Esempio guida per il progetto di regolatori

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1 Esempio guida per il progetto di regolatori Eseritazioni di Controlli Automatii LB Ing. oberto Naldi problema ontrollo della veloità di rotazione di un tappeto per allenamento speifihe veloità ompresa tra. e m/s statihe preisione statia > 95% errore a regime < 5% dinamihe tempo di assestamento T a5 < 2ms risposta al gradino aperiodia disturbi presenti disturbo di oppia impulsivo di Nm sistema di misura rumore sovrapposto alla misura Alta frequenza (Hz), intensità pari al ±% del segnale 2

2 Fasi di sviluppo di un progetto ) ostruzione di un modello del sistema dalle leggi fisihe 2) validazione del modello onfronto on rilievi sperimentali 3) analisi delle proprietà strutturali del modello e onfronto on le speifihe traiamento dei diagrammi di Bode del sistema individuazione delle orrezioni da apportare alla f.d.t. di anello per soddisfare le speifihe guadagno statio, variazione di banda, antiipi di fase,.. 4) progetto del regolatore tipologia del regolatore numero di poli, zeri, guadagno taratura del regolatore valore del guadagno, posizionamento di poli e zeri 3 Modello 4

3 La modellazione dell'effetto dell'atleta in allenamento è omplesso. Lo assimiliamo ad una forza resistente di tipo impulsivo (f) agente sul nastro mobile, he va a sommarsi all'attrito visoso del nastro Parametri generali. < v< m/s massa del nastro mobile Kg inerzia dei rulli J.43Kgm 2 inerzia delle pulegge J P 5gm 2 raggio pulegge e rulli r,8 m riduttore : f N attrito del nastro β2n/(m/s) veloità del tappeto (v) v r sistema pulegge+ inghie motore + riduttore tappeto f veloità del motore () 5 Voglio riportare tutte le grandezze al motore in modo da avere un motore ideale on un ario equivalente al tappeto momento di inerzia equivalente al nastro ed alle pulegge J oppia di ario equivalente ad f motore r v tappeto f 6

4 Calolo dell'inerzia e della oppia equivalenti v tappeto f J eq β eq Attrito volvente Motore ideale J β M eq Mediante bilanio di potenza si riportano tutte le grandezze dinamihe e inematihe al motore elettrio. 7 Calolo dell'inerzia e della oppia equivalenti La massa m a veloità v, le due inerzie J e le due inerzie J P a veloità e l inerzia del motore J M si trasformano in un inerzia equivalente J eq a veloità. Bilanio delle energie inetihe mv + 2 J + 2 JP + JM Jeq v r ; 2 r 2 2 r r r mr 2J + 2J p J Jeq + J M 2, 6 K g m 3 2 8

5 Calolo dell'inerzia e della oppia equivalenti Il oeffiiente d attrito lineare β è trasformato in un oeffiiente d attrito rotativo riportato al motore. βvv β eq v r ; β r β βeq N m /( rad/s) 2 r r Nota: r raggio delle pulegge r oeffiiente di riduzione r max vmax 25 rad / s min 2.5rad / s r f r.8nm r Nuove speifihe 9 motore a ollettore a magneti permanenti v Parte elettria i equaz. di oppia Parte meania, ϑ i J β v L forza ontroelettromotrie di v + dt K e attrito aelerazione Ki i+ L K e m m d β + J + dt disturbo

6 V - i m K + - Ls+ + Js + β l r V + K m ( Ls+ )( Js+ β) 2 m ( Ls+ )( Js+ β) Js+ β 2 m + ( Ls+ )( Js+ β) K e K LJs L J s K m ( β + ) + β + m Ls+ 2 2 LJs + ( Lβ + J ) s+ β + Km () (2) K m K K e { } Ω L H K V rad s Nm A 3 2 ; ; m /( / ); / J Kgm β Nm rad s * ; 4* /( / ) Shema a blohi.94 ( +.46s).97 V + ( +.5s)( +. 46s) - V G G + - Speifihe 2.5 < < 25 rad/s errore a regime < 5% tempo di assestamento <2ms oppia di disturbo.8 Nm risposta aperiodia sp - e G G Shema di ontrollo + - 2

7 speifihe nel dominio delle frequenze Definizioni: guadagno statio del regolatore v.97 guadagno statio di G.94 guadagno statio di G Speifihe statihe in frequenza e max *.8 sp sp max + v + v + L j < 6.25 Speifihe statihe nel dominio del tempo 2.5 < < 25 rad/s errore a regime < 5% statihe.8 Nm L( j) 2.5 ( ) Per max e + L( j) L( j) Per + min < L( j) L ( j ) 2. 5 La situazione peggiore è quella in ui si ha la minima veloità il disturbo inide di più Arrotondiamo L( j ) 25 L( j ) 28dB 3 speifihe nel dominio delle frequenze Speifihe dinamihe nel dominio del tempo max 25 rad/s risposta aperiodia tempo di assestamento T a5 <2ms Speifihe dinamihe in frequenza 3 Ta 5 δn 3 5 δ n.2 * δ 25 δ.7 Una risposta aperiodia rihiede he: dalle proprietà della f.d.t. del sistema in retroazione le radii del sistema hiuso in retroazione abbiano δ dalle proprietà della risposta armonia del sistema in atena aperta la funzione di trasferimento d'anello L(j) abbia margine di fase > 7 Un tempo di assestamento inferiore ai 2 ms rihiede he: dalle proprietà della f.d.t. del sistema in retroazione le radii del sistema hiuso in retroazione abbiano n > 25 rad/s dalle proprietà della risposta armonia del sistema in atena aperta la funzione di trasferimento d'anello L(j) abbia una frequenza di attraversamento > 25 rad/s 4

8 Caratteristihe del sistema rispetto alle speifihe Speifihe nel dominio delle frequenze L(j) > 28 db > 25 rad/s Margine di fase > G (j) /τ em /τ e (s) (s) 2/s Struttura a due stadi del regolatore (s) Per semplifiare il progetto è opportuno onsiderare le speifihe statihe e dinamihe separatamente, in due fasi di progetto distinte ( s) ( s) ( s) 2 ( ) s 2 ( ) s s r s d i i ( + Ts i ) ( + τs) i il regolatore si spezza in due parti Semplie serve per soddisfare la speifia statia Più omplesso serve per soddisfare le speifihe dinamihe a fase - progetto di si selgono il guadagno ed r per soddisfare le speifihe statihe 2 a fase - progetto di 2 si progetta 2 per assiurare la stabilità ed il rispetto delle speifihe dinamihe se r (regolatore proporzionale) s e d se r > (regolatore integrale) s e d 6

9 Soluzione n. ete di itardo (Formule di Inversione) 7 Soddisfiamo le speifihe statihe on il guadagno neessario per garantire l errore a regime desiderato. Il guadagno statio del regolatore dinamio è vinolato a. 4 2 s è l attenuazione neessaria per tagliare nel punto indiato Frequeny (rad/se) 8

10 Senario A M.6< 25 rad/s ; MF85 ϕ 39 osϕ.7784> M M s Formule di inversione per rete di ritardo ϕ τ osϕ M sinϕ M osϕ α τ sin ϕ 9 Funzione d anello 4 2 s d + ατs + τs ατs τs

11 isposta temporale T a Analisi delle ode d assestamento No ode

12 Soluzione n. 2 ete di itardo (Tuning pratio) 23 Soddisfiamo le speifihe statihe on il guadagno neessario per garantire l errore a regime desiderato. Il guadagno statio del regolatore dinamio è vinolato a. 4 2 s è l attenuazione neessaria per tagliare nel punto indiato Frequeny (rad/se) 24

13 Senario A: utilizziamo una rete di ritardo per imporre l attraversamento alla frequenza desiderata (erando di un ritardo di fase aettabile). Progettiamola mediante tuning pratio In base al guadagno del sistema esteso alla pulsazione di attraversamento desiderata alolo α. Posiziono poi il polo della rete una deade prima della frequenza di attraversamento per non introdurre ritardo di fase. α τ 2 α 25 Funzione d anello 4 2 s d + ατs + τs ατs τs

14 isposta temporale Coda Analisi delle ode d assestamento

15 Soluzione n. 3 PI 29 Soddisfiamo le speifihe statihe on un integratore: i garantise l errore a regime nullo a fronte di riferimenti e disturbi a gradino (ostanti). Il guadagno statio omplessivo del regolatore rimane libero s s

16 Analisi dello senario 5 Gm 67.8 db (at rad/se), Pm deg (at rad/se) Senario B E neessario introdurre antiipo di fase, per ui aggiungiamo uno zero Selta la pulsazione di attraversamento, determino l antiipo di fase e il guadagno del regolatore 5-5 Gm 67.8 db (at rad/se), Pm deg (at rad/se) 25 rad / s ϕ 46 o ϕ ϕ z atan( τ ) z τ tan( ϕ) Antiipo di fase dello zero -/τ z alla pulsazione 32

17 Calolo del guadagno neessario Calolo amplifiazione introdotta dallo zero in (diagramma o formula) Quello he resta per arrivare a è dato dal guadagno 5 Gm 67.8 db (at rad/se), Pm deg (at rad/se) ϕ µa db 2 ( ) + ( τ ) 2 A τ z Guadagno dello zero -/τ z alla pulsazione z Funzione d anello d s s ( s) µ + τ z ( + zs) µ τ s

18 isposta temporale T a Soluzione n. 4 Integratore + ete Antiipatrie (Per anellazione) 36

19 Senario B Gm 67.8 db (at rad/se), Pm deg (at rad/se) Posizioniamo lo zero della rete (τ) per anellare il polo più lento prima della pulsazione di attraversamento (polo meanio). Segliamo la frequenza di attraversamento. Fissiamo il massimo ritardo introduibile da un polo in e aloliamo dove posizionare il polo. Utilizziamo il guadagno del regolatore (anora libero) per imporre l attraversamento in rad/s ; MF Sistema esteso + zero Sistema esteso tan( ϕ) α τ ϕ ( ) ( ) τ.46 per anellazione del polo lento α.2 per soddisfare MF 38

20 Da senario B a senario A. db -2-4 µ L( s) s s +.5s +.46s + α.46s ( )( ) 39 Funzione d anello d s s + τems + ατ s em + τems µ s + ατ s em

21 Analisi delle ode d assestamento No ode isposta temporale T a

22 Confronto tra soluzioni: ) PI 2) I+A per anellazione 3) P+ on formule inversione PI I+A (an)

23 Funzioni di sensitività omplementare -5 - I+A (an) PI Funzioni di sensitività del ontrollo PI I+A (an)

24 2 Funzioni di sensitività (SG / (+L)) I+A (an) PI Speifihe realizzative Saturazione dell attuatore a ± 5 Volt (V K m max ) N.B. Quando l attuatore è in saturazione il sistema è in atena aperta on ingresso ostante a ± 5 Volt. umore di misura in alta frequenza: attenzione alla nervosità del ontrollo. wsp Pulse Generator G LTI System To Worspae Gv Step LTI System2 Saturation LTI System Sope w To Worspae u Sine Wave Clo To Worspae4 t To Worspae3 V To Worspae2 48