APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

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1 C A P I T O L O 7 APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE 7. INTRODUZIONE Ora che è tata introdotta la traformata di Laplace, è poibile paare a eaminare che coa i può fare con ea. La traformata di Laplace rappreenta uno degli trumenti matematici più potenti eitenti per l analii, la intei e il progetto. La poibilità fornita dalla traformata di Laplace di manipolare circuiti e itemi nel dominio conente di capire molto meglio come i circuiti e i itemi operano. In queto capitolo, i vedrà come è poibile operare con i circuiti nel dominio. Si accennerà inoltre brevemente ad altri itemi della fiica. Lo tudente ha certamente già incontrato emplici itemi meccanici e ha probabilmente utilizzato per decriverli le tee equazioni differenziali che i uano per decrivere i circuiti elettrici. Il fatto che le tee equazioni differenziali poano eere uate per decrivere circuiti, procei e itemi lineari della realtà rappreenta uno degli apetti più affacinanti dell univero fiico. Ciò che li accomuna è il termine lineare. Un itema è un modello matematico di un proceo fiico che mette in relazione l ingreo con l ucita. È del tutto corretto coniderare i circuiti come itemi, anche e, toricamente, i circuiti ono tati peo trattati come un argomento eparato dalla teoria dei itemi. Nel preente capitolo i parlerà di circuiti e di itemi tenendo preente il fatto che i circuiti non ono altro che una particolare clae di itemi elettrici. Il fatto più importante da tenere preente è che tutto ciò che è tato preentato nel capitolo precedente, e anche ciò che verrà preentato in queto capitolo, può eere applicato a un qualiai itema lineare. Nel capitolo precedente, i è vito come ia poibile utilizzare le traformate di Laplace per riolvere equazioni differenziali e integrali lineari. In queto capitolo vengono dapprima introdotti i modelli circuitali nel dominio, noti i quali è poibile affrontare la oluzione di qualunque tipo di circuito lineare di interee pratico. Vengono poi brevemente introdotte le variabili di tato, che riultano utili, in particolare, per l analii di itemi con ingrei e ucite multipli. Infine, i vedrà come i concetti legati alla traformata di Laplace poono eere uati nella analii della tabilità delle reti e nella intei dei circuiti. 7.2 MODELLI DI ELEMENTI CIRCUITALI Dopo aver appreo come i ottengono la traformata di Laplace e la ua antitraformata, il lettore è ora pronto per applicare la traformata di Laplace nella analii dei circuiti. Tale applicazione avviene di olito in tre pai. Procedimento per l applicazione della traformata di Laplace:. Traformare il circuito dal dominio del tempo al dominio. 2. Riolvere il circuito mediante l analii nodale, analii agli anelli, traforma- Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

2 2 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace zione dei generatori, ovrappoizione, o qualunque altra tecnica di rioluzione riulti conveniente. 3. Calcolare le antitraformate delle oluzioni, ottenendo coì le oluzioni nel dominio del tempo. Solo il primo pao riulta nuovo, e di eo ci i occuperà fra poco. Come i è fatto per l analii con i faori, i eegue la traformazione di un circuito al dominio delle frequenze, o dominio, traformando econdo Laplace gli elementi del circuito uno per uno. Per un reitore, la relazione tenione-corrente nel dominio del tempo è Traformando econdo Laplace, i ottiene vðtþ RiðtÞ ð7:þ Per un induttore, VðÞ RIðÞ vðtþ L diðtþ dt Traformando econdo Laplace entrambi i membri i ha o anche V ðþ L½IðÞ ið0 ÞŠ LIðÞ Lið0 Þ IðÞ L V ðþþ ið0 Þ ð7:2þ ð7:3þ ð7:4þ ð7:5þ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7., in cui l eventuale condizione iniziale viene rappreentata con un generatore di tenione o di corrente. Figura 7. Rappreentazione di un induttore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio. Per un condenatore, che i traforma nel dominio in o anche iðtþ C dvðtþ dt IðÞ C½V ðþ vð0 ÞŠ CVðÞ Cvð0 Þ VðÞ C IðÞþ vð0 Þ ð7:6þ ð7:7þ ð7:8þ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7.2. Grazie a queti circuiti equivalenti, la traformata di Laplace può eere agevolmente utilizzata per riolvere circuiti del primo e del econdo ordine del tipo di quelli coniderati nei Capitoli 7 e 8. È bene notare, nelle Equazioni da (7.3) a (7.8), che le condizioni iniziali cotituico- Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

3 no parte integrante della traformazione. Queto è un vantaggio importante dell uo della traformata di Laplace nell analii dei circuiti. Un altro vantaggio è che con ea i ottiene la ripota completa tranitorio e regime di una rete. Ciò verrà illutrato negli Eempi 7.2 e 7.3 Si noti inoltre la dualità delle (7.5) e (7.8), che conferma quanto già i apeva dal Capitolo 8 (i veda la Tabella 8.), e cioè che L e C, IðÞ e V ðþ,evð0þ e ið0þ ono termini duali. 7.2 Modelli di elementi circuitali 3 Figura 7.2 Rappreentazione di un condenatore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio. Se i uppongono nulle le condizioni iniziali per l induttore e il condenatore, le equazioni appena vite i riducono a: Reitore: Induttore: V ðþ RIðÞ V ðþ LIðÞ Condenatore: VðÞ C IðÞ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7.3. ð7:9þ Si definice impedenza nel dominio il rapporto fra la traformata della tenione e la traformata della corrente nel cao di condizioni iniziali nulle, cioè ZðÞ VðÞ IðÞ ð7:0þ Figura 7.3 Rappreentazioni equivalenti nel dominio del tempo e nel dominio di elementi paivi con condizioni iniziali nulle. Le impedenze dei tre elementi circuitali ono quindi Reitore: Induttore: ZðÞ R ZðÞ L ð7:þ Condenatore: ZðÞ C Ee ono riaunte nella Tabella 7.. L ammettenza nel dominio è il reciproco dell impedenza, YðÞ ZðÞ IðÞ ð7:2þ VðÞ L uo della traformata di Laplace nella analii dei circuiti rende più emplice il calcolo nei cai in cui compaiono generatori variabili quali impuli, gradini, rampe, eponenziali e inuoidi. I modelli per i generatori dipendenti e gli amplificatori operazionali ono emplici da viluppare quando i ricordi che e la traformata di Laplace di f ðtþ è FðÞ, allora Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

4 4 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace la traformata di Laplace di af ðtþ è afðþ la proprietà di linearità. Un generatore dipendente può eibire due oli tipi di controllo, e preciamente una cotante moltiplicata per una tenione oppure una cotante per una corrente. Quindi, L½avðtÞŠ av ðþ L½aiðtÞŠ aiðþ ð7:3þ ð7:4þ L amplificatore operazionale ideale può eere trattato alla tregua di un reitore. Di fatto, qualiai operazionale, reale o ideale, non fa nulla di più che moltiplicare una tenione per una cotante. Bata quindi crivere le equazioni nel modo olito, tenendo preente il vincolo che la tenione di ingreo e la corrente di ingreo dell operazionale devono eere nulle. Tabella 7. Elemento Reitore Induttore Impedenza di un elemento nel dominio.* ZðÞ VðÞ=IðÞ R L Condenatore * Si uppongono nulle le condizioni iniziali =C Eempio 7. Figura 7.4 Per l Eempio 7.. Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.4, upponendo nulle le condizioni iniziali. Soluzione: Si traforma dapprima il circuito dal dominio del tempo al dominio. uðtþ ) H ) L 3 F ) C 3 Il circuito riultante nel dominio è motrato in Figura 7.5. A eo viene applicata l analii agli anelli. Per l anello, þ 3 I 3 I 2 ð7::þ Figura 7.5 Analii agli anelli dell equivalente nel dominio delle frequenze. Per l anello 2, 0 3 I þ þ 5 þ 3 I 2 cioè I 3 ð2 þ 5 þ 3ÞI 2 ð7::2þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

5 7.2 Modelli di elementi circuitali 5 Sotituendo nella (7..), þ 3 3 ð2 þ 5 þ 3ÞI 2 3 I 2 Moltiplicando tutto per 3 i ottiene 3 ð 3 þ þ 8ÞI 2 ) I 2 3 þ 8 2 þ 8 V o ðþ I 2 Antitraformando, infine i ha v o ðtþ 3 2 þ 8 þ 8 p 3 ffiffi 2 p 3 ffiffi 2 pffiffi 2 ð þ 4Þ 2 pffiffi þð 2 Þ 2 pffiffi e 4t in 2 t V, t 0 n Eercizio 7. Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.6, upponendo nulle le condizioni iniziali. Figura 7.6 Per l Eercizio 7.. Ripota 8ð e 2t 2te 2t ÞuðtÞ V. n Eempio 7.2 Calcolare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.7. Supporre v o ð0þ 5V. Figura 7.7 Per l Eempio 7.2. Soluzione: Si traforma il circuito al dominio come motrato in Figura 7.8. La condizione iniziale è tata inclua in forma di generatore di corrente Cv o ð0þ 0:ð5Þ 0:5 A. [Si veda la Figura 7.2(c).] Si applica il metodo dell analii nodale. Al nodo uperiore, cioè 0=ð þ Þ V o 0 þ 2 þ 0:5 V o 0 þ V o 0= þ þ 2:5 2V o 0 þ V o 0 0 V oð þ 2Þ Moltiplicando ambo i membri per 0, o anche dove V o 0 þ þ 25 V oð þ 2Þ 25 þ 35 ð þ Þð þ 2Þ A ð þ ÞV o ðþj 25 þ 35 ð þ 2Þ A þ þ B þ B ð þ 2ÞV o ðþj 2 25 þ 35 ð þ Þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

6 6 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Figura 7.8 Analii nodale del circuito equivalente di Figura 7.7. Allora, V o ðþ 0 þ þ 5 þ 2 Eeguendo l antitraformazione di Laplace, i ottiene v o ðtþ ð0e t þ 5e 2t ÞuðtÞV n Eercizio 7.2 Determinare v o ðtþ nel circuito motrato in Figura 7.9. Figura 7.9 Per l Eercizio 7.2. Ripota 4 5 e 2t þ 8 5 e t=3 uðtþv. n Eempio 7.3 Nel circuito di Figura 7.0(a), l interruttore i pota dalla poizione a alla poizione b nell itante t 0. Determinare iðtþ per t > 0. Figura 7.0 Per l Eempio 7.3. Soluzione: La corrente iniziale nell induttore è ið0þ I o.pert > 0, la Figura 7.0(b) motra il circuito traformato al dominio. La condizione iniziale è tata incorporata nel circuito nella forma di un generatore di tenione di valore Lið0Þ LI o. Mediante l analii agli anelli, da cui IðÞ LI o R þ L þ IðÞðR þ LÞ LI o V o V o ðr þ LÞ 0 I o þ R=L þ V o =L ð þ R=LÞ ð7:3:þ ð7:3:2þ Applicando l epanione in frazioni parziali al econdo termine nel econdo membro della (7.3.2) i ottiene I o IðÞ þ R=L þ V o=r V o=r ð7:3:3þ ð þ R=LÞ La antitraformata della epreione precedente riulta iðtþ I o V o e t= þ V o R R, t 0 ð7:3:4þ con R=L. Il termine tra parentei è la ripota tranitoria, mentre l altro è la ripota a regime. In altre parole, il valore finale è iðþ V o =R, che i arebbe potuto prevedere anche applicando il teorema del valore finale alla (7.3.2) o alla (7.3.3); cioè I o lim IðÞ lim!0!0 þ R=L þ V o=l þ R=L V o R ð7:3:5þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

7 7.3 Analii dei circuiti 7 La (7.3.4) può anche eere critta nella forma iðtþ I o e t= þ V o R ð e t= Þ, t 0 ð7:3:6þ Il primo termine rappreenta la ripota naturale, e il econdo la ripota forzata. Se la condizione iniziale è I o 0, la (7.3.6) diventa iðtþ V o R ð e t= Þ, t 0 ð7:3:7þ che è la ripota al gradino, eendo dovuta a un ingreo a gradino V o in aenza di energia iniziale. n Eercizio 7.3 L interruttore in Figura 7. è rimato in poizione b per molto tempo. Viene potato nella poizione a in t 0. Determinare vðtþ per t > 0. Figura 7. Per l Eercizio 7.3. Ripota vðtþ ðv o I o RÞe t= þ I o R, t > 0, dove RC: n 7.3 ANALISI DEI CIRCUITI Anche l analii dei circuiti i rivela relativamente emplice da eeguire nel dominio : i deve oltanto traformare un inieme, anche complicato, di relazioni matematiche dal dominio del tempo al dominio, dove gli operatori derivata e integrale vengono convertiti in emplici moltiplicazioni per o per =. Ciòpermette di fare uo dei metodi dell algebra elementare per riolvere le equazioni circuitali. L apetto intereante di tutto ciò èche tutte le relazioni e i teoremi viluppati per i circuiti in regime tazionario rimangono validi per i circuiti decritti nel dominio. Si ricordi che i circuiti equivalenti, e contengono condenatori e induttori, eitono oltanto nel dominio e non poono eere ritraformati al dominio del tempo. Eempio 7.4 Si conideri il circuito in Figura 7.2(a). Si determini la tenione ul condenatore e v ðtþ 0uðtÞ V e upponendo che all itante t 0 la corrente nell induttore ia A e la tenione ul condenatore valga þ5 V. 0 3 Ω v (t) 5 H 0. F V 0 3 Ω 5 H V i(0) 0. F v(0) Figura 7.2 Per l Eempio 7.4. (a) (b) Soluzione: La Figura 7.2(b) rappreenta il circuito completo nel dominio con le condizioni iniziali incorporate. Ci i trova quindi di fronte a un emplice problema di analii nodale. Poichè il valore di V corriponde al valore della tenione del condenatore nel dominio del tempo ed è l unica tenione di nodo incognita, è neceario crivere una ola equazione. V V 0=3 þ V 0 ið0þ þ V ½vð0Þ=Š 0 5 =ð0:þ ð7:4:þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

8 8 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace cioè 0: þ 3 þ 2 V 3 þ þ 0:5 ð7:4:2þ con vð0þ 5V e ið0þ A. Semplificando, i ottiene da cui ð 2 þ 3 þ 2ÞV 40 þ 5 V 40 þ 5 ð þ Þð þ 2Þ 35 þ 30 þ 2 ð7:4:3þ Antitraformando econdo Laplace i ha v ðtþ ð35e t 30e 2t ÞuðtÞV ð7:4:4þ n Eercizio 7.4 Nel circuito di Figura 7.2, con le tee condizioni iniziali, determinare la corrente nell induttore per ogni t > 0. Ripota: iðtþ ð3 7e t þ 3e 2t ÞuðtÞ A. n Eempio 7.5 Nel circuito motrato in Figura 7.2, e con le condizioni iniziali pecificate nell Eempio 7.4, i utilizzi la ovrappoizione degli effetti per calcolare il valore della tenione ul condenatore. Soluzione: Poichè il circuito nel dominio ha tre generatori indipendenti, i può affrontare la oluzione con un generatore alla volta. La Figura 7.3 motra i circuiti nel dominio ottenuti coniderando un olo generatore alla volta. Si hanno ora da riolvere tre problemi di analii nodale. Si determina innanzitutto la tenione del condenatore nel circuito di Figura 7.3(a). V V 0=3 þ V 0 0 þ V 0 5 =ð0:þ 0 cioè 0: þ 3 þ 2 V Ω V 0 3 Ω V Ω V 3 0. F 0. F 0. F 0 5 H H i(0) H 0 v(0) (a) (b) (c) Figura 7.3 Per l Eempio 7.5 Semplificando, i ottiene da cui ð 2 þ 3 þ 2ÞV V ð þ Þð þ 2Þ 30 þ 30 þ 2 v ðtþ ð30e t 30e 2t ÞuðtÞV ð7:5:þ Per la Figura 7.3(b) i ha, V 2 0 0=3 þ V þ V 2 0 =ð0:þ 0 cioè 0: þ 3 þ 2 V 2 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

9 7.3 Analii dei circuiti 9 Si ottiene quindi Antitraformando, Per la Figura 7.3(c), da cui V 2 0 ð þ Þð þ 2Þ 0 þ 0 þ 2 v 2 ðtþ ð0e t 0e 2t ÞuðtÞV V 3 0 0=3 þ V þ V 3 5= 5 =ð0:þ 0 0: þ 3 þ 2 V 3 0:5 ð7:5:2þ Nel dominio del tempo V 3 5 ð þ Þð þ 2Þ 5 þ þ 0 þ 2 v 3 ðtþ ð 5e t þ 0e 2t ÞuðtÞV Ciò che reta da fare è ommare le (7.5.), (7.5.2) e (7.5.3). vðtþ v ðtþþv 2 ðtþþv 3 ðtþ fð30 þ 0 5Þe t þð 30 þ 0 0Þe 2t guðtþv ð7:5:3þ cioè vðtþ ð35e t 30e 2t ÞuðtÞV che è in accordo con la ripota dell Eempio 7.4. n Eercizio 7.5 Per il circuito in Figura 7.2, e per le tee condizioni iniziali dell Eempio 7.4, determinare la corrente nell induttore per ogni t > 0 utilizzando la ovrappoizione degli effetti. Ripota iðtþ ð3 7e t þ 3e 2t ÞuðtÞA. Eempio 7.6 nz Si upponga che l energia iniziale immagazzinata nel circuito di Figura 7.4 ia nulla per t 0e che i 0uðtÞA. (a) Determinare V o ðþ uando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per calcolare v o ð0 þ Þ e v o ðþ. (c) Determinare v o ðtþ. i x 2 H Figura 7.4 Per l Eempio 7.6. i 2i x 5 Ω v o (t) 5 Ω Soluzione: Poichè l energia iniziale immagazzinata nel circuito è nulla, i uppone che le correnti iniziali negli induttori e le tenioni iniziali dei condenatori iano nulle nell itante t 0. I x 2 a I x 2 a Figura 7.5 Per l Eempio 7.6: (a) calcolo di V Th, (b) calcolo di Z Th. 0 2I x V Th 0 2I x I c 5 (a) b 5 (b) b Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

10 0 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace (a) Per determinare il circuito equivalente di Thevenin, i rimuove il reitore da 5 e i calcolano V oc ðv Th Þ e I c.perv Th, i ua il circuito traformato econdo Laplace di Figura 7.5(a). Eendo I x 0, il generatore dipendente di tenione non dà neun contributo, e quindi V oc V Th Per determinare Z Th, i conidera il circuito in Figura 7.5(b), in cui i calcola dapprima I c. Si può utilizzare l analii nodale per riolvere ripetto a V, da cui poi i perviene a I c ði c I x V =2Þ. e inoltre di coneguenza Ne egue e 0 þ ðv 2I x Þ 0 5 I c V 2 Z Th V oc I c I x V 2 V 00 2 þ 3 00=ð2 þ 3Þ 2 þ V ð2 þ 3Þ 50= 50=½ð2 þ 3ÞŠ 2 þ 3 Il circuito dato viene otituito dal uo equivalente Thevenin ai terminali a b, come i vede in Figura 7.6. Dalla Figura 7.6, V o V Th 5 þ Z Th 5 þ 2 þ 3 ð2 þ 8Þ 25 ð þ 4Þ Figura 7.6 Equivalente Thevenin del circuito in Figura 7.4 ai terminali a-b nel dominio. V Th Z Th 5 Ω a V o b (b) Uando il teorema del valore iniziale, Per il teorema del valore finale, v o ð0þ lim! V oðþ lim! 25 þ 4 lim! 25= þ 4= v o ðþ lim V o ðþ lim!0!0 þ :25V (c) Epandendo in frazioni parziali, V o 25 ð þ 4Þ A þ B þ 4 A V o ðþ 25 0 þ 4 3:25 0 B ð þ 4ÞV o ðþ :25 4 V o 3:25 Antitraformando infine i ottiene 3:25 þ 4 v o ðtþ 3:25ð e 4t ÞuðtÞV Si noti che i valori di v o ð0þ e v o ðþ ottenuti nella parte (b) coincidono con quelli calcolati dall epreione precedente. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

11 7.4 Funzioni di traferimento n Eercizio 7.6 L energia iniziale nel circuito di Figura 7.7 è nulla per t 0. Si upponga v 5uðtÞV. (a) Determinare V o ðþ uando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per determinare v o ð0þ e v o ðþ. (c) Calcolare v o ðtþ. i x Ω F Figura 7.7 Per l Eercizio 7.6. v v o 2 Ω 4ix Ripota (a) V o ðþ 5ð5þÞ ðþ0:3þðþ5þ, (b) 0, V, (c) ð3:333 þ :773e 0:3t 5:063e 5t ÞuðtÞV. n 7.4 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO La funzione di traferimento rappreenta uno dei concetti più importanti nella elaborazione dei egnali, perché indica il modo nel quale un egnale viene elaborato, nel uo paaggio attravero una rete. Ea cotituice uno trumento particolarmente adatto a determinare la ripota della rete, a valutare (o progettare) la tabilità della rete, e per la intei delle reti in genere. La funzione di traferimento di una rete decrive il comportamento dell ucita in rapporto all ingreo, e pecifica come avviene il traferimento dall ingreo all ucita nel dominio, upponendo che non eita energia iniziale nella rete. Riaumendo, La funzione di traferimento 4 HðÞ è il rapporto fra la ripota in ucita YðÞ e l eccitazione in ingreo XðÞ, upponendo nulle tutte le condizioni iniziali. Y ðþ X ðþ ð7:5þ La funzione di traferimento dipende da ciò che viene definito come ingreo e ucita. Poiché ia l ingreo che l ucita poono eere una corrente oppure una tenione, in un qualunque punto del circuito, eitono quattro poibili tipi di funzione di traferimento 5 : Guadagno di tenione V oðþ ð7:6aþ V i ðþ Guadagno di corrente I oðþ I i ðþ Impedenza VðÞ IðÞ Ammettenza IðÞ VðÞ ð7:6bþ ð7:6cþ ð7:6dþ Un circuito può quindi avere molte funzioni di traferimento. Si noti che HðÞ è adimenionale nelle (7.6a) e (7.6b). 4 Per le reti elettriche, la funzione di traferimento è nota anche come funzione di rete. 5 Alcuni autori non coniderano funzioni di traferimento le (6.6c) e (6.6d). Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

12 2 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Ciacuna delle funzioni di traferimento della (7.6) può eere determinata in due modi. Il primo conite nel upporre che l ingreo ia un qualiai egnale conveniente X ðþ, nell utilizzare un opportuno metodo di analii per il circuito (quale per eempio il partitore di tenione o di corrente, l analii nodale, l analii agli anelli) per determinare l ucita Y ðþ, e infine calcolare il rapporto tra le due traformate. L altro approccio prevede l applicazione del metodo a cala, che richiede di eguire un percoro invero all interno del circuito. In eo, i uppone che il valore dell ucita ia prefiato (per eempio V o A o un qualunque valore conveniente), e i uano le leggi fondamentali di Ohm e di Kirchhoff (olo la KCL) per ottenere l ingreo. La funzione di traferimento riulta allora pari all unità divia per l ingreo trovato. Il metodo a cala può riultare più conveniente da uare quando il circuito ha molte maglie o nodi, e quindi l applicazione della analii nodale o agli anelli riulta oneroa. Nel primo metodo, i preuppone il valore dell ingreo e i determina l ucita; nel econdo, i preuppone il valore dell ucita e i determina l ingreo. In entrambi i metodi, HðÞ viene calcolata come rapporto fra le traformate di ucita e ingreo. Entrambi i metodi i baano ulla proprietà di linearità, poiché in queto libro ci i occupa oltanto di circuiti lineari. L Eempio 7.7 illutra meglio tutti e due metodi. La (7.5) uppone che X ðþ e Y ðþ iano note. A volte, i conoce l ingreo X ðþ e la funzione di traferimento HðÞ; l ucita Y ðþ i determina allora con Y ðþ HðÞX ðþ ð7:7þ antitraformando poi per ottenere yðtþ. Un cao particolare i ha quando l ingreo è la funzione impulo unitario, xðtþ ðtþ, coì che X ðþ. In queto cao dove Y ðþ HðÞ o yðtþ hðtþ ð7:8þ hðtþ L ½HðÞŠ ð7:9þ Il termine hðtþ rappreenta la ripota all impulo unitario la ripota nel dominio del tempo a un impulo unitario. La (7.9) fornice quindi una nuova importante interpretazione per la funzione di traferimento: HðÞ è la traformata di Laplace della ripota all impulo unitario della rete. Una volta nota la ripota all impulo hðtþ di una rete, è poibile ottenere la ripota della rete a qualunque egnale di ingreo mediante la (7.7) nel dominio, oppure uando l integrale di convoluzione (i veda il paragrafo 5.5) nel dominio del tempo. Eempio 7.7 L ucita di un itema lineare è yðtþ 0e t co 4tuðtÞ quando l ingreo è xðtþ e t uðtþ. Determinare la funzione di traferimento del itema e la ua ripota all impulo. Soluzione: Se xðtþ e t uðtþ e yðtþ 0e t co 4tuðtÞ, allora X ðþ þ e Y ðþ 0ð þ Þ ð þ Þ 2 þ 4 2 Quindi, YðÞ X ðþ 0ð þ Þ2 ð þ Þ 2 þ 6 0ð2 þ 2 þ Þ 2 þ 2 þ 7 Per determinare hðtþ, i crive HðÞ come ð þ Þ 2 þ 2 2 Dalla Tabella 7., i ottiene hðtþ 06ðtÞ 4e t in 4tuðtÞ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

13 7.4 Funzioni di traferimento 3 n Eercizio 7.7 La funzione di traferimento di un itema lineare è 2 þ 6 Determinare l ucita yðtþ dovuta all ingreo e 3t uðtþ e la ripota all impulo. Ripota: 2e 3t þ 4e 6t, t 0, 2ðtÞ 2e 6t uðtþ. n Eempio 7.8 Determinare la funzione di traferimento V o ðþ=i o ðþ del circuito in Fig Figura 7.8 Per l Eempio 7.8. Soluzione: METODO Per il partitore di corrente, Ma Quindi, I 2 V o 2I 2 V oðþ I o ðþ ð þ 4ÞI o þ 4 þ 2 þ =2 2ð þ 4ÞI o þ 6 þ =2 4ð þ 4Þ 2 2 þ 2 þ METODO 2 Si può applicare il metodo a cala. Ponendo V o V, per la legge di Ohm, I 2 V o =2 =2 A.La tenione ull impedenza ð2 þ =2Þ è V I 2 2 þ þ þ 4 Queta coincide con la tenione ull impedenza ð þ 4Þ. Ne egue, Applicando la KCL al nodo uperiore Quindi, come prima. I V þ 4 4 þ 4ð þ 4Þ I o I þ I 2 4 þ 4ð þ 4Þ þ 2 22 þ 2 þ 4ð þ 4Þ V o I o I o 4ð þ 4Þ 2 2 þ 2 þ n Eercizio 7.8 Calcolare la funzione di traferimento I ðþ=i o ðþ nel circuito di Figura 7.8. Ripota 4 þ 2 2 þ 2 þ. n Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

14 4 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Eempio 7.9 Per il circuito nel dominio di Figura 7.9, calcolare: (a) la funzione di traferimento V o =V i, (b) la ripota all impulo, (c) la ripota quando v i ðtþ uðtþ V, (d) la ripota quando v i ðtþ 8 co 2t V. Figura 7.9 Per l Eempio 7.9. Soluzione: (a) Per il partitore di tenione, Ma cioè V ab V o þ V ab kð þ Þ þ kð þ Þ V i Sotituendo la (7.9.2) nella (7.9.) i ottiene V ab þ 2 þ 3 V i ð þ Þ=ð þ 2Þ þð þ Þ=ð þ 2Þ V i ð7:9:þ ð7:9:2þ Perciò, la funzione di traferimento è (b) È poibile crivere HðÞ come V o V i 2 þ 3 V o V i 2 þ 3 2 þ 3 2 La ua antitraformata di Laplace è la ripota all impulo richieta: (c) Quando v i ðtþ uðtþ, V i ðþ =,e V o ðþ HðÞV i ðþ hðtþ 2 e 3t=2 uðtþ 2ð þ 3 2 Þ A þ B þ 3 2 con A V o ðþj 0 2ð þ 3 2 Þ 3 0 B þ 3 V o ðþj 2 3=2 2 3=2 3 Perciò, per v i ðtþ uðtþ, e la ua antitraformata di Laplace è V o ðþ 3! þ 3 2 (d) Quando v i ðtþ 8 co 2t, V i ðþ v o ðtþ 3 ð e 3t=2 ÞuðtÞ V 8 2 þ 4,e V o ðþ HðÞV i ðþ A þ 3 2 þ B þ C 2 þ 4 4 ð þ 3 2 Þð2 þ 4Þ ð7:9:3þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

15 7.5 Variabili di tato 5 con A þ 3 2 V o ðþj 3=2 4 2 þ =2 25 Per determinare B e C, i moltiplica la (7.9.3) per ð þ 3=2Þð 2 þ 4Þ. Si ottiene 4 Að 2 þ 4ÞþB 2 þ 3 2 þ C þ 3 2 Eguagliando i coefficienti, Cotante: 0 4A þ 3 2 C ) C 8 3 A : B þ C 2 : 0 A þ B ) B A Riolvendo i trova A 24=25, B 24=25, C 64=25. Perciò, per v i ðtþ 8 co 2t V, V o ðþ þ 3 2 þ þ 4 þ þ 4 e la ua antitraformata è v o ðtþ e 3t=2 þ co 2t þ 4 3 in 2t uðtþ V n Eercizio 7.9 Ripetere l Eempio 7.9 per il circuito motrato in Figura Figura 7.20 Per l Eercizio 7.9. Ripota: (a) 2=ð þ 4Þ,(b)2e 4t uðtþ,(c) 2 ð e 4t ÞuðtÞ V, (d) 3 2 ðe 4t þ co 2t þ 2 in 2tÞuðtÞ V. n 7.5 VARIABILIDISTATO Fino a queto punto, nel preente teto, ono tate introdotte tecniche utili all analii di itemi con un olo ingreo e una ola ucita. Molti itemi intereanti per l ingegneria ono invece dotati di più ingrei e più ucite, come motrato in Figura 7.2. Il metodo delle variabili di tato rappreenta un importante trumento per l analii e per la comprenione di queti itemi di elevata compleità. Il modello baato ulle variabili di tato è perciò piùgenerale del modello a ingolo ingreo e ingola ucita, quale è quello delle funzioni di traferimento. Nonotante ia in realtà impoibile trattare eaurientemente l argomento in un ingolo capitolo, e meno che meno in un ingolo paragrafo, e ne darà nel paragrafo preente una elementare introduzione. z z 2 Sitema lineare y y 2 Figura 7.2 Sitema lineare con m ingrei e p ucite. z m Segnali di ingreo y p Segnali di ucita Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

16 6 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Nel modello baato ulle variabili di tato, viene pecificato un inieme di variabili in grado di decrivere completamente il comportamento interno del itema. Quete variabili ono note come variabili di tato del itema, e ono in grado di determinare il comportamento futuro di un itema quando iano noti lo tato preente del itema e i egnali di ingreo. In altre parole, ono le variabili che, quando note, conentono di determinare tutti gli altri parametri del itema facendo uo oltanto di equazioni algebriche. Una variabile di tato è una proprietà fiica che caratterizza lo tato di un itema, indipendentemente dal modo con cui il itema è arrivato a quello tato. Eempi comuni di variabili di tato ono la preione, il volume e la temperatura. In un circuito elettrico, le variabili di tato ono le tenioni dei condenatori e le correnti degli induttori, che decrivono lo tato compleivo del itema in termini della ua energia. Il modo più conueto di rappreentare le equazioni di tato è quello di diporle in un itema di equazioni differenziali del primo ordine: dove _x Ax þ Bz ð7:20þ 2 3 x ðtþ x 2 ðtþ xðtþ 6. 7 vettore di tato che rappreenta n variabili di tato 4 5 x n ðtþ e il puntino rappreenta la derivata prima ripetto al tempo, cioè, 2 3 _x ðtþ _x 2 ðtþ _xðtþ _x n ðtþ e 2 3 z ðtþ z 2 ðtþ zðtþ 6. 7 vettore di ingreo che rappreenta m ingrei 4 5 z m ðtþ A e B ono matrici n n e n m ripettivamente. Oltre alle equazioni di tato (7.20), è necearia anche l equazione di ucita. Il modello di tato, o modello completo nello pazio degli tati, è allora _x Ax þ Bz (7.2a) y Cx þ Dz (7.2b) 2 3 y ðtþ y 2 ðtþ dove yðtþ 6. 7 vettore di ucita che rappreenta p ucite. C e D ono, ripet- 4 5 y p ðtþ tivamente, matrici p n e p m. Nel cao particolare di un olo ingreo e una ola ucita, n m p. Suppote nulle le condizioni iniziali, la funzione di traferimento del itema i determina facendo la traformata di Laplace della (7.2a); i ottiene XðÞ AX ðþþbzðþ! ði AÞXðÞ BZðÞ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

17 7.5 Variabili di tato 7 e quindi XðÞ ði AÞ BZðÞ ð7:22þ dove I è la matrice identità. Traformando econdo Laplace anche la (7.2b) i ha YðÞ CX ðþþdzðþ ð7:23þ Sotituendo la (7.22) nella (7.23) e dividendo per ZðÞ i ottiene la funzione di traferimento dove Y ðþ ZðÞ CðI AÞ B þ D A matrice del itema B matrice di ingreo C matrice di ucita D matrice feedforward ð7:24þ Nella maggioranza dei cai, D 0, e quindi il grado del numeratore di HðÞ nella (7.24) è minore di quello del denominatore. Allora, CðI AÞ B (7.25) Proprio per la preenza di numeroi calcoli con le matrici, MATLAB i rivela un utile trumento per calcolare la funzione di traferimento. Il procedimento di applicazione del metodo delle variabili di tato alla analii di un circuito è cotituito dai eguenti tre pai. Fai della applicazione del metodo delle variabili di tato alla analii dei circuiti:. Scegliere la corrente nell induttore i e la tenione del condenatore v come variabili di tato, aicurandoi che riultino in accordo con la convenzione degli utilizzatori. 2. Applicare la KCL e la KVL al circuito per ottenere le variabili circuitali (tenioni e correnti) in termini delle variabili di tato. Ciò dovrebbe portare a formulare un itema di equazioni differenziali del primo ordine necearie e ufficienti per determinare tutte le variabili di tato. 3. Ricavare l equazione di ucita ed eprimere il riultato finale nella rappreentazione dello pazio degli tati. I pai e 3 ono di olito molto emplici; il pao 2 è invece quello di eecuzione delicata. Si illutrerà il procedimento, come di conueto, con eempi. Eempio 7.7 Determinare la rappreentazione nello pazio degli tati del circuito in Figura Calcolare la funzione di traferimento del circuito quando v è preo come ingreo e i x è l ucita. Si ponga R ; C 0:25 F e L 0:5H.. v i L v L R i x i c C v Figura 7.22 Per l Eempio 7.0. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

18 8 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Soluzione: Si celgono la corrente nell induttore i e la tenione ul condenatore v come variabili di tato. Applicando la KCL al nodo i ottiene cioè v L L di dt i C C dv dt i i x þ i C! C dv dt _v v RC þ i C i v R perchè iar che C hanno la tea tenione v. Applicando la KVL alla maglia eterna i ha v v L þ v! L di dt v þ v ð7:0:þ ð7:0:2þ ð7:0:3þ _i v L þ v L Le (7.0.3) e (7.0.4) ono le equazioni di tato. Se i conidera i x come ucita, i x v R Ricrivendo le (7.0.3) e (7.0.4) nella forma tandard i ottiene " # _v RC C v i _ þ 4 5v L 0 i L i x v 0 R i ð7:0:4þ ð7:0:5þ ð7:0:6aþ ð7:0:6bþ Se R ; C 4 e L 2, dalla (7.0.6) i ricavano le matrici " # A RC C L 0 Invertendo quet ultima matrice i ha C R 0 ½, B 0 L 0Š 0, 2 I A þ ði AÞ aggiunta di A determinante di A 4 2 þ 4 2 þ 4 þ 8 La funzione di traferimento è allora 4 0 ½ 0Š CðI AÞ 2 þ 4 2 B 2 þ 4 þ þ 4 þ 8 ½ 0Š 8 2 þ 8 2 þ 4 þ 8 che è lo teo riultato che i arebbe ottenuto traformando direttamente il circuito econdo Laplace e ricavando I x ðþ=v ðþ. Il vero vantaggio dell approccio baato ulle variabili di tato i apprezza nel cao di ingrei e ucite multipli. Nel cao preente c era un olo ingreo v e una ola ucita i x. Nel proimo eempio, i analizzerà invece un circuito con due ingrei e due ucite. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

19 7.5 Variabili di tato 9 n Eercizio 7.0 Ricavare il modello baato ulle variabili di tato per il circuito motrato in Figura Si ponga R ; R 2 2; C 0:5 e L 0:2 e i determini la funzione di traferimento. L v R C R 2 v o Figura Per l Eercizio 7.0. Ripota " # _v R i _ C C 20 2 þ 2 þ 30 L R 2 L v i þ " # R C 0 v ; v o ½0 R 2 Š v i n Eempio 7. Si conideri il circuito in Figura 7.24, che può eere coniderato come un itema a due ingrei e due ucite. Se ne determini il modello a variabili di tato e la funzione di traferimento del itema. i Ω i 2 Ω 2 3 Ω o i v o v H v 6 v 3 F i Figura Per l Eempio 7.. Soluzione: In queto circuito ci ono due ingrei, v e v i e due ucite, v o e i o. Anche in queto cao i celgono la corrente dell induttore i e la tenione del condenatore v come variabili di tato. Applicando la KVL all anello di initra i ha v þ i þ 6 _ i 0! _i 6v 6i ð7::þ Biogna eliminare l incognita i. Applicando la KVL alla maglia formata da v, dal reitore da, quello da 2 e dal condenatore da 3 F i ottiene v i þ v o þ v ð7::2þ Ma al nodo, per la KCL, Sotituendo nella (7..2), i i þ v o 2 v 3i þ v 2i! i 2i v þ v 3 Sotituendo il riultato nella (7..),! v o 2ði iþ ð7::3þ _i 2v 4i þ 4v che cotituice la prima equazione di tato. Per ottenere la econda, i applica la KCL al nodo 2. ð7::4þ ð7::5þ v o 2 3 _v þ i o! _v 3 2 v o 3i o ð7::6þ Si devono eliminare le incognite v o e i o. Dall anello di detra, è evidente che i o v v i 3 Sotituendo la (7..4) nella (7..3) i ha v o 2 2i v þ v 3 i 2 3 ðv þ i v Þ Sotituendo le (7..7) e (7..8) nella (7..6) i ricava la econda equazione di tato _v 2v i þ v þ v i ð7::7þ ð7::8þ ð7::9þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

20 20 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Le due equazioni di ucita ono già tate ottenute nelle (7..7) e (7..8). Ricrivendo la (7..5) e le Equazioni da (7..7) a (7..9) nella forma tandard i ottiene il modello a variabili di tato del circuito, _v i _ v o i o 2 v 2 4 i " # v 3 0 i þ 4 0 þ v v i v v i ð7::0aþ ð7::0bþ n Eercizio 7. Determinare il modello baato ulle variabili di tato per il circuito di Figura Coniderare v o e i o come variabili di ucita. Figura 7.25 Per l Eercizio 7.. v o 4 H i Ω 2 Ω i 2 2 F i o Ripota _v i _ v i þ i i 2 v o i o 0 0 v i þ i i 2 n Eempio 7.2 Si upponga di avere un itema la cui ucita è yðtþ e il cui ingreo è zðtþ. Si upponga inoltre che la relazione tra l ingreo e l ucita ia decritta dalla eguente equazione differenziale: d 2 yðtþ dt 2 þ 3 dyðtþ dt þ 2yðtÞ 5zðtÞ ð7:2:þ Si determinino il modello di tato e la funzione di traferimento del itema. Soluzione: Si celgono innanzitutto le variabili di tato. Sia x yðtþ; allora, Sia ora _x _yðtþ x 2 _x _yðtþ ð7:2:2:þ ð7:2:3þ Si noti che in queto cao i ta trattando un itema del econdo ordine, che di norma preenta due termini del primo ordine nella oluzione. Si ha ora _x 2 yðtþ, in cui è poibile eprimere il valore di _x 2 uando la (7.2.), cioè _x 2 yðtþ 2yðtÞ 3 _yðtþþ5zðtþ 2x 3x 2 þ 5zðtÞ ð7:2:4þ Uando le Equazioni da (7.2.2) a (7.2.4), i poono ora crivere le eguenti equazioni matriciali: _x 0 x þ 0 zðtþ ð7:2:5þ _x x 2 5 x yðtþ ½ 0Š x 2 ð7:2:6þ Si determina ora la funzione di traferimento. I A þ 3 La ua invera è ði AÞ þ 3 2 ð þ 3Þþ2 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)