieoria e prende il nome di accelerazione angenziale.

55 . ccelerazione cenripea il eore elocià aria in direzione, ma non in modulo (es. moo circolare uniforme) () ( ) ( ) ( ) () ( ) a M a M a M a () a M a M a M a () Se il eore elocià aria perché aria la sua direzione (moo curilineo) e non il suo modulo (moo uniforme), allora il eore accelerazione è perpendicolare al eore elocià e quindi alla raieoria, è direo erso il cenro di curaura della raieoria, e prende il nome di accelerazione cenripea.

56 . ccelerazione angenziale e cenripea il eore elocià aria in direzione e in modulo (es. moo curilineo non uniforme) P a T a C a a a C a T cenro di curaura in P cerchio osculaore in P Se il eore elocià aria perché aria il suo modulo (moo non uniforme) e la sua direzione (moo curilineo), allora il eore accelerazione è la somma di un componene angenziale (accelerazione angenziale), legao alla ariazione del modulo della elocià, e di un componene cenripeo (accelerazione cenripea), legao alla ariazione della direzione della elocià

57 . Moo reilineo, moo uniforme Moo Velocià ccelerazione Moo reilineo eore elocià cosane in direzione accelerazione cenripea nulla ˆ ers( ) cos a ; a C a T Moo uniforme eore elocià cosane in modulo accelerazione angenziale nulla cos a ; a T a C Moo reilineo uniforme eore elocià cosane (in direzione e modulo) cos eore accelerazione nullo (accelerazione angenziale e cenripea nulle) a T a C ; a

58 d d a 3. Rappresenazione caresiana dei eori elocià e accelerazione k j i z y ˆ ˆ ˆ ) ( d z d d d a d y d d d a d d d d a z z y y k a j a i a a z y ˆ ˆ ˆ ) ( d dz d dy d d z y d r d k r j r i r r z y ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( z r y r r z y Veore posizione Veore elocià Veore accelerazione

59 4. Equazione oraria del moo reilineo uniforme iˆ d d iˆ cos. cos ( ) P d d d d d d d d cos. ( ) cos ( ) = Posizione del puno all isane iniziale =

60 5. Equazione oraria del moo reilineo uniformemene ario a a iˆ cos. a cos a( ) a a P a a a a a a d d a a d ad d a d a cos. ( ) cos a ( ) a a a

61 ) ( a cos. a d d a d d d a d a d d d d cos ) ( a = Posizione del puno all isane iniziale = a a Velocià del puno all isane iniziale =

62 cos a a a a cos a = Posizione del puno all isane iniziale = a a Moo reilineo uniforme Moo reilineo uniformemene ario = Posizione del puno all isane iniziale = Velocià del puno all isane iniziale =

63 ESERCIZIO Problema: un puno maeriale si muoe di moo reilineo uniforme con elocià V pari a m/s. d un cero isane inizia a frenare con decelerazione cosane pari a m/s. Deerminare la disanza d F percorsa nel corso della frenaa ed il relaio inerallo empo (empo di frenaa F ). cos a a a a a a a ) ( a a a a Scegliamo come isane iniziale l isane in cui il puno inizia a frenare. Prendiamo l asse coincidene con la raieoria, erso quello del moo, ed origine coincidene con la posizione del puno all isane iniziale. Il moo è uniformemene ario (decelerao). Scriiamo le equazioni del moo: Nel nosro caso F d F

64 ll isane di arreso arr la elocià si annulla: a arr arr a La posizione del puno all isane di arreso si deermina calcolando il alore di all isane di arreso : arr ( arr ) a arr arr a a a a a a Il empo di frenaa è la differenza fra l isane di arreso e l isane = in cui il puno inizia a frenare F arr a a F a La disanza percorsa nel corso della frenaa è daa dal alore di all isane di arreso meno il alore di all isane in cui il puno inizia a frenare ( =): d F arr a a d F a Sosiuendo i alori numerici si roa: F 5 s d F 5 m

65 a a d F F F F F a a d a d ad F F F Dalle precedeni equazioni, noo a e deermino d F e F Noo a e F deermino d F e Noo a e d F deermino e F F F F a d Noo e F deermino d F e a F F F F d a d Noo d F e F deermino e a d d a F F F Noo e d F deermino a e F Le precedeni sono due equazioni nelle quaro ariabili a,, d F e F. Noe due di quese ariabili si deerminano le alre due

66 ESERCIZIO cos a a a a g a Problema: Un puno maeriale iene lasciao cadere da fermo in un pozzo. Deerminare la profondià del pozzo cronomerando il empo T fra l inizio della cadua e il rumore dell impao con la superficie libera dell acqua. g g g a cos a S a S S Il moo del sasso è uniformemene accelerao erso il basso con accelerazione g Il suono si muoe erso l alo di moo uniforme con elocià pari a V S = 343 m/s h g h g h cadua cadua S salia salia S h h S salia cadua h g h T T

67 6. Velocià angolare P(+) Sposameno angolare nell inerallo di empo [, + ] ( ) ( ) P() Velocià angolare media nell inerallo di empo [, + ] M ( ) ( ) Caraerizza in alore e segno lo sposameno angolare del puno nell inerallo di empo [, + ], e la rapidià con cui queso sposameno è aenuo. Velocià angolare isananea all isane di empo ( ) lim lim ( ) ( ) d d Caraerizza in alore e segno la rapidià con cui cambia la coordinaa angolare del puno all isane

68 7. ccelerazione angolare (+) () Variazione di elocià angolare nell inerallo di empo [, + ] ( ) ( ) ccelerazione angolare media nell inerallo di empo [, + ] M ( ) ( ) Caraerizza in alore e segno la ariazione di elocià angolare del puno nell inerallo di empo [, + ], e la rapidià con cui quesa ariazione è aenua. ccelerazione angolare isananea all isane ( ) lim lim ( ) ( ) d d Caraerizza in alore e segno la rapidià con cui cambia la elocià angolare del puno all isane

69 8. Moo circolare uniforme: equazione oraria Nel moo circolare uniforme la elocià angolare è cosane cos y d d d d ( ) P() d cos ( ) d cos ( ) a C () s() Equazione oraria. Dalla definizione di radiane: s r s( ) r s Periodo T e frequenza : T T Velocià e accelerazione: r a C r r

70 9. Moo circolare uniforme: elocià lim r lim s lim r r lim r P(+) r r s = r r P()

71 . Moo circolare uniforme: accelerazione a C lim lim lim r r P(+) P()

72 . Moo armonico Definizione Dao un puno che si muoe di moo circolare uniforme, chiamiamo moo armonico il moo della proiezione di P su un diamero (es. asse ) della circonferenza descria da P. y Equazione oraria P() ( ) Rcos( ) ( ) Rcos O () () P Velocià d ( ) Rsin( ) d ccelerazione a d ( ) Rcos( ) d d ( ) d a

73 . Dinamica del puno maeriale

74 . Primo principio della dinamica Principio di relaiià galileiana (Galileo) I fenomeni meccanici si solgono con leggi dello sesso ipo in ui i sisemi di riferimeno in moo raslaorio reilineo uniforme l uno rispeo all alro. Sisemi di riferimeno inerziali Un Sisema di riferimeno inerziale è definio dalla condizione che rispeo ad esso lo spazio è omogeneo ed isoropo ed il empo omogeneo. In paricolare, un puno maeriale libero (non soggeo ad alcuna inerazione con alri sisemi) che ad un dao isane si roi in uno sao di quiee in un sisema di riferimeno inerziale, permarrà in quiee per un periodo di empo illimiao (in un sisema di riferimeno inerziale ogni posizione è posizione di equilibrio per un puno libero). Dal principio di relaiià segue che se un sisema di riferimeno è inerziale ogni alro sisema di riferimeno che si muoa rispeo al primo di moo raslaorio reilineo uniforme è anch esso inerziale. Principio di inerzia In un sisema di riferimeno inerziale, un puno maeriale libero permane nel suo sao di quiee o di moo reilineo uniforme. Il principio di inerzia è una conseguenza necessaria del principio di relaiià.

75 Il riferimeno inerziale B, solidale al agone, si muoe di moo raslaorio uniforme rispeo al sisema inerziale. Il puno libero è in quiee nel sisema di riferimeno, il puno libero B è in quiee nel sisema di riferimeno B. Per l osseraore inerziale, il puno B è un puno libero che si muoe con elocià cosane, pari a quella del agone. Sperimenaore Sperimenaore B Puno libero B Puno libero Riferimeno inerziale B Riferimeno inerziale mmeiamo per assurdo che non alga il principio di inerzia: la elocià del puno B, rispeo all osseraore, comincia a ariare. L osseraore B noerebbe che il puno libero B, inizialmene in quiee, comincerebbe a muoersi sponaneamene. Ciò conraddice il principio di relaiià: nel sisema B (in moo raslaorio reilineo uniforme rispeo al sisema ), conrariamene a quano accade nel sisema, un puno libero inizialmene in quiee non rimarrebbe in quiee.

76 . Il secondo principio della dinamica Forza Ene in grado di perurbare lo sao di quiee o di moo reilineo uniforme di un puno in un riferimeno inerziale. La forza può essere definia in modo operaio, saicamene, mediane la deformazione che produce su un sisema facilmene deformabile, quale ad esempio una molla (dinamomero). Secondo principio della dinamica (Newon) L applicazione di una forza ad un puno maeriale produce un accelerazione con direzione e erso coincideni con quello della forza, e modulo proporzionale a quello della forza. a F m m = massa inerziale del puno F ma Dimensioni e unià di misura della forza. F Ma MLT kgms newon ( N) Principio di sorapposizione Quando più forze sono applicae conemporaneamene ad un puno, l effeo complessio è uguale a quello che si oiene applicando al puno la risulane (somma eoriale) delle singole forze. F f f f3 f f F

77 3. Il erzo principio della dinamica Enunciao Due puni maeriali esplicano l uno sull alro due forze di uguale modulo, diree lungo la congiungene ed aeni erso opposo. P P F F P P F F

78 4. Le leggi delle forze: forza elasica Forza elasica di cenro O Forza sempre direa erso un puno fisso O (deo cenro della forza elasica) in modulo proporzionale alla disanza di P da O F el kop kr krrˆ O rˆ r OP r F el rrˆ P k = cosane elasica Se scegliamo il cenro O come origine del sisema di riferimeno caresiano, allora OP coincide con il eore posizione e le componeni della forza dienano: F F F el el el y z k( k( y k( z P P P y z O O O ) k ) ky ) kz Esempio: puno maeriale aaccao all esremià di una molla allungaa o accorciaa rispeo alla lunghezza di riposo molla a riposo molla allungaa molla accorciaa O P P O

79 5. Forza di arazione graiazionale Forza di arazione graiazionale fra puni maeriali Un puno di massa m esercia su un puno di massa m poso a disanza r una forza di arazione graiazionale daa da: m m F G r ˆr m r m G = cosane di graiazione uniersale F ˆr G 6.67 Nm kg Teorema di Newon Una sfera omogenea di massa M esercia su un puno m (eserno alla sfera) la sessa forza che esercierebbe se ua la massa M della sfera fosse concenraa nel suo cenro. F gr Mm G rˆ r m F gr r rˆ M

80 6. Resisenze di mezzi fluidi Resisenze di mezzi fluidi Quando un corpo si muoe all inerno di un fluido esercia una forza sulle paricelle del fluido. Le paricelle, per il erzo principio, eserciano sul corpo forze uguali e conrarie: la somma di quese forze cosruisce la resisenza offera dal mezzo fluido al moo del corpo. F f ( ) ˆ = densià del fluido = coefficiene di forma = superficie inesia f ( ) m / s F ˆ b f ( ) m / s (regime iscoso) (regime idraulico) fluido Esempio: I due corpi rappresenai hanno lo sesso alore di ma differeni alori di.

81 7. Reazioni incolari Vincolo Un incolo è un sisema o un insieme di sisemi maeriali che impediscono al puno maeriale di occupare un insieme di posizioni che sarebbero accessibili al puno in assenza del incolo sesso. Reazioni incolari Per impedire al puno di occupare deerminae posizioni il incolo esplica sul puno una forza che prende il nome di reazione incolare. Esempio: incolo di apparenenza ad una guida. Una locomoia può muoersi solo lungo le roaie. Per non far deragliare la locomoia le roaie eserciano sulle ruoe del reno delle forze (reazioni incolari). Esempio: incolo di appoggio su un piano Un puno maeriale può occupare solano le posizioni al di sopra del suolo. Se il puno si appoggia o cade al suolo, queso esercia sul puno delle forze (reazioni incolari) che impediscono al puno di araersarlo.

82 Reazione incolare R N 8. Vincolo di appoggio N Il componene della reazione perpendicolare al piano Il componene della reazione parallelo al piano (ario) Legge dell ario saico Legge dell ario dinamico din s D N s. ma s.ma S N ( D S ) S D coefficiene di ario saico coefficiene di ario dinamico N N N F F s.ma s.ma p N p N p Forza peso omessa per semplicià F s a F a din Forza peso omessa per semplicià

83 9.Forze appareni: forza di rascinameno - moo raslaorio Il sisema mobile (solidale al agone) si muoe di moo raslaorio accelerao rispeo a quello fisso (inerziale), solidale alle roaie. Rispeo al sisema solidale alle roaie il puno permane nel suo sao di moo con accelerazione nulla (quiee o in moo reilineo uniforme). Rispeo al sisema solidale al agone il puno si muoe con accelerazione a a Piano liscio a ccelerazione del agone In un sisema di riferimeno non inerziale, in moo raslaorio accelerao rispeo ad un sisema di riferimeno inerziale, olre alle forze effeiamene ageni sul puno (forze effeie o reali), il puno è soggeo ad una forza legaa all accelerazione a del sisema, dea forza apparene di rascinameno: F r ma

84 . Forze appareni: Forza di rascinameno - moo roaorio uniforme Il sisema mobile (agone) si muoe di moo roaorio uniforme rispeo a quello fisso (inerziale), solidale alle roaie. P* ccelerazione, rispeo al sisema fisso, del agone nella posizione occupaa da P a PP * riferimeno fisso inerziale P Riferimeno mobile solidale al agone a P * P ccelerazione di P rispeo al sisema solidale al agone In un sisema di riferimeno non inerziale, in moo roaorio uniforme rispeo ad un sisema di riferimeno inerziale, olre alle forze effeiamene ageni sul puno (forze effeie o reali), il puno è soggeo ad una forza apparene legaa alla elocià angolare del sisema ed alla posizione del puno, dea forza cenrifuga: F cenrifuga m P* P P* = proiezione di P sull asse di roazione

85 P mg F gr F cenr. Forza peso Forza peso Forza eserciaa dalla Terra su un puno maeriale che si roa nei pressi della sua superficie. Il peso è la risulane della forza di arazione graiazionale e della forza cenrifuga legaa al moo di roazione diurna aorno all asse polare. ccelerazione di graià P M g G r P m r ˆ Vericale Direzione della forza peso. Passa per il cenro della erra solo all equaore e ai poli. Il peso e l accelerazione di graià: aumenano con la laiudine: F gr resa cosane, F cenr diminuisce diminuiscono con la quoa: F gr diminuisce, F cenr aumena g = 9.8 m/s alle nosre laiudini g = 9.78 m/s all equaore g = 9.83 m/s ai poli Mm. G rˆ m r * P P * P mg P* F gr O rˆ ers( OP) F gr F gr mg m mg P * P m OP

86 ESERCIZIO Problema: Un puno maeriale iene lasciao cadere da fermo su un piano liscio, inclinao di un angolo rispeo ad un piano orizzonale. Deerminare l equazione oraria del puno. ) Forze ageni: mg, R ) Equazione della dinamica ma F ma mg R R y 3) Proiezione sugli assi e y ma mgsin mg cos R a R g sin mg cos mg 4) Equazione oraria a cos a a a a g sin a g sin g sin g sin

87 . Oscillazioni libere y R P O kop mg Equazione della dinamica ) Forze ageni: mg, kop, R ) Equazione della dinamica ma F ma mg kop R 3) Proiezione sugli assi e y ma k mg R k a m R mg d R mg d doe k m pulsazione delle oscillazioni libere

88 Equazione oraria d d Equazione del moo armonico Equazione oraria, elocià, accelerazione ( ) cos( ) a d ( ) sin( ) d d ( ) cos( ) d a a

89 Rappresenazione grafica / ma / ma / ( ) ma a / (a ) ma

90 3. Oscillazioni smorzae R O kop P b mg Equazione della dinamica ) Forze ageni: mg, kop, R, b ) Equazione della dinamica ma F ma mg kopb R 3) Proiezione sugli assi e y ma kb mg R d d m b k d d R mg

91 ) cos( ) ( 4 e b km S Equazione oraria smorzameno criico e c c e b km ) ( 4 S le componeni inerziale ed elasica prealgono su quella iscosa: oscillazioni smorzae ) ( ) ( 4 c c e b km la componene iscosa preale su quelle inerziale ed elasica: smorzameno aperiodico m b

92 3. Oscillazioni forzae O kop P R mg F cos( F )ˆ i b Equazione della dinamica ) Forze ageni: mg, kop, R, b, F cos( )ˆ i F ) Equazione della dinamica ma F ma mg kopb R F cos iˆ F 3) Proiezione sugli assi e y ma kb mg R F cos F d m d R mg d b d k F cos F

93 Equazione oraria ( ) Bcos( ) F F k m pulsazione (frequenza) delle oscillazioni libere Pulsazione (frequenza) imposa dall eserno B F / m F 4 Il puno si muoe di moo armonico con la pulsazione (frequenza) della forza eserna ed ampiezza che dipende dalla differenza fra e F F B F m..5 b m Per piccoli smorzameni l ampiezza cresce quano più la frequenza della forza eserna F si aicina alla frequenza delle oscillazioni libere (frequenza propria), e quano più piccolo è =b/m. γ ω / / F /

94 .3 Laoro ed Energia

95 dl F dl F dl cos. Laoro elemenare Definizione Sia F la forza agene su un puno P all isane e dl lo sposameno del puno nell inerallo di empo infiniesimo d fra gli sani e +d. Si definisce laoro elemenare compiuo dalla forza F su P nell inerallo [, +d], e si indica con dl, grandezza scalare: Il laoro caraerizza la forza agene su un puno, in relazione allo sposameno subio dal puno sesso dl F F F F dl dl dl F dl F dl Fdl F dl F dl F dl F dl Fdl cos 9 cos 9 cos 9 8 cos 8 cos Dimensioni ed unià L FL MLT L ML T Nm kgm s joule ( J)

96 . Laoro in un inerallo di empo finio In un inerallo di empo finio [, ] in cui il puno compie uno sposameno da P a P lungo l arco di raieoria F F F 3 l l l 3 F 4 P l l 4 L P P, lim l i F l F l F3 l3 P P, F dl P Se la forza F agene su P è cosane Se la forza F agene su P è cosane e parallela a l L P P, F dl F P P, dl F P P F l L Fl doe ale il segno più se i due eori sono concordi, il segno meno se sono discordi

97 3. Energia Definizione Capacià di compiere laoro. Tipi di energia in meccanica Energia cineica: Energia (capacià di compiere laoro) legaa al moo del puno EC m Energia poenziale Energia (capacià di compiere laoro) legaa alla posizione di un puno maeriale all inerno di un campo di forze conseraio (forza peso, forza elasica, forza di arazione graiazionale, ). E P ( peso) mgh E P ( graiazionale ) G Mm r E P ( elasica ) kr h = quoa rispeo ad un piano orizzonale di riferimeno r = disanza dal cenro della forza elasica/graiazionale Energia meccanica Somma dell energia cineica e dell energia poenziale E M E C E P

98 4. Energia Cineica F m o Laoro compiuo per arresare un puno maeriale di massa m e elocià. a F / m d arr a L darrf F a m Il puno esercia sul sisema frenane una forza uguale ed opposa (3 principio della dinamica), e compie sul sisema frenane un laoro (uguale ma di segno conrario) pari a: L m Un puno, solo per il fao di aere una massa m e una elocià, è in grado di compiere una quanià di laoro pari a: EC m Quesa capacià di compiere laoro legaa alla elocià di P prende il nome di energia cineica.

99 5. Teorema del laoro e dell energia cineica Enunciao La ariazione di energia cineica di un sisema maeriale in un qualsiasi inerallo di empo è pari al laoro compiuo dalle forze ageni sul puno nello sesso inerallo di empo. E c ( ) Ec( ) L In ermini differenziali Dimosrazione de c dl d a d d ad dr d dr d de c d m md md d md ma d F dr dl d d ma F

100 6. Forze conseraie, energia poenziale Definizione Una forza si dice conseraia se il laoro che compie su un puno maeriale che si sposa da un puno P a un puno P dipende solano dalla posizione di quesi puni e non dal percorso seguio per andare dal primo al secondo. P P Si può quindi uguagliare queso laoro alla differenza dei alori assuni in P e P da una funzione generalmene regolare delle coordinae, dea energia poenziale E p L P P F dl ( P ) E (P ) P P P P, E Per qualsiasi percorso che congiunge P e P In ermini differenziali dl de P risula infai P P dl P F dl P L P P p P de P E P ( P ) EP( P )

101 ESERCIZIO Dimosrare che il laoro compiuo dalla forza peso per i re percorsi indicai, congiungeni P e P, è il medesimo P P P h mg mg mg h mg l P P P mg mg L P P mgh L mgh mgh P P L mgl mgh P P cos E P mgh risula infai L P P E P) E ( P ) mgh P( P mgh

102 ) Dimosrare che la forza è conseraia, cioè che il laoro non dipende dal percorso ma solo dalla posizione iniziale P e finale P, P P P P l d F L 7. Deerminazione dell energia poenziale ),, ( ),, ( z y E dl F z y E P P P P ) Deerminare l energia poenziale in un puno generico P(,y,z) sfruando la definizione di energia poenziale: P generico puno P=(,y,z) P puno di riferimeno P (,y,z ) arbirariamene scelo nel campo di definizione della forza E P (,y,z ) è il alore che iene arbirariamene assegnao a E P nel puno P (,y,z ). ) ( ) ( ) ( ) (,, P E dl F P E P E P E dl F L p P P P P p P P P P

103 . Principio di conserazione dell energia meccanica Enunciao Se un puno maeriale è soggeo all azione di sole forze conseraie, allora la sua energia meccanica si consera cosane nel empo Dimosrazione in ermini finii in ermini infiniesimi L L E P P E () E P C C E () E P P P P () () ( ) EP() EC () EC () Teorema del laoro Definizione di forza conseraia de dl de C dl de P P de C E C ( ) EP() EC () EP() de P de C E M ( ) EM () d( E E ) de P C M E M cos. E M cos.

104 . Poenza Definizione Sia dl il laoro elemenare compiuo dalla forza F nell inerallo di empo infiniesimo d fra gli isani e +d. Si definisce poenza erogaa dalla forza F all isane, la grandezza scalare: W dl d La poenza caraerizza il laoro compiuo della forza e la rapidià con cui ale laoro è compiuo Proprieà Dalla definizione di laoro elemenare risula: W F dl d F Dimensioni ed unià 3 W FLT MLT LT ML T kgm s 3 J s wa ( W )

105 ESERCIZIO: la cadua di un grae Problema: Un puno maeriale iene lasciao cadere da fermo da quoa h. Deerminare la elocià del puno al momeno dell impao col suolo, nell ipoesi di poer rascurare la resisenza dell aria. L unica forza agene sul puno è la forza peso. Quesa forza è conseraia, si può quindi applicare il principio di conserazione dell energia meccanica. h E C (iniziale) E p (iniziale) E C (impao) E P (impao) mgh m imp imp gh imp

106 ESERCIZIO: grae lanciao erso l alo Problema: Un puno maeriale iene lanciao erso l alo con elocià o. Deerminare la massima quoa raggiuna h, nell ipoesi di poer rascurare la resisenza dell aria. Come in precedenza si applica il principio di conserazione dell energia meccanica. E C (iniziale) E p (iniziale) E C ( h) E P ( h) h m mgh h g

107 .4 Meccanica dei sisemi

108 . Cenro di massa di un sisema maeriale Definizione Cenro della disribuzione della massa del sisema Esempio: puni di uguale massa m, e due puni di massa m e m m m C m m C Cenro di massa di un sisema paricellare: N puni di massa m, m, m 3,, m N-, m N. m r r C m m i OC N mr mr mnrn miri m m m M N i O r i r N m N N M OC i m r i i

109 ESERCIZIO pplichiamo la formula OC mr mr m m m m N N r N puni di uguale massa m O m C r m OC mr mr m mr r m m m m due puni di massa m e m O m r C m OC m r m mr m m mr m m 3 r

110 N i m i r i M OC N i m i r i M OC N i i i C N i i i C N i i i C m z M z m y M y m M N i i i C N i i i C N i i i C m z Mz m y My m M Coordinae del cenro di massa

111 . Quanià di moo di un sisema maeriale Definizione Somma dei prodoi delle masse dei puni per le rispeie elocià Q N i m i i Dalla definizione di cenro di massa, deriando si ricaa N M OC i m r i i M C N i m i i M a C N i m a i i Teorema La quanià di moo di un qualsiasi sisema maeriale si può sempre esprimere come il prodoo della massa del sisema per la elocià del cenro di massa Q M C Deriando quesa relazione rispeo al empo dq d N mia i i Ma C

112 3. Forze inerne e forze eserne al sisema Definizione Dao un sisema di N puni maeriali, chiamiamo forze inerne quelle che si esplicano icendeolmene fra i ari puni del sisema, forze eserne quelle eserciae sui puni del sisema da pare di elemeni maeriali che non fanno pare del sisema. Per il erzo principio della dinamica, le forze inerne che si esplicano icendeolmene due puni sono uguali e conrarie, quindi la risulane (somma) delle forze inerne ageni su un sisema è sempre nulla. sisema R (in) Puno apparenee al sisema Puno non apparenee al sisema forza inerna forza eserna La somma delle forze inerne ageni su un puno del sisema non è in generale nulla. l conrario, la somma delle forze inerne ageni su ui i puni del sisema (risulane delle forze inerne) è sempre nulla.

113 4. Prima equazione cardinale della dinamica dei sisemi m a m a m N a N f f f (in) (in) (in) N f f ( es) ( es) f ( es) N Seconda equazione della dinamica scria per ciascun puno del sisema (in) f i (es) f i Somma delle forze inerne ageni sull i-esimo puno Somma delle forze eserne ageni sull i-esimo puno m i (es) f i (in) f i N i m a i i R (in) R ( es) La somma dei primi membri di quese equazioni dee essere uguale alla somma dei secondi membri Dalle relazioni N i mia R i (in) Ma C segue Ma C R (es) Teorema del moo del cenro di massa Il cenro di massa di un qualsiasi sisema maeriale si muoe come un puno maeriale doao della massa dell inero sisema e soggeo alla risulane delle forze eserne applicae al sisema Prima equazione cardinale della dinamica dei sisemi Ma C R ma F (es)

114 5. Principio di conserazione della quanià di moo dq (es) Ma C Ma C R d Uilizzando al relazione la prima eq. cardinale si può scrie nella forma dq d R (es) Teorema della quanià di moo La deriaa rispeo al empo della quanià di moo di un sisema è uguale alla risulane delle forze eserne ageni sul sisema. ( es) Se allora Q cos. C cos R Principio di conserazione della quanià di moo Se la risulane delle forze eserne ageni su un sisema è nulla, allora la quanià di moo del sisema si consera cosane nel empo.

115 6. Momeno di una forza rispeo ad un asse Definizione Dao un corpo rigido incolao a ruoare aorno ad un asse fisso, e una forza agene sul corpo e apparenene a un piano perpendicolare a ale asse, si definisce momeno della forza rispeo all asse il prodoo del modulo della forza per il suo braccio. Il braccio è la minima disanza fra asse e rea di applicazione della forza. M a Fb asse di roazione corpo rigido F Dimensioni ed unià di misura FL MLT L ML T M a Nm kg m s

116 C corpo rigido F Il braccio della forza (ed il momeno) aumena all aumenare della disanza fra puno di applicazione della forza e cenro di roazione C corpo rigido F Il braccio della forza (ed il momeno) aumena quano più la forza è perpendicolare alla rea fra il puno di applicazione della forza e il cenro di roazione Il braccio della forza (e il momeno) è nullo quando la rea di applicazione della forza passa per il cenro di roazione C

117 7. Momeno di inerzia Definizione Dao un asse a, si definisce momeno di inerzia di un sisema rispeo all asse a, e si indica con il simbolo I a, la somma dei prodoi delle masse dei puni del sisema per i quadrai delle rispeie disanze dall asse. I a md mndn m d Sisema paricellare I a lim m M i r m r dm Sisema coninuo m r m N r N d m d m d i m i r i m i d N m N

118 8. Seconda equazione cardinale della dinamica dei sisemi Grandezze raslazionali massa ccelerazione del cenro di massa Risulane delle forze eserne m a R I C ( es) ( es) M a a Grandezze roazionali Momeno di inerzia ccelerazione angolare Momeno assiale delle forze eserne Prima equazione cardinale della dinamica dei sisemi Ma C R (es) Seconda equazione cardinale della dinamica dei sisemi I (es) a M a Quanià di moo Q dq d M C Teorema della quanià di moo R (es) Momeno assiale della quanià di moo L a I a dla d a Teorema del momeno della quanià di moo M (es) a

119 9. Principio di conserazione del momeno angolare Dalla seconda equazione cardinale della dinamica dei sisemi segue dla d M (es) a M es a dla La d cos. Principio di conserazione del momeno assiale della quanià di moo Se il momeno assiale delle forze eserne ageni su un sisema è nullo, allora il momeno assiale della quanià di moo del sisema si consera cosane nel empo. * * * Nel caso di un corpo rigido incolao ad asse fisso L a =I a a : I a a cos. Un aumeno di I a genera una diminuzione di a e iceersa.

120 . Equazioni cardinali della saica dei sisemi In condizioni saiche le accelerazioni che compaiono nelle equazioni cardinali della dinamica si annullano MaC R Ia M ( es) ( es) a a C Si oengono equazioni eoriali che prendono il nome di equazioni cardinali della saica: R M ( es) ( es) a

121 . Le lee Lee Corpo rigido incolao ad asse fisso (fulcro) solleciao da due forze (dee forza F e resisenza R) che producono momeni assiali di segno opposo (roazioni di erso opposo). F Braccio della resisenza, b R R mg rea di applicazione della resisenza Regola d equilibrio M Se ( es) a b b F b R F F R b F R R b F F b R R F b b R F (per equilibrare la resisenza basa una forza ole più piccola). R

122 E possibile equilibrare/sposare un carico eleao con una forza minima F b F b R R

123 . Lee anaggiose e lee sanaggiose Lee anaggiose Braccio della forza è maggiore del braccio della resisenza Per equilibrare la resisenza è sufficiene una forza il cui modulo è minore di quello della resisenza b F F b R R anaggiose b F b R F R F b F b R R Lee sanaggiose Braccio della forza è minore del braccio della resisenza Per equilibrare la resisenza è necessaria una forza il cui modulo è maggiore di quello della resisenza b F F b R R sanaggiose b F b R F R F b F b R R

124 3. Lee di primo, secondo e erzo ipo Lee di primo ipo Fulcro in posizione inermedia fra forza e resisenza Le lee di primo genere possono essere anaggiose o sanaggiose ipo R F Esempio di lea anaomica di primo ipo Esensione dell aricolazione alano-occipiale

125 Lee di secondo ipo Resisenza in posizione inermedia fra forza e fulcro Le lee di secondo genere sono in generale anaggiose F ipo R Esempio di lea anaomica di secondo ipo Esensione della caiglia nel solleameno del peso del corpo

126 Lee di erzo ipo Forza in posizione inermedia fra resisenza e fulcro Le lee di erzo genere sono in generale sanaggiose F 3 ipo R Esempio di lea anaomica di erzo ipo Flessione dell aricolazione del gomio

127 4. Lee di forza e lee di elocià Le lee anaomiche sono in maggioranza sanaggiose. Ciò appare un conrosenso. In realà una lea sanaggiosa dal puno di isa dinamico (delle forze) è anaggiosa dal puno di isa cinemaico (degli sposameni e delle elocià) e iceersa. R b R nb F R Fs F n F e Rs s R R ns L F F L R s R Il laoro compiuo dalla forza e dalla resisenza è lo sesso (in alore assoluo) s F E necessaria una grande forza per sposare una piccola resisenza, ma lo sposameno della resisenza è grande rispeo a quello del puno di applicazione della forza e il puno di applicazione della resisenza si sposa ad una elocià più eleaa di quello della forza F

128 5. Calcolo della forza agene sul fulcro (reazione incolare) F Braccio della resisenza, b R R mg rea di applicazione della resisenza F Regola d equilibrio ( ) R es F R ( F R) R

129 6. Dinamica delle lee F Braccio della resisenza, b R R mg rea di applicazione della resisenza M ( es) a I a b F F b R R I a F b R R Ia b F = accelerazione angolare a = elocià angolare b b b F F F F F F b b b R R R R R R a aumena a =cos: moimeno isocineico a cosane In paricolare: diminuisce a a =: equilibrio saico

130 Capiolo 3: MECCNIC DEI FLUIDI 3. - I fluidi 3. - Saica dei fluidi 3. - Dinamica dei fluidi

131 3. I fluidi

132 . Fluidi Sai di aggregazione: caraerisiche macroscopiche Isolidi hanno forma e olume propri. I liquidi hanno olume proprio ed assumono la forma del coneniore. I gas non hanno forma e olume propri, ma assumono la forma ed il olume del coneniore che li coniene. Sai di aggregazione: caraerisiche microscopiche Solidi, liquidi e gas possono essere disini anche in base alla diersa enià delle forze inermolecolari: Nei solidi le inerazioni sono più inense e le paricelle possono solo oscillare aorno a posizioni fisse nello spazio. Nei gas le molecole sono in moo indiiduale disordinao e sono in media a disanze ali che le muue inerazioni sono rascurabili, ranne che durane le collisioni con alre molecole del gas o con le parei del recipiene. Nei liquidi si ha una siuazione inermedia, le paricelle possono muoersi all inerno del olume occupao, uaia le forze manengono la coesione (prossimià) fra le paricelle. Fluidi Si definisce fluido una sosanza che si deforma illimiaamene (fluisce) se sooposa a uno sforzo di aglio, indipendenemene dall'enià di ques'ulimo; è un paricolare sao della maeria che comprende i liquidi e i gas. Fluidi ideali Come per i sisemi maeriali si inroduce anche per i fluidi un modello ideale. Un fluido si dice ideale se è Incomprimibile (densià e olume indipendeni dalla pressione), Prio di iscosià (assenza di forze di aglio fra srai adiaceni di fluido in moo relaio).

133 3. Saica dei fluidi

134 . Pressione La forze esplicae dalle paricelle di fluido su una superficie S del recipiene o all inerno del fluido sono forze a coro raggio; non sono applicae ad un puno, ma disribuie su ua la superficie; sono forze di spina e di aglio, mai di razione; Per lo sudio di quese forze è uile inrodurre il conceo di pressione. Forza che le paricelle che si roano dalla pare di S eserciano sulle paricelle che si roano dalla pare di S araerso S F F N FT ( b 9) F N S P n b F T F Per fluidi in equilibrio o prii di iscosià F T Si definisce pressione media su un elemeno di superficie S p S ( b FN S ) Pressione in un puno P del fluido p lim S (P S ) F S N

135 . Unià di misura della pressione Unià del SI: il pascal pascal (Pa) N/m L amosfera amosfera =.3 5 Pa Il kg peso /cm kg peso /cm =.98 5 Pa Il orr (mmhg) 76 orr = am; orr = /76 am =.3 5 / 76 Pa =.333 Pa I mulipli del Pascal bar 5 Pa am =.3 bar kg peso /cm =.98 bar mbar -3 bar = Pa orr =.333 mbar Tabella di conersione delle unià di pressione. am. Torr kg peso /cm bar mbar Pascal amosfera = Torr = / kg peso /cm = bar = mbar = Pascal =

136 3. Legge di Seino Enunciao La differenza di pressione fra due puni in un fluido omogeneo, incomprimibile, pesane ed in equilibrio, è pari al peso di una colonna di fluido di sezione uniaria ed alezza pari alla differenza di quoa (disanza ericale) fra i due puni z p z ) S ( Mg Dimosrazione: Condizione di equilibrio di una porzione cilindrica di fluido di densià, massa M, olume V, base S e alezza h (proiezione della prima equazione cardinale della saica sull asse z): p( z) S p( z) S Mg p z) S p( z ) S Mg S( z z ) g ( z p( z) p( z) p( z p( z ) g( z z ) g( z z ) ) gh p( z ) gh p ( z) S La pressione aumena linearmene con la profondià Recipiene apero (h = profondià rispeo alla superficie libera): M V S( z z ) p( h) pam gh

137 4. Principio di Pascal Enunciao Un aumeno di pressione in un puno di un fluido incomprimibile, omogeneo, pesane e in equilibrio, si rasmee isananeamene in ui gli alri puni del fluido. Giusificazione Consideriamo puni all inerno del fluido, la differenza di pressione è daa dalla legge di Seino: p( z) p( z) g( z z) gh P Se si produce dall eserno un aumeno di pressione p in uno dei due puni, ciò non prooca ariazioni nelle grandezze (il fluido è incomprimibile), g e h. Non cambia quindi la differenza p(z )-p(z ) Lo sesso aumeno si dee aere nella pressione del secondo puno, doendo la differenza rimanere cosane. P

138 5. Pressa idraulica F F P P F SP S S F Per il principio di Pascal P P F S F S Il olume di fluido (incomprimibile) resa cosane: S d Sd Lo sposameno dei pisoni è inersamene proporzionale alle rispeie sezioni e quindi alle relaie forze: S S d d Il laoro compiuo dalle due forze è lo sesso F d Fd F d d S S F Se S è ole più grande di S, la forza applicaa in S produce su S una forza ole più grande (ma uno sposameno ole più piccolo).

139 6. Principio di rchimede Enunciao Un corpo compleamene o parzialmene immerso in fluido è soggeo ad una forza (spina di rchimede) direa ericalmene dal basso erso l alo, in modulo pari al peso del fluido sposao, ed applicaa nel cenro di massa del fluido sposao (cenro di spina S). F M. sp. g Vfl. sp. fl fl. g fluido sposao S S p fl.sp.

140 S 7. Misura della densià h H H H Fpeso F arch Fpeso F arch F peso F arch R V S g Vfl. sp. fl. g V S g Vfl. sp. fl. g V S g Vfl. sp. fl. g R SH g Sh S fl. g SH g SH S fl. g SH S g SH fl. g R S h H fl. fl. S fl. S R SHg fl. fl.

141 8. Equilibrio del corpo umano in acqua F arch P

142 3.3 Dinamica dei fluidi e Circolazione del sangue

143 . Moo sazionario Moo Sazionario Il moo di un fluido si dice sazionario se il alore delle grandezze fisiche (pressione, densià e elocià del fluido) in un puno qualsiasi dello spazio ineressao dal moo del fluido si maniene cosane nel empo. Tue le paricelle di fluido (P, P, P 3 ) che in isani successii ransiano per la posizione, hanno la sessa elocià. Tue le paricelle di fluido che in isani successii ransiano per la posizione B, hanno la sessa elocià B, che può essere differene da. P P P 3 B B + P B B P 3 P

144 . Linee di flusso Linea di correne di una paricella Traieoria descria dalla paricella. Linea di flusso all isane Linee angeni in ogni loro puno alla elocià delle paricelle del fluido che all isane si roano in quel puno. P P P 3 P 4 linea di flusso all isane Proprieà In condizioni di moo sazionario, le linee di flusso non cambiano nel empo coincidono con le linee di correne

145 3. Tubo di flusso Tubo di flusso Insieme di linee di flusso che passano per i puni di una linea chiusa. Proprieà In condizioni di moo sazionario ogni ubo di flusso è fermo; nessuna paricella può araersare la superficie del ubo di flusso. E come se il ubo di flusso fosse maerializzao da una superficie solida (ubo solido).

146 4. Equazione di coninuià S S d d d d Nel moo sazionario di un fluido omogeneo e incomprimibile all inerno di un ubo di flusso, la massa di fluido fra due sezioni S e S del ubo resa cosane nel empo. La massa di fluido che araersa le sezioni S e S nel empo d dee essere la sessa: S S dm dm S d Sd (Equazione di coninuià) Se la sezione del ubo diminuisce, allora la elocià del fluido aumena. Poraa Il prodoo S prende il nome di poraa e rappresena il olume di fluido che araersa una sezione del ubo nell unià di empo. Nel moo sazionario di un fluido omogeneo e incomprimibile all inerno di un ubo di flusso, la poraa è la sessa in ue le sezioni del ubo.

147 5. Velocià del sangue I capillari sono i asi sanguigni di sezione minore, posi ra l'esremo erminale di un'areria e quello disale di una ena. liello dei capillari aiene lo scambio di acqua, ossigeno, anidride carbonica, e moli alri nurieni chimici e sosanze di scaro ra sangue e essui limirofi; la marcaa diminuzione della elocià del sangue nei capillari doua all eq. di coninuià facilia grandemene ale compio. Peralro, il capillare è capace di nurire essuo per un raggio di mm. Quindi, il numero di capillari in un essuo dipende dalla massa del essuo sesso. È queso paricolare che impedisce o permee lo siluppo di un umore. Se il umore ha capacià angiogeniche (di siluppare nuoi asi sanguigni a parire da alri già esiseni) arà quindi possibilià di aumenare di olume.

148 d 8. Teorema di Bernoulli Ipoesi: Fluido ideale e pesane, in moo sazionario in un soile ubo di flusso. pplichiamo il eorema del laoro e dell energia cineica alla massa di fluido che all isane è compresa fra le sezioni S e S. Dopo un empo d la sessa massa di fluido sarà compresa fra le sezioni S e S p S dm dm S d dm Sd dm d S S dm p S h S h S dl peso dl pressione de C dm g h h dm p S d dm psd p p Teorema del laoro: p gh dl peso p dl pressione gh de C

149 . Effeo Venuri placca areria S S p = p es p < p es p es p es equazione di coninuià S S eorema di Bernoulli p gh p gh p p In corrispondenza della srozzaura la elocià aumena, ma la pressione diminuisce (effeo Venuri).

150 . Senosi di un areria liello della srozzaura, la pressione eserna non è più equilibraa dalla pressione inerna e la sezione S ende a resringersi ancora, deformando la paree dell areria. placca areria S S p = p es p < p es F el. p es p es Ciò prooca un uleriore aumeno di e un uleriore diminuzione di p (effeo Venuri) e dunque un uleriore resringimeno di S, innescando un circolo izioso. Queso si arresa quando la forza di reazione elasica F el della paree dell areria (proporzionale alla sua deformazione) equilibra la forza doua alla differenza di pressione.

151 Se l areria si chiude compleamene, si annulla, ma allora, per il eorema di Bernoulli, p diena maggiore di p e l areria si riapre. placca p > p es S S = p = p es p F es el. = p es p gh p gh p p ppena riapera, uaia, l areria ende a richiudersi, per effeo Venuri (spasmi dell areria).

152 Tipicamene l inerruzione del flusso (infaro) ha luogo quando un frammeno di placca si disacca dalla paree dell areria, enra in circolo, e a ad occludere una senosi (resringimeno) pre-esisene. placca

153 . neurisma p es p = p es F el. p es p > p es areria S S In corrispondenza dell allargameno la elocià diminuisce, ma la pressione aumena (effeo Venuri). liello dell allargameno, la pressione inerna non è più equilibraa dalla pressione eserna e la sezione S ende a dilaarsi ancora, deformando la paree dell areria. Ciò prooca un uleriore diminuzione di e un uleriore aumeno di p (effeo Venuri) e dunque un uleriore allargameno di S, innescando un circolo izioso. Queso si arresa quando la forza della reazione elasica F el della paree dell areria (proporzionale alla sua deformazione) equilibra la forza doua alla differenza di pressione. Tuaia la paree dell areria, soo sforzo, perde elasicià nel empo ed il processo diena inarresabile, fino alla roura della paree dell areria.

154 3. Poranza S S p p La pressione al di sopra dell ala è minore di quella imperurbaa a mone dell ala (il ubo di flusso si resringe). S S p pimper p p p = p imp La pressione al di soo dell ala coincide circa con quella imperurbaa a mone dell ala (il ubo di flusso maniene sezione circa uguale). Quesa differenza di pressione fra la pare inferiore e la pare superiore dell ala genera una forza direa erso l alo noa col nome di poranza.

155 Fluidi ideali in moo sazionario 5. Moo laminare di fluidi iscosi Fluidi iscosi in moo sazionario (laminare) r R p gh dl peso dl pres p p de gh Il moo del fluido si maniene anche senza una differenza di pressione fra qualsiasi sezioni del condoo. C p gh dl peso dl pres dl p gh dldiss p dv dl dv Per manenere il fluido in moo è necessario applicare agli esremi del condoo una differenza di pressione, che sere per incere il laoro delle forze di ario. diss de e diss C diss ( r) cos. Profilo delle elocià P ( r) ( R 8l r ) Q S R poraa 4 R Q 8 l P P R Q resisenza al flusso R P Q 8l 4 R

156 Visualizzazione del moo laminare in un condoo cilindrico Sezione del condoo cilindrico orogonale al suo asse Sezione condoo cilindrico conenene il suo asse

157 6. Moo urboleno Se la elocià del fluido nel condoo iene progressiamene incremenaa, aumenando la differenza di pressione agli esremi del condoo, si ha il passaggio dal regime di moo laminare al regime di moo urboleno Moo laminare ma ( d / ) cri silenzioso Q P Moo urboleno ma cri rumoroso Q P Caraerisiche del moo urboleno Numero di Reynolds umeno della resisenza del condoo e della dissipazione di energia per ario. Un olumeo di fluido caurao in un orice, pur aendo una elocià propria noeole, aanza nel condoo assieme al orice, che si muoe in modo relaiamene leno. Vale circa per condoi reilinei In corrispondenza di srozzaure o gomii diminuisce (in corrispondenza di irregolarià il moo diena più facilmene urboleno).

158 9. Effeo della disensibilià dei asi ora Se i asi fossero rigidi la pressione del sangue nelle arerie cadrebbe rapidamene a zero durane la fase del ciclo cardiaco in cui la alola aorica rimane chiusa (linea coninua). causa della disensibilià delle arerie, durane la sisole la paree dell aora si dilaa. Quando la alola aorica si chiude, inizia la fase diasolica in cui la pressione nell aora diminuisce gradualmene, senza annullarsi, a causa dell effeo di compressione da pare della paree elasica dell areria, che ende a riornare nelle condizioni di parenza. La disensibilià delle arerie, in alre parole, permee di immagazzinare, durane la sisole, pare dell energia cineica del sangue soo forma di energia poenziale elasica, accumulaa nelle parei dell areria, che si riconere in energia cineica del sangue durane la fase di diasole. Si oiene così un andameno della pressione che aria da un alore massimo, o sisolico, ad un alore minimo, o diasolico.

159 rerie La dilaazione delle parei delle arerie inizia nell aora, all uscia del sangue dal cuore, e si propaga ia ia lungo le arerie: la pressione sisolica produce, quindi, una deformazione elasica che si propaga lungo le parei delle arerie (onda sfigmica) con una elocià u che dipende dalle caraerisiche elasiche delle parei ed è superiore alla elocià media del sangue. Quesa deformazione elasica delle parei aiua il moo del sangue e maniene una poraa relaiamene cosane malgrado l inermienza della pompa cardiaca. L aumeno della rigidià delle parei areriose (areriosclerosi) prooca un aumeno della elocià dell onda sfigmica, e dunque spine brei nel empo sulla massa locale di sangue che aanza con elocià molo minore e non riesce a seguire l impulso elasico. In queso caso, la pulsailià della paree fornisce un minor aiuo all aanzameno del sangue che dee essere compensao da un aumeno di pressione generao da un maggior laoro della pompa cardiaca (iperensione).

160 . Effeo della pressione idrosaica In posizione erea, la pressione media del sangue nei ari disrei iene noeolmene aleraa dall effeo della pressione idrosaica. La pressione nei asi degli ari inferiori iene incremenaa in maniera imporane. Effeo della pressione idrosaica sui asi areriosi Le parei dei asi areriosi sono cosiuie da essuo elasico e essuo muscolare in grado di sosenere pressioni fino a mmhg Nei asi areriosi l effeo ha scarse conseguenze. Per quano riguarda i erriori areriosi sopra il liello del cuore, il sangue a causa della forza peso ende a porarsi al liello più basso compaibilmene con la capienza e la dilaabilià dei asi. Il cuore dee quindi eserciare una pressione supplemenare per fare equilibrio al peso del sangue sorasane, e solgere un maggior laoro per far salire il sangue fino al cerello Se la pressione idrosaica della colonna di sangue sorasane supera la pressione eserciaa dal cuore, il sangue non arria più al cerello. 76 mmhg colonna di m di acqua mmhg pressione di una colonna di acqua (o sangue) di,3 m Una pressione sisolica di mmhg può fare equilibrio a un disliello di olre un mero (la disanza cuore - cerello non supera mezzo mero) In condizioni di accelerazioni inense la circolazione cerebrale si può arresare Valori della pressione media enosa e areriosa in un soggeo in posizione erea

161 Effeo della pressione idrosaica sui asi enosi Le parei dei asi enosi, a differenza di quelli areriosi, sono soili e conengono poco essuo elasico. La pressione idrosaica nei asi degli ari inferiori ende a far dilaare le ene. Queso inconeniene è in pare oiao: dalla presenza nelle ene delle alole a nido di rondine: hanno la funzione di spezzare la colonna di sangue e di diminuire la pressione sulla paree enosa dalla conrazione dei muscoli, inorno alla ena, che aiua il riorno del sangue al cuore, impedendo la sasi del sangue nelle ene Un caio funzionameno delle alole enose e dei muscoli degli ari inferiori ha come conseguenza l indebolimeno e la deformazione della paree enosa (ene aricose). Quando un indiiduo passa bruscamene dalla posizione supina a quella erea, si può erificare un rallenameno della circolazione nelle regioni cerebrali, doua a una emporanea sasi del sangue nei erriori enosi degli ari inferiori, doe la pressione idrosaica aumena bruscamene

162 . Misura della pressione del sangue Lo sfigmomanomero Lo sfigmomanomero consise in una fascia di maeriale non dilaabile che nella pare inerna forma una camera di gomma in cui si pompa aria e che è connessa a un manomero. L aria iene immessa mediane un palloncino munio di una alola. Misura della pressione del sangue. La fascia iene applicaa al braccio, l aria iene pompaa in modo da comprimere l areria soosane, fino ad applicare su quesa una pressione p maggiore di quella sisolica (pressione massima), bloccando così il rasporo del sangue. L arreso delle pulsazioni può essere rileao con uno seoscopio applicao sull aricolazione inerna dell aambraccio doe l areria scorre superficialmene.

163 . parire dal alore p (areria compleamene chiusa), si apre la alola in modo che l aria esca lenamene e la pressione della fascia elasica diminuisca gradualmene. In queso modo si deerminano: Pressione sisolica (p s ) o pressione massima: pressione a cui si aere la ripresa delle pulsazioni, deerminaa ausculando con lo seoscopio la ransizione (p p s p ) da silenzio (areria compleamene chiusa) a rumore urboleno pulsao (successia aperura e chiusura dell areria) e leggendo nel manomero la pressione corrispondene. Pressione diasolica (p d ) o pressione minima: pressione a cui scompare il rumore pulsao, deerminaa ausculando con lo seoscopio la ransizione (p 3 p d p 4 ) da rumore urboleno pulsao (successia aperura e chiusura dell areria) a silenzio in regime laminare (areria compleamene apera) e leggendo nel manomero la pressione corrispondene. Dal momeno che il braccio è allo sesso liello del cuore, le misure di pressione del sangue al braccio forniscono alori prossimi a quelli icino al cuore (nelle grandi arerie la dissipazione di energia per ario e la corrispondene diminuzione di pressione è modesa anche per percorsi di alcune decine di cm). Pressione in una grossa areria Pressione nella fascia elasica

164 Capiolo 4: ONDE IN MEZZI ELSTICI 4. - Onde meccaniche in mezzi elasici 4. - Il suono e l orecchio umano Gli ulrasuoni in medicina

165 4. Onde meccaniche in mezzi elasici

166 . Onde elasiche Onde elasiche Se in una regione limiaa di un mezzo maeriale iene prodoa una piccola deformazione, si generano forze di richiamo di ipo elasico (proporzionali alla deformazione) che endono a riporare le paricelle del mezzo nella posizione di equilibrio. Le paricelle del mezzo, essendo soopose a forze di richiamo di ipo elasico, si muoono di moo armonico aorno alla posizione di equilibrio. causa dell inerazione a coro raggio esisene ra le paricelle del mezzo, quesa perurbazione ibraoria si propaga nel mezzo con una elocià che dipende dalla naura del mezzo, dalla direzione di propagazione (se il mezzo non è isoropo), e dal caraere rasersale o longiudinale della ibrazione. Esempio Il lancio di un sasso in uno specchio d acqua inizialmene in quiee produce una perurbazione ondosa che si manifesa con l apparire di una serie di anelli concenrici di liquido perurbao che si allonanano dal puno doe è caduo il sasso. L arrio dell onda, in queso caso, produce nelle paricelle di liquido ia ia ineressae dal fenomeno un moo oscillaorio su orbia chiusa; passaa l onda le paricelle ornano in quiee nella sessa posizione di equilibrio che occupaano prima dell arrio dell onda. Propagazione di energia Ciò che si propaga non è maeria, ma solo il moimeno di paricelle aorno alle loro posizioni di equilibrio, a cui è associao un rasferimeno di energia (cineica e poenziale).

167 . Onde longiudinali e onde rasersali Onde rasersali Le paricelle del mezzo si sposano perpendicolarmene alla direzione di propagazione dell onda (es. onda in una corda o in una fascia in ensione) direzione di propagazione dell onda Onde longiudinali Le paricelle del mezzo si sposano parallelamene alla direzione di propagazione dell onda (es. onda di densià in un gas conenuo in un recipiene chiuso da un pisone che si muoe di moo armonico)

168 3. Forma maemaica delle onde elasiche y y f () y f ( ) se y=f() rappresena la perurbazione all isane iniziale =, allora y all isane assume in un puno il alore della funzione f nel puno indiidua un puno del mezzo - un isane y - la deformazione del puno del mezzo all isane Si uole deerminare la deformazione del mezzo in ogni puno ad ogni isane: y(,) Una perurbazione che si propaga con elocià e forma inariaa nel erso posiio dell asse delle è rappresenaa da una funzione in cui e compaiono nella combinazione - y(, ) f ( ) Una perurbazione che si propaga con elocià e forma inariaa nel erso negaio dell asse delle è rappresenaa da una funzione in cui e compaiono nella combinazione + y(, ) f ( )

169 4. Onde sinusoidali: lunghezza d onda ) ( sin ), ( y ), ( ) ( sin ) ( sin ) ( sin ), ( y n n n y lunghezza d onda: minima disanza fra due puni del mezzo che ibrano in fase Onda sinusoidale ), ( ), ( d dy n d dy y Lunghezza d onda y - +

170 ), ( sin sin sin ), ( y T n T nt T nt y T y sin sin ), ( T Periodo: empo necessario ad un puno P del mezzo per compiere un oscillazione complea 5. Onde sinusoidali: periodo e frequenza f y sin ), ( T f Frequenza: numero di oscillazioni che un puno del mezzo compie al secondo Periodo Frequenza ), ( ), ( d dy nt d dy T P P y

171 6. Onde sinusoidali: pulsazione e numero d onda Numero d onda e pulsazione y(, ) sin sin sin( k) T k T (numero d onda) (pulsazione) Fase iniziale In ue le rappresenazioni uilizzae sinora per un onda sinusoidale risula y(=,=)=, cioè il mezzo è imperurbao all isane iniziale, nel puno in cui l ascissa è nulla. Per eliminare quesa limiazione si inroduce la fase iniziale, in modo che y(,)=sin : y(, ) sin k Moo delle paricelle del mezzo Da quesa rappresenazione risula eidene come ogni paricella del mezzo si muoe di moo armonico, nel caso di onda sinusoidale: k cos( / k ) y(, ) sin y(, ) cos( ) k sin cos ( / )

172 7. Velocià di propagazione La elocià di propagazione può dipendere: dalle caraerisiche del mezzo, ed in paricolare dalla sua densià e dalla naura delle forze di inerazione delle paricelle. dalla forma della perurbazione e da alcuni suoi parameri, ad esempio dalla frequenza (fenomeno della dispersione). Onde rasersali in un corda esa = forza di ensione della corda = densià lineare del mezzo (massa per unià di lunghezza) Onde longiudinali in una sbarra di maeriale omogeneo E E = modulo di Young = densià del mezzo Onde longiudinali in un gas K p K= modulo di compressione di olume p = pressione = densià del mezzo = c P /c V Onde di superficie in un liquido g g = accelerazione di graià = lunghezza d onda

173 8. Superfici d onda e raggi di propagazione L equazione di propagazione è saa da noi ricaaa per un onda che si propaga in una sola dimensione (es. Onda in una corda). Più comunemene le onde si propagano nello spazio, cioè in re dimensioni. In queso caso è uile inrodurre il conceo di superficie d onda e di raggio di propagazione: Superficie d onda Luogo geomerico dei puni che, ad un cero isane, si roano nello sesso sao di ibrazione, cioè che ibrano in concordanza di fase, come ad esempio ui i puni che si roano ad aere ad un cero isane la massima ampiezza di ibrazione (cresa). Raggio di propagazione Linea perpendicolare a ue le superfici d onda che essa inerseca. superficie d onda raggio Una sorgene puniforme immersa in un mezzo ridimensionale isoropo dà origine a superfici d onda sferiche: per queso l onda iene dea onda sferica. I raggi di propagazione sono direi radialmene. grande disanza dalla sorgene, in una regione limiaa dello spazio i froni d onda sono approssimabili con porzioni di piano. Si parla in queso caso di onde piane. I raggi di propagazione sono perpendicolari a ali piani.

174 S E I S V M nm ne E Inensià di un onda L inensià I di un onda è l energia che essa raspora nell unià di empo araerso l unià di superficie posa normalmene alla sua direzione di propagazione. Nel S.I. l inensià si misura in wa/m. Per onda piana, I si ricaa facilmene, noa l energia meccanica e di una paricella del mezzo di massa m che si muoe di moo armonico, essendo soggea ad una forza elasica di richiamo: ) / ( ) ( sin ) ( cos m k m m k m k e el el el m S 9. Inensià di un onda Inensià di un onda sferica L energia rasporaa da un onda sferica, all aumenare della disanza r dalla sorgene, si disribuisce su una superficie la cui area aumena con r. Per la conserazione dell energia, l inensià dell onda dee diminuire come r -. ffinché ciò accada l ampiezza dell onda dee diminuire come r -. r r r I r I sf sf ) ( ) ( Un onda elasica che si propaga araerso una superficie S con elocià percorre nell inerallo di empo un rao (). Il olume V araersao è S, coniene un numero n di oscillaori, ed ha massa M=V pari a nm. L energia E che araersa S nel empo è pari a quella degli n oscillaori conenui in V:

175 . Principi che regolano la propagazione dei fenomeni ondulaori Principio di Malus I raggi di propagazione rappresenano il cammino reilineo lungo il quale si propaga l energia rasporaa dalle onde. Non c è quindi rasporo di energia nelle direzioni angeni alle superfici d onda. Principio di sorapposizione delle onde La propagazione simulanea di due o più onde nello sesso mezzo aiene, per ciascuna di esse, come se le alre non fossero preseni, e la sao di ibrazione in un puno del mezzo è dao, in ogni isane, dalla somma eoriale degli sai ibrazionali associai alle dierse onde preseni in quel puno del mezzo. Principio di Huygens Tui i puni di una superficie d onda possono essere considerai come sorgeni ( secondarie ) puniformi di ibrazioni con la sessa fase. Il principio, noa la superficie d onda (S ) ad un isane (), consene di cosruire la superficie d onda (S ) ad un isane successio ( =+). Si considera ciascun puno di S come sorgene di una superficie d onda elemenare sferica di raggio ( = elocià di propagazione): S è la superficie angene a ue quese onde elemenari (il cosiddeo iniluppo).

176 . Inerferenza Onde componeni Due onde sinusoidali che si propagano nella sessa direzione e erso, con uguale ampiezza e frequenza, ma con fasi differeni (più in generale differenza di fase definia e cosane). y sin( k ) y sin( k ) Onda risulane y y y ampiezza sin( k ) sin( k ) cos sin k Caraerisiche Rappresenazione grafica Onda di frequenza pari a quella delle onde componeni, fase iniziale ( /, ed ampiezza cos [( /]: in fase Se (onde componeni in fase) l onda risulane ha ampiezza massima. Se (onde componeni in opposizione di fase) l onda risulane ha ampiezza nulla (mezzo imperurbao). Se / (onde componeni in quadraura di fase) l onda risulane ha ampiezza per radice di. in opposizione in quadraura b sin sin b sin cos b Formula di prosaferesi

177 Onda risulane Caraerisiche Onda di frequenza pari alla media delle frequenze delle onde componeni, ampiezza che aria secondo un onda, di ampiezza e frequenza pari alla semidifferenza delle frequenze delle onde componeni.. Baimeni Onde componeni Due onde sinusoidali che si propagano nella sessa direzione e erso, con uguale ampiezza e fase, ma frequenze di poco differeni: f y f y sin sin f f f f f f y y y sin cos sin sin ampiezza Rappresenazione grafica ampiezza onda risulane - Rappresenazione grafica della perurbazione ad un isane

178 3. Onde sazionarie Onde componeni Due onde sinusoidali di uguale ampiezza, frequenza e fase, che si propagano nella sessa direzione ma in ersi opposi. y sin( k) y sin( k) Onda risulane y Caraerisiche k cos( ) y y sin( k) sin( k) sin ampiezza del moo armonico non è un onda I puni del mezzo compiono oscillazioni armoniche in fase ra loro, con la frequenza delle onde componeni, ed ampiezza dipendene dalla posizione del puno : L ampiezza è nulla nei puni (nodi) per cui Rappresenazione grafica 3 k n n( / ) 4 5 L ampiezza è massima e pari a nei puni (enri) per cui k ( n ) / n( / ) / 4 enre nodo Un nodo ed un enre successio sono separai da una disanza pari a /4. Due nodi (e due enri) successii sono separai da una disanza pari a / Nelle onde sazionarie non si ha propagazione di energia (l energia non può ransiare araerso i nodi).

179 Onde sazionarie su una corda di lunghezza L fissaa alle esremià Nei puni esremi della corda si deono aere nodi (essendo puni bloccai, l ampiezza di oscillazione dee essere nulla). Dunque, la lunghezza della corda dee essere uguale ad un numero inero di semi-lunghezze d onda: Fondamenale o a armonica (n=) L n λ L n a armonica (n=) 3 a armonica (n=3) f n L n L nf 4 a armonica (n=4) f L frequenza fondamenale Modi di ibrazione In generale, quando una corda ibra, il modo di ibrazione dominane è rappresenao dall armonica fondamenale, con un conribuo minore di armoniche superiori. Regolazione della frequenza fondamenale La frequenza fondamenale (e le armoniche superiori) può essere regolaa ariando: la densià (lineare) della corda la ensione della corda la lunghezza del rao L di corda ineressao alla oscillazione sazionaria (ad esempio inerenendo con le dia)

180 Onde sazionarie su una membrana fissaa nel suo bordo

181 Onde sazionarie su un ubo di lunghezza L, chiuso ad un esremià ll esremià chiusa non c è sposameno d aria (nodo di sposameno) ; la ariazione di pressione è massima (enre di ariazione di pressione). ll esremià apera la pressione p è cosane e coincide con la pressione all eserno del ubo (nodo di ariazione di pressione) ; le paricelle d aria sono libere di muoersi aani e indiero e subiscono il massimo sposameno (enre di sposameno). Una diminuzione di p richiama paricelle dall eserno del ubo in modo da manenere p cosane e iceersa. La canna chiusa ad una esremià può conenere un numero dispari di quari di lunghezze d onda: λ L (n ) 4 4L (n ) Onda di sposameno f (n ) 4L (n ) f Onda di pressione f 4L frequenza fondamenale

182 4. Effeo Doppler L effeo Doppler L'effeo Doppler consise nel cambiameno apparene della frequenza f R di un'onda percepia da un riceiore (R), rispeo alla frequenza f S emessa dalla sorgene (S) dell onda, quando S ed R sono in moo relaio fra loro: se R ed S si aicinano fra loro: f R > f S se R ed S si allonanano fra loro: f R < f S nalisi quaniaia Se S e R si muoono lungo la medesima rea, di moo uniforme, si roa che: f R c c R S f S S c = elocià di propagazione dell onda R Sorgene in quiee rispeo al mezzo di propagazione S f R c c R f S R R f f R R f f S S (R si allonana da S) (R si aicina a S) Riceiore in quiee rispeo al mezzo di propagazione R f R c c S f S S S f f R R f f S S (S si aicina a R) (S si allonana da R)

183 Dimosrazione ) all isane =, quando S e R sono separai da una disanza d, S emee un onda () () S R d ) l onda raggiunge R all isane nella posizione R ( ) R d 3) L onda percorre una disanza c daa da c ( ) () R S R d c () R () S d c R ) S emee il frone d onda successio dopo un periodo, all isane T S, quando si roa nella posizione S ( T S ) S T S ) Il frone d onda raggiunge R all isane nella posizione 3) L onda ha percorso una disanza c( -T S ) daa da c R ( ') R ' d ' TS R( ') S ( TS ) R ' d STS T S T ) R (') S ( S c ' T S ' ' d c c S R T S Il periodo e la frequenza percepii da R sono: T R ' c c S R T S f R c c R S f S

184 5. Riflessione e rifrazione Riflessione e rifrazione Quando un onda giunge sulla superficie di separazione fra il mezzo in cui si propaga ed un mezzo dierso può: Essere parzialmene resiuia al primo mezzo (riflessione), e passare parzialmene nel secondo mezzo (rifrazione), rispeando il principio di conserazione dell energia. Essere compleamene resiuia al primo mezzo (riflessione oale). Le leggi della riflessone e della rifrazione Il raggio riflesso e il raggio rifrao apparengono al piano conenene il raggio incidene e la normale alla superficie di separazione nel puno di incidenza normale l angolo di riflessione r (angolo fra il raggio riflesso e la normale alla superficie di separazione) è uguale all angolo di incidenza i (angolo fra il raggio incidene e la normale alla superficie di separazione) raggio incidene i r raggio riflesso i r Il rapporo fra il seno dell angolo di incidenza i e il seno dell angolo di rifrazione è uguale al rapporo fra le elocià di propagazione nel primo e nel secondo mezzo (fra gli indici di rifrazione nel secondo e nel primo mezzo ): mezzo mezzo Superficie di separazione sin i sin n n ( n cos./ ) raggio rifrao

185 6. Impedenza acusica Quando un onda elasica incide sull inerfaccia fra due mezzi diersi, essa in pare iene riflessa e in pare iene rasmessa, o compleamene riflessa. L inensià dell onda incidene è pari alla somma dell inensià dell onda riflessa e dell inensià dell onda rasmessa (per incidenza normale). Si definisce impedenza acusica Z di un mezzo maeriale il prodoo della densià del mezzo e della elocià di propagazione dell onda elasica nel mezzo I rappori I r /I i (coefficiene di rifleiià) e I /I i (coefficiene di rasmissibilià) sono dai dalle relazioni: I i Z I r I I I I I r i i Z cos i Z cos Z cos i Z cos 4ZZ cos i cos Z cos Z cos i i e nel caso di incidenza normale ( i = ) dipendono solo dalle impedenze acusiche dei due mezzi I I I I r i i Z Z 4Z Z Z Z Z Z Per Z >>Z e per Z >>Z si ha I r I i cioè I La rasmissibilià fra aria e pelle, o fra aria e essuo biologico è praicamene nulla. La rasmissibilià fra essuo molle e essuo osseo è molo bassa La rasmissibilià fra acqua, sangue, grasso muscolo e pelle è eleaa. essuo densià (g/cm 3 ) (m/s) Z 6 ( kg m - s - ) osso pelle sangue muscolo acqua grasso aria. 34.4

186 4. Il suono e l orecchio umano

187 5. Il suono Il suono L orecchio umano è in grado di percepire onde elasiche la cui frequenza f è compresa fra Hz e khz. In queso inerallo di frequenze le onde elasiche sono chiamae suoni. Vibrazioni meccaniche con frequenze superiori (inferiori) a khz ( Hz) prendono il nome di ulrasuoni (infrasuoni). Poiché la elocià s del suono in aria è di circa 34 m/s (alla emperaura di 5 C e a pressione amosferica), la lunghezza d onda del suono in aria ( = s / f ) è compresa fra 7 mm e 7 m. Pressione sonora Nei gas la propagazione di un onda dà luogo a zone di compressione e di rarefazione delle paricelle cosiueni il gas, e deermina una ariazione di pressione isananea che per onde piane sinusoidali (suoni semplici) segue una legge del ipo p p sin( k ) doe p=p-p (pressione sonora isananea) è la ariazione isananea della pressione p rispeo alla pressione p del gas imperurbao (es. pressione amosferica) e p è l ampiezza della perurbazione pressoria (massima ariazione di p rispeo a p ). La ariazione sinusoidale di p, con successie compressioni e rarefazioni, è in grado di porre in ibrazione una membrana, ad esempio il impano nell orecchio umano. Si può dimosrare che sussise la seguene relazione fra ampiezza di ariazione di pressione e ampiezza del moo oscillaorio delle paricelle del mezzo: p Confronando quesa espressione con quella dell inensià I=/ di un onda si oiene la seguene relazione che lega l ampiezza della perurbazione pressoria e l inensià sonora: I p p I

188 6. Lielli di sensazione sonora Liello di sensazione sonora e scala decibel Il liello di sensazione sonora aeria dall organo udiio può essere uilmene caraerizzao mediane la scala decibel (db): Log I I I = - W/m = minima inensià sonora apprezzabile dall orecchio umano = alore della sensazione sonora corrispondene a I = I Vanaggi della scala decibel La minima inensià sonora apprezzabile dall orecchio umano è di db. Il rapporo fra l inensià di due suoni, la cui differenza è appena perceibile, è dell ordine del db. Una conersazione media corrisponde a circa 6 db, la soglia del dolore è di circa db. Cure di sensibilià Dipendenza della sensazione sonora dalla frequenza di ibrazione La sensibilià dell udio è massima fra 3 e 4 Hz.

189 7. L orecchio umano L orecchio è il disposiio di rasduzione che permee di rasformare le onde sonore in segnali di ecciazione nerosa (poenziali di azione), che sono poi elaborai dal cerello in modo da fornire le sensazioni sonore. Dal puno di isa funzionale l orecchio può essere considerao diiso in re pari: eserno, medio e inerno. L orecchio eserno Cosiuio dal padiglione auricolare e dal canale auricolare. Il padiglione auricolare ha la funzione di concenrare la perurbazione sonora erso il impano. Il canale auricolare è in praica un risuonaore, schemaizzabile come un ubo sonoro, di lunghezza L=.5 cm, chiuso ad un esremià dalla membrana impanica. Esso è perciò sede di onde sazionarie con frequenza fondamenale 34 m/s f 4 L 4.5 m 34 Hz Proprio alla frequenza di circa 34 Hz la sensibilià dell orecchio è massima. Nei bambini, la lunghezza del canale è minore e f assume alori più eleai. Essi sono quindi più sensibili alle frequenze eleae: riescono a dormire in presenza di conersazioni fra aduli, menre sono bruscamene segliai da un ininnio di posae o di un mazzo di chiai. Se la membrana impanica fosse rigida il canale auricolare risuonerebbe solo alla frequenza di 34 Hz o mulipli dispari di queso alore, e l orecchio percepirebbe solo suoni ad alcune deerminae frequenze. In realà la membrana impanica è abbasanza elasica da causare risonanze anche a frequenze inferiori o superiori.

190 L orecchio medio La funzione dei re ossicini (marello, incudine e saffa) è di rasmeere la ibrazione sonora alla finesra oale amplificandola. Quesa caena di ossicini si compora come una lea di primo ipo in cui la disanza d fra impano e fulcro è circa 3 ole la disanza d f della finesra oale dal fulcro. Si oiene un faore di amplificazione della forza sulla finesra oale pari a 3: F d F f d f F f F d d f 3 L area del impano S è circa ole maggiore di quella S f della finesra oale. Si oiene un faore di amplificazione della pressione sulla finesra oale pari a 6: p f p F S f f S F F f F S S f 3 6 Queso faore di amplificazione è necessario per poer compensare la perdia di inensià sonora che alrimeni si arebbe al passaggio dall aria al liquido dell orecchio inerno.

191 L orecchio inerno E cosiuio da una sruura canaliforme lunga circa 3.5 cm, aola a spirale (coclea), e riempia di liquido (perilinfa ed endolinfa) che si può rienere incomprimibile. Quando una ibrazione meccanica è rasmessa alla finesra oale, da quesa si propaga un onda meccanica nel liquido, che origina un onda di deformazione del canale cocleare. Ques onda si propaga ecciando le cellule ciliae cocleari che inducono i poenziali di azione lungo il nero acusico erso il cerello. Per aere la miglior efficienza di rasmissione dall orecchio medio a quello inerno, è necessario che l energia sonora non enga dispersa e quindi che l inensià sonora in aria sia uguale a quella nel liquido dell orecchio inerno. Nei due mezzi è cosane la frequenza, ma sono dierse la densià, la elocià di propagazione e l ampiezza dell oscillazione. Le inensià sono uguali se le ampiezze nei due mezzi sono in un preciso rapporo: I I Inserendo i alori numerici si ricaa che ale rapporo è circa 6: affinché l inensià dell onda sonora sia la sessa nei due mezzi è necessario che quella in aria enga amplificaa di circa 6 ole, ciò che effeiamene aiene.

192 4.3 Gli ulrasuoni in medicina

193 9. Gli ulrasuoni Ulrasuoni Vibrazioni meccaniche con frequenze superiori a khz. Produzione e rileazione Per produrre ulrasuoni si ricorre in generale a crisalli piezoelerici: quando a quesi crisalli iene applicaa una differenza di poenziale elerico alernaa essi si meono a ibrare con una frequenza uguale a quella delle oscillazioni eleriche che li solleciano. L effeo inerso si sfrua nella rileazione degli ulrasuoni: quesi sessi crisalli, sooposi a ibrazioni meccaniche ulrasonore, generano una d.d.p. elerico alla sessa frequenza, facilmene misurabile con opporuni disposiii eleronici. In queso modo si possono emeere o rileare ulrasuoni con frequenza f fino a GHz e lunghezza d onda in aria ( 34 m/s) di.34 m ed in acqua ( 5 m/s) di.5 m ( = / f ). La lunghezza d onda così piccola di quesi ulrasuoni, circa dell ordine di quella della luce, fa sì che essi si propaghino reilineamene, cosiuendo dei eri e propri raggi sonori: un fascio di simili ulrasuoni è alamene direzionale. I generaori di ulrasuoni uilizzai in medicina hanno inensià I che aria da -4 a W/cm. Inerazione con la maeria Per I = W/cm e f = MHz si oengono onde di pressione di 5.5 amosfere di ampiezza: due puni siuai a mezza lunghezza d onda di disanza (.75 m nell acqua) sono sooposi ad una differenza di pressione isananea di amosfere, cui corrisponde un accelerazione isananea delle paricelle del mezzo, soopose ad un simile gradiene di pressione, di circa.3 5 g. Un fascio di ulrasuoni ad ala inensià può dare luogo ad inense azioni meccaniche e alla produzione di calore nei maeriali, proocare la roura di grosse molecole, generare fenomeni di caiazione nei liquidi, e aumenare la elocià di reazioni chimiche. L energia rasporaa da un fascio di ulrasuoni iene assorbia nei mezzi maeriali secondo una legge di ipo esponenziale I = inensià incidene; I() = inensià rasmessa dopo l araersameno di uno spessore = coefficiene di assorbimeno (dipende da f e dal maeriale araersao) I( ) I e Per i maeriali biologici e frequenze comprese fra.5 e 5 MHz, è proporzionale a f.

194 . Gli ulrasuoni nella diagnosica medica Flussimeria Doppler Tecnica che consene la misura della elocià (poraa) del sangue in modo non inasio uilizzando, l effeo Doppler con onde ulrasonore. (pprossimazione di piccolo) Sonda (sorgene in quiee) rasmiene riceiore Sonda (riceiore in quiee) rasmiene riceiore fascio ulrasonoro emesso dalla sonda globuli rossi (riceiore mobile) c B fb fs c B c fascio ulrasonoro riflesso dal sangue globuli rossi (sorgene mobile) (B = blood) c fr fb c c B B f R c c B B f S f S f R B c B f S c B f S f S f R B cos f c cos B S B cos f c S Nel caso in cui il aso forma un angolo col fascio non rascurabile Misurando la ariazione di frequenza fra fascio emesso e fascio riceuo per riflessione è possibile oenere la elocià media del sangue V B

195 Ecografia L ecografia è una ecnica basaa sulla riflessione da pare di inerfacce ra mezzi acusici diersi araersai da un fascio ulrasonoro. Un rasduore piezoelerico iene poso a conao con la pelle ramie un gel, che agisce come sosanza condurice del suono, ed emee brei impulsi di onde ulrasonore (della duraa da a 5 s, per circa ole al secondo, ciascuno a frequenze da a 5 MHz). Il fascio ulrasonoro iene riflesso da pare delle inerfacce ra mezzi acusici diersi (grasso/muscolo ec.) che si roano a dierse disanze lungo la direzione del fascio. Lo sesso rasduore piezoelerico ricee le onde riflesse (echi), prodoi dalle superfici pose perpendicolarmene alla raieoria del fascio, in empi diersi a seconda della disanza complessia percorsa dal fascio. Il empo che inercorre ra l emissione degli impulsi e la ricezione delle onde riflesse dalle inerfacce, noa la elocià di propagazione nel mezzo, consene di misurare la disanza ra il rasduore e le inerfacce sesse e quindi anche quelle ra le inerfacce. I segnali ecografici riceui dalla sonda engono elaborai eleronicamene per fornire una immagine della anaomia della zona esploraa. Una sonda ecografica è cosiuia da numerosi elemeni piezoelerici che consenono di esplorare un angolo superiore a 6. essuo densià (g/cm 3 ) (m/s) Z 6 ( kg m - s - ) osso pelle sangue muscolo acqua grasso aria. 34.4

196 . Gli ulrasuoni nella erapia medica Terapia fisica Gli ulrasuoni solgono un azione direa, di ipo meccanico e ermico, impiegaa localmene su deerminai essui, per la cura di neralgie, arrosi, lombalgie e reumaismi. Nel caso in cui si richieda un effeo ermico localizzao, il fascio di ulrasuoni, a bassa inensià, iene sposao coninuamene sull area da raare, in modo da non sooporre la zona sessa ad un azione prolungaa per più di qualche secondo, per eiare danni cellulari. Terapia dei calcoli I calcoli engono franumani da onde meccaniche ulrasoniche impulsae ad ala inensià (liorizione). Odonoiaria L azione franumarice degli ulrasuoni iene sfruaa, anche se con inensià inferiore, per eliminare il araro (formazione calcarea che si forma alla base dei deni). Gli ulrasuoni engono anche impiegai per deializzare i neri dei canali denari. Oculisica Negli inereni sulla caaraa, il crisallino iene eliminao franumandolo con ulrasuoni ed aspirandone i residui. Urologia Gli ulrasoni sono impiegai negli inereni per la cura del umore alla prosaa e dell iperrofia prosaica. Chirurgia ascolare Impiegando generaori e rileaori miniaurizzai di ulrasuoni monai all apice di caeeri, si possono eseguire inereni per sabilire la composizione della placca arerioscleroica e causarne la franumazione, disosruendo le arerie.

197 Capiolo 5: TERMOLOGI 5. - Calorimeria 5. - Termoregolazione del corpo umano Termodinamica

198 5. Calorimeria

199 . Sao ermico di un corpo, ermoscopio La emperaura è una grandezza che iene inrodoa per descriere quello che si chiama lo sao ermico di un corpo. La sua inroduzione è suggeria dalle sensazioni che si proano occando corpi diersi: uno di essi ci può apparire più caldo di un alro. Osserazioni sperimenali Se due corpi, dei quali uno è simao più caldo dell alro, engono lasciai a conao per un empo sufficienemene lungo, finiscono per sembrare ugualmene caldi: si dice che hanno raggiuno l equilibrio ermico. l ariare dello sao ermico di un corpo (della sensazione di più o meno caldo che esso può dare) ariano i alori che per esso assumono alcune grandezze fisiche come la lunghezza, il olume, il colore, ec. Termoscopio Si può pensare di scegliere uno di quesi corpi (sosanza ermomerica) e porre aenzione ad una sua proprieà che dipende dallo sao ermico del corpo (proprieà ermomerica) per realizzare uno srumeno (ermoscopio) che consene di paragonare oggeiamene gli sai ermici dei corpi. Esempio di ermoscopio Si inroduce mercurio (sosanza ermomerica) in un recipiene formao da un bulbo ed un capillare e si ossera l alezza della colonna liquida nel capillare (proprieà ermomerica). Uilizzo del ermoscopio Disponendo il ermoscopio successiamene a conao con ciascuno dei corpi in esame, sabilio l equilibrio ermico, la proprieà ermomerica assume alori che possono essere usai per il confrono dello sao ermico dei corpi sessi. corpo corpo

200 . Temperaura cenigrada Celsius ( C) Scale ermomeriche Per giungere ad una aluazione numerica della emperaura (T) si prendono in considerazione sai ermici che diano affidameno di sabilià e di facile riproducibilià (ad esempio i puni di fusione o ebollizione di sosanze semplici a pressione amosferica normale) e si assegnano ad essi alori conenzionali di T. Scala cenigrada Celsius Puno fisso di riferimeno Temperaura in gradi Celsius ( C) Puno di fusione del ghiaccio a pressione amosferica normale C Puno di ebollizione dell acqua a pressione amosferica normale C Si pone il ermoscopio nel ghiaccio fondene e successiamene nei apori di acqua bollene a p.a.n., l inerallo delle posizioni raggiune dall indice della proprieà ermomerica nelle due misure iene diiso in pari uguali. Quesa araura fra C e C iene esesa al di sopra e al di soo, usando una legge lineare. Termomero a gas perfeo Problema: i alori di T che si oengono nel suddeo modo dipendono dal paricolare ermoscopio (sosanza e proprieà ermomerica) uilizzao. Tuaia si oengono idenici alori di emperaura uilizzando Sosanza ermomerica un gas rarefao Proprieà ermomerica la pressione (p) a olume (V) cosane o il olume (V) a pressione (p) cosane Ciò significa che nel caso dei gas rarefai le relazioni fra V e T (a p = cos.) e fra p e T (a V = cos.) sono dello sesso ipo, sono paricolarmene semplici, corrispondono a proprieà generali dei gas rarefai. Per la misura di T in C si adoa quindi un ermomero a gas molo rarefao, ponendo lineari le relazioni fra V e T (a p = cos.) e fra p e T (a V = cos.). lri ermomeri possono essere usai dopo araura per confrono con quello a gas.

201 3. Scala delle emperaure assolue, scala Kelin (K) Scala delle emperaure assolue Olre alla sosanza e alla proprieà ermomerica, è possibile scegliere anche la scala ermomerica basandosi sulle proprieà dei gas perfei. Con la scala delle emperaure assolue T ass T cen 73.5 le equazioni ermodinamiche che riguardano i gas perfei dienano paricolarmene semplici, lo zero della scala ha un significao fisico imporanissimo: è una emperaura limie inferiore che non può essere raggiuna (si iolerebbe il secondo principio della ermodinamica). Lo zero assoluo Con la scala delle emperaure assolue non si può dare un significao alla emperaura dello zero assoluo: prima che si raggiunga quesa emperaura i gas dienano liquidi, il ermomero a gas non è più uilizzabile con ermomeri a elio a bassa pressione si può raggiungere una emperaura minima di grado assoluo. Scala ermodinamica delle emperaure (scala Kelin) Si può dare un significao allo zero assoluo definendo una nuoa scala delle emperaure, che si inroduce in ermodinamica (scala ermodinamica delle emperaure o scala Kelin): non dipende dalle proprieà della paricolare sosanza impiegaa nel ermomero coincide numericamene con la scala delle emperaure assolue (nel campo in cui il ermomero a gas può essere usao). Per queso moio i gradi della scala assolua si indicano con K (gradi kelin). La emperaura nel S.I. Nel S.I. si adoa come grandezza fondamenale la emperaura ermodinamica. L unià di misura è il (grado) kelin (K) definio come la frazione (/73.6) della emperaura ermodinamica del puno riplo dell acqua.

202 4. Quanià di calore Inerpreazione microscopica Il calore è legao a quella paricolare energia (cineica e poenziale) che i corpi posseggono in irù dello sao di moo indiiduale e disordinao delle paricelle che licosiuiscono (moo di agiazione ermica). Calore e emperaura l ariare della emperaura quesi moi sono alerai, nel senso che ad essi compee una maggior energia all aumenare della emperaura. Equiparizione dell energia Il raggiungimeno dell equilibrio ermico fra due corpi posi a conao, e inizialmene a emperaure dierse, corrisponde ad un passaggio di energia dalle paricelle del corpo più caldo a quelle dell alro, e ad una riparizione dell energia oale fra i gradi di liberà delle paricelle componeni i corpi del sisema. Queso rasferimeno di energia, douo alla differenza di emperaura, corrisponde a quanià di calore che dal corpo più caldo passano a quello più freddo. Definizione di calore La quanià di calore richiesa per far passare un corpo da una emperaura T a una emperaura T non è alro che l energia che il corpo dee scambiare con l eserno in modo che i moi delle sue paricelle passino da quelli caraerisici per il primo sao a quelli caraerisici per il secondo sao. Calorico e caloria Tuaia, anicamene il calore era considerao come un fluido (calorico) che poea passare da un corpo ad un alro, e che dee essere somminisrao o sorao ad un corpo per far ariare la sua emperaura. Ciò è alla base dell inroduzione di alcune grandezze (es. la caloria), ancora in uso. Calorimero La quanià di calore che un corpo scambia con l ambiene può essere misuraa con uno srumeno chiamao calorimero.

203 5. Caloria, calori specifici Calore specifico La quanià di calore necessaria per far passare un corpo da una emperaura T ad una T (non disane da T ) è: ) proporzionale a (T -T ); ) proporzionale alla massa del corpo ; 3) dipende dalla naura del corpo Q cm( T T) c = calore specifico. Rappresena la naura del corpo nei riguardi della quanià di calore richiesa per ariare la sua emperaura (c m = capacià ermica del corpo). dq c mdt Per ariazioni infiniesime di T: Per ampie ariazioni di T: Q m T T c( T) dt Caloria: La scela di una unià di misura per le quanià di calore richiede la scela di: ) un inerallo di emperaura; ) una massa; 3) una sosanza. caloria = Quanià di calore richiesa per innalzare la emperaura di un grammo di acqua da 4,5 a 5,5 C. Unià del calore specifico: cal g - C - Calore specifico dell acqua: c acqua = cal g - C - Calore specifico a olume cosane ( c V ) e a pressione cosane ( c P ) Il calore specifico dipende anche dalla modalià con cui iene somminisrao il calore: a V o p cosane. In generale c P > c V : a pressione cosane si permee alla sosanza di dilaarsi compiendo laoro eserno, e pare del calore somminisrao iene uilizzao per compiere laoro di espansione. La differenza è imporane solo per i gas: nei solidi e nei liquidi il coefficiene di espansione ermica è molo piccolo e c P c V

204 6. Trasmissione del calore: conezione Trasmissione del calore La rasmissione del calore consise nel passaggio di quanià di calore da un corpo ad un alro, o da una pare di un corpo ad un alra. Essa aiene araerso re diersi meccanismi: conezione, conduzione e irraggiameno. Conezione La conezione è il modo di propagazione del calore a cui è associao moimeno di maeria: essa può presenarsi nei liquidi e negli aeriformi nei quali le paricelle sono libere di muoersi e cambiano densià con la emperaura. Descrizione quaniaia della conezione Quanià di calore rasmessa per conezione nell unià di empo, araerso la superficie S: Q K con S T Meccanismo della conezione d eccezione dell acqua al di soo di 4 C, l aumeno della emperaura produce una diminuzione della densià (aumena il olume a parià di massa). Per il principio di rchimede le paricelle calde endono a porarsi nella pare più eleaa della massa fluida e quelle più fredde nella pare inferiore. Si creano correni nella massa ed un rimescolameno in conseguenza dei quali il calore è rasmesso da una pare all alra del fluido. Esempi Liquido in una penola scaldaa sul fondo Impiani a ermosifone Correni oceaniche Impiani di enilazione Formazione dei eni Brezza di erra e brezza di mare

205 7. Trasmissione del calore: conduzione Conduzione La conduzione è il modo di propagazione del calore a cui non è associao moimeno di maeria. Si erifica soprauo nei solidi quando due corpi a diersa emperaura sono posi a conao o due pari dello sesso corpo si roano a emperaure dierse. Descrizione quaniaia Quanià di calore (Q) rasmessa nell unià di empo () araerso una qualsiasi sezione S di una sbarra di lunghezza l le cui esremià sono manenue a emperaure T e T differeni (legge di Fourier): Q K cond S T l Conducibilià ermica di alcune sosanze a T ambiene sosanza K cond (J m - s - C - ) T l S T Meccanismo microscopico Le molecole dei solidi, nel loro moo di agiazione ermica, oscillano aorno alla loro posizione di equilibrio con ampiezza proporzionale alla loro energia. La rasmissione di calore per conduzione corrisponde al rasferimeno di energia dalle molecole più calde alle molecole più fredde per inerazione fra molecole adiaceni. rame ferro e acciaio ghiaccio ero acqua pelle secca nee legno sughero polisirolo lana di ero aria

206 8. Trasmissione del calore: irraggiameno L irraggiameno è quel processo di rasmissione del calore nel quale l energia è rasporaa nello spazio fra un corpo e l alro mediane onde eleromagneiche (radiazione). Eleromagneismo

207 5. Termoregolazione del corpo umano

208 9. Termoregolazione La emperaura del corpo umano è relaiamene uniforme e cosane (a circa 37 C), indipendenemene dalle condizioni ambienali eserne. La conezione del sangue è il meccanismo principale con cui il corpo umano è in grado di manenere una emperaura quasi uniforme fra le sue pari. ffinché la emperaura del corpo resi cosane è necessario che la quanià di calore prodoo nel corpo sia uguale alla quanià di calore eliminaa (dissipaa) dal corpo araerso la superficie cuanea. quanià di calore prodoo nel corpo = quanià di calore eliminao (dissipao) dal corpo araerso la superficie cuanea La dissipazione del calore ha luogo per mezzo di re meccanismi: Dissipazione di calore per conduzione Se T ambiene < T corpo una pare del calore superfluo iene dissipaa per conduzione fra la pelle e l aria. Il calore dissipao per conduzione dal corpo è proporzionale a T corpo - T ambiene (legge di Fourier). Dissipazione di calore per irraggiameno 37 C il corpo umano emee nello spazio circosane radiazioni principalmene nel campo dell infrarosso. Se T ambiene < T corpo la quanià di energia emessa dal corpo per irraggiameno è superiore a quella assorbia. Il calore dissipao per irraggiameno dal corpo è approssimaiamene proporzione a (T corpo - T ambiene ) Dissipazione di calore per sudorazione e respirazione In enrambi i casi si ha eaporazione di acqua dalla superficie del corpo. Il calore necessario per l eaporazione del sudore (o dell acqua all inerno dei polmoni) iene sorao dal corpo. Il calore dissipao per eaporazione aumena all aumenare di T ambiene. Per emperaure eserne maggiori di 37 C, l eaporazione rimane l unico meccanismo di dissipazione del calore.

209 . Conribuo relaio dei meccanismi di dissipazione 3 C il calore iene eliminao per il 5% per conduzione, per il 7% per irraggiameno, e per il 5% per sudorazione. 3 C il calore iene eliminao per il % per conduzione, per il 45% per irraggiameno, e per il 45% per sudorazione. Per emperaure eserne maggiori di 37 C, l eaporazione rimane l unico meccanismo di dissipazione del calore.

210 Effeo sui meccanismi di rasmissione del calore Effei sul corpo e reazioni del corpo Precauzioni e Commeni Termoregolazione del corpo umano in presenza di condizioni ambienali esreme Condizioni ambienali mbiene freddo (emperaura eserna bassa) mbiene caldo (emperaura eserna eleaa) mbiene secco (umidià relaia bassa) mbiene umido (umidià relaia eleaa) la quanià di calore dissipaa dal corpo erso l eserno per conduzione ed irraggiameno ende ad aumenare. Per manenere la T cos. bisogna aumenare la produzione di calore nel corpo e diminuire la dissipazione erso l eserno. la quanià di calore dissipaa dal corpo erso l eserno per conduzione ed irraggiameno ende a diminuire. Per manenere la T cos. bisogna diminuire la produzione di calore nel corpo e aumenare la dissipazione erso l eserno. l eaporazione di acqua dalla superficie del corpo è foremene faoria l eleao grado di umidià osacola l eaporazione del sudore e rende la pelle e i esii migliori conduori di calore Per diminuire la dissipazione il corpo reagisce con una asocosrizione che ha l effeo di ridurre il rasferimeno di calore dall inerno alla superficie del corpo (ridurre la differenza di emperaura fra superficie del corpo e l aria circosane) e quindi di ridurre la sua dissipazione per conduzione. Ridurre la dissipazione di calore: esii basso coeff. cond. ermica. umenare la produzione di calore: esercizio fisico, cibo eleao conenuo calorico. Per aumenare la dissipazione di calore il corpo reagisce con la sudorazione e con una asodilaazione che ha l effeo di aumenare il rasferimeno di calore dall inerno alla superficie del corpo (aumenare la differenza di emperaura fra la superficie del corpo e l aria circosane) e quindi di aumenare la sua dissipazione per conduzione. umenare la dissipazione di calore: esii leggeri e larghi, enilazione, ombra. Ridurre la produzione di calore: riposo, cibi ridoo conenuo calorico. L eccessia siccià può proocare disurbi dell apparao respiraorio, poiché la noeole eaporazione all inerno delle ie respiraorie produce una pericolosa disidraazione di quese ie. E imporane manenere il giuso grado di umidià relaia (5-69%) nelle abiazioni Se l ambiene eserno è freddo, anche se è umido, l ambiene inerno delle abiazioni riscaldae può essere pericolosamene secco (l umidià relaia, a parià di umidià assolua, diminuisce all aumenare della emperaura) in presenza di un ambiene eserno molo caldo sarebbe necessario poer sudare abbondanemene, ma l eleao grado di umidià osacola l eaporazione del sudore, proocando una sensazione di caldo soffocane se l ambiene eserno è molo freddo, sarebbe necessario poer isolare il corpo dall ambiene eserno, menre inece l eleaa umidià rende la pelle e i esii migliori conduori di calore e quindi osacola la difesa dal freddo. In ambiene umido e difficile per il corpo difendersi dagli eccessi di emperaura. l conrario, in climi secchi il corpo umano è in grado di sopporare emperaure esreme molo meglio che non in climi umidi

211 5.3 Termodinamica

212 . Sisemi ermodinamici Sisema ermodinamico Sisema cosiuio da un gran numero di paricelle (aomi o molecole), oero, da un gran numero di gradi di liberà. Per quesi sisemi non è possibile deerminare lo sao di moo delle singole paricelle del sisema (microsao del sisema), applicando i meodi della meccanica. Il comporameno macroscopico del sisema può uaia essere descrio per mezzo di un numero limiao di grandezze globali (grandezze o ariabili di sao), fra le quali è compresa la emperaura. Termodinamica Lo sudio del comporameno di ali sisemi in processi in cui sono coinoli scambi di calore e/o ariazioni di emperaura è compio della ermodinamica. Classificazione dei sisemi ermodinamici Un sisema ermodinamico si dice: apero se consene uno scambio con l'ambiene eserno sia di massa sia di energia (ramie calore e/o laoro e/o alre forme di energia); chiuso se consene uno scambio di energia con l'ambiene eserno (ramie calore e/o laoro e/o alre forme di energia), ma non di massa; adiabaico quando non scambia calore con l'ambiene eserno; isolao se non permee uno scambio né di energia né di massa con l'ambiene eserno.

213 . Equilibrio ermodinamico Sao di equilibrio ermodinamico Un sisema ermodinamico si roa in equilibrio (o in uno sao di equilibrio ermodinamico) quando:. Le forze meccaniche che si eserciano sulle arie pari del sisema sono in equilibrio (equilibrio dinamico);. non c è moo macroscopico osserabile fra le arie pari: le singole paricelle del sisema si roano sempre in moo, ma ali moi non sono perceibili su scala macroscopica (equilibrio cinemaico); 3. ue le pari del sisema sono alla medesima emperaura (equilibrio ermico); 4. eenuali reazioni chimiche hanno raggiuno l equilibrio, nel senso che non c è uleriore ariazione di composizione (equilibrio chimico); 5. processi di cambiameno di sao (solidificazione, eaporazione, ecc.) hanno anche essi raggiuno l equilibrio (equilibrio fisico). Sperimenalmene si ossera che un sisema ermodinamico lasciao a se sesso (per esempio isolao dall ambiene eserno), dopo un empo più o meno lungo raggiunge uno sao di equilibrio. Microsao Configurazione microscopica del sisema a cui corrisponde un paricolare insieme di alori per le posizioni, le elocià e gli sai quanici delle singole paricelle. Naura dinamica dell equilibrio ermodinamico In condizioni di equilibrio ermodinamico, da un isane all alro, il sisema passa da un microsao ad un alro al quale corrispondono gli sessi alori delle grandezze globali che descriono lo sao di equilibrio ermodinamico (macrosao di equilibrio).

214 3. Variabili di sao, equazioni di sao Variabili di sao Lo sao di equilibrio ermodinamico è descrio per mezzo di un numero limiao di grandezze o parameri che prendono il nome di ariabili di sao (emperaura, olume, ec.): i alori che esse assumono per un cero sao di equilibrio sono caraerisici di quello sao e non dipendono dal modo in cui lo sao è raggiuno. Si ha una coppia di ali ariabili (una inensia, una esensia) per ciascuna maniera con cui il sisema può scambiare energia (meccanica, elerica, ermica, magneica, ec.) con l ambiene eserno, ad es.: - Energia meccanica legaa a forze di pressione: pressione (P), olume (V) - Scambio di calore: emperaura (T), enropia (S) - Scambio di maeria: poenziale chimico (), numero di moli (n) Equazioni di sao Le ariabili di sao non sono ue fra loro indipendeni. La naura del sisema fissa infai delle relazioni (equazioni di sao) fra esse. Si ha una di ali relazioni per ciascuna maniera con cui il sisema può scambiare energia con l ambiene eserno (per ciascun conao energeico). Il numero di grandezze di sao indipendeni (numero di grandezze meno numero di relazioni) è pari al numero di conai energeici. Lo sao del sisema può essere rappreseno da un puno in uno spazio con dimensionalià pari al numero di ariabili indipendeni (numero di conai energeici).

215 4. Il sisema gas perfeo Gas I gas sono sisemi ermodinamici che ipicamene possono scambiare con l eserno energia ermica ramie calore ed energia meccanica mediane il laoro delle forze di pressione. Per i gas si hanno quindi: conai energeici : laoro meccanico delle forze di pressione, scambio di calore 4 ariabili di sao: pressione (p), olume (V), emperaura (T), enropia (S); equazioni di sao ariabili di sao indipendeni: lo sao del sisema iene ipicamene rappresenao da un puno nel piano p-v (piano di Clapeyron). p p V V Gas perfei Le equazioni di sao dipendono dal gas considerao, uaia, ui i gas ad eleae rarefazioni ed ale emperaure mosrano il medesimo comporameno e per essi è sao inrodoo un modello ideale (gas perfeo) che ne riproduce il comporameno limie. Il gas perfeo si riiene formao da un gran numero di molecole che: si muoono con uguale probabilià in ue le direzioni obbedendo alle leggi della meccanica classica; occupano un olume rascurabile rispeo al olume oale occupao dal gas (paricelle puniformi); non scambiano forze ranne che durane gli uri con le alre molecole o con le parei del recipiene, e ali uri sono perfeamene elasici (non i sono cioè perdie di energia cineica). Equazione di sao dei gas perfei Per i gas perfei l equazione di sao che lega le ariabili p e V è noa come equazione di sao dei gas perfei e può essere ricaaa sperimenalmene: pv nrt R J K mol Cosane uniersale dei gas perfei

216 5. Trasformazioni ermodinamiche Trasformazioni ermodinamiche Cambiameni di sao di un sisema, oero, passaggio da uno sao iniziale di equilibrio ad uno sao finale anch esso di equilibrio. Trasformazioni quasi-saiche Trasformazione cosiuia da una successione di sai inermedi di equilibrio (per ciascuno dei quali sono definii i alori delle grandezze di sao). Il passaggio da uno sao inermedio coniguo al successio dee aenire in un empo sufficienemene lungo. Possono essere rappresenae graficamene mediane una linea coninua. Trasformazioni reersibili Una rasformazione si dice reersibile se olre ad essere quasi-saica, non è accompagnaa da processi dissipaii (arii, ec), ed eenuali scambi di calore con l eserno aengono con corpi (sorgeni) alla sessa emperaura del sisema (al momeno dello scambio). Una rasformazione reersibile può essere descria in senso conrario, inerendo la sequenza emporale degli sai di equilibrio. Trasformazioni irreersibili Trasformazioni che non sono quasi-saiche, o rasformazioni quasi-saiche, non reersibili. Trasformazioni cicliche Una rasformazione che ripora il sisema nello sao iniziale si dice ciclica.

217 6. Laoro nelle rasformazioni reersibili Laoro e ariabili di sao Durane le rasformazioni di un sisema, queso compie frequenemene laoro. Nelle rasformazioni quasi-saiche o in quelle reersibili ale laoro può essere calcolao mediane le grandezze di sao. Per una massa gassosa conenua in recipiene cilindrico chiuso da un pisone mobile di superficie S: rasformazione elemenare: dl Fdl psdl pdv rasformazione finia: L B B dl pdv S dl p F ps L B V Nel caso di più conai energeici, per ciascuno di quesi il laoro elemenare è dao dal prodoo della relaia ariabile inensia per il differenziale della ariabile esensia Conao energeico Variabili di sao Laoro elemenare Energia meccanica legaa a forze di pressione p, V pdv dl pdv dn Scambio di maeria, n dn

218 7. Esperienza di Joule Premessa lcune esperienze (es. quelle in cui è coinolo l ario) suggeriscono l idea che il calore prodoo in un rasformazione corrisponda ad una rasformazione di energia meccanica (o di alra specie) che sembra scomparire. Verifica Ogni ola che una daa quanià di energia meccanica (o di alra specie) scompare menre iene prodoo calore (senza che conemporaneamene appaiano alre forme di energia), la quanià di calore prodoa è sempre la sessa. pparao Un sisema di pale monae su un asse può ruoare in un cilindro pieno d acqua nel quale sono disposi alcuni diaframmi fissi. La roazione dell asse è deerminaa dalla cadua di pesi noi e l energia meccanica è dissipaa in calore per ario nel liquido. Il calore prodoo può essere misurao e rimosso, in modo da riporare il liquido nelle condizioni iniziali. Trasformazione Il sisema liquido ha subio una rasformazione ciclica durane la quale un laoro L è sao compiuo dall eserno sul sisema, e una quanià di calore Q rimossa. Risulao Il rapporo L/Q resa cosane qualunque sia L (massa dei pesi).

219 8. Calore ed energia Generalizzazione dell esperienza di Joule Lo sesso risulao si oiene in qualunque esperienza analoga, nella quale un sisema descrie una rasformazione ciclica in cui laoro iene compiuo sul sisema e calore prodoo: il rapporo L/Q resa cosane qualunque sia L. Equialene meccanico della caloria Si può quindi parlare di un equialene meccanico della caloria, indicao con J, e si può scriere fra laoro speso e quanià di calore prodoa in una rasformazione ciclica la relazione : L JQ J joule cal Dimensioni fisiche e unià di misura del calore Il calore ha le sesse dimensioni fisiche dell energia; l unià di misura nel S.I. è il joule. Conenzione sul segno del calore scambiao dal sisema Q Q se assorbio dal sisema se ceduo dal sisema all ambiene eserno

220 9. Primo principio della ermodinamica Un sisema ermodinamico compie dierse rasformazioni (reersibili o non) dallo sesso sao iniziale allo sesso sao finale B. Sperimenalmene si roa che: Il laoro L compiuo dal sisema e il calore Q scambiao dal sisema con l eserno dipendono dalla rasformazione seguia Laoro e calore non sono funzioni di sao Non si può parlare di laoro e di calore conenui in un corpo in un cero sao, ma solo di calore scambiao e di laoro compiuo dal sisema durane una rasformazione L energia oale scambiaa con l eserno (Q L) non dipende dalla rasformazione, ma solo dallo sao iniziale e da quello finale B della rasformazione Si può inrodurre una funzione di sao U, dea energia inerna U, ale che U B U = Q L Si può parlare di una energia oale (energia inerna) del sisema in un deerminao sao ermodinamico. Enunciao Per un sisema ermodinamico esise una funzione di sao, energia inerna, la cui ariazione quando il sisema passa da uno sao ad uno sao B dipende solo dagli sai iniziale e finale e non dalla rasformazione seguia: ale ariazione è pari all energia scambiaa con l eserno ramie il flusso di calore ed il laoro. p Espressione analiica rasformazione finia: rasformazione elemenare: B U B U Q L du dq dl V

221 . Il significao del primo principio della ermodinamica Quando un sisema ermodinamico compie una rasformazione da uno sao a uno sao B, il bilancio (Q L) dell energia (ermica e meccanica) che esso scambia con l ambiene non a in generale in pareggio (Q - L ). Lo sbilanciameno (Q L) iene uaia compensao da una ariazione dell energia (inerna) accumulaa dal sisema Se l energia complessiamene riceua dal sisema è maggiore di quella cedua (Q - L > ) l energia inerna aumena di una quanià pari proprio a Q - L. Se l energia esraa dal sisema è maggiore di quella che esso ha riceuo (Q - L < ), la differenza è saa fornia dal sisema, la cui energia inerna è diminuia di una pari quanià. In definiia il primo principio rappresena il principio di conserazione dell energia anche in presenza di scambi di quanià di calore e di rasformazioni di calore in alre forme di energia e iceersa. Il primo principio si può enunciare dicendo che l energia dell unierso resa cosane.

222 . Espansione libera di un gas perfeo gas C bagno ermomerico B uoo Esperienza di Joule Un gas perfeo, inizialmene conenuo nel recipiene, può espandersi liberamene nel recipiene B (inizialmene uoo) aprendo il rubineo C. Tuo il sisema è poso in un bagno ermomerico, ermicamene isolao dall eserno. Risulao sperimenale Nell espansione libera di un gas perfeo la emperaura resa cosane T cos. pplicazione del primo principio L Q U Il gas si espande liberamene Il sisema è adiabaico Q L U cos. Conseguenze Per i gas si hanno due ariabili di sao indipendeni ad es. T, V. Quindi ue le grandezze si posso esprimere mediane quese ariabili, in paricolare U(T,V). Nell espansione libera U resa cosane, menre V aria e T resa cosane. Legge di Joule L energia inerna di un gas perfeo è indipendene dal suo olume, ed è funzione esclusiamene della emperaura. U U(T)

223 . Secondo principio della ermodinamica Esisono ua una serie di processi in cui inerengono scambi di quanià di calore o rasformazioni di calore in alre forme di energia, che pur soddisfacendo il primo principio (conserazione dell energia), non aengono mai nella realà. Quese limiazioni sono l oggeo del secondo principio delle ermodinamica. Queso principio può essere espresso in arie maniere, ciascuna delle quali pone in eidenza un aspeo dierso con cui ali limiazioni si manifesano. E possibile però dimosrare che ue quese espressioni si equialgono, giacché una pora di conseguenza l alra. Enunciao di Kelin E impossibile realizzare una rasformazione il cui unico risulao sia solano quello di rasformare in laoro il calore esrao da una sorgene ermica. Enunciao di Clausius E impossibile realizzare una rasformazione il cui unico risulao sia solano quello di rasferire una quanià di calore da un corpo ad un alro a emperaura maggiore.

224 . Il significao del principio Il principio riconosce il fao che moli processi aengono sponaneamene in un erso ben preciso e che in al caso essi sono inrinsecamene irreersibili, nel senso che non è possibile realizzare una combinazione di processi naurali che riprisini esaamene lo sao iniziale del sisema. Esempio Il passaggio di quanià di calore da un corpo caldo a un corpo freddo aiene sponaneamene dal corpo caldo a quello freddo ed il II principio afferma l impossibilià di inerire il processo. T T Esempio In un pendolo porao fuori dalla posizione di equilibrio e lasciao a se sesso, il processo naurale è quello delle oscillazioni smorzae fino al riorno all equilibrio (quiee), con produzione di calore per ario e resisenze passie. Il processo non può aenire in erso opposo: esso richiederebbe un laoro oenuo per rasformazione di quanià di calore preleae dall ambiene (sorgene a T cos.) e ciò è ieao dal II principio. Trasformazioni reali In una qualsiasi rasformazione reale c è sempre rasformazione di una quanià di energia di alra specie in calore: esse risulano irreersibili giacché, per il II principio, la rasformazione inersa non può essere realizzaa. Le limiazioni espresse dal II principio sono legae alle cause che rendono i processi reali irreersibili e che di conseguenza fissano il erso delle rasformazioni sponanee dei sisemi.

225 . Trasformazioni reersibili Caraerisica delle rasformazioni reersibili elemenari. La quanià di calore elemenare dq che il sisema ricee è pari a quella fornia dalle sorgene eserna, non c è produzione di calore nel sisema per fenomeni dissipaii di ario (non c è rasformazione di energia di alro genere in calore).. La emperaura del sisema in queso processo coincide con quella della sorgene eserna (uno scambio di calore con differenza di emperaura fra sorgene e sisema genera fenomeni irreersibili, ad es. differenze di emperaura fra le pari del sisema). T T sorgene dq dq sisema

226 Trasformazioni reersibili (finie) Una rasformazione reersibile da uno sao ad uno B può essere consideraa come la somma di ane rasformazioni reersibili elemenari in cui il sisema, alla sessa emperaura T della sorgene eserna, scambia con quesa una quanià di calore dq. La emperaura e la quanià di calore possono ariare da rasformazione elemenare a rasformazione elemenare, ma in ogni rasformazione elemenare la emperaura della sorgene e del sisema è la sessa e la quanià di calore assorbia dal sisema è uguale a quella cedua dalla sorgene. dq T i T i dq T sorgene dq i dq i sisema T dq i T i B

227 3. Enropia Enropia Il calore Q non è una funzione di sao: fissai gli sai iniziale e finale del sisema il calore scambiao dal sisema con l ambiene eserno dipende dalla paricolare rasformazione fra quesi sai. La somma delle quanià dq/t, lungo ua una rasformazione reersibile, è inece indipendene dalla rasformazione e dipende solo dallo sao iniziale e dallo sao finale. E possibile allora inrodurre una funzione di sao, l enropia S, definia in modo che la sua ariazione fra due sai sia uguale a quella sommaoria: S B S B dq T re In ermini differenziali ds dq T re dq T dq T dq T 3 3 dqi T i dq T n n B lim n n i dq T i i B dq T re

228 4. Trasformazioni irreersibili e Disequazione di Clausius Caraerisica delle rasformazioni irreersibili elemenari. Esisenza di processi dissipaii, come l ario, che proocano rasformazioni di energia meccanica, elerica, ecc., in energia ermica (calore). La quanià di calore oale dq o riceua dal sisema è pari alla somma di quella riceua dalla sorgene eserna (dq es ) e quella prodoa (dq diss > ) nel suo inerno per rasformazioni di alri ipi di energia.. Esisenza di una differenza di emperaura fra sorgene e sisema. La emperaura della sorgene (T sorg ) è maggiore di quella del sisema (T sis ), se le quanià di calore sono cedue al sisema, è inece minore, se le quanià di calore sono cedue dal sisema. Disequazione di Clausius T+T sorgene dq es dq es T sisema S B S B dq T irr dq diss dq ds T irr

229 6. Enropia nei sisemi isolai Nelle rasformazioni reersibili l enropia di un sisema isolao (dq=) resa cosane: S B S B dq T re dq S S B S B S Nelle rasformazioni irreersibili l enropia di un sisema isolao (dq=) aumena: S B S B dq T irr dq S S B S B S Il sisema e l ambiene eserno (unierso) cosiuiscono un sisema isolao. Siccome le rasformazioni reali sono ue irreersibili si può dire che le rasformazioni aengono sponaneamene nel erso per cui l enropia dell unierso aumena, e non possono aenire mai sponaneamene nel erso opposo proocando una diminuzione di enropia dell unierso. Se per il primo principio della ermodinamica, l energia dell unierso è cosane, il secondo principio della ermodinamica equiale ad affermare che l enropia dell unierso cresce coninuamene (o al massimo resa cosane per rasformazioni reersibili).

230 7. Inegrale di Clausius ed Enropia dq T S S B re B re dq T S S B irr B irr irre. re. re. B