Campionamento. Campionamento. esercizi. Segnale analogico. Segnale campionato. x(n)=x(nt c. con T c. : passo di campionamento e f c.

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1 Campionamento eserizi Campionamento x(t) x n Segnale analogio t x(n)x(n ) 0 N- n Segnale ampionato on : passo di ampionamento e / requenza di ampionamento x( t ) x( t )p( t ) p( t ) δ ( t n ) n x( t ) x( n ) δ ( t n ) n Il segnale ampionato è ormato da una sequenza di ampioni del segnale analogio

2 p(t) è periodio di periodo ed è sviluppabile in serie di Fourier p( t ) n δ( t n ) p( t ) k k j π t j t π ke e P( ) δ( k k k k ) k k jπ t p( t )e t jπ dt ( t )e k δ dt k k x ( t ) x( t )p( t ) X ( ) X ( )* P( ) X ( )* δ( ) X ( ) k k Lo spettro del segnale ampionato è la somma di ininite replihe del segnale analogio traslate di multipli interi di X ( ) X ( k ) k Se il segnale X() è a banda limitata e B Condizioni di non distorsione X() X () -B B - -B B È possibile idealmente riostruire il segnale originario partendo dai ampioni senza distorsione 4

3 X () - -B B H( ) 0 altrove x () t x( n ) δ ( tn ) n sinπ t ht () π t X ( ) X ( )H( ) x( t ) x( t )* h( t ) x( t ) n x( n ) sinπ( t n ) π( t n ) 5 Se non sono soddisatte le ondizioni di non distorsione è ALIASING: <B X () -B B In generale non abbiamo a he are on segnali in banda limitata ovvero nulli da un erto punto in poi prima del ampionamento iltro ANIALIASING Filtro antialiasing Se il iltro osse ideale (ret) riusirei a limitare perettamente la banda 6 t

4 Rimane sempre una porzione di segnale oltre / i ontributi delle replihe per k 0 nella banda del segnale utile non sono nulli: X () - - / / S X ( ) d X ( ) d 0 D X ( ) d + X ( ) d X ( ) d Energia (per segnali ad en inita) S D Rapporto segnale rumore 7 esempio Parte utile di segnale -5/ - - / / 5/ - - / /

5 Segnale utile - / / Disturbo S X( ) d X( ) d 0 D X( ) d + X( ) d X( ) d 9 Un metodo approssimato per segliere tale he la degradazione sia sotto una erta soglia è: X() / In / le replihe he si inontrano hanno lo stesso valore; supponendo he lo spettro vada veloemente a zero le replihe k> e k<- sono trasurabili un indie della distorsione è dato da X( /) Più X( /) è piolo minore è la distorsione introdotta X() X < a ( db ) / 0 5

6 Eserizio Si onsideri x(t)osπ0t e y(t)osπ0t. Si alolino gli spettri dei segnali ampionati alla requenza 40Hz jπ 0t jπ 0t e + e x( t ) osπ 0t jπ0t jπ 0t e + e y( t ) osπ 0t X ( ) δ( 0 ) + δ( + 0 ) X ( ) δ( 0 ) + δ( + 0 ) X() / Y() / Per non avere aliasing in x(t) >60Hz 40Hz è distorsione Per non avere aliasing in x(t) >0Hz 40Hz non è distorsione X () / Y () / X a ()Y a () / -0 0 Per entrambi si ha lo stesso segnale riostruito Xa( ) Ya( ) δ( 0) + δ( + 0) x () t y () t osπ0t a a 6

7 Eserizio Si onsideri un segnale x(t) avente spettro limitato alla banda (70,90)Hz. Si determini la minima requenza di ampionamento he permette di riostruire il segnale a partire dai suoi ampioni. X() (Hz) 70Hz 90Hz Siuramente se ampioniamo a > 840Hz non è aliasing Può essere trovata una requenza di ampionamento minore he garantise l assenza di distorsione. Si deve avere: ( ) Hz B 400 { Inoltre possiamo trovare tale he: k Hz e ( k ) Hz on k int ero 00Hz k 70Hz ( k + ) 90Hz on on on on k k k k 4 00Hz 400Hz 600Hz 4 800Hz ma 4 760Hz Quindi al massimo k k 70Hz 4 90Hz 480Hz 460Hz Hz,min 460Hz 4 7

8 Altra : Numero di replihe di segnale he possono stare tra l origine e 70 M 00 B Banda di guardia tra le replihe: (Hz) Spazi di guardia uniormi MB , 8Hz M +, 5, 5 Frequenza di ampionamento: / MB B , 8 4, 8 468, 56 M + / 5 Caso 460Hz (Hz) Caso 468,5Hz ,5 685,5 5,5 45, (Hz) Le ripetizioni dello spettro sono tutte separate 6 8

9 Eserizio E dato un segnale on spettro in igura: X() rovare la minima requenza di ampionamento he non da aliasing. (Hz) B 00Hz on k 00Hz K< k 60Hz ( k + ) 60Hz k 60Hz 60Hz 40 60Hz,min 40Hz Hz Hz Altre soluzioni: Bande di guardia uniormi tra le replihe MB Hz M M +, 5 5 B 00 MB B Hz Hz M + 48 Equivale a pensare di avere una banda un po più ampia del segnale in modo he: X() M B (Hz) B B int ero B B 60 B B B 0Hz Hz B 60Hz

10 X() Oppure: (Hz) X() (Hz) M B B int ero B B B 60 B B B 0Hz 0 40Hz B 40Hz 00 X() (Hz) 9 Eserizio Data la atena: x(t) ( ) w(t) A/D D/A y(t) Se x(t)os0πt e 40Hz determinare y(t). xt () os0π t osπ5t e + e π ( + π ) + 4 wt () os 5t os 0t jπ5t jπ5t W() / /4-0 0 Per non avere aliasing dovrei avere >60Hz W () / /

11 Y() / / /0Hz Y() / -0 0 Y( ) δ( ) + δ( 0) + δ( + 0) y( t) + os π0t os π0t 4 4 ( ) ( ) Eserizio Sono dati due segnali reali ontinui s (t) e s (t) on spettri: s (t) s (t) (Hz) Determinare la requenza di ampionamento per ui gli spettri dei due segnali ampionati sono indistinguibili..5 Devo are in modo he la omponente a Hz di s (t) ada in.5hz. s (t) deve essere distorto <6Hz s (t) deve non essere distorto >4Hz (Hz)

12 s, (t) - + (Hz) Hz - +,5Hz,5-(-) Hz4,5Hz s, (t) Se / è a metà tra Hz ( )e.5hz ( ) dopo il ampionamento i due segnali sono indistinguibili -.5 (Hz) Eserizio Si ha un segnale on spettro ino a 5KHz e densità spettrale di potenza uniorme e 7KHz determinare: A- quale è la porzione di spettro del segnale non distorta B- alolare il rapporto tra la potenza di segnale utile la potenza della distorsione in db S() -5 5 (khz) S () 7KHz -5-5 (khz) /,5 A- la porzione di spettro del segnale ampionato non distorta è [-,] KHz 4

13 S () È già uno spettro di potenza -5-5 (khz) Potenza del segnale utile: /,5 Pu S( )d d 7W, 5 Potenza del disturbo: 5 Pu S( )d + S( )d d W, 5 0 P SNR u lin 9 Pd P SNR log u db 0 0 9, 54dB Pd 5 Eserizio Dato: x( t ) X ( ) 0 e 5000 trovare tale he SNR db >0dB S 0 X( ) d 0 e 5000d 0 e 5000 d e N X( ) d 0 e 5000d e e e 0 S N e e 0 4 e 0 > 0 4 e 0 4 e 0 < ( 0 + ) 4 < ln( 00) 0 4 > 0 ln( 00) 6

14 Eserizio Dato un segnale on spettro ome in igura, determinare la minima requenza di ampionamento tale he non i sia aliasing e si possa riavare lo stesso segnale in banda base. X() B ( 5 4)Hz 80Hz k 4Hz ( k + ) 5Hz 4 5 on k Hz (Hz) K è dispari; lo spettro in BB è invertito, si deve moltipliare il segnale per (-) n k 5 5 4Hz 6 5Hz 9, Hz 7Hz 7 9, Hz,min 7Hz 7 x(t) x(n) y(n) (-) n n n jπ n jπn jπ n yn ( ) xn ( )( ) Y( ) xn ( )( ) e xne ( ) e n j π n( + ) x( n) e X( + ) X( + ) n n - / / 8 4

15 Eserizio Dato un segnale on spettro triangolare del tipo e on 0Hz determinare: -La distorsione dovuta alla sovrapposizione delle replihe X ( ) 0 > Hz -La banda in ui è possibile avere inormazioni sul segnale utile (non distorto) + < Hz D X ( ) d + d + d , 04 0 Banda in ui non è distorsione è: [-8,8] Hz Mentre la potenza utile va alolata in [-0,0] Hz 9 Eserizio Lo spettro di potenza di un segnale è del tipo : P( ) Ae 00 - Determinare la requenza di ampionamento in modo he la sovrapposizione spettrale sia sempre ineriore a /00 (onsiderare solo due replihe) / Considerando solo due replihe, il valore max di sovrapposizione si ha in / quindi: P( /) </ e e ln00 9Hz D e 00d 00e 00 00e