Esercizi risolti Teorema del CAMPIONAMENTO

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1 Esercizi risoli Teorema del CAMPIONAMENTO Esercizio 1 Si considerino 2 segnali a banda limiaa x1( ) con banda B 1 e x2( ) con banda B 2. Si cosruisca il segnale y () come: y () = x1() x2() Volendo applicare il principio del campionameno ad y (), quale è il valore minimo della requenza di campionameno c? Soluzione Es. 1 Il valore minimo della requenza di campionameno è 2 max Araverso l analisi dei graici dei 2 segnali al variare della requenza ho la conerma che il supporo di y( ) è uguale alla somma delle 2 bande B 1 + B 2 Alla sessa considerazione si arriva araverso il calcolo della convoluzione: y( ) = x1( ) x2( ) = x1( τ ) x2τdτ + Deinio quindi che la banda del prodoo di 2 segnali è uguale alla somma delle bande, la requenza di campionameno è uguale a B + B 2( 1 2) Esercizio 2 Si consideri il campionaore indicao in ig. 1 dove Tc = 1/ è il periodo di campionameno.

2 2.a) Dea B la banda di x(), analizzare lo spero del segnale campionao y () nei due casi: a) > 2B b) < 2B 2.b) Veriicare che nel primo caso il ilro inerpolaore opera correamene 2.c) Dire che ipo di disorsione si veriica nel secondo caso Soluzione Es. 2 2.a) y() è il segnale x() moliplicao per un reno di Dirac y () = x () δ ( KTc) K = si passa alla rasormaa di Fourier, cioè dominio della Frequenza, quindi si eeua la convoluzione. y( ) = X ( ) δ ( K) K = Lo spero del segnale, dopo la convoluzione, è uguale a X( K) k = 2.b) Somma degli speri raslai =2B 2.c) Se <2B le repliche si sovrappongono, si veriica quindi il enomeno dell Aliasing. Per eviare queso problema occorre ar precedere il campionaore da un ilro passa banda di valore B.

3 Quindi prima del campionameno applico il ilro che limia la banda. Esercizio 3 Il segnale π x ( ) = 2 + 2sin 5+ 6 deve essere campionao e ricosruio esaamene dai suoi campioni. 3.a) Qual è il massimo inervallo ammissibile ra 2 campioni? 3.b) Qual è il minimo numero di campioni necessari a ricosruire 1 sec di segnale? Soluzione Es. 3 Occorre calcolare la requenza del segnale sin 2 ( π + ϕ ) 5 = = 79.6Hz 2π min = 2 = 159.6Hz 3.a) Il massimo inervallo ammissibile ra due campioni è = msec = min 16 = 3.b) Il minimo numero di campioni necessari a ricosruire 1 sec di segnale è uguale alla requenza di campionameno cioè campioni Esercizio 4 Si consideri il segnale y x x x () = () + 1() + 2()

4 Con x1 = x π () () cos(2 ) x2 = x N π () () cos( 2 ) e x () sreamene limiao in banda a = 1 B y () deve essere campionao in modo ale da poer essere ricosruio dai suoi campioni. La requenza di campionameno è = 1KHz. Deerminare i valori di ed N ainchè: KHz 4.a) i segnali di ingresso siano speralmene separai 4.b) si abbia una perea ricosruzione di y () 4.c) N sia massimo Soluzione Es. 4 Analizzo lo spero di y () si veriica che è una somma di segnali quindi per conoscere il suo spero occorre eeuare are la rasormaa di Fourier la rasormaa della somma è la somma delle rasormae (linearià). Lo spero di un segnale requenza del coseno. x() = x cos( ) è uguale allo spero del segnale raslao della X ( ) viene quindi raslao a dx e sx di per una ampiezza 2B. 1 1 X 1( ) = X( ) + X( + ) a) Per eviare che i segnali si sovrappongano devo deinire 2B prima condizione Il secondo segnale è invece raslao di seconda condizione N e non si deve sovrapporre ( ) N 2B

5 4.b) 2 max max = N + B 2( N + B) 2B ( N 1) 2B N B 2 Sosiuisco con il valore =2KHz 2B= 2KHz ( N 1) 2B= 2KHz = = 2 c N B 5KHz 1KHz 4KHz 2 N 4 ( N 1) 2 4.c) Occorre rovare ed N in modo che N sia massimo, quindi pongo N = 4 Proviamo a calcolare N sosiuendo manenga vere le 3 disequazioni vincolae. = 2 N = 2 (valore minimo di ) e cercare quindi un valore che massimizzi N e = 3 N = 4 3 = 4 N = 1 Esercizio 5 Un segnale () x con banda limiaa B 5KHz = viene inviao all ingresso del sisema

6 La requenza di campionameno è = 2KHz. Il decimaore sopprime i campioni dispari di x(). Il ilro H( ) è un passabasso ideale, con banda B = 1KHz 5.a) Deerminare lo spero di z () in unzione di quello di x() 5.b) Dire se è possibile ricosruire x() da z (). Risoluzione es.5 Il decimaore prende solo i campioni pari. y () ha requenza c /2 perché elimino i valori dispari. = 2KHz H( ) = passabasso ideale 1KHz Con il decimaore gli speri si avvicinano. y () sarà un segnale con requenza uguale alla meà di c ' c = 1KHz ' 5.a) La requenza di campionameno è elevaa ed anche ridoa alla meà ( c) non risene di problemi di aliasing. Senza decimaore avrei avuo le repliche disani 1 Hz ed il ilro si sarebbe applicao esaamene ad x() 5.b) Posso ricosruire x() da z () ma devo resringere un ilro con B = 5KHz. Devo usare un ilro esremamene eicace, dalle caraerisiche molo vicine ad uno IDEALE.

7 Esercizio 7 Si consideri il segnale deerminao N x() = yi() i= dove yi() = xi()sin(2 π i + φ i). I segnali xi( ), i =,..., N hanno ui la sessa banda B, N è un numero sreamene posiivo, e φ i, i =,..., N sono cosani. ale per cui i segnali y() sono speralmene separai. 7.a) Trovare il minimo valore di i 7.b) Con ale valore di, deerminare, in unzione dei rimaneni parameri, la minima requenza di campionameno necessaria per poer ricosruire esaamene x() a parire dai suoi campioni. Risoluzione Es. 7 Per semplicià di calcolo chiamiano la variabile N x() = yi() i= come z (). Lo spero di z () è uguale alla somma dei riangoli dello spero. y x i() = i()sin(2 π i + φi) 7.a) min= 2 B = 2( N + B) = 2( N2 B+ B) = 2 B(2N + 1) 7.b) c min