Controlli automatici. Funzioni di trasferimento, schemi a blocchi e sistemi elementari. Ing. Alessandro Pisano

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1 Controlli automatici Funzioni di traferimento, chemi a blocchi e itemi elementari Ing. Aleandro Piano piano@diee.unica.it

2 Una Fd è, per definizione, il rapporto tra la dl dell ucita e la dl dell ingreo. u (t) y(t) F F Y U ale rapporto deve eere indipendente dalla particolare forma dell ingreo Fd Legame I/O F N D F F Rapporto di polinomi

3 3 E. Sitema maa-molla-morzatore Legame I/O m y t by t yt F(t) Ingreo : forza applicata F(t) Ucita: poizione del carrello raformata di Laplace m Y by Y m b Y( ) F( ) Funzione di traferimento G y F Y F m b F (t) y(t) m b

4 4 Carrello u piano inclinato Legame I/O mv * t bv t F( t) mgin Ingreo : forza applicata F(t) Ucita: velocità del carrello v(t) raformata di Laplace mv * mgin bv F( ) Non rieco a determinare il rapporto V()/F() in maniera indipendente La forza peo agice come e foe un ulteriore ingreo eterno.

5 5 t bvt F(t) Def mv * F( t) F( t) mgin raformata di Laplace mv bv F() F (t) v(t) m b Schema a blocchi * mgin F(t) F (t) m b v(t)

6 6 Schema a blocchi del carrello ul piano inclinato con poizione acceibile * mgin F(t) F (t) m b v(t) y(t)

7 7 Regole di compoizione tra Fd Serie u (t) y (t) z(t) G G u(t) G G z(t) Parallelo u (t) y ( ) z(t) G G t y ( t) u (t) z(t) G G

8 8 E. Sitema maa-molla-morzatore (continua) Legame I/O m y t by t yt F(t) F (t) y(t) m b Vogliamo coniderare come ucita la velocità, e ci poniamo come obbiettivo quello di ricavare la funzione di traferimento aociata. y ( t) vt v t Y( ) V y t V Y ( ) y(t) v(t) F(t) m b y(t) v(t) Compoizione erie di blocchi Fd

9 9 E. Sitema maa-molla-morzatore (continua) Funzione di traferimento (Fd) F(t) m b y(t) v(t) F (t) v(t) m b G v F V F m b m b Fd tra forza e velocita G v F V Y V F F Y m b m b

10 0 E. Pompa che alimenta un erbatoio In un proceo indutriale, una pompa azionata da un motore viene pilotata mediante un egnale di comando v(t) e produce una portata q(t) [m 3 /] di un liquido. Il legame tra il egnale v(t) e la portata q(t) è 0. q q v La portata q(t) del liquido viene immea in un erbatoio a ezione rettangolare. Il legame tra la portata di ingreo ed il livello h(t) [m] del liquido nel erbatoio è Ah q A.5m Determinare la funzione di traferimento che mette in relazione il egnale di comando v(t) con il livello h(t) nel erbatoio 0. A Q 0. q q v F p V Ah H q F Q. 5 Sezione del erbatoio v (t) q (t) h(t) Dinamica pompa Dinamica erbatoio

11 Schema a blocchi v (t) q(t) 0. h(t).5 Fd compleiva (compoizione erie) G h v H V Fd del econdo ordine Neuno zero Un polo in =0 ed un polo in =-0

12 Feedbac ut R y(t) H u (t) y(t) R R H

13 3 Feedbac (cao particolare) ut R y(t) Sitema a retroazione unitaria u (t) y(t) R R

14 4 Feedbac (cao particolare) ut R y(t) ia Un trucco R N D R R u (t) y(t) R R u (t) y(t) N R N R D R

15 5 y(t) t u 3 Eempio 3 4 (t) u ) y(t N R 3 D R 3 4 D N N R R R

16 6 Serie/feedbac rt C G y(t) H G G r (t) C y(t) C H

17 7 Serie/feedbac (cao particolare) rt C G y(t) G G r (t) C y(t) C

18 8 Eercizio Calcolare la Fd a ciclo chiuo rt yt rt K y(t)

19 9 Eercizio (cont.) Calcolare la Fd a ciclo chiuo Y( ) R K K K K K K r (t) K y(t) K

20 0 Eercizio Calcolare la Fd a ciclo chiuo rt yt Soluzione: Y( ) R GG G3 H G G G G G4 G3 G4 H

21 Serie/feedbac con diturbo dt rt C G y(t) H r(t) C C G G H y r (t) y(t) d(t) C G G H y d (t)

22 La compoizione erie-feedbac con diturbo dicende implicitamente da un riultato molto importante denominato principio di ovrappoizione degli effetti Il comportamento di un itema dinamico lineare oggetto a più ingrei (il egnale r(t) ed il egnale d(t) ono interpretabili come due egnali di ingreo ditinti) puo eere determinato analizzando eparatamente il comportamento del itema in ripota agli ingrei ingoli, ponendo gli altri ingrei pari a zero. In altri termini, con riferimento allo chema a blocchi della lide precedente l evoluzione temporale del egnale di ucita y(t) è calcolabile come la omma di due contributi ditinti y t y ( t) r y d t y r y t d t 0 ( t) y d t r t 0 ( t) y y r è l ucita che i avrebbe in preenza del olo et-point r(t), cioe ponendo nello chema d(t)=0 y r è l ucita che i avrebbe in preenza del olo diturbo d(t), cioe ponendo nello chema r(t)=0

23 3 Eeguita queta analii per ciacuno degli ingrei, vado quindi a ommare i riultati per ricavare l evoluzione temporale della variabile di ucita nella ituazione in cui i vari termini di ingreo agicono imultaneamente r(t) C C G G H y r (t) y(t) y r t d t 0 ( t) y d(t) C G G H y d (t) y d t r t 0 ( t) y Il calcolo di y r egue da quanto gia vito circa la emplificazione degli chemi eriefeedbac in aenza di diturbo

24 4 Il calcolo di y d è meno ovvio. dt rt C G y(t) H Si motra facilmente come lo chema riportato opra, dal quale ia tato rimoo il et point (r(t)=0), poa eere ridiegnato come egue: dt H G C y d (t) C G G d (t) (t) H y d

25 5 r(t) C C G G H y r (t) y(t) d(t) C G G H y d (t) W y r t G G C Y d 0 C H R Fd et-point-ucita W y d t G G Y r 0 C D Fd diturbo-ucita Come vorremmo che foero quete Fd?

26 6 Serie/feedbac con diturbo (cao particolare) dt rt C G y(t) r(t) d(t) C C G G G C G y(t)

27 7 Serie/feedbac con diturbo (cao particolare) dt ut C G y(t) W W y r y d t t C G G Y d 0 C U G G Y r 0 C D fd ingreo-ucita fd diturbo-ucita

28 8 Serie/feedbac con diturbo (cao particolare) dt rt C G y(t) r(t) d(t) W y r W y d y(t) Y Pricipio di ovrappoizione degli effetti y y W R W D r d

29 9 Il principio di ovrappoizione degli effetti ha anche una divera coneguenza. Conideriamo il itema ut R y(t) u(t)=t+in(3t)+exp(-t) H Per determinare la ripota compleiva del itema poo calcolare eparatamente le ripote y(t) aociate ai tre ingrei u(t)=t, u(t)=in(3t), u(t)=exp(-t), e poi ommarle tra loro

30 30 Un riultato che utilizzeremo da qui a breve Il polinomio P a b c a, b, c 0 poiede due radici reali negative (coincidenti, o divere tra loro), oppure due radici complee coniugate a parte reale negativa. La prima proprietà dicende dalla regola dei egni (regola di Carteio)

31 3 Schema a blocchi del carrello ul piano inclinato con itema di controllo della velocità v de t e v t PI * mgin F(t) F (t) v(t) m b PI F( t) P e v t I t 0 e v d Vogliamo dimotrare che qualunque ia la maa m, qualunque ia il coeff. di attrito b, qualunque ia l inclinazione del piano, e comunque vada a cegliere i guadagni poitivi p e i, in preenza di un et-point cotante (v de (t)=v d ) la velocita del veicolo tende aintoticamente al valore deiderato.

32 3 t e v P I F(t) E F G I P I P v PI ) ( ) ( d e t e t F t v I v P 0 ) ( PI E E F v I v P ) ( E F G I P I P v PI ) ( ) ( Modo alternativo di ricavare la Fd del regolatore PI

33 33 Schema a blocchi del carrello ul piano inclinato con itema di controllo della velocità * mgin t v de e v t P I F(t) F (t) v(t) m b

34 34 Azzeriamo preliminarmente l inclinazione del piano mgin * 0 F( t) F t t v de e v t P I F(t) v(t) m b Fd a ciclo chiuo (emplificazione erie/feedbac) v Wv de V V de P I m b P I P I m b P I m b

35 35 Ora applichiamo il teorema del valore finale per analizzare il comportamento a regime del itema di controllo per un et-point cotante I P I P de v V b m V V W de V b m V b m V d I P I P de I P I P I P I P d b m V I P I P d b m V V Condizioni oddifatte e p e i ono poitive d t V V t v 0 lim lim d de V t v V V d de

36 36 Ora rimuoviamo l ipotei di pendenza nulla * mgin v de t e v t P I F(t) F (t) v(t) m b v de t P m b P I I v(t) * mgin m b P I

37 37 v de t P m b P I I v ( t) v(t) * mgin m b P I v ( t) E ufficiente motrare che l ucita v (t) del blocco inferiore tende a zero. V m b P I * mgin Applichiamo empre il eorema del valore finale

38 38 V m b P I mgin * mg * in m b P I V * mgin m b P I Condizioni oddifatte e p e i ono poitive t lim V 0 limt v 0 Abbiamo motrato che qualunque valore poitivo delle cotanti p e i garantice che la velocità converge aintoticamente vero il valore deiderato Ripetere la medeima analii coniderando una legge di controllo piu emplice (regolatore P) F( t) e P v t

39 39 La dl della ripota di un itema dinamico ad un ingreo a gradino unitario è ottenibile moltiplicando la corripondente Fd per / u (t) y(t) F Y F U t u t t U Y F t

40 40 Fd analii generale Una generica Fd arà eprea nella forma F bm n b a m m n n m... b b... a a 0 0 N D F F n = ordine della Fd n m Per la fiica realizzabilità Radici del polinomio N F () a numeratore Radici del polinomio D F () a denominatore ZERI della Fd POLI della Fd

41 4 F n m Quando la Fd ha poli e zeri reali e comodo riferiri alla eguente fattorizzazione della Fd Quando invece ono preenti poli (o zeri) complei coniugati i puo fare riferimento alla eguente forma piu generale,,,,,,,, pm n pm n pm p n p n z zm n zm n zm z n z n z n m F i i Cotanti di tempo

42 4 Poli (o zeri) reali ZERI z POLI p i / i Cotanti di tempo

43 43 Poli (o zeri) complei coniugati,, z n z n z,, p n p n p ZERI POLI 0 n n jb a, a n b n n Pulazione naturale della coppia di poli/zeri CC Smorzamento della coppia di poli/zeri CC 0 n

44 44 Una Fd viene detta aintoticamente tabile e tutti i uoi poli ono contenuti nel emipiano initro Un itema avente una Fd aintoticamente tabile è tale che e riceve un ingreo nullo (u(t)=0) la variabile di ucita tende aintoticamente a zero, mentre e viene applicato in ingreo un egnale cotante (u(t)=u*) l ucita tende aintoticamente vero un valore cotante (y(t)y* per t ) Un itema avente una Fd aintoticamente tabile è anche tale che e riceve un ingreo limitato ( u(t) U) la variabile di ucita i mantiene empre limitata ( y(t) Y)

45 45 Ripota al gradino delle Fd elementari La ripota al gradino è una delle caratteritiche maggiormente ignificative di un itema dinamico. Cattura le principali dinamiche, ed è di grande rilevanza nei itemi controllati. Ora analizziamo le ripote al gradino di emplici Fd (Fd elementari). Si ricordi che una Fd comunque complea puo empre eere decompota nella omma di Fd elementari, ad e. F La ripota al gradino del itema F()=/(+) puo quindi eere calcolata a partire dalle ripote al gradino aociate alle Fd più emplici / ed /(+)

46 Amplitude 46 Integratore F 5 0 Ripota al gradino di integratori a guadagno variabile = = =5 Nei itemi con poli nell origine (impianti integratori ) la ripota al gradino diverge. Modella itemi di accumulo (e. erbatoi enza perdite) mu=; mu=; mu3=5; ime (ec) S=tf(mu,[ 0]); S=tf(mu,[ 0]); S3=tf(mu3,[ 0]); tep(s,s,s3,[0:0.0:5]),grid,legend('\mu=','\mu=','\mu=5') title('ripota al gradino di integratori a guadagno variabile')

47 47 Studiamo la ripota al gradino di itemi aintoticamente tabili y max 0.0 y 0.0 y y S y y y max % 00 Sovraelongazione percentuale a % empo di aetamento all % (=,,5)

48 48 Calcoliamo il valore a regime y della ripota al gradino della eguente Fd aintoticamente tabile applicando il teorema del valore finale F... m... n i 0 i La ripota al gradino ha dl F eorema del valore finale (condizione di applicabilità oddifatta): F y lim 0 F 0 La ripota al gradino unitario di un itema aintoticamente tabile (cioè un itema con tutti i poli trettamente contenuti nel emipiano initro) tende aintoticamente al valore del guadagno

49 49 Studiamo la ripota al gradino di itemi aintoticamente tabili empo di maimo empo di ritardo empo di alita Periodo della prima ocillazione S y max y y % 00 Sovraelongazione percentuale empo di aetamento all % (=,,5) a %

50 50 F y y t e t y 0 0 y y 0 F Y Rioluzione della equazione differenziale mediante dl t e t y t e L L L t y Si riottiene:

51 Amplitude 5 F a5% a% a % Ripota al gradino di itemi SC mu=; =0.; =; 3=; S4=tf(mu,[ ]); S5=tf(mu,[ ]); S6=tf(mu,[3 ]);.5 tep(s4,s5,s6,[0:0.0:0]),grid, axi([ ]) legend('=0.','=','=') title('ripota al gradino di itemi SC') 0.5 =0. = = ime (ec)

52 5 F Poniamo Lo zero ta più vicino all origine ripetto al polo Lo zero ta più lontano dall origine ripetto al polo Lo zero ta nel emipiano detro y t e t y 0 Dicontinuità iniziale

53 53 Il alto all itante iniziale non ci deve tupire perché: F ermine itantaneo 0 t 0

54 Amplitude 54 Step Repone E. 4 alfa=- alfa=- alfa=0.5 alfa=.5 mu=.5; =0.; alfa=-; alfa=-; alfa3=0.5; alfa4=.5; S7=tf(mu*[alfa* ],[ ]); S8=tf(mu*[alfa* ],[ ]); S9=tf(mu*[alfa3* ],[ ]); S0=tf(mu*[alfa4* ],[ ]); tep(s7,s8,s9,s0,[0:0.0:0]),grid legend('alfa=-','alfa=-','alfa=0.5','alfa=.5') axi([ ]) ime (ec)

55 55 F Fd del econdo ordine, enza zeri (m=0), e con due poli (n=) reali negativi 0 p p y y y 0 0 y 0 y 0 0 y t t e e t y Soluzione in forma chiua

56 56 t Ripota al gradino enza ovraelongazione La ripota i velocizza e riduco le cotanti di tempo e La velocità di ripota è primariamente influenzata dalla cotante di tempo più elevata

57 57 t t e e t y 0 t e t y polo dominante Se le due cotanti di tempo ono enibilmente divere. L approimazione diventa (indicativamente) lecita quando > 5

58 Amplitude Amplitude 58 Step Repone mu=; =; =; 3=0.5; 4=; =, = = = S=tf(mu,conv([ ],[ ])); S3=tf(mu,conv([3 ],[4 ])); figure() tep(s,s3,[0:0.0:0]),grid legend('=, =','= =0.5') 5=; 4=; S=tf(mu,conv([ ],[ ])); S4=tf(mu,conv([4 ],[5 ])); figure() tep(s,s4,[0:0.0:0]),grid legend('=, =','= =') ime (ec) Step Repone =, = = = ime (ec)

59 59 F Fd del econdo ordine (n=), con uno zero (m=), e con due poli reali negativi 0 t t e e t y Soluzione in forma chiua Se la cotante di tempo dello zero è negativa (<0) i ha che 0 0 y La ripota al gradino preenta quindi il fenomeno dell underhoot

60 60 0 Sitema con zero a parte reale poitiva (itema a fae non minima) t Sottoelongazione tanto più marcata al decrecere di

61 Amplitude 6 x x.5 Step Repone = - = Sottoelongazione 0 mu=; =; =; tau=-; tau=-; ime (ec) S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); figure() tep(s,s,[0:0.0:0]),grid legend('\tau = -','\tau = -')

62 Amplitude 6 x x Step Repone = 5 = 0 3 Sovraelongazione mu=; =; =; au=0; tau=5; ime (ec) S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); figure() tep(s,s,[0:0.0:0]),grid legend('\tau = -','\tau = -')

63 Amplitude Step Repone Sitema completo Sitema di ordine ridotto x x.5 Cancellazione polo-zero mu=; =; =; tau=.; ime (ec) S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); S=tf(mu,[ ]); figure() tep(s,s,[0:0.0:0]),grid legend('sitema completo','sitema di ordine ridotto')

64 Amplitude 64.5 Step Repone Sitema completo Sitema di ordine ridotto x x.5 La cancellazione polo-zero da luogo ad errori ignificativi, nel tempo di aetamento quando i cancella una coppia PZ lenta, e le cotanti di tempo reidue ono molto più piccole, come in queto eempio ime (ec) mu=; =0.; =; tau=.; S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); S=tf(mu,[ ]); figure() tep(s,s,[0:0.0:0]),grid legend('sitema completo','sitema di ordine ridotto')

65 Amplitude 65 x x 3.5 Step Repone Sitema completo Sitema del econdo ordine enza lo zero.5 mu=; =; =; tau=.5; Velocizzazione della ripota ripetto al itema del econdo ordine enza lo zero ime (ec) S=tf(mu*[tau ],conv([ ],[ ])); S=tf(mu,conv([ ],[ ])); figure() tep(s,s,[0:0.0:0]),grid legend('sitema completo','sitema enza lo zero')

66 66 n n n n n F Sitema con due poli complei coniugati x x 0 n Re Im

67 Im a n b Re in, a a n jb 67 n b n a b n 0 Immaginari puri, jn Reali e coincidenti negativi, n Reali e coincidenti poitivi, n

68 Amplitude 68 n 0 F yt co nt n F Ocillazione permanente non morzata Step Repone tep(9,[ 0 9],0:0.0:0) grid axi([0 0-6]) mu=9/5 =(*pi)/qrt(5) ime (ec)

69 69 Ripota parametrizzata Parte con tangente piatta (grado relativo )

70 70 Ripota parametrizzata n Dilata/contrae orizzontalmente l ae dei tempi Sovraelongazione percentuale, e rapidità di etinzione delle ocillazioni

71 7 Primo maimo e ovraelongazione percentuale n max n max S y max y max e y max % e

72 7 Sovraelongazione percentuale v. morzamento S% 00e Sovraelongazione percentuale S % xi=0:0.0:; =00*exp((-(xi*pi)./(qrt(-xi.^)))); plot(xi,,''),grid xlabel('smorzamento [\xi]') ylabel('sovraelongazione percentuale S_%') Smorzamento []

73 73 a % ln 0. 0 n eq n a5% a% a % F n n n 3 n 3.9 n 4.6 n F F

74 74 abelle approimate a5% a% a % F n n n 3 eq 4 eq 5 eq F F 3 4 5

75 75 Confrontiamo le ripote di un itema del primo ordine e di un itema del econdo ordine F F n n n Imponendo che la cotante di tempo del itema del primo ordine e la cotante di tempo equivalente n del itema del econdo ordine iano coincidenti n Ci attendiamo un tempo di aetamento all % pari a 4 ec n eq 5 4 n

76 76 cloe all =4/5; mu=; xi=0.7; omegan=/(*xi); [Y,]=tep(tf(,[ ]),0); [Y,]=tep(tf(mu*omegan^,[ *xi*omegan omegan^]),0); figure() plot(,y,'r-',,y,'b-',,0.99*one(,length()),'-.',,.0*one(,length()),'-.'),grid legend('sit polo reale','sit poli c.c.') figure() plot(,y,'r-',,y,'b-',,0.99*one(,length()),'-.',,.0*one(,length()),'-.'),grid legend('sit polo reale','sit poli c.c.') axi([ ])

77 77.4. Sit polo reale Sit poli c.c Sit polo reale Sit poli c.c a 4 %

78 78 Sitema con due poli complei coniugati e uno zero reale F n n n 0 n 0 x x Im Re A. Underhooting, e ucceive ocillazioni morzate vero il regime B. Sovraelongazione marcata e molto vicino all origine x x Im n Re C. Progreivamente ininfluente x x Im 0 n Re

79 Amplitude 79 cloe all clear all tau=-; xi=0.5; omegan=0; mu=5; F=tf(mu*omegan^*[tau ],[ *xi*omegan omegan^]); tep(f),grid A. Underhooting, e ucceive ocillazioni morzate vero il regime 0 x x Im Re Step Repone ime (ec)

80 Amplitude 80 cloe all clear all tau=; xi=0.5; omegan=0; mu=5; F=tf(mu*omegan^*[tau ],[ *xi*omegan omegan^]); tau=4; F=tf(mu*omegan^*[tau ],[ *xi*omegan omegan^]); tep(f,f),grid legend('\tau=','\tau = 4') 0 B. Aumenta la ovraelongazione 00 Step Repone = = 4 x x 0. n Im Re ime (ec)

81 Amplitude 8 cloe all clear all tau=0.0; xi=0.5; omegan=0; mu=5; F=tf(mu*omegan^*[tau ],[ *xi*omegan omegan^]); tau=0.0; F=tf(mu*omegan^*[tau ],[ *xi*omegan omegan^]); tep(f,f),grid legend('\tau=0.0','\tau = 0.0') 0. n C. Progreivamente ininfluente Step Repone =0.0 = 0.0 x x Im Re ime (ec)

82 E. Si tracci l andamento qualitativo della ripota al gradino unitario dei itemi decritti dalle eguenti funzioni di traferimento. Si epliciti anche il legame differenziale ingreo-ucita 8

83 83 dy( t) dt y( t) 4u( t) y 0

84 84 dy( t) dt y( t) 0.5 du( t) dt u( t) y y

85 85 ) ( 0 ) ( ) (. ) (. 0 t u t y dt t dy dt t y d ) ( 00 ) ( 0 ) ( ) ( t u t y dt t dy dt t y d

86 Amplitude 86 Motore in corrente continua R=0.46, L=5 mh, J = 0.0 g m, B= N/rad, K=0.5 N/A G V K 3.97 R LB J K Le cotanti di tempo differicono per un fattore 5 G 3.97 appr Step Repone G() Gappr() ime (ec)

87 87

88 88 G j j0. 99 Im x Poli dominanti x x x Re x

89 Amplitude 89 G G appr Step Repone G() Gappr() ime (ec) deng=conv([0. ],[.00.0 ]); deng=conv(deng,[ 0. ]); G=tf(,denG); Gappr=tf(,[ 0. ]); tep(g,gappr),grid legend('g()','gappr()')

90 90 Controlli automatici Luogo delle radici Ing. Aleandro Piano

91 9 Il luogo delle radici nace per riolvere il eguente problema: Dati due polinomi P() e P(), determinare come variano, al variare del numero reale poitivo, le radici del polinomio P( ) P P [ 0, )

92 9 Nel conteto della teoria dei controlli, tale problema i incontra nel momento in cui i analizza il eguente itema di controllo in retroazione y de t G y(t) H e ci i pone il problema di determinare la dipendenza dei poli della Fd a ciclo chiuo dal guadagno. N.B. La Fd G() accorpa, a meno del guadagno, le Fd del regolatore e del proceo

93 93 Schema equivalente y de t G G H y(t) Siano G N D G G H N D H H La Fd a ciclo chiuo è W y y de G G H N D NG D G G G N D H H D G NG DH D N N H G H

94 W y y de G G H N D NG D G G G N D H H D G NG DH D N N H G H 94 I uoi poli ono le radici del polinomio caratteritico P car D D N N G H G H che può eere epreo nella forma P car ( ) P P Operativamente, è conveniente riferiri alla Fd a ciclo aperto (ecludendo dal ciclo il guadagno ) L G H P P D D G H N N G H

95 95 parametrizzata nella maniera eguente (fattorizzazione poli-zeri, o PZ ) L z z... zm p p... p n Nei itemi dinamici fiicamente realizzabili i avra empre n Il coefficiente viene denominato guadagno in alta frequenza m lim nm L Guadagno in HF della L() P car p p p z z... z... n m Grado n Poli della Fd a ciclo aperto L() Zeri della Fd a ciclo aperto L()

96 96 Eempio Analii del carrello in movimento u piano con pendenza nulla v de t e v t P I F(t) v(t) m b Il regolatore PI può eere epreo come R PI P I P I / P v de t e v t p I / P F(t) v(t) m b

97 97 Eempio v de t e v t p I / P F(t) v(t) m b L() Il guadagno proporzionale p è il parametro ripetto al quale i deidera tracciare il luogo delle radici, analizzando coi la dipendenza dei poli a ciclo chiuo del itema retroazionato dal guadagno p otto l ipotei che il rapporto tra le cotanti proporzionale ed integrale, i/p, venga mantenuto cotante.

98 98 m b ) v(t F(t) t e v P I / t v de p Fd a ciclo aperto (ecludendo dal ciclo la p) m b m b m L P I P I / L() m P I z p 0 m b p p p z m b m m b m L P I P I Sviluppiamo ulteriormente la Fd a ciclo aperto Il valore del rapporto i/p, con il meno davanti, definice la poizione dello zero z=-i/p che il regolatore aggiunge alla Fd L() a ciclo aperto. Il regolatore aggiunge alla L() anche un polo nell origine (p=0). Eempio

99 99 Eempio v de t e v t p m I P b m v(t) L() P car b m p m I P Poli della L() Guadagno in HF della L() Zeri della L() Si oervi come nella L() vadano a confluire i poli e gli zeri ia del regolatore che del proceo. La poizione dello zero è un ulteriore grado di liberta ripetto al guadagno. La analii del luogo delle radici aociato alla L(), che cotruiremo di qui a breve, ci fornirà importanti indicazioni in merito alla taratura del regolatore.

100 00 6 L E. 6 lim 6 lim lim F m n 3 0 lim 0 L L L Guadagno in alta frequenza L m n lim E differente dal guadagno in baa frequenza 0 lim 0 L L

101 0 Il LdR è una cotruzione grafica che conite nell inieme delle traiettorie che i poli a ciclo chiuo (le n radici del polinomio Pcar()) percorrono nel piano compleo quando il parametro varia tra zero e infinito. Si avranno pertanto n curve parametriche nel piano, orientate econdo il vero crecente del parametro E. Un poibile LdR per n=3 0 Im 0 Re 0

102 0 La cotruzione del luogo ha inizio riportando ul piano compleo le poizione dei poli p i e degli zeri z i della Fd a ciclo aperto E. n=4 m= x poli zeri x Im x x x Re I punti di partenza (=0) degli n rami del LdR ono gli n poli della Fdt a ciclo aperto identificati in figura. Cio non deve tupire perché: P car p p p z z... z 0... n m

103 03 Il luogo ha n rami, dei quali, per m convergono vero gli zeri n-m convergono vero direzioni aintotiche (una tella di emirette che i dipartono dal punto dell ae reale avente acia x ) Sia il luogo delle radici che l inieme delle direzioni aintotiche riultano eere immetrici ripetto all ae reale. ASINOI Centro tella x n p m i i i n m z i Angoli formati con l ae reale poitivo n m 0,,..., n m

104 04 Direzioni aintotiche adiacenti formano empre lo teo angolo n m Se il numero delle direzioni aintotiche (n-m) è dipari, ve ne è empre una diretta come l ae reale negativo, ovrappota ad eo. Se il numero delle direzioni aintotiche (n-m) è pari, neuna di quete è diretta come l ae reale Im Im

105 Direzioni aintotiche adiacenti formano empre lo teo angolo Se il numero delle direzioni aintotiche è dipari, ve ne è empre una diretta come l ae reale negativo, ovrappota ad eo. n m 05 Se il numero delle direzioni aintotiche è pari, neuna direzione aintotica è diretta come l ae reale Im Im

106 n m 0 0 x Im Re n m 06 n m 0 / 3 / x 0 Im Re n m 3 0 / 3 5 /3 300 Im 0 n m 4 Im x Re 0 x 3 Re

107 07 Appartengono al luogo delle radici tutti i egmenti dell ae reale che laciano alla propria detra un numero dipari di poli e zeri E. n=4 m= x poli zeri x Im x x Re x I egmenti dell ae reale identificati a eguito di tale proprietà ono tali che: e uno di ei unice un polo ad uno zero allora tale egmento cotituice uno dei rami del luogo delle radici. e uno di ei parte da un polo e poi evolve vero meno infinito allora tale egmento cotituice uno dei rami del luogo delle radici.

108 08 Capita talvolta che due (o più) rami del luogo delle radici confluicano l uno vero l altro fino a incontrari in un punto. ali punti vengono chiamati punti doppi. utti i punti doppi *, e ve ne ono, oddifano la relazione z m n * * i i i pi 0 detta equazione dei punti doppi NB L equazione dei punti doppi fornice anche oluzioni addizionali non ammiibili (in quanto non appartenenti al luogo delle radici) che vanno cartate. L inieme di tutte le regole di tracciamento date conente di definire in maniera alquanto attendibile l andamento del luogo

109 Lita delle regole di tracciamento 09. Riporto ul piano compleo le poizione dei poli p i e degli zeri z i della L(). Gli n rami partono per =0 dai poli p i e convergono, per valori di tendenti a +, vero gli zeri z i o vero le direzioni aintotiche 3. Centro tella degli aintoti 4. Direzioni aintotiche x n p m i i i n m n m n m z i n m 3 n m 4

110 0 5. Il luogo delle radici è immetrico ripetto all ae reale. 6. Appartengono al luogo delle radici tutti i egmenti dell ae reale che laciano alla propria detra un numero dipari di poli e zeri. Se qualcuno di tali egmenti unice un polo ad uno zero, oppure e va da un polo vero meno infinito, allora è uno dei rami del luogo delle radici. 7. Equazione dei punti doppi z m n * * i i i pi 0

111 E. L Due cai: p y de t p y(t) p 0 Im p 0 Im x p Re x p Re Appartiene al luogo il egmento alla initra del polo, ed è anche uno dei rami del luogo (l unico ramo in queto cao) W y y de p P car p p