lim5 lim LIMITE DI UNA FUNZIONE - TEORIA Limite finito per una funzione in un punto ( Limite finito per x che tende ad un numero finito ) x x lim lim

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1 LIMITE DI UNA FUNZIONE - TEORIA Se () è una unzione reale, e ed l sono dei numeri reali, dire che «l è ite di () per tendente a» equivale a dire che «se è molto prossimo, ma non identico, a, allora () è molto vicina a l». Si esprime questo atto con la scrittura: ( ) l Limite inito per una unzione in un punto ( Limite inito per che tende ad un numero inito ) Si dice che la unzione (), per tendente a, ha per ite il numero l, e si scrive: ( ) l quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo ε, si può sempre determinare un intorno completo H del punto, tale che, per ogni di H, escluso eventualmente, risulti soddisatta la disequazione: cioè le disequazioni: ( ) l < ε ( ) < l ε l ε < Esempi Calcolare i seguenti iti: ) ( 7 ) ; ) ; ) ln ; ) ) 8 ) ( 7 ) 7 ( 7 ) ) ; ) ln ln ln

2 ) ) Il risultato è una orma indeterminata. La unzione, in eetti, in non è deinita. Per calcolare il ite dobbiamo cercare di togliere l indeterminazione, per esempio scomponendo il numeratore: 8 ( )( ) 8 ( ) 6 In sintesi la unzione per non esiste, ma il suo valore tende a quando la si avvicina a. Una conerma empirica di quanto sopra asserito ci viene andando a calcolare il valore della y dando alla dei valori sempre più prossimi a :,,6,7,8,,,6,, y,,8,,,7,7,88,7,7,,,,,,7,,, y,,,,6,,,,6, Come si vede il valore della unzione si avvicina a. Oltre al calcolo di un ite può essere invece richiesta la veriica del valore di un ite. Facciamo dei semplici esempi. Veriicare che risulta ( ) Per veriicare ciò, dobbiamo provare che in corrispondenza di un numero ε >, arbitrario e comunque piccolo, la seguente disequazione ( ) < ε () Sia soddisatta per tutti i valori della che ormano un intorno completo del punto.

3 La disequazione (), che si può anche scrivere: < ε < ε, equivale a: ε < < ε che si risolve dividendo i membri per : ε ε < < che orma un intorno completo del punto. Abbiamo quindi provato che, in corrispondenza al numero issato ε, esiste un intorno completo H ε ε ε ε del numero,,, per ogni valore del quale, cioè per,, risulta soddisatta la (). Ciò vuol dire, per deinizione di ite, che vale il ite proposto. Veriicare che risulta A tale scopo, in base alla deinizione data, dobbiamo ar veder che, issato un qualsiasi numero positivo ε, la disequazione < ε, ossia il sistema ε < < ε è soddisatta per tutti i valori della (escluso al più ) che ormano un intorno completo del punto. Applicando ai membri di queste diseguaglianze i logaritmi di base e considerando ε < (il che non è restrittivo), risulta: ( ε ) < log < log ( ε ) log da cui ( ε ) < log < log ( ε ) log, essendo log ε < < log ε, e questi valori ormano eettivamente un intorno dello zero. Per esempio con ε, otteniamo: log, si ha ( ) ( ) (,) log,, e (,) log,, 8 log e ],;,8 [, quindi è dimostrato che. log Veriicare che risulta ( ) Dobbiamo provare che, in corrispondenza ad un ε >, la disequazione < ε, cioè < ε è soddisatta per tutti i valori della che ormano un intorno completo del punto. Ossia il sistema: ε < < ε < ε > ε

4 < ε < ± < < I) ( ε ) ε ε ε ε > > ± < > II) ε ( ε ) ε ε ε ε Le soluzioni del sistema sono: ε < < ε e ε < < ε Tra le due soluzioni, la seconda è un introno di, e quindi il ite è veriicato. Inatti se per esempio scegliamo ε, avremo:, < <,, < < 8,,8 < <, che non è un intorno di ;, < <, 8, < <,, < <,8 che, invece, è un intorno di. Veriicare che risulta ( ) Dobbiamo provare che, in corrispondenza ad un ε >, la disequazione ( ) < ε, cioè < ε è soddisatta per tutti i valori della che ormano un intorno completo del punto. Ossia il sistema: ε < < ε < ε > ε I) < ε ε < ε ε ε 8 ( ) ε ± 8 ε 8 ε < < 8 ε, II) > ε ε > ε ε ε 8 ( ) ε ± 8 ε 8 ε < < 8 ε, Le soluzioni del sistema sono: 8 ε < < 8 ε e 8 ε < < 8 ε Ma nessuna di esse è un intorno di e quindi il ite non è veriicato. Cioè ( ).

5 Inatti se per esempio scegliamo ε, avremo: 8, < < 8, 8, < < 7,,8 < <,8 che non è un intorno di ; 8, < < 8, 7, < < 8,,8 < <,8 e anch esso non è un intorno di. Limite ininito per una unzione in un punto ( Limite ininito per che tende ad un numero inito ) Si dice che la unzione (), per tendente a, ha per ite l ininito, e si scrive: ( ) quando, in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo M, si può sempre determinare un intorno completo H del punto, tale che, per ogni H, distinto da, risulta ( ) M > cioè la () assume valori, in valore assoluto, maggiori di M. Esempi Calcolare i seguenti iti: ) ; ) ; ) ( ) ; ) sin cos. π ) ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; π sin sin sin ) π cos π π cos cos

6 Consideriamo la unzione del secondo esempio y, sappiamo essa è deinita per ogni valore della diverso da. Ma vogliamo vedere quale è il suo comportamento quando la si avvicina al numero :,,,,,, y,,7,8,,,7, y -, -, -, -, -, - Come si vede il valore della unzione tende a volere sempre più grandi. Come prima, oltre al calcolo di un ite può essere richiesta la sua veriica. Facciamo un semplice esempio. Veriicare che risulta A tale scopo bisogna ar veder che la disequazione > M è soddisatta, qualunque sia il numero M >, da valori che ormano un intorno del punto, escluso, s intende, il numero. < M Ossia occorre veriicare il seguente sistema: > M I) < M > M > M II) > M < M < M La soluzione del sistema < < è proprio un intorno di. M M Quindi il ite è veriicato.

7 Limite inito per una unzione all ininito ( Limite inito per che tende ad all ininito ) Si dice che la unzione (), per tendente all ininito, ha per ite il numero l, e si scrive: ( ) l quando, in corrispondenza ad un arbitrario numero ε >, si può sempre determinare un numero N >, tale che per ogni veriicante la condizione: N >, si abbia: ( ) ε < l, cioè i corrispondenti valori della () dieriscano tutti da l, in valore assoluto, meno di ε. Esempi Calcolare i seguenti iti: ) ; ) ; ). ) ( ) )

8 ) ( ) In generale si veriica che: A( ) data la unzione y dove A ( ) un polinomio di grado k e ( ) B( ) A( ) B( ) è uguale al ite del rapporto ra i termini di grado massimo di A ( ) e di B ( ) se se se k > h,il valore del ite è B un polinomio di grado h,. In particolare: k h,il valore del ite è il rapporto ra i coeicienti dei termini di grado massimo k < h,il valore del ite è Limite ininito per una unzione all ininito ( Limite ininito per che tende ad all ininito ) Si dice che per tendente all ininito la unzione () ha per ite il numero l, e si scrive: ( ) quando in corrispondenza ad un arbitrario numero M >, è sempre possibile determinare un numero N >, tale che per ogni veriicante la condizione: > N, si abbia: ( ) > M, cioè i corrispondenti valori della () siano tutti, in valore assoluto, maggiori di M. Casi possibili: ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ).

9 Esempi Calcolare i seguenti iti: ) ln( ) ; ) ) ( ). ; ) ; ) ; ) ln( ) ln( ) ln( ) ) ; ) ; ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) Dagli esempi n. e n. possiamo generalizzare il procedimento e renderlo più sintetico, cioè: n n n ( a b... k ) a n n in pratica il polinomio a b... k, per, si comporta come il suo termine di grado n n massimo a ; quindi basta studiare il a. Le orme indeterminate Capita spesso di avere a che are con iti nei quali, applicando le regole sul calcolo con gli ininiti si evidenziano operazioni cui non è possibile attribuire un risultato senza ulteriori approondimenti. Le operazioni cui non si attribuisce alcun signiicato sono: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ± ) ± ± ± ( ) Alcune le abbiamo già incontrate ( e ). Esse saranno studiate in seguito in modo più approondito.