Informatica Teorica. Seconda prova in itinere 5 Luglio 2006, Sezione Pradella Attenzione: avvisi sul retro!

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1 Infrmatica Terica Secnda prva in itinere 5 Lugli 2006, Sezine Pradella Attenzine: avvisi sul retr! Il prblema della Trre di Hani è csì definit. Vi sn n dischi simili ma di dimensini diverse inseriti in un pil, in md tale che il disc più grande sia nel punt più bass e tutti gli altri sian spra di ess in rdine decrescente. Esistn altri due pili inizialmente liberi (si veda la Figura (a)). Si vglin trasprtare tutti i dischi su un altr pil, spstandli un alla vlta da un pil all altr, e perand in md tale che mai un disc sia appggiat spra un più piccl (vviamente, per spstare un disc da un pil all altr ccrre aver rimss quelli svrastanti, sempre rispettand le regle precedenti). Le Figure (b) e (c) cmpletan l illustrazine del prblema. Esercizi 1 Figure (a), (b), (c) Il prblema della trre di Hani: (a) situazine iniziale, (b) situazine finale richiesta, (c) situazine inammissibile. (punti 8/17 esimi) Si frmalizzi mediante frmule del prim rdine una generica situazine ammissibile della psizine dei dischi nei pili: ad esempi le figure (a) e (b) rappresentan due situazini ammissibili al cntrari della figura (c). Esercizi 1.bis(da svlgere facltativamente sl dp aver svlt tutti gli altri esercizi. L esercizi vale ulteriri punti 3/17 esimi) Si frmalizzi, sempre mediante frmule del prim rdine, la relazine che deve sussistere tra due diverse situazini ammissibili perché l una sia ttenibile dall altra mediante una mssa lecita. Esercizi 2 (punti 4/17 esimi) Si dica se il seguente prblema è decidibile: Dat un algritm A qualsiasi, stabilire se A rislve crrettamente il prblema della Trre di Hani. Giustificare brevemente la rispsta. Esercizi 3 (punti 5/17 esimi) Dvend valutare la cmplessità di un algritm per la sluzine del prblema della Trre di Hani da eseguire mediante un nrmale calclatre basat sulla classica architettura di vn Neumann (macchina RAM), quale criteri di cst risulterebbe più adeguat e cnveniente? Giustificare brevemente la rispsta. Esercizi 3bis, facltativ (ulteriri punti 2/17 esimi) Che relazine è naturale aspettarsi tra cmplessità (sia spaziale che temprale) di un algritm per la sluzine del prblema, valutata a criteri cstante e a criteri lgaritmic? NB. Nn si chiede di descrivere un algritm né di valutarne le cmplessità; bensì di stabilire cme cambia la valutazine di cmplessità cambiand il criteri di cst.

2 Avvisi imprtanti 1. Il temp dispnibile per l svlgiment della prva è 1 ra e 30 minuti. 2. L eventuale sluzine dell Esercizi 1.bis sarà presa in cnsiderazine e valutata sl se tutti gli altri esercizi sarann stati rislti in maniera ritenuta sddisfacente. 3. Si ricrda che pssn svlgere questa prva in itinere sl clr che abbian ttenut almen 5 punti nella prima prva. Eccezinalmente sn ammessi anche gli studenti laureandi, che devn indicare esplicitamente la lr situazine nella testata del lr elabrat. Cme già cmunicat, in cas di esit psitiv nella presente prva, verrann lr cmunicate le mdalità di recuper della prima prva. 4. Cme in altre ccasini i risultati e le successive cmunicazini (in particlare le mdalità di accettazine/rifiut del vt prpst) sarann pubblicati nella pagina persnale di Matte Pradella sul sit ufficiale del Dipartiment. Verrà data precedenza alla crrezine dei cmpiti dei laureandi (che risultin tali dall archivi ufficiale del CEDA)

3 Esercizi 1 Si indichi Sluzini cn D i l i esim disc: 1 <= i <= n; cn dim(d i ) la dimensine del disc i esim; ( i ((1 <= i <= n ) (1 <= dim(d i ) <= n))) ( i,j (((1 <= i, j <= n ) (i j)) (dim(d i ) dim(d j )))) cn ps(d i ) la psizine del disc i esim: ps(d i ) = <h,p>; 1 <= h <= n; 1 <= p <= 3; che indica che il disc si trva ad altezza h nel pil p. la funzine ps deve sttstare ai seguenti vincli: i,j (ps(d i ) = ps(d j ) D i = D j ) i,h, k, p ((ps(d i ) = <h,p> k < h) j (ps(d j ) = <k,p>)) i,j, h, k, p ((ps(d i ) = <h,p> ps(d j ) = <k,p> k < h) (dim(d j ) > dim(d i ))) Esercizi 1.Bis Si indichin cn ps1 e ps2, rispettivamente, due funzini che definiscn la psizine del disc i esim prima e dp l esecuzine di una mssa. Ovviamente sia ps1 che ps2 devn sggiacere ai vincli frmalizzati precedentemente. Inltre esse sddisfare la relazine espressa dalle frmule seguenti: Se un disc qualsiasi nn si trva in cima a un pil, la sua psizine rimane invariata nel passaggi da ps1 a ps2: i,h, p ((ps1(d i ) = <h,p> k, j (k > h ps1(d j ) = <k,p>)) (ps2(d i ) = <h,p>)) Se (per gni tripla di dischi D i1, D i2, D i3 e psizini): i1,i2, i3, h1, h2, h3, p1, p2, p3 il disc D i1 si trva in cima al pil p1: ( (ps1(d i1 ) = <h1,p1> k, j (k > h1 ps1(d j ) = <k,p1>)) e il disc D i2 si trva in cima al pil p2: (ps1(d i2 ) = <h2,p2> k, j (k > h2 ps1(d j ) = <k,p2>)) e il disc D i3 si trva in cima al pil p3: (ps1(d i3 ) = <h3,p3> k, j (k > h3 ps1(d j ) = <k,p3>)) e i tre dischi Di1 sn diversi tra lr, e stann sui tre pili diversi (i1 i2 i2 i3 i1 i3 p1 p2 p2 p3 p1 p3) ) allra: un (e un sl) tra Di1, Di2, e Di3 cambia pil in ps2 (e, necessariamente per i vincli su ps, viene a trvarsi in cima al nuv pil) h, p ( (ps2(d i1 ) = <h,p> p p1 ps2(d i2 ) = ps1(d i2 ) ps2(d i3 ) = ps1(d i3 )) (ps2(d i2 ) = <h,p> p p2 ps2(d i1 ) = ps1(d i1 ) ps2(d i3 ) = ps1(d i3 )) (ps2(d i3 ) = <h,p> p p3 ps2(d i1 ) = ps1(d i1 ) ps2(d i2 ) = ps1(d i2 )) )

4 Sluzine alternativa Definiam che la differenza tra ps1 e ps2 riguarda un sl disc, che deve essere in cima ad un pil in ps1 (e che sarà in cima ad un pil in ps2 per i vincli sui pili): D i, h, p ( ps1(d i ) = <h,p> ps2(d i ) <h,p> /* D i cambia psizine */ j (ps1(d j ) = <h+1,p>) /* D i è in cima ad un pil in ps1 */ j ( j i ps1(d j ) = ps2(d j ) ) /* tutti gli altri dischi rimangn fermi */ ) Si nti che ptremm semplificare la cndizine eliminand il vincl che D i in ps1 sia in cima ad un pil, in quant ciò è garantit dal fatt che in ps2 nn ci pssn essere "buchi", e dal fatt che l'unic disc ad essere spstat è D i : D i, h, p ( ps1(d i ) = <h,p> ps2(d i ) <h,p> /* D i cambia psizine */ j ( j i ps1(d j ) = ps2(d j ) ) /* tutti gli altri dischi rimangn fermi */ ) Se invece vlessim specificare, per maggire chiarezza, che nella nuva psizine D i deve essere in cima ad un pil, ptremm mdificare la cndizine cme segue: D i, h, p ( ps1(d i ) = <h,p> ps2(d i ) <h,p> /* D i cambia psizine */ j (ps1(d j ) = <h+1,p>) /* D i è in cima ad un pil in ps1 */ h', p' ( ps1(d i ) = <h',p'>) j (ps2(d j ) = <h'+1,p'>) ) /* D i è in cima ad un pil anche in ps2 */ j ( j i ps1(d j ) = ps2(d j ) ) /* tutti gli altri dischi rimangn fermi */ )

5 Le due seguenti ulteriri sluzini alternative descrivn in maniera cmpleta nn sl i vincli sul psizinament dei dischi nei pili e sul lr mviment, ma anche l biettiv del gic. Esercizi Bis, ali md Si intrduca la seguente funzine: pil(p, h, t) = d se e sl se d è la dimensine del disc che si trva ad altezza h sul pil p al temp t Una pssibile frmalizzazine del prblema della Trre di Hani è la seguente (cn implicite quantificazini universali esterne): vincli sui dmini: pil(p, h, t) = d 1 p 3 1 h n 1 d n unicità del disc: pil(p 1, h 1, t) = pil(p 2, h 2, t) p 1 = p 2 h 1 = h 2 assenza di "buchi" sul pil: pil(p, h, t) = d h > 1 d 1 (pil(p, h 1, t) = d 1 ) vincl sull'rdinament dei dischi sul pil: pil(p, h 1, t) > pil(p, h 2, t) h 1 < h 2 Si intrducan pi i seguenti predicati e funzini: altezza(p, t) = h se e sl se h è l'altezza del pil p al temp t muvi(p 1, p 2, t) se e sl se all'istante t il disc che si trva in cima al pil p 1 è spstat in cima al pil p 2 Una pssibile frmalizzazine dell'evluzine del gic della Trre di Hani è la seguente (cn implicite quantificazini universali esterne): definizine della funzine "altezza", che deriva da "pil": altezza(p, t) = h (h > 0 d(pil(p, h, t) = d) d(pil(p, h+1, t) = d)) (h = 0 d(pil(p, 1, t) = d))) una è mssa pssibile sl se il pil di partenza nn è vut e se il pil di arriv è divers da quell di partenza: muvi(p 1, p 2, t) altezza(p 1, t) > 0 p 1 p 2 nn è pssibile effettuare 2 msse cntempraneamente: muvi(p 1, p 2, t) muvi(p 3, p 4, t) p 1 = p 3 p 2 = p 4 effett di una mssa sull stat di un pil: pil(p, h, t) = d (p = 1 h = n d +1 t 1, p 1, p 2 (t 1 < t muvi(p 1, p 2, t 1 ))) t 1 (t 1 < t altezza(p, t 1 ) = h 1 p 1 ( muvi(p 1, p, t 1 ) pil(p 1, altezza(p 1, t 1 ), t 1 ) = d t 2 (t1 < t2 < t altezza(p, t 2 ) = h p 1 (muvi(p, p 1, t 2 )) ))) stat iniziale del gic: i(1 i n pil(1, i, 0) = n i + 1) altezza(2, 0) = 0 altezza(3, 0) = 0 si nti che la secnda e terza cndizine sn superflue, in quant se tutti i dischi sn sul prim pil, sugli altri nn ci può essere nulla stat finale del gic: t ( i(1 i n pil(3, i, t) = n i + 1) altezza(1, t) = 0 altezza(2, t) = 0)

6 Esercizi Bis, yet anther Insiemi: D = {1,2,..,n} dischi; P = {1,2,3} pili; temp N. Variabili: t N; d,d',d" D; p,p',p" P. Predicati: pil(p,d,t): il disc d è sul pil p al temp t mssa(p,p',t): si muve dal pil p a p' al temp t n(d,d',t): il disc d è immediatamente spra d' al temp t (serve sl per descrivere la situazine iniziale) Frmule: unicità dischi su pili: pil(p,d,t) p' (p' p pil(p',d,t)) definizine di disc più in alt: tp(p,d,t) (pil(p,d,t) d' (d' < d pil(p,d',t)) d = n+1 d' pil(p,d',t)) situazine iniziale: init(t) (1 =< d < n n(d,d+1,t)) (n(d,d',t) pil(1,d,t) pil(1,d,t')) situazine finale: end(t) d pil(3,d,t) mssa: mssa(p,p',t) tp(p,d,t) tp(p',d',t) d' > d pil(p',d,t+1) d",p" (d" d pil(p",d",t) pil(p",d",t+1)) partita: init(0) t ( end(t) p,p' mssa(p,p',t))

7 Esercizi 2 Si tratta di un classic cas di applicazine del terema di Rice. Infatti, il prblema può essere vist cme una specifica funzine (il cui valre, per una data cnfigurazine iniziale, ptrebbe essere la sequenza di msse, se esiste, che prta alla desiderata cnfigurazine finale). Tale funzine è vviamente calclabile. Quindi cnsiderand l insieme cstituit esattamente da tale funzine, nn è decidibile, in base al terema di Rice, se un generic algritm calcla esattamente la funzine cnsiderata. Esercizi 3 e 3 bis Ovviamente il criteri di cst lgaritmic frnisce sempre la garanzia di risultati realistici. In quest cas, tuttavia ess risulterebbe superflu e quindi inutilmente ners da applicare. Si sservi infatti che una quantità di memria limitata linearmente dal numer n di dischi è sufficiente per rappresentare qualsiasi cnfigurazine del sistema (ad esempi un array che indichi la psizine di gni disc csterebbe Θ (n) a criteri di cst cstante e Θ (n.lg(n)) a criteri lgaritmic). L applicazine di gni mssa richiederebbe perciò un temp cstante a criteri di cst cstante e al più Θ (lg(n)) a criteri di cst lgaritmic. Ne cnsegue che qualsiasi sia la cmplessità T(n) di un algritm (vviamente che nn usi la memria in md sciccamente inefficiente) calclata a criteri di cst cstante, la crrispndente cmplessità calclata a criteri di cst lgaritmic sarebbe autmaticamente Θ (T(n).lg(n)). Si nti tuttavia che la funzine T(n) invece sarà prbabilmente di un rdine di grandezza mlt elevat data la natura a ricrsine frtemente nidificata dei nrmali algritmi per rislvere il prblema.