LUOGO DELLE RADICI. Regole di Tracciamento (LD)

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1 LUOGO DELLE RADICI Introduzione Regole di Tracciamento (LD) Applicazioni ed Eempi Luogo Invero

2 Riferimenti Introduzione Capitolo 3 Teto di Bolzern Capitolo Lewi (download)... Richiami Modellitica Decrizione Prop. Strut. Analii Analii Sintei Prelim. Con. Avanzati Con. Standard

3 Controller Actuator Plant - K () G () A G () S G () Senor G ( ) K( ) G ( ) G( ) G ( ) G ( ) OL A S Pretazioni nel dominio del tempo OL Locazione dei poli in ciclo chiuo all interno del OLHP y lim y( t) lim y( )... t K v K p Poli dominanti (,,, ) n M T T p a polo y( ) 63% y y y max n 4 n co y % d e

4 Introduzione Una delle tecniche diponibili per l'analii e la intei dei itemi di controllo in retroazione è quella del metodo del Luogo delle Radici; tale tecnica fornice il luogo decritto nel piano compleo dai poli in ciclo chiuo in funzione del guadagno di anello. Il Luogo delle Radici tudia il comportamento dinamico del itema in ciclo chiuo partendo dalle caratteritiche della FdT in anello aperto Il Luogo delle Radici conidera itemi enza ritardo di anello (a meno di approimazione di Padè). Il Metodo del Luogo delle Radici è tradizionalmente complementare alle altre tecniche (p.e. la ripota in Frequenza) e i applica nella ua verione più comune a itemi SISO in quanto può eere viualizzato graficamente in forma qualitativa. Il Metodo del Luogo delle Radici è uato ia come Analii dei itemi di controllo, che di Sintei del controllore in anello chiuo

5 In 949 Evan howed how the characteritic equation could be olved by plotting the locu of point that have a imple relationhip with other nown point, that i, angle that um to 8. Evan developed a imple, equential proce, which engineer ued to generate etche in econd, and a pecialized protractor, which upported high accuracy in minute. Firt ued by North American Aviation deigner and taught at UCLA, the application and intruction of Evan new method pread rapidly to other companie and univeritie. Introduzione

6 Richiami Parametri della ripota temporale: u( t) y ( t) RAMP SS lim G ( ) OL V STEP SS G K lim OL ( ) p M p e, T T a n =, d ln 3 n n r - G () comp u d G() y R n n G () en M M e R p G( j ).77 G( j) BW Il controllore (compenatore) è reponabile della compenazione dei requiiti del proceo in termini di ripota temporale, quindi di locazione dei poli in anello chiuo

7 Definizioni Conideriamo un itema lineare in retroazione: r - H() u d G() y K( ) H( ) L( ) K( ) G( ) H( ) G( ) H( ) G( ) G( ) y( ) r( ) d( ) H( ) G( ) G( ) H( ) r - u d H() G() y G () y( ) [ d( ) r( )] H( ) G( ) Equazione Caratteritica in Ciclo Chiuo: D( ) H( ) G( ) L( ) Funzione di Traferimento di Anello: L( ) G ( ) K( ) G( ) H( ) G( ) OL

8 Definizioni Richiami: un luogo geometrico (in D per emplicità), o più emplicemente un luogo, è l'inieme di tutti e oli i punti del piano che godono di una determinata proprietà. Eempio: L'ellie è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è cotante la omma delle ditanze da due punti fii detti fuochi Definizione di Luogo delle Radici: Per un itema in retroazione i definice luogo delle radici, il luogo decritto nel piano compleo dalle radici dell'equazione caratteritica D() =, al variare del parametro reale da - a + D( ) H( ) G( ) G ( ) : G ( ), G ( ) G ( ) H ( ) OL Ovvero: Il Luogo delle Radici decrive il movimento dei poli in ciclo chiuo al variare del guadagno di anello. Si definice Luogo Diretto (LD) quando il guadagno varia da < < Si definice Luogo Invero (LI) quando il guadagno varia da - < < Il guadagno non è neceariamente il guadagno tatico del itema, come quello uato tradizionalemente la ripota in frequenza m ( z ) z j N () j j G ( ), m n; OL n STAT n D () ( p ) p i i OL OL m i j i

9 Eempi Eempio: G () < < G ( ) G ( ) OL CL Il luogo delle radici (diretto) i calcola riolvendo per, al variare di da a +, Il polo in ciclo chiuo vale = ( - ) e il itema è aintoticamente tabile per tutti i > ; y=/(-)

10 Eempi Eempio: G () ( )( ) G ( ) G ( ) OL CL ( )( ) Vogliamo trovare il luogo dei punti del piano compleo (con < < ) per cui: Il luogo delle radici traccia ul piano compleo i poli in ciclo chiuo al variare del guadagno, in queto cao:, 4( ), [, ). = (non reazionato) =, = -. = = -, = 3. = 9/4 = = -/ 4. > 9/4 i poli di anello chiuo diventano complei e coniugati con parte reale = -.5 e parte immaginaria che, j 4 9

11 Eempi Si deduce coì che per > il itema in ciclo chiuo è aintoticamente Stabile y=/(^+-)

12 Eempi Commenti: Se i deidera una ripota in ciclo chiuo enza ocillazioni, deve eere: < < 9/4 Se i deidera una ripota tranitoria con una ovraelongazione del % i ha: MP ( / ). e rad / ec n n Eendo co =, i ha: 4 9 n ( )( )

13 Eempi w BW rad/ec Eempio con SISOTOOL

14 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Il Luogo delle Radici è tracciabile mediante auilio numerico, baato u un certo numero di regole, che ne permette anche il tracciamento grafico qualitativo m j n i D(, ) G( ) H( ) G( ) H( ) m j n i ( z ) ( z ) j ( p ) j ( p ) i i m Luogo Diretto ( > ) m n m n ( z ) ( p ) j i j i j i j i ( z ) ( p ) ( ) j j i n i G( ) H( ) j n i ( z ) ( p ) ( ) ( intero) m j i Un punto appartiene al luogo e e olo e la omma algebrica degli angoli ottintei dai poli e dagli zeri è un multiplo dipari di p ed il rapporto dei moduli è pari a / P( ) P( ) P( ) Q( ) Q( ) P( ) Q( )

15 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. : Se =, I poli in ciclo aperto e ciclo chiuo coincidono. Quindi il luogo parte dai poli della funzione di traferimento in ciclo aperto. G( ) H( ) m j n i ( z ) j ( p ) i m j j G( ) H( ) p n i i ( z ) ( p ) i G( ) H( ) ( ) ( 4) G( ) H( ) ( ) ( 8) = = y=(+)/((-)*(+4)) Il numero dei poli in ciclo chiuo è empre uguale al numero dei poli in ciclo aperto quando il guadagno varia da a + N ( ) N ( ) ol D ( ) N ( ) D ( ) ol ol ol ol

16 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. : Per =>, i poli in ciclo chiuo tendono a: Gli zeri ad anello aperto infinito G( ) H( ) m j j ( ) ( ) n G H i ( z ) ( p ) i z j Data una FdT in Anello Aperto con n poli e m zeri (con n m), e, m poli a ciclo chiuo tendono agli m zeri di anello aperto e i retanti n-m poli a ciclo chiuo = = = = = y=(^+*+6)/(^5+*^4+*^3+*^+3*+6)

17 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 3: Il luogo delle radici ha un numero di rami pari al numero n dei poli in anello aperto (ogni polo in anello chiuo che i muove nel piano compleo definice un ramo del luogo). G( ) H( ) ( )( 3)( 4) Il luogo delle radici preenta tre rami; per = il luogo delle radici parte dai tre punti -, - 3, -4 (Regola ); mentre per due rami vanno all'infinito e il terzo va a -, dove i trova lo zero di anello aperto (Regola ). 3 y=tf([,],[,9,6,4])

18 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 4: Il luogo delle radici è immetrico ripetto all ae reale, in quanto decrive l andamento di un et di numeri autoconiugati G( ) H( ) ( )( 3)( 4) Nota: Tracciamento approimato

19 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 5: I poli in ciclo chiuo (n m) che tendono all infinito eguono direzioni aintotiche quando. Gli aintoti hanno l origine in comune x a e formano con l ae reale un angolo pari a y ar. La omma dei poli (e in ecceo di o uperiore) rimane cotante all aumentare di. Il baricentro del Luogo è dato da x b. x a i n p m i j n m z j a (r ), r,,,..., n m n m 3: p/3, p, 5p/3 : p. : p/, 3p/ 4: p/4, 3p/4, 5p/4, 7p/4 x b n i n p ; n m i NOTA: e vi ono o più aintoti, la omma dei poli è cotante al variare di K!!!!

20 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) G ( ) H ( ) 4 ( )( 3)( 4) G( ) H( ) ( )( ) x a i n m p z i j j 3 4 n m 3 3, a a 4 x a 4 4, ,, a a a y=tf([,4],conv([ ],[ -]))

21 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 6: Lungo l ae reale, il luogo lacia alla propria detra un numero dipari di ingolarità (poli e zeri in anello aperto). m n m n ( z ) ( p ) j i j i j i j i ( ) ( intero) G( ) H( ) y=(+)/(^+*) ( ) Regola No. 7: Il luogo lacia l ae reale e/o rientra ull ae reale con pendenza 9, in punti predefiniti e calcolati mediante la relazione (per due rami): d d Nota: Il calcolo di tale relazione può portare a divere oluzioni, alcune anche non accettabili poiché i punti coì ricavati non appartengono al luogo delle radici diretto (ma a quello invero, vedi dopo).

22 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) 4 G( ) H( ) G( ) H( ) ( )( ) ( )( ) 4 d d ( 4) ( 4) 3 3 (3 )( 4) y=(+4)/(^3-^) y=(+)/(^) G( ) H( ) Per la regola 6 però, olo 3 appartiene al luogo delle radici e riulta eere un punto di ucita d d

23 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 8: L angolo di partenza da una coppia di poli complei e coniugati e l angolo di arrivo ad una coppia di zeri complei e coniugati i calcolano mediante le eguenti epreioni: n ( ) ( p p ) ( p z ) p i j i j i m ( ) ( z z ) ( z p ) z j i j i j I poli e gli zeri di anello aperto rappreentano punti di partenza e di arrivo dei rami del luogo delle radici; nel cao in cui tali ingolarità iano reali, i rami vi partono o arrivano lungo l'ae reale ma e invece i è in preenza di poli o zeri complei e coniugati, può eere importante conocere l'angolo di partenza o arrivo. L appartenenza al luogo delle radici richiede come è noto: m n m n H( ) G( ) ( z ) ( p ) ( ) ( intero) j j i i

24 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Conideriamo un punto nell'intorno infiniteimo della ingolarità (polo o zero) e appartenente al luogo delle radici, fruttando la relazione di fae e tenendo preente che, otto quete ipotei, la tangente i può "confondere" con l'angolo, i ha:

25 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) G( ) H( ) OL 3 OL p j, 5 j.866, z,, 6 p 6 3 T () ( ) ( ) d 4 ( ) d ( ) y=(+)/(^++)

26 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) OL OL G( ) H( ) z, 5 j.866, p,,, ( )? Im 5 Im 5 R z R ( ) d d, T () ( ) ( ) ( )

27 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. 9: Il valore del guadagno per cui il luogo delle radici attravera l ae immaginario i trova uando il criterio di Routh. Queta regola è di etrema importanza perché determina uno o più critici, cioè i valori maimo/minimo del guadagno prima che il itema divenga intabile o neceario per la tabilità del itema teo (a ciclo chiuo). G( ) H( ) G( ) H( ) CR =, Sitema in Ciclo Chiuo Aintoticamente Stabile per > CR =

28 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) G( ) H( ) OL z, p j OL, d d.36, 3.36 G( ) H( ) ( ) K CR = y=(+)/(^-*+) iotool

29 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) G( ) H( ) OL z, p j OL, d d.36, 3.36 G( ) H( ) ( ) CR = ma, in queto cao, il itema in ciclo chiuo è aintoticamente tabile per valori del guadagni inferiori a quello critico. y=(-)/(^-*+) iotool

30 Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Regola No. : Gli zeri in anello aperto attraggono i rami del luogo, i poli in anello aperto repingono i rami del luogo. Queta regola riulta fondamentale nel progetto e nella fae di intei in quanto fornice indicazioni ul numero e locazione delle ingolarità del controllore K() G( ), H( ) H () G( ) H( ) H()

31 Sommario, >. Regole di Tracciamento (Luogo Diretto) Nota: per il tracciamento del Luogo delle Radici, non fa differenza la natura di, G(), H(). Ovvero poono eere parte del proceo, parte del controllore, in catena diretta, oppure in catena di retroazione

32 ( )( ) G () OL ( )( ) Eempi e Applicazioni. Singolarità: Zeri +, +; Poli -, -. Non vi ono Aintoti 3. Vi ono rami che i ditaccano dall ae Reale e poi rientrano d d ( 3 ) 6, 4. Eite un CR, calcolabile con il Criterio di Routh D( ) ( ) 3( ) ( ) y=((-)*(-))/(^+3*+) ( ) 3( ) ( ) CR = ; < CR

33 Eempi e Applicazioni ( )( ) G () OL ( )( ). Singolarità: Zeri +, -; Poli -, -5+-j8.66, ci ono 3 rami. No. Aintoti = 3. Calcolo Angolo di partenza dai poli complei e coniugati

34 Eempi e Applicazioni 4. Calcolo Punti di Ingreo/Ucita G ( ) OL d d ( )( ) ( )( ).3,.5 5. Calcolo critico, < CR per la tabilità aintotica in anello chiuo 3 D( ) ( ) ( ) 3 3 < CR = 5 y=((-)*(+))/((^+*+)*(+))

35 Eempi e Applicazioni G 5 () OL ( )( 7)( 3 3). Zeri: -5; Poli:, +, -7, -.5+-j.866, Il Luogo ha 5 rami. No. Aintoti = 4 x a = = 5 4 a a a a 3 = 3 5 7,,, Eite punto di ucita 4. Angolo di Ucita dai Poli Complei d d 5 ( )( 7)( 3 3), p

36 Eempi e Applicazioni Il itema in ciclo chiuo è empre INSTABILE y=(+5)/((^-)*(+7)*(^+3*+3))

37 Eempi e Applicazioni G OL () ( 5) (.5)( ). Zeri: -5; Poli:, -.5, -5+-j8.66: Il Luogo ha 5 rami. No. Aintoti = 3 x a ,, 3 3 a a a Eitono punto di ucita ed punto di ingreo d d 5 (.5)( ) -8.4, -.5

38 Eempi e Applicazioni 4. Angolo di Ucita dai Poli Complei Calcolo critico con Routh D ( ) ( 5) (.5)( ) D 4 3 ( ).5 5 (5 ) (5.5 )(5 ) 55.5 (5.5 ) 5 5

39 Eempi e Applicazioni CR =

40 y=(+5)/(^4+.5*^3+5*^+5*) Eempi e Applicazioni

41 Eempi ed Applicazioni Eempio di Sintei Dato il itema G(), progettare un controllore tale che:. L errore a regime al gradino unitario ia =. La ripota tranitoria ia dominata da un comportamento del primo ordine G( ) ; p j, Conideriamo una variazione di guadagno. Il luogo delle Radici per > è dato da: G ( ) K( ) G( ) OL E neceario introdurre un polo all origine per oddifare il requiito di ripota a regime. Un controllore poibile è quindi: G ( ) K( ) G( ) OL K ()

42 Eempi ed Applicazioni Per attirare i rami intabili nel emipiano di parte reale negativa, occorre introdurre uno ZERO (regola ). Conideriamo un controllore P I: K() ( z ) G ( ) K( ) G( ) OL ( z ) D z ( ) ( ) ( ) D z 3 ( ) ( ) CN di Routh non è oddifatta ed il itema in ciclo chiuo è empre intabile

43 Eempi ed Applicazioni La regola uggerice l inerimento di almeno un ulteriore zero per "attrarre" il luogo delle radici nel emipiano di parte reale negativa Un poibile controllore è un Controllore ( z )( z ) indutriale di nome P-I-D ed ha la forma K() generale (formalmente non cauale): ( z )( z ) G ( ) K( ) G( ) OL D z z ( ) ( ) ( )( ) 3 z z z z ( ) [ ( )] +(z+z) - zz (*) zz (*) ( )[ ( z z )] z z ( )

44 Eempi ed Applicazioni Il controllore celto, tabilizza il itema in ciclo chiuo per valori del guadagno maggiori del cr, ma è un controllore non cauale (due zeri ed un polo). Riulta neceario aggiungere almeno un polo, Fuori Banda, in modo da influenzare il meno poibile la tabilità in ciclo chiuo del itema. L aggiunta di poli fuori dalla banda paante ovvero a frequenza molto maggiore di w BW, non influenza in modo otanziale la ripota in frequenza (almeno una decade al di là del polo più veloce) K( ) ( z )( z ( P) ( )( ) ( )( ) K( ) K( ) G( ) P P ( ) ( )( ) ) Uo di SISOTOOL

45 Eempi ed Applicazioni No Pole Pole = - y=/(^-*+) Pole = -35 Pole = -

46 Luogo delle Radici Invero Il luogo delle radici invero fornice l'andamento dei poli a ciclo chiuo quando la cotante di guadagno è negativa o quando, pur eendo poitiva, i è in preenza di retroazione poitiva. Il tracciamento del Luogo egue le tee regole, con variazioni riguardanti La componente di fae dell equazione caratteritica. D ( ) G ( ) H ( ) G ( ) CL OL G( ) H( ) m j n i ( z ) j ( p ) i, j m n ( z ) ( p ) ( =,,,...) i j i

47 Tracciamento del Luogo Invero ar n,,,,, n m

48 Tracciamento del Luogo Invero d d n ( p p ) ( p z ) p i j i j i m ( z z ) ( z p ) z j i j i j m n

49 Eempi e Applicazioni (LI) G () OL y=/(^++) > < Aintoticamente tabile in ciclo chiuo per tutti i poitivi G ( ) H ( ) OL d d =, Aintoticamente tabile in ciclo chiuo per tutti i < cr =

50 Eempi e Applicazioni (LI) G () OL ( ) y=/(^3+*^+*) > < x a = 3 = 3 Aintoticamente tabile in ciclo chiuo per tutti i < cr CR 4 CR Intabile in ciclo chiuo per tutti i

51 Eempi Eempio di Sintei: Dato il itema G(), determinare un controllore K() tale che l errore a regime al gradino unitario ia = G () ( )( ) y=(-)/(^+3*+) Il controllore deve introdurre un integratore in modo che la FdT in anello aperto ia di tipo. Il itema in ciclo chiuo deve eere aintoticamente tabile Il itema è a fae non minima (zero intabile)

52 Eempi Un controllore proporzionale garantice in errore al gradino finito per < cr Scelta iniziale del controllore in modo che la FdT di K () anello ia di tipo : G OL () ( ) ( )( ) G CL () G () ( ) OL 3 ( ) OL 3 ( ) G Il Luogo delle Radici Diretto, K > motra che il itema in anello chiuo è empre intabile (La CN del Criterio di Routh non è infatti oddifatta). Luogo delle Radici Diretto, K >

53 Eempi Luogo delle Radici Invero, K < Eite un Intervallo di Stabilità per Il guadagno 3.5

54 Eempi Uo del luogo delle radici invero. Il valore critico di K per la tabilità in ciclo chiuo è = -.5 La FdT in ciclo aperto è di tipo quindi il minimo errore alla rampa è dato dal maimo valore del guadagno che mantiene la tabilità aintotica La verifica può eere fatta con iotool, oppure calcolando l errore minimo mediante il teorema del valore finale. lim ( ) ( )( ) ( ) lim ( )( ) ramp ramp

55 Eempi Per avere un errore nullo alla rampa, K()G() deve eere di tipo. Aggiungiamo uno zero per attrarre i due rami intabili. ( z) K( ) ;, z.5( ) K ()

56 Eempi G () ( 4)( 4 ) Requiiti di progetto:. Errore alla rampa nullo. Maima ovraelongazione = % 3. Tempo di aetamento più piccolo poibile G ol () ( 4)( 4 ). 4 aintoti. Origine degli aintoti = - 3. Brea out point =- d G() d ( ); ( )

57 Eempi Il requiito di regime richiede una FdT di anello di tipo G ol () ( 4)( 4 ) I rami intabili devono eere attratti nel emipiano di parte reale negativa -> il controllore deve avere degli zeri. Siotool

58 Eempi

59 Eempi Dinamica biciclo (Steering) ydeltaphi=(.45*(+.5))/(^-.65) m a b h v 8Kg.4 m.m.8 m 5 m / ec = 9 G () Dv mv h () b b () J mgh v () av G () a () bh g h J D Retroazione Proporzionale ( ) ( ).4 CRIT mh mah ( ).5 G ( ).45 ().65

60 Eempi Significato del guadagno nel luogo delle radici Dhv mhv J ( t) ( t) mgh ( t) b b CR gb v Al diminuire della velocità, occorre un guadagno maggiore per la tabilità in ciclo chiuo. Per valori inferiori al guadagno critico il itema in ciclo chiuo è intabile Importanza del manubrio nella dinamica e nella tabilità 9 P P r 3 (9 ) ( v ) ( v ) ( v ) T ( v ) ( v in bg co ) mac in bg v in b bg co Gli angoli f e d cambiano a caua della preenza del manubrio in funzione di l Velocità di autoallineamento Velocità critica per la tabilità v bg cot C v v C

61 Eempi ( ) M Cv ( K K v ) T( ) ( ) A A BT B T ( v ) T ( v ) y y A A B B B G () B T A A Dv g B J( v in bg co ) mg ( bh in ac co ) J( v in bg co ) Dv b macj( v in bg co ) b( hv acg) acj( v in bg co )

62 Eempi () T () () T ()

63 Eempi Dinamica biciclo (maneuvering, trac following) La dinamica di manovra riguarda lo cotamento da una traiettoria rettilinea lungo l ae. Per piccoli movimenti tali per cui il modello lineare è valido, i ha: v ( ) ( ) v ( ) ( ) b m 8Kg a.4 m b. m h.8 m v 5 m / ec 8 Km / h ( ) () ( ) T

64 Eempi ( ) ( ) () ( ) T ( 43.49)( 3.49).46 (.38)( 4.744)( ) ( ) () ( ) T ( ).534 ( 3.396)( 3.396) ( ) ( 43.49)( 3.49) ( ) ( ) () ( ) T ( 3.396)( 3.396) 4.4 (.38)( 4.744)( ) j() T() () T () () () h() () T () d()

65 Eempi Forma di Bode ( ) (.944 )(.944 ) 5.7 T () ( )(.8 )( )

66 Eempi ydeltaphi=(.45*(+.5))/(^-.65) ytphi=(-.46*^-9.387*-4.7)/(^4-.*^3+7.37*^+886.4*-79.) ytdelta=(5.65*^-58.4)/(^4-.*^3+7.37*^+886.4*-79.) yteta=(4.4*(5.65*^-58.4))/(^*(^4-.*^3+7.37*^+886.4*-79.))

67 Eempi Commenti Sitema altamente intabile Controllo manuale relativamente emplice con training minimo Implementazione automatica/robotica richiede una intei complea

68 Eempi Analii Modello Antenna (Eempio 7 m radio telecopio, Goldtone, Mojave deert, California) Caratteritiche Generali:. La preciione di forma del riflettore di 7 m di diametro deve eere di cm u tutta la uperficie di 3,85 metri quadrati.. Antenna e truttura di controllo per I due canali di azimut ed elevazione ha un peo,7 tonnellate metriche. 3. Frequenza di operazione Ka-Band = 3 GHz Preciioni richiete (approx.):. Azimut <.5 arcec =.38* -4 gradi. Elevazione <.5 arcec = 4* -4 gradi Modello generato per il controllo (tra encoder di motore e velocità di rotazione): 8 tati, ingreo, ucita A (8,8), B (8,), C (,8)

69 Eempi G () () u ()

70 Eempi Approimazione Singolo Integratore (modello in velocità) G () () u()

71 Criteri Generali di Sintei Il Luogo delle Radici, nella Sintei, fa riferimento a requiiti di progetto ulla ripota tranitoria generata dai poli dominanti in anello chiuo. I requiiti di ripota tranitoria i tralano naturalmente nella locazione appropriata dei poli in ciclo chiuo La locazione dei poli dominanti può eere definita in bae a pecifiche dei progetto

72 Luogo delle Radici non - Standard Coa uccede nel cao in cui i vuole tracciare l andamento dei poli in anello chiuo al variare di un parametro che non è il guadagno di anello? Eempio: G () 3 4 Come variano i poli del itema G() al variare di? Tracciare il luogo delle radici per il nuovo itema Eq G ( ) G Eq ol () ol 3 4

73 Luogo delle Radici non - Standard F x ( ) F () m c c F x [ N ec] [ m] F x [ N] [ m] Dati forniti: m = ; =. Requiito di progetto: c.75 c c c cg ( ) G () p c c j,.75 c.5

74 Luogo delle Radici non - Standard Supplier della molla dichiara che il materiale è oggetto a variazioni dovute alla temperatura. In particolare i ha che: T.9, T. Poiamo uare il Luogo delle Radici per valutare il progetto dello morzatore? nom nom.5 G ( ).5 Il ricaldamento della molla garantice le pretazioni dello morzatore. Il raffreddamento no. Soluzione:. Retrizione uo in funzione della temperatura. Uo normale ma pretazioni degradate alla diminzione della temperatura 3. Riprogettazione completa

75 Luogo delle Radici non - Standard

76 Dialettica