INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Problematiche di controllo digitale. Progetto di un controllore digitale

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Problematiche di controllo digitale Prof. Carlo Roi DEIS - Univerità di Bologna Tel: croi@dei.unibo.it Progetto di un controllore digitale Due metodi diveri di progettazione teoria di itemi di controllo campionati dicretizzazione di progetti eeguiti nel dominio analogico (approimazione) In ogni cao va coniderato il problema dell aliaing filtraggio tutto analogico filtraggio parte analogico e parte digitale filtro digitale a frequenza di campionamento uperiori a quella del controllore tipicamente filtri di Butterworth di ordine compreo tra 2 e 6 attenzione al comportamento in fae itemi di controllo in retroazione molto enibili a ritardi di fae Controllo di itemi campionati Si aume la truttura uuale del itema convertitore A/D equivale al campionatore convertitore D/A:: equivale ad un dipoitivo di hold tra gli itanti di aggiornamento L idea bae è quella di analizzare le relazioni tra i valori campionati Plant lineare in forma di tato x ( t) = A x( t) + B u( t) y() t = C x() t + D u() t

2 Controllo di itemi campionati Ammette oluzione in forma eplicita t A () ( ) ( t t ) A( t x t x t ) k e k τ ' = + e B u( τ ') dτ ' tk t A ( ) ( t t ) ( ) A( t x t ) k e k τ ' = + B u tk e dτ ' tk t tk A ( ) ( t t = x t ) ( ) A k e k + B u tk e τ dτ ' = Φ( t tk ) x( tk ) + Γ( t tk ) u( tk ) Controllo di itemi campionati Con campionamento periodico i ottiene un itema LSI h ( ) ( ) Ah A τ x tk + = x tk e + B e dτ ' u( tk ) x( tk + ) = F x( tk ) + G u( tk ) y( tk ) = H x( tk ) + K u( tk ) La FdT relativa è data da H ( z) = H ( z I F ) G + K Eitono altri metodi per calcolare la FdT Matlab E poibile coniderare ritardi puri emplice e multipli del tempo di campionamento Sintei del controllo Molte tecniche diponibili intei con retroazione dello tato - aegnamento dei poli controllo lineare quadratico - controllo ottimo retroazione dello tato con oervazione degli tati non miurabili controllo con retroazione dell ucita controllo LQG... Controllo dei Procei, Controlli II Poibile problema: comportamento tra gli itanti di campionamento Scelta del tempo di campionamento tra 4 e itanti di campionamento del tempo di alita del itema ad anello chiuo E enibile a variazioni del tempo di campionamento

3 Approimazione del progetto continuo Idea di bae: riutilizzo di un progetto analogico la FdT dell inieme A/D + algoritmo + D/A deve eere una buona approimazione della FdT del controllore analogico Metodi di approimazione: ono quelli già viti per i filtri. Si prefericono i metodi frequenziali Approimazione del progetto continuo Scelta del tempo di campionamento pretazioni aumentano al diminuire dell intervallo di campionamento regola euritica hω c =..5 dove ω c è la frequenza di attraveramento del itema continuo Tempo di campionamento più piccolo del cao precedente Più robuto ripetto a variazioni dell intervallo di campionamento Si poono dicretizzare anche controllori non lineari Il ritardo di anello L ucita del itema di controllo non può eere generata itantaneamente all itante di campionamento Ritardo introdotto da converione A/D calcolo ritardo di attuazione ritardo equivalente dovuto al fatto che il controllo è cotante tra due itanti di campionamento

4 Il ritardo di anello E neceario valutare l effetto del ritardo di anello ulle pretazioni del itema di controllo Nel cao di intei per dicretizzazione, la valutazione può eere fatta nel dominio analogico Non eitono trumenti eatti per la valutazione dell effetto Approimazione di Padè i ottiene per viluppo in erie della FdT del ritardo ( ) = T G e d r Gr ( ) Td + utile per valutare l effetto ullo morzamento dei poli complei coniugati introdotto dal ritardo i poono coniderare anche approimazioni di ordine uperiore Il ritardo di anello Metodo diretto i conidera il ritardo di fae introdotto dal ritardo puro come un diturbo i valuta l effetto ul margine di fae del itema Mϕ = π Gol ( jω ) ω = ωc jt ω Gr ( jω ) = e d = Td ω i ottiene quindi Mϕ = T d ωc cotituice un buon metodo per dimenionare il ritardo di anello nel cao di ritardo di anello non modificabile, può eere utilizzato per tabilire la pecifica del margine di fae del progetto continuo Getione del ritardo di anello Le celte architetturali ia HW che SW poono avere un grande impatto ul ritardo di anello attenzione nell utilizzo di componenti con bae dei tempi divere il ritardo di anello può eere variabile problemi di incronizzazione proceore occupato con attività a priorità puù elevata utilizzo di canali di comunicazione non dedicati valutare empre la poibilità di incronizare eplicitamente i vari elementi che compaiono nell anello valutare la poibilità di eeguire prima il calcolo e l attuazione dell ucita e poi gli altri calcoli (tato futuro, diagnoi,...) Una oluzione peo utilizzata è quella di attuare l ucita al ucceivo itante di campionamento incronimo diponibile ritardo più grande del neceario ma cotante i può tentare di compenare

5 Il controllore PID Tipo di controllo ancora largamente utilizzato nella realtà indutriale Algoritmo bae e() t = yp () t y() t t d e() t u() t k = p e() t + e( ) d + T D T τ τ I dt U ( ) = k p + + TD E( ) TI Neceita di alcune modifiche per renderlo applicabile efficacemente Termine proporzionale P Il controllo deve eere neceariamente aturato per limitazione degli attuatori u u max u o u min e o e o e u u() t = k u banda proporzionale p e( t) > eo e() t + uo eo e() t e e() t < e max min o o Termine proporzionale Preenza di errore tazionario dipendente dal guadagno Un guadagno maggiore implica velocità di ripota più elevata, ma peggioramento della tabilità e enibilità più elevata ai diturbi errore nullo e k p tende all infinito (tabilità) u o = u k p = k p = 4 k p = ucita u u e = o k p controllo G( ) = 2 + +

6 Termine integrale Maniera automatica per ottenere u o u() t = k e() t + u () t p u() t = k p e() t + e() t dt ( PI ) T All equilibrio riulta neceariamente errore nullo o I Termine integrale (PI) Aenza di errore tazionario Una cotante di tempo integrale minore implica velocità di ripota più elevata, ma peggioramento della tabilità e enibilità più elevata ai diturbi E il termine che neceita della cautela maggiore per non impattare ulla tabilità e ull overhoot della ripota TI = TI = 3 ucita T I = controllo G( ) = Termine derivativo - Predizione Un controllore PI non preenta neuna predizione del comportamento futuro Si applica lo teo controllo ia per errori crecenti che decrecenti

7 Termine derivativo e e() t de( t) e() t + Td dt e ( t + T d ) t t + Td T D = orizzonte di predizione u() t = k e() t + T p D d e() t dt ( PD) Termine derivativo (PD) Tempo di predizione troppo breve non ha influenza Tempo di predizione troppo lungo abbaa le performance Nella pratica indutriale è peo non utilizzato TD = TD =. 2 T D = 2 ucita controllo G( ) = Forme alternative Altre rappreentazioni della tea FdT del controllore Forma erie ( ) ( ) ( ) T U = k' + + T = + D D E k p k' TI TI Forma di velocità U ( ) = U ( ) U ( ) = k ( + T + T ) E( ) p peo l integrazione è nell attuatore (per eempio un motore pao-pao) I D 2

8 Modifiche all algoritmo Come detto, alcune modifiche ono necearie per rendere l algoritmo efficace nelle varie condizioni Le principali ono Limitazione del guadagno derivativo Peatura della derivata Peatura del riferimento Getione delle aturazioni di attuazione Getione delle accenioni, pegnimenti, inizializzazioni, cambio di parametri Limitazione del guadagno derivativo Viene introdotta per ridurre la enibilità ai rumori della parte derivativa Il termine derivativo ha un guadagno (ampiezza della ripota frequenziale) che aumenta all aumentare della frequenza Per limitarlo alle alte frequenze i utilizza T T D D + ( TD N ) T D( ) = D E( ) + ( T N ) D N rappreenta il guadagno maimo alle alte frequenze; peo compreo tra e 2 Peatura della derivata Il et-point è peo cotante e quando varia può variare in maniera dicontinua Ciò dà luogo a variazioni molto grandi nel termine derivativo, che durano per poco tempo Per limitare tali effetti i può implementare ( ) T D( ) D = γ Yp ( ) Y( ) + ( T N ) D Speo il peo γ è poto uguale a zero in apllicazioni di controllo di procei indutriali, uguale ad uno nei ervomeccanimi

9 Peatura del riferimento Anche peare il riferimento nel calcolo del termine proporzionale porta a dei vantaggi P( ) = β Yp ( ) Y( ) Influenza le pretazioni dinamiche ma non la ripota ai diturbi nè la tabilità Equivale ad inerire uno zero nella FdT del itema ad anello chiuo Equivale ad inerire una azione in avanti U ( ) = k ( β ) Y ( ) + P( ) + I( ) D( ) p p + Peatura del riferimento K ff d y p PID G() y Schema a blocchi equivalente K ff = k p ( β ) G( ) [ K ff + C( ) ] G ( ) ( ) ( ) Y = Yp + D( ) + C( ) G( ) + C( ) G( ) Getione delle aturazioni Tutti gli attuatori aturano Coitutice un problema per vontrollori con azione integrale Quando il controllo atura, la parte integrale contiuna ad aumentare: windup Effetti tipico: overhoot elevati fino all intabilità, anche e itema lineare enza aturazione arebbe tabile Neceario prevedere una tecnica di anti-windup Alcune oluzioni poibili implementazione in forma di velocità: i pone l incremento a zero quando il controllo atura limitazione del riferiemnto in maniera tale da non fare aturare il controllo: offre anche altri vantaggi, anche e non fornice garanzia aoluta condizionare l eecuzione della parte integrale olo qunado l errore è all inteno di una certa banda

10 Back-tracking Una tecnica ulteriore di anti-windup è il backtracking Quando il controllo atura, il valore di ucita della parte integrale è forzato al valore che ommato alle altre componenti fornice eattamente il valore di aturazione Per evitare l intervento purio a caua di rumori di miura, il calcolo viene eeguito dinamicamente attravero un filtro paa bao con cotante di tempo T f Nel cao il egnale di ucita dell attuatore non ia diponibile, i può utilizzare un modello Back-tracking γ y p y k p TD β y p y k p + v attuat. u y p y k p / T I + / / T f e Schema a blocchi del PID con back-tracking e peatura della derivata e del riferimento Back-tracking γ y p y k p TD β y p y y p y k p + k p / T I + / v modello attuat. u attuat. e /T f Schema a blocchi del PID con back-tracking e modello dell attuatore

11 Dicretizzazione del PID Parte proporzionale u p ( k ) = β yp ( k ) y( k ) Parte integrale dicretizzazione all avanti: il valore dell integrale può eere precalcolato T k p I ( k +) = I( k ) + e( k ) TI dicretizzazione all indietro o con metodo trapezoidale: il valore dell integrale all itante k dipende dall errore corrente Dicretizzazione del PID Parte derivativa dicretizzazione all avanti: da evitare, riulta intabile per cotante di tempo derivativa piccola dicretizzazione all indietro (o con metodo trapezoidale) ed () t = γ yp () t y() t T ( ) D D = k p ED ( ) + ( TD N ) TD dd de + D = k D p TD N dt dt TD D( k ) D( k ) + D( k ) = k N T ed p TD ( k ) ed ( k ) T T N T D( k ) = D D( k ) + k D p [ ed ( k ) ed ( k ) ] T + N T T + N T D D Dicretizzazione del PID Back-tracking ul PID dicretizzato v( k ): = P( k ) + I( k ) + D( k ) u( k ): = at( v( k ), u ( k ), u ( k )) min T T I( k ): = I( k ) + k e( k ) p + [ u( k ) v( k )] T T I max f

12 Getione delle condizioni operative Si poono identificare tre ituazioni divere paaggio da una modalità manuale ad una automatica: include anche l accenione commutazione tra due controllori diveri cambiamento dei parametri del controllore In tutti i cai, il cambiamento della condizione operativa non deve riultare in comportamenti anormali dell impianto: i vuole in particolare che e i è in una ituazione di tazionarietà, il paaggio alla nuova condizione operativa non innechi tranitori di aetamento Si parla di paaggio bumple L idea chiave è quella di garantire che non ci iano alti nelle variabili di tato del controllore a eguito del paaggio Paaggio bumple da manuale ad automatico Nel cao di controllore in forma di velocità la oluzione è emplice L interfaccia con l operatore è data da egnali di aumento o riduzione dell azione di controllo Viene integrata per ottenere l effettiva azione di controllo la commutazione avviene a monte dell integratore + - MCU M y p y incpid A u Paaggio bumple da manuale ad automatico Se il controllore è in forma tandard di poizione, è ufficiente fare in modo che il controllore automatico inegua quello manuale Schema claico che riente della implementazione analogica In digitale è ufficiente inizializzare propriamente, analogamente al backtracking, l integratore al paaggio e è diponibile il egnale di controllo

13 Cambiamento bumple dei parametri Attenzione alla forma di implementazione Le due forme eguenti ono equivalenti v = P + I + D I = I + ( k p T TI )e v = P + k p TI I + D I = I + T e bumple non bumple Più compleo nel cao di peatura del riferimento: è la quantità P + I che deve rimanere invariante ( β y y) k ( y y) Inew = Iold + kold old p new βnew p Paaggio bumple tra controllori Simile al paaggio manuale automatico Si può laciare in eecuzione il controllore non attivo in amneira che inegua quello attivo In alternativa i inzializza il nuovo controllore econdo l algoritmo di back-tacking Tuning del controllore PID Parametri: k p, T I, T D, N, β, γ, T f metodi empirici, grafici di calibrazione tuning u modello, per eempio pole-placement tuning automatico u eperimenti metodo di Ziegler-Nichol ripota al gradino metodo del relay

14 Realtà indutriale Audit u un proceo di fabbricazione: 2 anelli di retroazione, di cui 97% PI e retante 3% PID. Cai poradici di controlli adattativi utilizzo dei parametri di default performance non buone per problemi di tuning performance non buone per problemi di attuatori Altro audit più del 3% dei loop in modalità manuale circa il 25% con parametri di default circa il 3% degli anelli preentavano problemi di attuazione La ituazione ta cambiando, il problema maggiore è di tipo culturale INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Problematiche di controllo digitale - fine Prof. Carlo Roi DEIS - Univerità di Bologna Tel: croi@dei.unibo.it