ESERCITAZIONI SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE

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1 ESERCITAZIONI SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE Ing. Matteo Sartini D.E.I.S. - Università di Bologna matteo.sartini@unibo.it Home: www-lar.deis.unibo.it/people/msartini Tel Matteo Sartini Progetto per Disretizzazione

2 Speifihe del Progetto: Si onsideri la dinamia del seondo ordine: G(s) = n n n s s Si onsideri un disturbo sull ingresso del Plant del tipo: d (t) = A[ sin( t)] Si rihiede di progettare un regolatore he onsenta di mantenere l usita del proesso il piú piolo possibile in presenza del disturbo e on un inertezza sulla pulsazione naturale del proesso del %. (Reiezione del disturbo pari a. volte) Parametri: n = rad/se, =., A =.3, = rad/se Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

3 Analisi del Problema: Risolviamo il problema tempo ontinuo. Lo shema è: - R(s) d (t) G(s) problemi: Reiezione al disturbo Funzione di Sensitività Stabilizzazione del proesso Margine di Fase PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE. Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3

4 Rihiami di teoria: Margine di fase: E il omplemento a 8 della fase del guadagno d anello alla pulsazione ritia: L(j ) = m [ ] = 8 arg L(j ) Im - m Re Se il margine di fase è positivo il diagramma di Nyquist non ironda sistema losed loop asintotiamente stabile. Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 4

5 Rihiami di teoria: Funzione di sensitività: Nello shema di seguito è la funzione di trasferimento tra l out del proesso ed il disturbo. Y(s) d(t) S(s) = = D(s) R(s)G(s) - R(s) G(s) Si dimostra sempliemente he:, S(j ) = L(j ) L(j ), > y(t) db Il sistema losed loop attenua solo disturbi on omponenti on omponenti spettrali minori della pulsazione ritia!!!! S L Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 5

6 Il Plant: Sistema del seondo ordine, oppia di poli omplessi oniugati on: n = rad/se. =. Bode Diagram Gm = Inf, Pm = 6.59 deg (at.8 rad/se) Phase (deg) Magnitude (db) db m 6 ( =.8 rad/se.) Step Response Amplitude Frequeny (rad/se). 4. Asintotiamente stabile Time (se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 6

7 Shema di retroazione lassio: Vogliamo riportari nel lassio shema: - R(s) d(t) G(s) - R(s) G(s) d(t) y(t) d(t) - R(s) G(s) G(s) y(t) - R(s) G(s) I d(t) y(t) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 7

8 Shema di retroazione lassio: Valutiamo il disturbo equivalente sull usita d (t) = d d = A A sin( t) Gradino Sinusoide Sovrapposizione degli effetti G() = db = G(j ) = db. = (t) = d d = A G() A G(j ) sin( t G(j )) I I I d Gradino Sinusoide Il nuovo disturbo, riportato sull out è anora un gradino di ampiezza.3 più una sinusoide di ampiezza.3 Il plant i aiuta sulle speifihe attenuando di un deimo il disturbo. Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 8

9 Modello Interno: Per ammazzare il disturbo a gradino (avere errore a regime nullo), inseriamo nel ontrollore un integratore (sistema di tipo ). R(s) = s L(s) = R(s)G(s) = ATTENZIONE: m = 57 4 s(s.4s 4) Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Gm = db (at rad/se), Pm = deg (at.33 rad/se) -8 Il sistema.l. è instabile!! 8 m -7 - Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 9

10 Funzione di sensitività: L(s) = R(s)G(s) = S(s) = L(s) 4 s(s.4s 4) Problemi della soluzione: Non attenua, bisogna aumentare la banda del guadagno d anello. (basta un guadagno). Instabile, bisogna rendere il margine di fase positivo. (serve uno zero he sfasa in antiipo). Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Gm = 3.58 db (at rad/se), Pm = 96.4 deg (at.36 rad/se) - Frequeny (rad/se) = db Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

11 Soluzione nel piano s: s z R(s) = K s I parametri del ontrollore vanno alolati i modo da imporre margine di fase del guadagno d anello positivo e valore del modulo del guadagno d anello alla pulsazione del disturbo pari a 4dB in modo he la funzione di sensitività abbia a quella pulsazione una attenuazione di 4dB (.) ome rihiesto da speifihe: K = z =. P has e (de g ) Magnitude (db) Bode Diagram - - Frequeny (rad/se) = Diagramma di Bode del guadagno d anello. 4dB Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

12 Soluzione nel piano s: Vediamo ome si omporta il sistema ontrollato:.6 Disturbo.7 x Disturbo (rosso) Usita (blu) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

13 Disretizzazione: Selta del tempo di ampionamento: regola empiria: s s 5 T = = mse. Disretizziamo il regolatore ad esempio mediante il metodo di Tustin: z 999 R(z) = z 35 x.5 Matlab: >>Regz=d(Reg,t, tustin ) Simuliamo il plant ontinuo on il regolatore disretizzato: INSTABILE!!! Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3

14 Disretizzazione: Errore tipio: Non abbiamo onsiderato il ritardo di mezzo tempo di ampionamento dovuto al riostruttore!!!!! Phase (deg) Magnitude (db) Inseriamo nella atena di ontrollo un termine he tiene onto di questo ritardo: Bode Diagram Gm = db (at 8.74 rad/se), Pm = deg (at rad/se) H(s) = T s m = < Frequeny (rad/se) - Analizziamo il nostro ontrollore onsiderando anhe il ritardo. R(s) L(s) = R(s)H(s)G(s) H(s) G(s) I d(t) y(t) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 4

15 Modifia del progetto nel piano s: Progettiamo in serie al ontrollore già sintetizzato una rete antiipatrie he mi renda il margine di fase positivo erando di mantenere le aratteristihe di sensitività al disturbo desiderate. - R(s) RA(s) H(s) G(s) I d(t) y(t) IMPORTANTE: Nel progetto per disretizzazione oorre sempre onsiderare l effetto della disretizzazione prima di progettare il ontrollore nel ontinuo, altrimenti rishiamo di mandare in instabilità il sistema losed loop senza aorgeri!!!! Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 5

16 Rihiami di teoria: Rete antiipatrie: E un sistema dinamio ad un polo ed uno zero: s D(s) = s p < = > p p Lo zero dà un antiipo di fase he viene ompensato alle alte frequenze dal polo. p m m m m = arsin = p Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 6

17 Progetto della rete antiipatrie: Vogliamo portare il margine di fase da 6 a 44. m m = 6 =.7 = 4 rad/se. Quindi le ostanti di tempo dello zero e del polo sono riavabili da: m = = p p =.64 =.43 In definitiva nel ontinuo il ontrollore totale è: s..64s R TOT (s) = s.43s Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 7

18 Prestazioni: Bode D iagr a m Gm = 5.89 db (at rad/se), Pm = deg (at 6.58 rad/se) Pha s e (de g ) Magnitude (db) Frequeny (rad/se) Funzione di sensitività. S(j disturbo) = 3.7dB Phase (deg) Magnitude (db) Diagramma di bode del guadagno d anello m 43 Bode Diagram Gm = Inf, Pm = -9.4 deg (at 47. rad/se) db Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 8

19 Disretizzazione (ZOH): Disretizzare il ontrollore ottenuto utilizzando il metodo delle differenze all indietro (zoh): per approssimare gli integrali si approssimano le aree on rettangoli all indietro. kt (k )T kt (k )T y(t)dt T y(kt ) x(t)dt T x(kt ) Im D(z) = D(s) z s = T Im piano s piano z Re Re Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 9

20 Disretizzazione (ZOH): Nessun problema di stabilità, notevole distorsione frequenziale: Matlab: >>Regz=d(Reg,t, zoh ) 8 Bode Diagram.5 R(z) -3 x = 373z 765z 346 z.z.997 Phase (deg) Magnitude (db) Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

21 Disretizzazione (FOH): Disretizzare il ontrollore ottenuto utilizzando il metodo delle differenze all avanti (foh): per approssimare gli integrali si approssimano le aree on rettangoli all avanti. kt ( k )T kt ( k )T y(t)dt T y((k )T ) x(t)dt T x((k )T ) Im D(z) = D(s) z s = T Im piano s piano z Re Re Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

22 Disretizzazione (FOH): Possibili problemi di stabilità: Matlab: >>Regz=d(Reg,t, foh ) 88 Pole-Zero Map R(z) = 69z 977z 368 z.z x 3.5 Imag Axis Real Axis Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione

23 Disretizzazione (Corrispondenza p-z): Disretizzare il ontrollore ottenuto utilizzando la relazione tra piano s e Piano z at (s a) ( e z ) at at (s a ± jb) ( e os(bt )z e z ) Fattorizzare D(s) Trasformare i singoli poli zeri. Introdurre tanti zeri in quanto è il grado relativo della D(s) (orrispondono a zeri all infinito in s). Sistemare il guadagno statio alle basse (filtri passa-basso) o alle alte frequenze (filtri passa-alto) Matlab: >>Regz=d(Reg,t, mathed ) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3

24 Disretizzazione (Corrispondenza p-z): Im Im piano s piano z Re Re x.5 R(z) = 596z 946z 35 z.z Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 4

25 Disretizzazione (Z-Trasformata on ZOH): Disretizzare il ontrollore ottenuto utilizzando il metodo della zeta trasformata on zero order hold signifia rihiedere al regolatore disreto e a quello ontinuo la stessa usita negli istanti di ampionamento quando in ingresso rievano un gradino. st e D(s) ( ) D(z) = Z D(s) = z s s ATTENZIONE AI FENOMENI DI ALIASING!!!! Filtro antialiasing. Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 5

26 Disretizzazione (Tustin): Disretizzare il ontrollore ottenuto utilizzando il metodo della trasformazione bilineare (Tustin): D(z) = D(s) = z s T z Im Im piano s piano z Re Re Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 6

27 Disretizzazione (Tustin): ATTENZIONE: la trasformazione bilineare introdue alle alte frequenze un fenomeno di distorsione frequenziale!!! 7 5 Bode Diagram 7 T tan = T Se le frequenze di interesse (banda passante del filtro) sono tali he ( ) T, allora tan T T e quindi. Phase (deg) Magnitude (db) Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 7

28 Disretizzazione (Tustin): Nel nostro aso, dato he il disturbo interviene una deade prima, per Siurezza effttuiamo il prewarp alla frequenza del disturbo: 5dB Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Matlab: >>Regz=d(Reg,t, prewarp,w) D(z) = D(s) per s= z T tan z =, si ha = Frequeny (rad/se) T R(z) = 863z 3439z 577 z.989z.7 Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 8

29 Filtro Antialiasing: Aliasing: fenomeno per il quale, mediante ampionamento si generano nuove armonihe alla stessa omponente della omponente spettrale del segnale di partenza. Tali armonihe impedisono la orretta riostruzione del segnale di partenza. Si può avere aliasing solo nel aso in ui la ondizione di Shannon non sia verifiata: s > Anhe il rumore, tipiamente segnale ad alta frequenza può, per effetto dell aliasing introdurre omponenti di segnale non desiderate nella banda utile. E quindi neessario introdurre filtri he eliminino tali omponenti. Filtri di Butterworth: filtri he presentano un guadagno il più possibile ostante nella banda passante. Il quadrato dell ampiezza in funzione della pulsazione è: Fa ( ) = n f ( ) = pulsazione di taglio, f n = ordine del filtro. Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 9

30 Filtro Antialiasing: Dato he: I poli sono alolabili da: ( ) ( ) ( ) F s = F s F s = a a a n ( s ) j f s j s j f n f ovvero: = = = j j k e e, k,,... j jk n n e e, k,,... = = = = j(n ) (n) jk n s fe e, k,,... I poli appartengono tutti al erhio entrato nell origine e di raggio E sono egualmente spaziati da un angolo di n f Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3

31 Filtro Antialiasing: Matlab: >>[num,den]=butter(n,w) >>filt=tf(num,den,t) (w ompreso tra e on pari a Metà della pulsazione di ampionamento) Bode Diagram - Nel nostro aso: n = 4 f = 3π Phase (deg) Magnitude (db) Frequeny (rad/se) Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3

32 Simulazione:.3.6 Disturbo (rosso) ed usita del.5 sistema (blu) x Matteo Sartini - Progetto per disretizzazione 3