Introduzione sintetica alla geometria razionale

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1 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 1 Intrduzine sintetica alla gemetria razinale Terminlgia di base Enti primitivi: nn vengn definiti esplicitamente, l sn implicitamente attravers gli assimi. Sn i punti (lettere maiuscle A,,, ) le rette (r, s, t, ), i piani (α, β, γ, ) l spazi S. Assimi Pstulati = relazini tra gli enti primitivi che li definiscn implicitamente e che vengn assunte cme vere Nella trattazine euclidea si distingueva tra assima (verità indubitabile di rigine lgic-insiemistica cme il tutt è maggire della parte) e pstulat (verità di rigine gemetrica ammessa cme vera). In termini mderni la distinzine nn esiste più. Il prcess di astrazine della gemetria cnsiste prpri nell affermare (assumere cme vere) alcune prprietà generali degli enti primitivi (che vengn affermate a partire dalla gemetria in sens fisic) e nel dedurre tutte le altre prprietà dell spazi da quest numer ridtt di verità generali. aratteristiche dei pstulati cn che criteri si scelgn? Quanti devn essere? Quali sn le relazini tra essi? rrettezza sintattica: i pstulati devn essere cstruiti rispettand le regle del linguaggi utilizzat; nel nstr cas la lgica delle prpsizini e la teria degli insiemi. Nn cntraddittrietà: i pstulati nn pssn essere in cntrast tra lr vist che li si usa insieme per ricavare altre verità e in lgica si dimstra che se si ammette anche una sla cntraddizine si può dimstrare qualsiasi prpsizine (cmpresa la sua negazine). Si usa dire che i pstulati devn essere cnsistenti. Indipendenza: i pstulati nn devn dipendere nemmen parzialmente tra lr; se si trva una dipendenza parziale l si rifrmula in maniera di renderl indipendente. Per esempi il fams pstulat di unicità della parallela afferma sl la unicità perché l esistenza è dimstrabile. mpletezza: il sistema di assimi deve cnsentire di cstruire una teria in cui si dimstri tutt ciò che si vul dimstrare tenend presente che men assimi si dann e più la teria è generale; man man che si aggiungn assimi il camp della teria si restringe. Definizine esplicita : viene intrdtt un nuv termine attravers l'us di termini già definiti eventualmente sfruttand la verità di pstulati di precedenti dimstrazini. La verità gemetrica : ha sempre natura iptetica; nn si afferma la verità di una tesi ma un legame necessari tra iptesi e tesi (la tesi è vera se l è l iptesi nel sens che dalla negazine della tesi deve seguire la negazine dell iptesi la prpsizine cntrnminale è equivalente alla diretta) Terema: cnseguenza lgica dei pstulati e/ di teremi precedenti cn frma H T che significa se ammett l iptesi e dimstr che l iptesi implica la tesi dev ammettere la tesi rllari: terema che si deriva immediatamente da un terema precedente Lemma: terema intermedi che serve prevalentemente a dimstrare un altr terema più imprtante Relazini tra gli enti primitivi: A r α S. In termini insiemistici ciò significa che gli elementi dell spazi sn i punti mentre rette e piani sn sttinsiemi dell spazi fatti di punti.

2 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 2 Gli assimi della gemetria euclidea Gli assimi vengn ripartiti in gruppi a secnda delle lr caratteristiche generali (di csa si ccupan). Assimi di appartenenza Stabiliscn le relazini reciprche tra i diversi enti 1A. per due punti passa una e una sla retta e su una retta esistn almen due punti (A,)! r A r r r (A,) A r r Userem il simbl r A per indicare la retta unica che passa per A e ; la retta ha 1 sla dimensine definita da 1 cppia di punti 2A. Esistn almen 3 punti tra lr nn allineati; tre punti nn allineati definiscn univcamente un pian e dat un pian ess cntiene almen tre punti. r A r A (A,,) r A! α {A,,} α; il pian ha 2 dimensini (si distingue dalla retta) 3A. se due punti stann su un pian ci stann anche tutti i punti della retta (si dice che la retta giace nel pian); quest assima ci dice che le rette sn sttinsiemi prpri del pian anche che nn esistn rette che, dp aver tagliat un pian in due punti, escn da ess cme nella figura qui a lat. (A,) α r A α 4A. il pian cntiene infiniti punti. rllari: il pian cntiene infinite rette (A,,) {A,,} α D D α 5A. Esistn almen 4 punti nell spazi perché per gni pian c'è almen un punt furi di ess; inltre l spazi ha almen 3 dimensini e piché in un pian ci sn infiniti punti da qui arriviam facilmente al fatt che esistn infiniti piani. Fin qui nn è necessari ammettere che la retta abbia infiniti punti ma dvrem farl implicitamente tra breve. α A A α Assimi di rdinament Richiedn alla retta alcune prprietà ben nte che si cndensan dicend che la retta è un insieme ttalmente rdinat, illimitat e dens. Si cnsiglia di riflettere sui due cncetti di dens e illimitat; entrambi richiedn un insieme rdinat, entrambi richiedn insiemi infiniti ma ci parlan di due prprietà diverse dell'infinit: un è un infinit in estensine, l'altr è un infinit cme ravvicinament. 1O. Sulla retta viene stabilita una relazine di rdine ttale strett ciè per i punti distinti della retta vale una relazine A M D (che chiamerem di venir prima precedere e indicherem cn ) che è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva. Relazine di rdine ttale significa richiedere che tutti i punti dell'insieme la sddisfan e per quest deve valere una prprietà di trictmia (divisine in 3 pssibilità): presi due punti A e accade che A e cincidn ppure si verifica una sla delle due cndizini A e A. La relazine A ( precede A) sarà anche scritta A (A segue ). 2O. La retta è un insieme illimitat in entrambi i versi dell'rdinament e ciè (A,) A (,D) A e D. Da quest assima discende che la retta ha infiniti punti perché la sua applicazine genera sempre 2 nuvi punti. 3O. La retta è un insieme dens e ciè (A,) A M A M ciè presi due punti sulla retta ne esiste sempre un intermedi. Questa prprietà è in realtà dimstrabile utilizzand il pstulat di partizine del pian Da questi pstulati si dimstra un terema che viene invece slitamente enunciat cme pstulat. r

3 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 3 Terema : Un punt appartiene ad infinite rette Definizini: fasci di rette, semiretta (Vr), segment A, segmenti cnsecutivi, segmenti adiacenti, figura cnvessa, plignale 4O. Partizine del pian: la retta divide il pian in due parti (semipiani) entrambe cnvesse Da quest pstulat si può derivare cme terema il fatt che una retta che tagli un lat di un triangl taglia sempre un degli altri lati entrambi nel vertice cmune, si può inltre far discendere la densità della retta. Si preferisce slitamente enunciare il pstulat in una frma più ricca e stringente. Precisamente: Una retta divide il pian in due parti separate e cnvesse; il segment che unisce punti appartenenti ai due semipiani taglia le retta in un punt. Quand ci si riferisce al semipian l si cnsidera chius (ciè cmprensiv della retta che l genera). α, r, r α! (α 1,α 2 ) (A 1, 1 ),A 1 α 1 1 α 1 A 1 1 α 1 cnvessità di α 1 (A 2, 2 ),A 2 α 2 2 α 2 A 2 2 α 2 cnvessità di α 2 α 1 α 2 r = α partizine (A 1,A 2 ),A 1 α 1 A 2 α 2 R,R r R A 1 A 2 intersezine definizini : angl, angl cnvess, angl piatt, angl null, angl gir, crda, raggi intern ad un angl, densità della crda e densità del crrispndente fasci di raggi, vers cnvenzinale delle rtazini, triangl, plign, angl intern e angl estern, diagnale, angl cnsecutiv e segment adiacente angl rvs, angl piatt π terema : il triangl è una figura cnvessa terema di rdinament del pian : Le semirette ttenute cngiungend i punti di una retta cn un punt estern ad essa pres cme rigine si presentan nell stess rdine dei punti. Quest terema, dall apparenza inncua, serve per stabilire che quand in un triangl si prende un punt intern ad un lat e l si unisce cn il vertice ppst si ttiene un angl minre di quell definit dai due vertici del lat. Accade il cntrari quand il punt si trva sul prlungament. Nel crs delle dimstrazini questa prprietà viene slitamente dedtta dalla sservazine della figura ma. se si vule che la dimstrazine nn dipenda dalla figura, le affermazini usate nella dimstrazine vann a lr vlta dimstrate Assimi di cngruenza Si parte dall idea di svrappnibilità mediante un mviment rigid (cncett fisic e nn matematic) e la si definisce attravers appsiti pstulati cn riferiment ad angli e segmenti: 1. La cngruenza tra angli e tra segmenti (simbl ) è una relazine di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva) 2. Su gni semiretta esiste un sl punt che definisce cn l rigine un segment cngruente ad un segment dat (pstulat del trasprt dei segmenti) Data una semiretta, fissat un vers di rtazine di un sistema di raggi esiste una sla semiretta cn la stessa rigine che definisce un angl cngruente ad un angl dat (pstulat del trasprt degli angli). Vr, A!P,P Vr A VP rvs, Pt!Pu rvs tpu Questi due pstulati ci garantiscn il trasprt dei segmenti e degli angli a nstr piaciment. 3. La cngruenza si cnserva durante l scambi di versi di segmenti ed angli A A A rvs rvs svr A M D r

4 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 4 definizine : lunghezza di un segment è la classe di equivalenza di segmenti cngruenti; ampiezza di un angl è la classe di equivalenza di angli cngruenti definizine : addizine di segmenti attravers i segmenti adiacenti; si pssn smmare anche segmenti nn adiacenti ma l si può fare dp averli trasprtati su una medesima retta. definizine : addizine di angli attravers gli angli cnsecutivi (vedi nta precedente sui segmenti) 4. Smme di segmenti adiacenti ( di angli cnsecutivi) rdinatamente cngruenti sn cngruenti Grazie alla pssibilità di trasprt e alla prprietà cmmutativa la prprietà vale anche per segmenti nn adiacenti perché prima di smmarli li si rende tali. Nta ene : dp aver definit la smma ed averne enunciat la prprietà di cnservazine, si definisce la sttrazine cme perazine inversa (anch essa gde di una prprietà di cnservazine). definizine : disuguaglianza tra segmenti e tra angli (sfrutta l idea di intern ed estern) definizine: cngruenza di triangli : due triangli A e A''' si dicn cngruenti se hann rdinatamente cngruenti i tre lati e i tre angli (la definizine si estende a tutti i pligni). Nta ene : rdinatamente ci ricrda che la cngruenza tra elementi del triangl avviene attravers crrispndenze, ciè quand si afferma la cngruenza tra due lati quella tra gli angli si deve riferire agli angli ppsti ad essi. 5. Prim criteri di cngruenza dei triangli: due triangli che hann rdinatamente cngruenti due lati e l angl cmpres sn cngruenti Nta bene: ntrariamente a quant sta scritt su mlti pessimi manuali di gemetria, si tratta di un pstulat e nn di un terema. n i pstulati dati sulla cngruenza (segmenti ed angli) ne serve un altr per pter passare alla cngruenza dei pligni. Da qui in pi si prcede per teremi. Nel crs delle dimstrazini di gemetria si mettn spess in relazine tra lr angli e segmenti cme per esempi nel cas di angli ppsti ad un lat in un dat triangl. Quand si tiran le cnclusini è imprtante che esse mettan in cnnessine elementi cllegati dalla relazine; nel farl si parla di elementi rispettivamente cngruenti vlend dire che la cngruenza riguarda cppie di elementi di due figure che si crrispndn. Per questa ragine è bene adttare una certa disciplina nella scelta delle lettere (se A è un vertice chiamare A quell che gli crrispnde nell altra figura e csì via).

5 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 5 ngruenze tra triangli nseguenze del I criteri Angli adiacenti di angli cngruenti sn cngruenti Gli angli piatti sn tutti cngruenti (li indicherem cn π) Gli angli ppsti al vertice sn cngruenti In un triangl isscele gli angli alla base sn cngruenti (dimstrazine per cstruzine cn applicazini successive del I criteri) Un triangl cn due angli cngruenti è isscele (dimstrazine simile alla precedente cn us della cngruenza di angli adiacenti) Terema: II criteri di cngruenza Enunciat: Se due triangli hann un lat e i due angli adiacenti rispettivamente cngruenti sn cngruenti. Dati: A e A''' Iptesi: A A A 'A'' A A''' D Tesi: A A''' Dimstrazine struiam due triangli cngruenti per agevlare il ricnsciment degli elementi via via presi in A A esame La dimstrazine si fa per assurd negand la tesi e suppnend dunque che A A''' Ma in quest cas deve essere A A perché se fsse A A per il prim criteri i due triangli sarebber cngruenti. Suppniam che sia dunque A > A (se fsse minre basterebbe rifare il raginament riferendsi al II triangl invece che al prim). In tal cas esiste D intern ad A tale che AD A. Per il terema di rdinament del pian AD < A. Ma per il I criteri di cngruenza si ha che AD A''' e dunque AD A''' Ma per iptesi A A''' e per la prprietà transitiva della cngruenza A AD e ciò è assurd perché un stess angl nn può essere cntempraneamente cngruente e maggire di un altr perché ciò significherebbe che un angl è minre di se stess. Dunque l iptesi fatta che fsse A A''' è sbagliata (assurd) e dbbiam ammettere la tesi che avevam negat. Terema: III criteri di cngruenza Enunciat: Se due triangli hann tre lati rispettivamente cngruenti sn cngruenti. Dati: A e A''' Iptesi: A A A A Tesi: A A''' Dimstrazine La dimstrazine sfrutta i teremi precedenti ltre al prim criteri e piché si basa su una cstruzine richiede di distinguere i tre casi del triangl acutangl, ttusangl e rettangl. A s A

6 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 6 Si riprta nel semipian ppst a la semiretta As in md che As 'A'' e si riprta su As il segment A cngruente ad A. Per il I criteri si ha allra A''' A" e da ciò cnsegue che A" e " sn entrambi issceli sulla base (prprietà transitiva della cngruenza). Per il terema sulla cngruenza di angli alla base in triangli issceli e per smma di angli cngruenti si ttiene che A A" e dunque per il I criteri A A" Ma piché A''' A" ne segue la tesi per la prprietà transitiva Fare le altre dimstrazini per rendersi cnt di csa cambia nella figura e nella argmentazine. Lemma dell'angl estern Enunciat: In un generic triangl qualsiasi angl estern è maggire di ciascun degli angli interni nn adiacenti Nta ene: si parla di lemma perché ess serve essenzialmente a dimstrare il IV criteri di cngruenza e perché, cme cnseguenza del pstulat della parallela vedrem che l angl estern è pari alla smma degli angli interni nn adiacenti Dati: A, s Iptesi: As π Tesi: s > A e s > A A D s Dimstrazine La dimstrazine inizia cl dimstrare che s > A, infatti la secnda disuguaglianza verrà derivata dalla prima (cme vedrem) Si prcede per assurd. Dalla negazine della tesi segue che s A e cnsideriam su s un segment D A; ne cnsegue che D A per il I criteri ( è Suppniam che sia s in cmune) dunque A Si ha csì che π = AD A D perché ppsti a lati cngruenti in triangli cngruenti = A + D D + A = AD Ma ciò significa che A, e D devn essere allineati e ciè che deve essere allineat cn A e vver che il triangl A è degenere. Se ra si suppne che sia s < A si può cstruire entr l angl A una semiretta tale che sia A' s cn A intern al segment A. Si ripete il raginament precedente utilizzand il triangl A' e si ttiene il risultat precedente. Dunque nn si può negare che sia s > A. Per dimstrare che s > A basta sservare che se si prlunga dalla parte di si ttiene un angl estern ppst al vertice rispett al precedente e che si trva rispett all angl A nella stessa psizine in cui si trvava s rispett ad A e dunque si ha ancra s > A rllari: in un triangl isscele gli angli alla base sn sempre acuti Indichiam cn α l angl estern e cn β gli angli alla base. Si ha α > β ma anche α + β π > β + β = 2 β e dunque β < ½ π IV criteri di cngruenza Enunciat: Due triangli sn cngruenti se hann cngruenti un lat e due angli di cui un nn adiacente. Nta ene: dp aver dimstrat quest criteri ptrem affermare che per dimstrare la cngruenza di due triangli basta che sian cngruenti un lat e due angli (II e IV criteri) Dati: A e A''' Iptesi: A A A 'A'' A A'''

7 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 7 Tesi: A A''' Dimstrazine Anche questa dimstrazine prcede per assurd ma in essa serve in maniera essenziale il lemma dell angl estern. Suppniam che sia A A (se fsser uguali ptremm applicare il I criteri e la cngruenza sarebbe dimstrata) e senza rischi di D particlarizzazine iptizziam che sia A>A ; ma allra esiste D A AD A. Si ha allra per il I criteri che AD A'''. SE applichiam il lemma dell angl estern al triangl AD ptrem affermare che AD > A A A Si ha allra AD > A per il lemma dell angl estern AD A''' per la cngruenza dei triangli e infine A''' A per iptesi Ne cnsegue che A > A assurd! Dunque dbbiam ammettere che sia A A e la tesi risulta dimstrata. struzini e prprietà ntevli Vediam ra che alcune prprietà che vengn slitamente ammess cme pstulati sn invece perfettamente dimstrabili attravers semplici cstruzini e cnseguenze dei teremi precedenti. Il punt medi di un segment esiste ed è unic (basta cstruire nei due semipiani angli cngruenti, riprtare su di essi segmenti cngruenti, cngiungere, ed applicare il IV criteri). Il terema precedente cnsente di definire la mediana e cstruirla La bisettrice di un angl esiste ed è unica (sull angl si cstruisce un triangl isscele, si traccia la mediana e si applica il terz criteri ai due triangli csì determinati; per la eguaglianza degli elementi crrispndenti la mediana risulta essere bisettrice ed altezza) rllari l angl rett (metà dell angl piatt) esiste e gli angli retti sn tutti uguali (li indicherem cn ½ π) rllari: in un triangl isscele la mediana è bisettrice ed altezza Terema: in un triangl isscele la bisettrice è mediana e altezza (I II criteri) struzine della perpendiclare per un punt su una retta Sia r una generica retta e P un su punt. r α β nsideriam da parti ppste due punti A e tali A P che AP P. Tracciam per A una semiretta che definisca l angl α e riprtiam in un angl β ad ess cngruente. Sia il punt di incntr delle due semirette: P A infatti il triangl che P abbiam cstruit è isscele (perché ha due angli uguali) e P è la mediana che, cme già vist, è altezza. struzine di una perpendiclare ad una retta per un punt estern. r α H Da P si traccia una retta incidente r in A. Se PAr ½ π la cstruzine è finita. In cas cntrari riprtiam nell altr A β semipian l angl β α e sulla semiretta che l definisce cnsideriam AP A. Uniam P cn e indichiam

8 laudi ereda Schema intrduttiv alla gemetria razinale nel pian gennai 2007 pag. 8 cn H la intersezine cn r. Il triangl AP è isscele per cstruzine e inltre AH sempre per cstruzine è la bisettrice; ma la bisettrice è anche altezza In un triangl isscele l altezza è bisettrice e mediana: vengn due triangli cngruenti per il IV criteri. In un triangl rettangl gli altri due angli sn acuti (cnseguenza immediata del lemma dell angl estern applicat all angl rett). V criteri di cngruenza Enunciat: Due triangli sn cngruenti se hann cngruenti due lati e un angl ppst a cndizine che gli altri angli ppsti sian della stessa specie. Attenzine la richiesta che l altr angl sia della stessa specie (li indicherem cn ) nn è pletrica, infatti, cme si vede dalla figura qui a α lat, si pssn cstruire due triangli diversi A 1e A2 cn A 1 2 cngruenti due lati (A in cmune e 1 2 ) e un angl (α in cmune) ma in quel cas i due altri angli sn rispettivamente acut e ttus. Dati: A e A''' Iptesi: A A A A A ''A' A A''' Tesi: A A''' Dimstrazine Anche questa dimstrazine prcede per assurd; se i due triangli nn sn cngruenti deve essere perché altrimenti i triangli sarebber cngruenti per il prim e per il terz criteri. Suppniam dunque che sia < e cnsideriam D tale che D. Ne cnsegue che AD A''' (I criteri) e per la prprietà D transitiva si ha che AD A dunque AD è isscele. Ma per il lemma dell angl estern deve essere DA > DA AD. Ma piché siam in un triangl isscele ciò A A significa che DA > ½ π. D altra parte DA 'A' che è dunque a sua vlta ttus cntr l iptesi che sia della stessa specie di A che, facend parte di un triangl isscele, è acut. Dunque nn si può negare la tesi.