Soluzioni degli esercizi su sistemi di equazioni dierenziali e alle dierenze 4. Corso di Metodi Matematici per le Scienze Economiche e Finanziarie

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1 Sluzini degli esercizi su sistemi di equazini dierenziali e alle dierenze 4 Crs di Metdi Matematici per le Scienze Ecnmiche e Finanziarie Prf Faust Gzzi Es a I punti critici sn le sluzini del sistema x + = x + = Otteniam i punti Per studiare i punti critici e la cngurazine delle rbite in un lr intrn pssiam usare stt pprtune iptesi il metd di linearizzazine Il sistema assegnat è della frma x = fx = gx Scriviam la matrice Jacbiana Jx = fx x f x g x x g x = Valutiam la matrice Jacbiana nei punti di equilibri e studiam la stabilità dell'rigine nel sistema linearizzat Si ha che det J = pertant è nn degenere e pssiam quindi applicare il metd di linearizzazine che sicuramente ptrà frnire infrmazini sulla stabilità Calcliam gli autvalri della matrice J ttenend λ = λ = Dat che un autvalre è psitiv e un è negativ è un punt di equilibri instabile Studiamne la natura vver studiam la natura dell'rigine nel sistema linearizzat e trasferiam le infrmazini ttenute in infrmazini sulla cngurazine delle traiettrie del sistema nn lineare riginale in un intrn di Dat che det J = < quindi l'rigine è un clle sella per il sistema linearizzat e l è per il sistema riginale Si ha che det J = pertant è nn degenere e pssiam quindi applicare il metd di linearizzazine che sicuramente ptrà frnire infrmazini sulla stabilità Calcliam gli autvalri della matrice J ttenend λ = ± i Dat che Re λ = > è un punt di equilibri instabile Inltre dat che trj = l'rigine è un fuc instabile per il sistema linearizzat e l è per il sistema assegnat b I punti critici sn le sluzini del sistema x + x = = Otteniam i punti Calcliam la matrice assciata al sistema linearizzat nei punti di equilibri vver la matrice jacbiana + x x Jx = valutata nei punti Si ha che det J = pertant è nn degenere e pssiam quindi applicare il metd di linearizzazine che sicuramente ptrà frnire infrmazini sulla stabilità Calcliam gli autvalri della matrice J ttenend λ = λ = Dat che sn entrambi reali negativi è un punt di equilibri lcalmente asintticamente stabile Inltre dat che det J = >

2 l'rigine è un nd a tangenti asintticamente stabile per il sistema linearizzat e l è per il sistema assegnat Raginand e prcedend cme prima si trva che è un punt di equilibri instabile per il sistema si ttengn un autvalre negativ λ = e un psitiv λ = In particlare è un clle Es Prcedend cme nell'esercizi precedente per studiare la stabilità del punt di equilibri calcliam la matrice jacbiana valutandla in Si ha xe x e Jx = x J = Dat che det J = l'rigine è nn degenere e pssiam applicare il metd di linearizzazine Gli autvalri sn λ = ± pertant è instabile sia per il sistema linearizzat che per quell di partenza In particlare è un clle Per studiare la stabilità del punt di equilibri calcliam la matrice jacbiana relativa al secnd sistema: 4x Jx = valutandla in Si ha J = Dat che det J = l'rigine è nn degenere e pssiam applicare il metd di linearizzazine Gli autvalri sn di nuv λ = ± pertant è instabile sia per il sistema linearizzat che per quell di partenza In particlare è un clle Es Anché l'rigine sia un punt di equilibri deve sddisfare il sistema x sin + e = x = Basta quindi andare a sstituire al pst di x per vericarl banalmente Per studiare la stabilità prcediam cme negli esercizi precedenti Cnsideriam cs + e Jx = valutata nel punt ie J = Si ha che det J = pertant prcediam cl metd di linearizzazine Calcland gli autvalri tteniam λ = ± C'è un autvalre psitiv pertant è un punt di equilibri instabile sia per il sistema linearizzat che per quell di partenza In particlare è un clle Es 4 a Rislviam il sistema xx = x + = ttenend l'unic punt di equilibri Per studiare la stabilità del punt di equilibri calcliam la matrice jacbiana per cercare di applicare il metd di linearizzazine: x x Jx = Valutiamla in : J =

3 Si vede che det J = pertant l'rigine è un punt di equilibri degenere In quest cas nn pssiam applicare il metd di linearizzazine pertant nn pssiam dire nulla a priri b Rislviam il sistema x x = 6 x = ttenend i seguenti punti di equilibri: 6 4 Calcliam la matrice jacbiana x x Jx = 6 x e valutiamla di vlta in vlta nei diversi punti di equilibri Si ha J = 6 cn det J = pertant pssiam applicare il metd di linearizzazine Gli autvalri sn le due radici reali e distinte λ = λ = 6 per cui l'rigine è instabile Inltre dat che det J > è un nd a tangenti sia per il sistema linearizzat che per il sistema di partenza 6 Si ha 4 J 6 = 6 cn det J 6 = 4 pertant pssiam applicare il metd di linearizzazine Gli autvalri sn le due radici reali e distinte λ = 4 λ = 6 entrambe negative per cui l'rigine è asintticamente stabile per il sistema linearizzat e cnseguentemente 6 è lcalmente asintticamente stabile per il sistema riginale Inltre det J 6 = 4 > per cui è un nd a tangenti Si ha J = cn det J = 4 Calcland gli autvalri tteniam λ = ± pertant è instabile per entrambi i sistemi Essend det J = 4 < in particlare è un clle 4 Si ha 4 4 J4 = 4 cn det J4 = 8 Calcland gli autvalri tteniam λ = ± i 7 cn Re λ = < pertant l'rigine è asintticamente stabile per il sistema linearizzat e 4 è lcalmente asintticamente stabile per il sistema di partenza Inltr e dat che trj4 = l'rigine è un fuc asintticamente stabile per il sistema linearizzat e 4 l è per il sistema di partenza Es 5 Prcedend cme negli esercizi precedenti si trvan i punti di equilibri che sn e Calcliam la matrice jacbiana: Jx = x Si trva che è un punt di equilibri instabile in particlare un clle Essend l'rigine un punt di equilibri stabile ma nn asintticamente stabile nn si può dire mlt Infatti dat che trj = l'rigine è un centr stabile per il sistema linearizzat mentre può essere un centr ppure un fuc per il sistema riginale Per disegnare qualitativamente le traiettrie può essere utile tracciare sul grac anche le iscline le curve di equazine fx = gx = isclina a tangente verticale isclina a tangente rizzntale

4 le cui intersezini cincidn cn i punti di equilibri dve f e g sn date dal sistema x = fx = gx In quest cas le iscline sn: x = x + = isclina a tangente verticale isclina a tangente rizzntale 4 =x = x + x Figura : Le iscline per il sistema ed rientament del camp vettriale Evidenziand i punti di equilibri tracciand le iscline etichettand i vari settri individuati ed rientand il camp vettriale si può indvinare l'andament delle traiettrie in quest cas relativamente al prim quadrante Es 6 Prcedend cme negli esercizi precedenti si trvan i punti di equilibri che sn e Calcliam la matrice jacbiana: 4 Jx = x Si trva che è un punt di equilibri lcalmente asintticamente stabile in particlare un nd a tangenti Si trva che è un punt di equilibri instabile in particlare un clle Equazini delle iscline: x + = = x = x = = = x isclina a tangente verticale isclina a tangente rizzntale Rappresentiam gracamente le iscline evidenziand i punti di equilibri e i settri individuati dalle curve che pssiam etichettare cn A B C D E 4

5 4 =x A B x= E C x D 4 Figura : Le iscline per il sistema Studiam ra qualitativamente i graci delle traiettrie Orientiam il camp vettriale nei vari settri: 4 Nrd =x A B x= Ovest E C Est x D Sud 4 Figura : Le iscline per il sistema ed rientament del camp vettriale A quest punt avend studiat la stabilità intrn ai punti di equilibri siam in grad di intuire l'andament delle traiettrie e di disegnarle Es 7 Siam ra nel cas discret Per trvare i punti di equilibri del sistema vver i punti ssi si rislve il seguente sistema x = x x = + x le cui sluzini sn i punti e Si prcede in maniera analga al cas cntinu pertant si cnsidera 5

6 la matrice jacbiana In si ha Jx = J = x + x Gli autvalri sn e ed essend un autvalre > l'rigine risulta instabile In si ha J = Gli autvalri sn λ = ± i e hann mdul > Pertant il punt di equilibri risulta instabile 6