Laboratorio di Automazione

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1 Laboratorio di Automazione CASY-DEIS el

2 Schema tecnologico di un itema di controllo Y p regolatore interfaccia D/A attuatore impianto Y interfaccia A/D enore Problemi: Convertitore A/D Convertitore D/A Quantizzazione e campionamento

3 raformazioni ulle variabili all'interno dell'anello Y p regolatore interfaccia D/A attuatore impianto Y interfaccia A/D A/D enore in memoria 0000 converione in digitale 00 0 campionamento egnale digitale egnale campionato egnale analogico t

4 raformazioni ulle variabili all'interno dell'anello Y p interfaccia D/A regolatore D/A Hold Y attuatore impianto converione in analogico interfaccia A/D Hold (tenuta) enore egnale continuo quantizzato

5 Adeguamento del progetto analogico le grandezze elaborate dal regolatore digitale ono l'immagine a tempo dicreto di quelle elaborate dal regolatore analogico (a tempo continuo) l'intervallo di tempo corripondente ad un periodo di acquiizione/calcolo/attuazione è detto tempo di campionamento del regolatore digitale le grandezze attuate ono il riultato dell'elaborazione a tempo dicreto e vengono mantenute cotanti per tutto il tempo di campionamento ucceivo il regolatore va adattato per tenere conto di tutto queto il regolatore va ricritto in una forma idonea alla implementazione u calcolatore dall'equazione differenziale all equazione alle differenze

6 Spettro di un egnale campionato ia il periodo di campionamento 2/ ia f[k] la equenza dei campioni di f(t), k 0,.. ia F(j) la traformata di Fourier del egnale f(t) ia F (j) la traformata di Fourier del egnale f[n] i può dimotrare che tralazione F j F j k ( ω ) ( ω ω ) k La traformata di Fourier (pettro) di un egnale campionato f[n] è una funzione periodica ottenuta tralando ripetutamente ull'ae delle frequenze la traformata di Fourier del egnale originale f(t) Definizione k f k z Z-raformata di f[k] k 0 [ ] F z Proprietà: linearità, tralazione,..

7 Spettro di un egnale campionato Si conideri un egnale f(t) a banda limitata c F(j) F j F j n ( ω ) ( ω ω ) n - c c 0 F (j) ω > 2ω c / - c 0 c F (j) ω < 2ω c - c 0 c

8 eorema di Shannon i conideri un egnale f(t) a banda limitata c Il egnale f(t) è ricotruibile a partire dal egnale f[n] ottenuto campionando f(t) con periodo di campionamento, e la pulazione di campionamento > 2 c ω > 2ω c F (j) filtro paa bao ω < 2ω c - c 0 c filtro paa bao F (j) il egnale ricotruito è divero da f(t) - c 0 c aliaing La celta del periodo di campionamento è cruciale nei itemi digitali

9 Progetto di regolatori a tempo dicreto (digitali) due poibilità progetto diretto a tempo dicreto dicretizzazione del modello oggetto di coro pecifico II anno Laurea riennale di Ingegneria dell'automazione II anno Laurea Specialitica di Ingegneria Informatica/Elettronica (a celta) progetto a tempo continuo e dicretizzazione del regolatore più coerente con il coro di Controlli Automatici LA-LB più emplice, perché non richiede molte altre conocenze, qualche limitazione legata alla celta del tempo di campionamento occorre integrare il progetto analogico con la previione dell'effetto del dipoitivo di Hold (tenuta) preente in ucita al regolatore olitamente i egnali in un itema di controllo non ono a banda limitata filtraggio paa bao anti-aliaing

10 Dicretizzazione di regolatori continui Schema di riferimento per il progetto analogico quando i effettua il progetto del regolatore continuo occorre tenere in conto l'effetto del dipoitivo di tenuta regolatore Hold - R() H() impianto G() Y F() filtro e 2 H0 ( ) e G'() L ( ) R ( ) H ( ) G ( ) F ( ) + 2 F() è un filtro paa bao con pulazione di taglio f <. Poiché il filtro non è ideale è bene che f ia deciamente inferiore ad

11 Effetti dei dipoitivi aggiuntivi dipoitivo di tenuta ritardo di fae in 2/ raggiunge i -45 attenuazione in 2/ è pari a -3dB filtro antialiaing e l'ordine del filtro è bao attenuazione ignificativa olo a frequenza >> f faamento in f e l'ordine del filtro è elevato attenuazione elevata dopo f faamento elevato in f coniderazioni nel progetto a tempo dicreto cegliere > 0 c c < f <

12 Filtro antialiaing e Senitività del controllo Funzione di Senitività del Controllo ripetto al rumore di miura Q U( ) R( ) F( ) N( ) + R( ) H( ) G( ) F( ) ωω Q c R( ) F( ) r e R() u H() G() y - F() n l'introduzione del filtro anti-aliaing riduce anche i problemi di enitività del regolatore agli errori di miura in alta frequenza occorre comunque tenere bao il guadagno in alta frequenza del regolatore perché l'effetto del filtro (attenuazione) i omma a quello del regolatore (guadagno)

13 Metodi di dicretizzazione Metodi di approimazione frequenziale differenze all'indietro tecnica di integrazione rettangolare traformazione bilineare con o enza precompenazione frequenziale tecnica di integrazione trapezoidale buone approimazione delle caratteritiche frequenziali Metodi di approimazione nel dominio dei tempi Z - traformata teo andamento della funzione continua negli itanti di campionamento Corripondenza poli-zeri i dicretizzano ingolarmente i poli e gli zeri f.d.t. in forma fattorizzata Fondamentale la celta del empo di Campionamento

14 Metodi di dicretizzazione metodi di approimazione frequenziale i conidera la f.d.t. di un integratore Y X Per t k dy dt x t dy dt dt 0 0 t xdt k dy dt dt 0 0 k xdt [ ] ( 0) 0 k y k y xdt A Per t (k-) dy dt dt ( ) ( ) k k k xdt [( ) ] ( 0) ottraendo B ad A k [ ] [( ) ] ( k ) y k y k xdt y k y xdt B

15 Metodi di dicretizzazione metodi di approimazione frequenziale i conidera la f.d.t. di un integratore k [ ] [( ) ] ( k ) y k y k xdt [ ] [( ) ] [ ] y k y k x k x[ k ] Area rettangolo Applicando la Z-traformata [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z Y z z Y z X z Y z X z Y X L'operatore z - rappreenta il ritardo unitario z z Differenza all'indietro

16 y [ ] + ( [ k k ] y [( k ) ] xdt ) ( k ) 2 x[ k ] + x( k ) [ ] [( ) ] y k y k [ ] [ ] [ ] + [ ] z Y z z Y z + Y z z X z 2 Y X Metodi di dicretizzazione metodi di approimazione frequenziale i conidera la f.d.t. di un integratore Applicando la Z-traformata 2 [ ] [ ] X z z X z 2 x k x k + z 2 z z 2 + z Area trapezio raformazione bilineare

17 Metodi di dicretizzazione nella f.d.t. continua i effettua la otituzione R d ( z ) z oppure differenze all'indietro Eempio R a + a uando la traformazione bilineare R d a ( z) 2 z + z + a ( + z ) U z b0 E z a z + a 0 R d ( z) 2 z + z / 2 con: b 0 a/2 a 0 (a/2 - ) a (a/2 + ) ( + z ) ( a / 2 ) z + ( a / 2 + ) traformazione bilineare a

18 Eempio (continua) R d ( z) ( + z ) U b0 E z a z + a 0 In eplicito ( a z a ) U ( z ) b ( z ) + E ( z ) definiti x n [ ] ( ) x n xn x n a u + a u b e + b e 0 n n 0 n 0 n equazione ricoriva del regolatore a b u u + e + e 0 n n n n a0 a0

19 Dicretizzazione del PID traformazione alle differenze integrazione rettangolare u u + K e e + e + e e + e ( 2 ) d n n p n n n n n n 2 i traformazione bilineare integrazione trapezoidale u u + K e e + e + e + e e + e d ( 2 ) n n p n n n n n n n 2 2 i Nella formulazione implementativa i raccolgono i termini comuni

20 Coniderazioni concluive Realizzabilità della funzione ottenuta ritardo di calcolo Ditorione nel dominio delle frequenze << della minima cotante di tempo nel itema attenzione ai diturbi ad alta frequenza attenzione agli effetti (diturbi) di quantizzazione Mea in cala degli algoritmi Verifica imulativa a poteriori tra le divere tecniche traformazione bilineare molto uata Progetto del Regolatore direttamente nel dicreto i ottengono riultati migliori oprattutto e per ragioni computazionali il tempo di campionamento non può eere troppo piccolo