CLASSIFICAZIONE DI POLIGONI Giuliano Spirito

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1 CLASSIFICAZIONE DI POLIGONI Giulian Spirit Scula Media, 2005 Niente di più static, nis, ripetitiv del classificare le figure! Csì è, certamente, all intern di una didattica tradizinale, dve la gemetria si riduce a definizini, frmule e applicazini. Eppure eppure la classificazine di pligni può esser ccasine di mmenti di discussine aperta, può suscitare sservazini nn scntate, può persin dar lug a qualche srpresa; può, in altre parle, intrecciarsi in md ricc e fecnd a attività di tip labratriale. Purché, però, gli insegnanti stessi sian cnsapevli della cmplessità dei prcessi classificatrii. Frse il punt di avvi della nstra riflessine può allra essere quest: quant ci siam sffermati a raginare sulle varie e differenti tiplgie di classificazine delle figure gemetriche (ma nn sl di esse)? quant abbiam esaminat vantaggi e prblemi peculiari di ciascun tip di classificazine? Intendiam qui riferirci nn tant ai distinti criteri di classificazine delle figure, che pssn essere i più svariati senza che necessariamente la classificazine cambi natura, bensì prpri agli elementi strutturali delle classificazini, che pssn risultare prfndamente diversi. Un esempi servirà a chiarire il nstr discrs. Immergiamci dunque, per avviare il nstr raginament, nel mnd dei triangli e esaminiam le più cnsuete classificazini che si effettuan in quest ambit: classificazine A: acutangli, rettangli, ttusangli classificazine B: scaleni, issceli, equilateri Quali sn le differenze tra le due classificazini? In prim lug, salta agli cchi che la A ha a che fare cn gli angli e la B cn i lati. Quest è ver, ma nn è tutt: infatti la classificazine A ha a che fare cn le prprietà dei singli cmpnenti (per attribuire un triangl a una delle tre classi dev esaminare singlarmente ciascun dei sui angli); mentre la B attiene alla relazine tra i cmpnenti (per attribuire un triangl a una delle tre classi dev cnfrntare tra lr i tre lati). Infine: la classificazine A cstituisce una partizine (suddivisine dell insieme univers in classi che cprn l inter univers e che sn tra lr disgiunte), mentre la B è quant men ambigua, dal mment che nn è chiar se un triangl equilater sia da cnsiderare cme un cas particlare di triangl isscele (classificazine B1) n (classificazine B2). La scelta tra le due pssibili accezini B1 e B2 della B nn riguarda sl il privilegi di una un altra cnvenzine linguistica, ma anche l schema lgic sttstante all azine definitria. classificazine A classificazine B1 classificazine B2 3 angli acuti 3 lati diversi 3 lati diversi 2 acuti e 1 rett almen 2 uguali esattamente 2 uguali 2 acuti e 1 ttus 3 uguali 3 uguali Le partizini (A e B2) sn certamente le classificazini più lineari, quelle più facili da capire e da ritenere. Quest nn significa rinunciare a frme di classificazine più sfisticate (B1); una vlta che si sia pres cscienza della lr maggire cmplessità e dunque si sian adttate tutte le precauzini del cas esse ffrn l pprtunità di stabilire relazini tra figure in md più prfnd e significativ. I prblemi di classificazine dei triangli si intreccian cn mlteplici attività. Suppniam, ad esempi, di assumere cme materiale di base un spag anndat fissat in due punti: 1

2 Spstand il terz vertice si sserverà che il cas particlare nn è quell del triangl ttusangl, bensì quell del triangl rettangl, spartiacque tra gli infiniti casi di triangli acutangli e gli infiniti casi di triangli ttusangli (in cntrast cn il vissut degli alunni, abituati a incntrare frequentemente angli retti e di rad angli ttusi negli ggetti che li circndan). Sempre dalla maniplazine del medesim materiale, scaturisce un analg discrs per i triangli issceli, altamente imprbabili rispett ai triangli scaleni, benché mlt più frequenti nei manufatti. Utilizzand un materiale di base simile, in cui però l spag è sstituit da un elastic, è pssibile visualizzare il fatt che il triangl equilater cstituisce un cas particlare e rar del triangl isscele: Ovviamente si tratta sl di esempi, gnun dei quali, peraltr, tale da stimlare ulteriri dmande e sservazini; mlti altri materiali si ptrebber utilizzare in questa chiave. Ci preme di più, però, suggerire un indicazine per un attività di labratri carta e penna, attività che mette in relazine le due classificazini (per misura degli angli e per cnfrnt tra i lati) precedentemente prpste. Dunque, in quest cas la cnsegna è, data la seguente tabella, quella di disegnare, in ciascuna casella dve sia pssibile, un triangl cn le due caratteristiche indicate nelle intestazini della riga e dalla clnna (cn l effett tra l altr di evidenziare le incmpatibilità nascste nelle due classificazini, quella basata sulle caratteristiche degli angli e quella basata sulle relazini tra i lati). acutangl rettangl ttusangl scalen isscele equilater Ma il mnd in cui le attività di classificazine e le relative prblematiche acquistan davver interesse è quell dei quadrilateri. La classificazine più vvia e tradizinale è basata su prprietà dei lati e degli angli della figura; ma anch essa, a men di frzature, scnta il fatt di nn essere una partizine. Cn la cnseguente e già segnalata difficltà per alunne e alunni: se disegniam alla lavagna un quadrat e chiediam lr se si tratti di un rmb, la rispsta, risluta e crale, sarà negativa, cme negativa sarà la rispsta alla dmanda se si tratti di un rettangl. La classificazine abituale, quella che deriva dalla definizine del rmb cme quadrilater cn 4 lati uguali (senza particlari vincli sugli angli) e del rettangl cme quadrilater cn 4 angli uguali (senza particlari vincli sui lati), risulta per un vers nn immediata, per altr vers nn persistente, prpri perché nn dà lug a una partizine. rmbi quadrati rettangli La necessità di rganizzare un lavr specific su queste figure, anche di tip maniplativ, crrispnde all esigenza (nn cert unica, ma significativa) di far sedimentare l idea del quadrat cme cas limite del rmb e del rettangl. 2

3 Per mstrare che il quadrat nn è altr che un rmb speciale può essere utile unire cn dei fermacampine 4 listarelle di cartncin rigid tra lr uguali: avvicinand e allntanand due vertici nn cnsecutivi, salta agli cchi la prezisa particlarità dell unic quadrat che si frma. Per mstrare che il quadrat è un rettangl speciale può essere utile far scivlare un cartncin scur sulla sagma di un rettangl: muvend il cartncin in una direzine parallela al lat più lung del rettangl si ttengn rettangli tutti cn la stessa altezza ( cn la stessa base), tra cui c è un e un sl quadrat. Ovviamente le cstruzini illustrate si prestan a mlti altri quesiti (ad esempi: che csa succede dei perimetri, che csa succede delle aree?) e stimlan riflessini e sservazini di vari tip; qui ci limitiam a evidenziare le questini inerenti la classificazine delle figure. Anche le dmande se un rmb un rettangl, disegnati alla lavagna, sian dei parallelgrammi, se un parallelgramma disegnat alla lavagna sia un trapezi mettn in difficltà allieve e allievi: la rispsta che tteniam è infatti, generalmente, in entrambi i casi negativa. Di nuv, entra in gic la difficltà di gvernare una classificazine di tip nn partitri: le definizini di rmb e rettangl hann cme cnseguenza il parallelism delle cppie di lati ppsti (e dunque designan rmbi e rettangli cme particlari parallelgrammi); la definizine di parallelgramma (lati a 2 a 2 paralleli) prevede il verificarsi di una cndizine che è cmprensiva della cndizine (più deble: almen 2 lati paralleli) che caratterizza il trapezi (e dunque designa i parallelgrammi cme particlari trapezi). Insmma, ci trviam davanti, nel cas della classificazine dei quadrilateri, a un prcess classificatri per inclusine, crrispndente a vincli crescenti ( decrescenti, se percrsa nell altr vers): Quadrilater 4 lati quadrilateri Trapezi 4 lati trapezi 2 lati paralleli parallelgrammi Parallelgramma 4 lati rmbi lati a 2 a 2 paralleli quadrati Rmb Rettangl 4 lati 4 lati lati a 2 a 2 paralleli lati a 2 a 2 paralleli lati uguali angli uguali rettangli Quadrat 4 lati lati a 2 a 2 paralleli lati uguali angli uguali 3

4 La classificazine per inclusine che deriva da vincli ulteriri è certamente cmplessa e richiede un lavr specific per essere intriettata (nn è intuitiv che l aument delle richieste prduca una diminuzine degli ggetti che le sddisfan tutte). Sarà certamente utile, per familiarizzare alunne e alunni cn questa tiplgia di classificazine, far riferiment anche a situazini nn matematiche, prpnend gichi e attività, ltreché spunti di riflessine, sul tema. In gemetria (ma sl in gemetria) i quadrati sn più rari dei rmbi Il fatt che i quadrati sian più rari dei rmbi nn è stran perché le richieste che facciam a un quadrilater per dargli il nme di quadrat sn due (lati uguali e angli uguali), mentre per dargli il nme di rmb ci cntentiam di una sla richiesta (lati uguali). Quindi, per essere degni del nme di quadrat bisgna superare un esame più sever di quell previst per essere chiamati rmbi. Prpri cme quel cane che davanti alla zuppa pensò: se sei buna abbai festsamente, ma se sei buna e prfumata facci anche qualche salt di giia Il rmb è cme una zuppa buna, ma il quadrat è cme una zuppa buna e prfumata! Da tutta questa stria si può trarre una mrale generale: più sn le specialità di una figura e più questa figura è rara. Quest, lgicamente, è ver in gemetria, dve le figure che si pssn pensare, sl perché si pssn pensare esistn tutte! Divers è il discrs nella realtà, dve esistn sl gli ggetti che, dp essere stati pensati, sn stati anche cstruiti! Ebbene, gli esseri umani hann cstruit mlti più ggetti a frma di quadrat che ggetti a frma di rmb. I quadri appesi alle pareti sn spess di frma quadrata (se n perché si chiamerebber quadri?), i quadretti del tu quadern sn quadrati (nn per niente si chiaman quadretti e nn rmbetti!); ma anche tavli, mattnelle e tvaglili sn spess di frma quadrata. Quindi, nella vita di tutti i girni, la frma rara è quella del rmb, nn cert quella del quadrat! da "Il raccnt della matematica", manuale per la scula media di G.Spirit-M.D'Onfri-G.Petrini, Ed.La Nuva Italia Nei quadrilateri è pssibile effettuare una classificazine (in larga misura cincidente cn quella abituale) a partire da un criteri cmpletamente divers: invece di basarsi sulle caratteristiche dei lati (lunghezza e parallelism) e degli angli (ampiezza) è pssibile basarsi sulle caratteristiche delle diagnali (lunghezza e psizine reciprca). Qui davver la classificazine può scaturire cn naturalezza da un attività di maniplazine. Basterà far cstruire tre listarelle di cartncin pesante, due di lunghezza uguale e una più lunga, ciascuna cn un fermacampini alle due estremità e cn un fr al centr e munirsi di un elastic: Prcedend in md rdinat all esame dei vari casi, cngiungend gni vlta le due listarelle nel punt di mezz e pnend gni vlta l elastic in md che si agganci ai fermacampini, sarà pssibile cstruire e pi riempire la seguente tabella: perpendiclari nn perpendiclari uguali quadrat rettangl nn uguali rmb parallelgramma Un attività di quest tip può suscitare curisità anche rispett al cas in cui le listarelle nn sian cngiunte nel lr punt di mezz, cnducend alla cstruzine (a partire dalle diagnali!) del trapezi isscele e del deltide: listarelle uguali cngiunte in punti crrispndenti listarelle diverse cngiunte nel punt di mezz di una sla delle due 4

5 Vgliam sttlineare che il carattere labratriale di questa attività nn deriva sltant e frse neanche principalmente dalla presenza di un aspett maniplativ nella stessa, quant dal fatt di prcedere in md esaustiv all esame di una casistica e alla rdinata e meditata trascrizine dei risultati che si registran di vlta in vlta. Labratri l ripetiam ancra una vlta nn è necessariamente e esclusivamente maniplazine e sperimentazine cncreta; labratri è, prima di tutt, seguire un percrs i cui esiti nn sian nti in partenza e che dunque cinvlga e sviluppi un'attitudine sservativa e riflessiva. Siam ra prnti a prprre un altra mdalità di classificazine dei quadrilateri, che presenta alcune caratteristiche interessanti e che è mlt cnsnante cn un impstazine labratriale dei prblemi di classificazine. L idea di partenza è che tutti i quadrilateri ntevli hann almen due lati paralleli; e dunque da lì da due rette parallele tagliate da due trasversali - prendiam le msse. Pssiam pensare di distinguere secnd una serie successiva di criteri che dann lug, gni vlta, a una bifrcazine: parallelism delle trasversali: perpendiclarità delle trasversali (rispett alle due rette base) TRAPEZIO PARALLELOGRAMMA uguaglianza dei segmenti di trasversale TRAPEZIO TRAPEZIO PARALLEL. RETTANGOLO qualunque RETTANGOLO qualunque TRAPEZIO qualunque uguaglianza dei segmenti di trasversale cn le sezini delle rette di base TRAPEZIO ISOSCELE PARALLEL. ROMBO RETTANGOLO QUADRATO qualunque qualunque qualunque 5

6 La classificazine appena prpsta presenta tre aspetti su cui riflettere: a) tutti i parametri di classificazine sn relazinali b) è una classificazine di tip partitri c) è il frutt di una vera e prpria attività di ricerca di elementi di reglarità e di elementi di distinzine (e dunque rappresenta un ttim esercizi di classificazine, al di là del su interesse gemetric) La scmmessa era quella di mstrare che classificare può essere il prtat di un attività (e nn sl la cnseguenza meccanica dell apprendiment di alcune definizini); l immersine nel mnd dei pligni (e, in particlare, dei quadrilateri) si è rivelata, da quest punt di vista, ricca di spunti, aperta a varie pssibilità, ccasine di significative sservazini e scperte. Dunque, frse, la scmmessa nn è stata del tutt persa 6