CONTROLLO DIGITALE LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 2017/2018 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A.

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Luca Orsini
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1 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO 9//8 Sia aegnata la eguente equazione alle differenze: y(k).3679y(k ) y(k ) =.3679u(k ) +.64u(k ) con y(k) = per k, ed ingreo u(k) dato da: u(k) = per k < e k > u() = u() =.4 u() =.4 Si determini la Z- traformata del egnale u(k) Si determini la Z- traformata del egnale y(k) Si determini il campione n. 5 del egnale y(k) Si calcoli la Z-traformata del egnale dicreto ottenuto campionando con periodo T =.5 il egnale continuo x(t) = 5 in ( πt ). Sia aegnato il itema in figura, con G p (z) = K z+.3 (z+.9)(z.9)(z+3). Adottando un metodo a celta, i tudi la tabilità del itema al variare di K >, pecificando eattamente (per ciacun intervallo di valori di K) il numero di poli all interno, all eterno, e ul cerchio di raggio unitario. Sia aegnato il itema in figura, con G p () = e e H +. () ricotruttore di ordine. Si progetti un regolatore digitale D(z) in grado di garantire, per un ingreo a gradino, che l ucita del itema in anello chiuo i aeti al valore di regime nel tempo minimo con errore nullo. Si auma un periodo di campionamento par a. ~ * ~ * ~ * ~ * ~ R(z) Gp(z) Y(z) R() T D(z) H() Gp() Y() Figura Figura

2 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO 7/4/8 Sia aegnato il itema decritto dalla eguente equazione alle differenze: y(k).5y(k ) +.5y(k ) = K P u(k ). Si determini la funzione di traferimento del itema;. Si determini l epreione della ripota del itema al egnale u(k) = co(kπ) (attravero il calcolo dell anti-traformata); i dica e per k la ripota è convergente, divergente, o limitata; 3. Supponendo di chiudere il itema in retroazione unitaria, i tudi la tabilità al variare di K P con un metodo a celta. k Sia aegnato il egnale x(k) = i=.5 it co(it), con T =.57. Si calcoli la Z traformata del egnale x(k) (Suggerimento: i rammenti il teorema della convoluzione reale). La ripota di un ricotruttore ad un gradino dicreto unitario (applicato nell itante ) è riportata in figura: -T T t Si determini la funzione di traferimento del ricotruttore. Si commenti il riultato ottenuto. La funzione di traferimento di un regolatore continuo ottenuto mediante intei per dicretizzazione è: +.5 D c () = 5 ( + ) Ipotizzando un periodo di campionamento pari a, i determini il corripondente regolatore digitale impiegando:. Il metodo dell invarianza della ripota al gradino;. Il metodo per corripondenza poli-zeri; 3. Si criva l equazione alle differenze corripondente a ciacuno dei controllori di cui ai punti. e.

3 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO 9/5/8 Sia aegnato il itema decritto dalla eguente equazione alle differenze: y(k).7y(k ) +.y(k ) = u(k ). Si determini la funzione di traferimento del itema;. Si calcoli la ripota del itema ad un gradino unitario (attravero il calcolo dell anti-traformata) utilizzando ecluivamente il metodo dello viluppo in fratti emplici; e ha eno, i determini il valore dell ucita a regime. Sia dimotri la relazione eguente, con periodo di campionamento T: Z{co(ωt)} = z(z co(ωt)) z zco(ωt) + I grafici in figura motrano le ripote nel tempo dei 4 itemi dicreti eguenti (con periodo di campionamento T = ): A. G(z) = z+.5 C. G(z) = z + B. G(z) = z +z D. G(z) = z+ Motivando adeguatamente la ripota, i aocino gli ingrei eguenti (opportunamente campionati) a ciacuno di ei:. Gradino unitario. k in (k π ) 3. in (k π ) 4. in(kπ) A x -5 C B D -4 5 Si vuole controllare in retroazione un proceo decritto dalla funzione di traferimento eguente: G P () = + Si celga l intervallo di campionamento T e, in corripondenza, i determini l equazione alle differenze ottenuta dicretizzando un PID mediante la regola di Tutin (ia per l azione integrale che per quella derivativa), laciando K P, T I e T D come parametri liberi.

4 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO 4/6/8 Sia aegnato il itema decritto dalla funzione di traferimento dicreta G(z) = (z 4 ) Dopo aver chiuo il itema in retroazione unitaria: Si analizzi la tabilità pecificando il numero di poli tabili, intabili, emplicemente tabili; Giutificando adeguatamente la ripota, i dica quali egnali applicati in ingreo al itema ne fanno divergere l ucita; Si calcolino i primi 3 campioni della ripota all impulo del itema utilizzando il metodo computazionale. Aegnato il itema in figura, aumendo un pao di campionamento pari a T =.5: Si determini (e poibile) la funzione di traferimento dicreta che lega campioni dell ingreo a campioni dell ucita; Si criva l equazione alle differenze corripondente alla funzione di traferimento di cui al punto precedente. R() δ T z - δ T H() δ T Y() Un itema digitale chiuo in retroazione unitaria preenta la eguente ripota ad una rampa unitaria dicreta (N.B. La ripota è quella del itema già chiuo in retroazione): y(k) = (.5) k (k ) + (k ) (k ) (k ) ove (k) rappreenta il gradino unitario dicreto. Giutificando adeguatamente le ripote, aumendo un pao di campionamento pari a T =, Si tabilica e il itema chiuo in retroazione ia aintoticamente tabile, intabile, emplicemente tabile; Si determini il tipo del itema; Supponendo di definire l errore come e(k) = u(k).8 y(k), i calcolino gli errori di poizione, velocità e accelerazione a regime. Sia aegnato un itema caratterizzato dalla f.d.t. dicreta in anello aperto G(z) = 4 z.5. Ipotizzando un ingreo a gradino unitario, i progetti per il itema un regolatore utilizzando la metodologia dead-beat con pecifica diretta ul controllo. Dopo aver effettuato il progetto del regolatore, i determinino: o la poizione dei poli del itema in anello chiuo; o l ucita del regolatore al pao di campionamento 8; o l ucita del itema chiuo in retroazione al pao di campionamento ; o l errore di poizione e l errore di accelerazione.

5 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO /7/8 Sia aegnato il itema caratterizzato dalla eguente funzione di traferimento: z G(z) = z.7z +. Se ha eno, i calcoli l ucita del itema a regime quando in ingreo è applicato il egnale r(k) = in (k π ); Con riferimento al punto precedente, i tracci (ullo teo piano) l andamento qualitativo dell ucita e dell ingreo. Sia aegnato un itema digitale caratterizzato dalla eguente funzione di traferimento: G(z) = K z 4 Dopo aver chiuo il itema in retroazione unitaria: Si tudi la tabilità al variare di K utilizzando il metodo del luogo delle radici, pecificando eattamente come cambia il numero di poli tabili, intabili, emplicemente tabili. Si determini la poizione dei poli in corripondenza del valore K = 4. Si illutri, utilizzando un linguaggio intetico ed appropriato, coa i intende per aintotica tabilità, emplice tabilità, intabilità di un itema lineare tempo-dicreto. Si pecifichi, quindi, in che modo cambiano le caratteritiche di tabilità di un itema in funzione della molteplicità e della poizione dei poli ul piano compleo z, motrando come variano l epreione e l andamento in funzione del tempo dei modi della ripota all impulo. Sia aegnato il eguente regolatore continuo: ( ) D() = 5 ( + + )( + )( + 3) Si dicretizzi il regolatore utilizzando il metodo per corripondenza poli/zeri, facendo in modo che la funzione di traferimento dicreta ia trettamente propria.

6 LAUREA TRIENNALE IN ING. INFORMATICA E DELL AUTOMAZIONE A.A. 7/8 LAUREA MAGISTRALE IN ING. ELETTRICA A.A. 7/8 APPELLO 5/7/8 Sia aegnato il itema decritto dalla funzione di traferimento dicreta G(z) = (z 4 +) Si calcoli la ripota all impulo del itema utilizzando il metodo dello viluppo in fatti parziali. Coniderati i poli nel piano riportati di eguito (indicati con il imbolo ), con pulazione di campionamento, i indichino, giutificando la ripota, le poizioni dei corripondenti poli nel piano z ottenuti utilizzando la traformazione z = e T (con T periodo di campionamento). j j j j j j j A B C F j j D j E Si enunci e i dimotri il teorema della funzione di ripota armonica dicreta. Coniderato il itema in figura, i progetti il regolatore (cauale) D(z) in modo che, applicando in ingreo il egnale r(k) = 5 (k), la ripota ia priva di ovraelongazione e raggiunga il riferimento con un tempo di aetamento al 5% inferiore a. econdi (Suggerimento: nella intei è poibile procedere per cancellazione polo/zero). r (k) T Dz ZOH.5

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