campionatore - converte un segnale a tempo continuo in una sequenza sono quindi presenti sia variabili a tempo discreto sia variabili a tempo

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1 Ingegneria e ecnologie dei Siemi di Conrollo Campionameno e ricoruzione dei egnali Luigi Biagioi DEIS-Univerià di Bologna el lbiagioi@dei.unibo.i Ricoruore di ordine zero Ponendo la equenza x(k) in ingreo al ricoruore di ordine zero i oiene in ucia il egnale ricoruio xr(): xr() = x(k)[h( k) h( (k +) )] dove h( ) = { < Applicando la raformaa di Laplace al egnale coninuo xr() e ricordando che L[h( k)] = e k /: L[xr()] = Xr() = = e x(k) [ e k e (k+) x(k)e k Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34 ] Campionameno e Ricoruzione I iemi in reroazione con conrollo digiale ono caraerizzai da una pare coninua (il proceo da conrollare) e una pare dicrea (il conrollore digiale) ono quindi preeni ia variabili a empo dicreo ia variabili a empo coninuo i dipoiivi di inerfaccia ono: campionaore - convere un egnale a empo coninuo in una equenza di campioni prelevai negli iani =,,,...,dove è il periodo di campionameno ricoruore - e. campionaore di ordine zero e() e(k) x(k) xr() Conrollore Ricoruore Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34 Ricoruore di ordine zero Xr() = e x(k)e k Xr() può eere eprea come prodoo di: H() = e, X () = x(k)e k Aniraformando x () =L [X ()] = x(k)δ( k) dove δ( k) é l impulo di Dirac di area uniaria applicao all iane = k. Luigi Biagioi -3 Dicamp p.4/34

2 Campionameno impulivo δ () = δ () δ( k) x () =x() δ () Il egnale x () rappreena quindi una equenza di impuli di Dirac modulai in ampiezza dai campioni x(k). L operazione di moliplicazione di un egnale x() per una equenza di impuli δ () prende il nome di campionameno impulivo del egnale x(). x() X() δ () x () X () x() x () X() δ () X () Il campionaore impulivo è un modello ideale del campionaore reale (converiore A/D) coniderao adeguao alle eigenze di analii e progeo dei conrolli digiali. Luigi Biagioi -3 Dicamp p.5/34 Legame ra raformaa di Laplace e raformaa Zea X () = x(k)e k () Definiamo z come z = e = ln z La relazione () divena X () = ln z = x(k) z k Il ermine a dera é uguale alla Z-raformaa della equenza di campioni X x(), x( ), x( ),...,ovvero la Z-raformaa del egnale x() campionao negli iani = k. = X ln z = X(z) = x(k) z k ( () ) = ln z Luigi Biagioi -3 Dicamp p.7/34 Decrizione maemaica del campionaore/ricoruore x() x(k) xr() Hold x() x () e xr() δ Xr() =H() X () = e X () H() é una decrizione maemaica del ricoruore di ordine zero quando il campionaore reale viene oiuio da un campionaore ideale di ipo impulivo. Luigi Biagioi -3 Dicamp p.6/34 Spero del egnale campionao x () =x() δ () =x() n= δ( n ) Eendo periodico di periodo, δ () può eere viluppao in erie di Fourier. δ () = n= cn e jnω, cn = δ () e jnω d = dove ω =π/, dacui x () =x() n= e jnω = n= x() e jnω Luigi Biagioi -3 Dicamp p.8/34

3 Spero del egnale campionao raformando con Laplace e uilizzando le proprieà di linearià e di ralazione complea: X () =L[x ()] = n= L [ x() e jnω] = n= X( jnω) A meno della coane moliplicaiva /, la raformaa di Laplace X () del egnale campionao i oiene dalla omma degli infinii ermini X( jnω), ciacuno dei quali è oenuo da X() mediane ralazione di jnω nel campo compleo. Luigi Biagioi -3 Dicamp p.9/34 Spero del egnale campionao Nel cao in cui ω < ωc X (jω) ω ω ω ω ω La componene primaria è parzialmene ovrappoa alle componeni complemenari conigue per cui mediane filraggio non è più poibile ricavare il egnale originario a parire dal egnale campionao. Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34 Spero del egnale campionao X (jω)= n= X(jω jnω ) X(jω) ωc ωc ω Nel cao in cui ω > ωc. X (jω) ω 3ω ω ωc ω ω ω 3ω ω ω Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34 eorema di Shannon Sia ω = π la pulazione di campionameno (dea pulazione di Nyqui) ove è il periodo di campionameno, e ia ωc la più ala componene perale del egnale empo-coninuo x(). Il egnale x() è compleamene ricoruibile a parire dal egnale campionao x () e la pulazione di campionameno è maggiore del doppio della pulazione ωc: ω > ωc aliaing: fenomeno per il quale, mediane campionameno, i generano nuove componeni perali (armoniche) alla ea frequenza della componene perale di parenza. ali armoniche impedicono la correa ricoruzione del egnale di parenza. Si può avere aliaing olo nel cao in cui la condizione ω > ωc del eorema di Shannon non ia verificaa. Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34

4 Aliaing - eempio Dai egnali inuoidali: x() = in(ω + θ) y() = in((ω + nω) + θ) aveni ea fae θ e pulazione che differice di un muliplo inero n di ω. Campionando i egnali con un periodo di campionameno = π : ω x() = in(ωk + θ) y() = in((ω + nω)k + θ) = in(ωk +kπn + θ) =in(ωk + θ) i valori campionai coincidono: x(k) =y(k) Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34 Siemi del econdo ordine Campionameno della ripoa all impulo del un iema del econdo ordine: G() = Il iema G() ha un guadagno aico uniario, ha due poli complei coniugai p, = 3 ± j4, pulazione naurale ωn =5rad/ e coefficiene di morzameno δ =3/5. Diagramma di Bode della ampiezze di G(jω): cala logarimica Aliaing - eempio cao ω + ω = nω Luigi Biagioi -3 Dicamp p.4/34 G(jw) (db) cala lineare.5 G(jw) Luigi Biagioi -3 Dicamp p.5/34 Siemi del econdo ordine Applicando la Z-raformaa i ha: G(z) =Z[g()] = 5 4 e 3 in(4 ) z z e 3 co(4 ) z + e 6 Lo pero del egnale campionao g () é dao da: G (jω)=g(z) z = e jω ω π Al variare del periodo di campionameno varia l andameno perale della G (jω) Luigi Biagioi -3 Dicamp p.6/34

5 Siemi del econdo ordine Per e = π ω = π 5 i hanno gli andameni perali: ω =ω n = ω = π ω = π Avvicinando la pulazione di campionameno ω a ωn le componeni perali complemenari endono ad avvicinari e a ovrappori empre più. In queo cao, mediane filraggio, non è più poibile ricoruire il egnale x() a parire da x (). Luigi Biagioi -3 Dicamp p.7/34 Ricoruore di ordine zero Il legame ingreo-ucia è: x() =x(k), k <(k +) La ripoa all impulo del iema g() g() Indicando con h( ) la funzione gradino uniario applicaa all iane =, la funzione di raferimeno H() del ricoruore di ordine zero i oiene raformando econdo Laplace la ripoa all impulo g(): H() =L[g()] = L[h() h( )] = e = e Luigi Biagioi -3 Dicamp p.9/34 Ricoruori di egnale x(k) xr() Ricoruore I ricoruori di egnale ono dipoiivi che ricevono in ingreo una equenza x(k) di valori campionai e fornicono in ucia un egnale coninuo xr() che in qualche modo approima il egnale x() da cui è aa ricavaa la equenza x(k). Quelli di uo più comune i oengono dall epanione in erie di aylor del egnale x() nell inorno del puno = k: x() =x(k)+ dx() d =k ( k)+ d x() d =k ( k)! + eendo dipoiivi di inerfaccia ra iemi empo-dicrei e empo-coninui, poono eere rappreenai da una funzione di raferimeno coninua Hr() olo e la equenza x(k) viene inerpreaa come una equenza di impuli di Dirac aveni area pari ai valori x(k) Luigi Biagioi -3 Dicamp p.8/34 Ricoruore di ordine uno L ucia é daa da: x() =x(k)+ x(k) x((k ) ) ( k) per k <(k +). La ripoa all impulo g() è: g() La funzione di raferimeno H() é: H() = + e e + e + e = + ( e ) Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34

6 Ricoruore di ordine frazionario La relazione ingreo-ucia è: xf () =x(k)+k x(k) x((k ) ) ( k), K La ripoa all impulo gf () ha il eguene andameno: gf () K = 3 La funzione di raferimeno Hf () vale: Hf () = K + ( e ) +( K) ( e ) e Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34 Ricoruori di egnale - panoramica x(k) x() x() xf () xc() Sequenza di campioni Ordine zero Ordine uno Ordine K =.5 Ad ucia coninua Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34 Ricoruore ad ucia coninua Queo ricoruore viene uilizzao nei cai in cui i deideri avere un egnale coninuo all ucia del ricoruore in modo da non olleciare ecceivamene l auaore. L ucia é daa da: xc() =x((k ) )+ x(k) x((k ) ) ( k) per k <(k +). La ripoa all impulo gc() ha il eguene andameno: gc() Ad ea corriponde la funzione di raferimeno: Hc() = ( e ) Luigi Biagioi -3 Dicamp p./34 Corripondenza ra piano e piano z La raformaa di Laplace X () del egnale campionao è legaa alla raformaa zea X(z) della equenza di campioni x(k) dalla relazione: X () =X(z) z=e Le variabili complee e z ono legae fra di loro dalla relazione: z = e Poo = σ + jω i ha: z = e (σ+jω) = e σ e jω = e σ e kπ j(ω+ ), k inero Puni del piano la cui pulazione differice di un muliplo inero della pulazione di campionameno π/ vengono raformai nello eo puno del piano z. Quindi la relazione non è biunivoca. Luigi Biagioi -3 Dicamp p.4/34

7 Corripondenza ra piano e piano z z = e σ e jω I puni del piano a pare reale negaiva (σ <) ono in corripondenza con i puni del piano z all inerno del cerchio uniario: z = e σ < I puni ull ae immaginario (σ =) vengono mappai ul cerchio uniario ( z =), menre quelli a pare reale poiiva (σ >) vengono mappai all eerno del cerchio uniario ( z > ). È poibile uddividere il piano in rice orizzonali di ampiezza ω ali che ogni ricia ia in corripondenza biunivoca con uo il piano z. La ricia di piano delimiaa dalle ree orizzonali = jω/ e = jω/ prende il nome di ricia primaria Luigi Biagioi -3 Dicamp p.5/34 Mapping ra ricia primaria e piano z 4 3 Sricia primaria jω piano j ω j ω 4 j ω 4 j ω Im piano z 3 4 σ Re 7 Luigi Biagioi -3 Dicamp p.7/34 Corripondenza ra piano e piano z Sricia primaria jω Sricia complemenare Sricia complemenare Sricia complemenare Sricia complemenare j ω j 3ω j ω σ Re j ω j 3ω j 5ω piano Im piano z Luigi Biagioi -3 Dicamp p.6/34 Luoghi a decadimeno eponenziale coane jω piano Im piano z e σ σ σ σ e σ Re = σ + jω z = e (σ+jω) = e σ e jω = e σ Luigi Biagioi -3 Dicamp p.8/34

8 Luoghi a pulazione coane jω piano z = e (σ+jω ) Im piano z j ω jω jω σ jω ω ω z = e (σ+jω ) Re j ω z = e (σ jω ) Luigi Biagioi -3 Dicamp p.9/34 Luoghi a morzameno δ coane jw/ piano z piano - jw/ Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34 Luoghi dei puni a morzameno δ coane = ω an β + jω = ω δ + jω, ω δ jw/ piano piano z - -jw/ z = e = e ( ω an β+jω) = e ϕ an β e jϕ, ϕ = ω Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34 Luoghi a pulazione naurale ωn coane jw/ piano z piano - jw/ Luigi Biagioi -3 Dicamp p.3/34

9 Poizione dei poli in z e ripoe campionae I puni del piano e del piano z, poi in corripondenza, poono eere inerpreai anche come poli corripondeni di raformae F () ed F (z), dove F (z) è calcolaa campionando F (). Uando i luoghi caraeriici individuai i poono aegnare caraeriiche di ripoa nel empo alle poizioni dei poli nel piano z. Biogna noare che, uppoe oddifae le condizioni di Shannon ul campionameno, le caraeriiche di una funzione f() campionaa ono le ee della funzione prima del campionameno. Per eempio, ad una funzione eponenziale corriponde un andameno eponenziale della equenza dei uoi valori campionai Luigi Biagioi -3 Dicamp p.33/34 Ingegneria e ecnologie dei Siemi di Conrollo Campionameno e ricoruzione dei egnali FINE Luigi Biagioi DEIS-Univerià di Bologna el lbiagioi@dei.unibo.i Poizione dei poli in z e ripoe campionae Luigi Biagioi -3 Dicamp p.34/34