POLITECNICO DI MILANO

Transcript

1 POLITECNICO DI MILANO Facoltà di Ingegneria dell Informazione Coro di Laurea Magitrale in Ingegneria Elettronica MODELLISTICA E SIMULAZIONE DI SENSORI AMR DI CAMPO MAGNETICO Relatore: Correlatore: Prof. Aleandro Sottocornola Spinelli Prof. Andrea Lacaita Tei di Laurea Magitrale di: Riccardo Zimbalatti Matricola: Anno Accademico

2 Indice Abtract... 1 Introduzione... Senori magnetici Grandezze fondamentali Claificazione dei principali enori di campo magnetico Senori SQUID Senori Search Coil Senori Fluxgate Senori ad effetto Hall Senori magnetoreitivi AMR GMR MTJ Applicazioni dei enori magnetoreitivi Miure elettriche Magnetic Random Acce Memory (MRAM) Miure meccaniche Trend futuri... Analii di una trip nel cao monodimenionale... 4

3 Indice iii.1 Effetto magnetoreitivo Aniotropia Il materiale: non olo Permalloy! Struttura del enore AMR Equazione dell energia magnetica Contributo del campo magnetico eterno Contributo dell aniotropia uniaiale Contributo dell aniotropia di forma Demagnetizzazione Introduzione al calcolo del campo di demagnetizzazione Calcolo del campo di demagnetizzazione u una trip rettangolare Contributo di bordo Contributo di bulk Multitrip Senitività Modello numerico 1-D e riultati Tipologie di imulazione effettuate Struttura e riultati del modello numerico 1-D Loop di convergenza Riultati numerici Scelta del gue iniziale Soluzione calcolata mediante ingola iterazione Confronto con il imulatore micromagnetico OOMMF Confronto tra la oluzione ingola trip e la oluzione multitrip Confronto con i dati perimentali Simulazione con ψ Simulazione con ψ

4 Indice iv 3.7 Flipping della magnetizzazione Analii di una trip nel cao bidimenionale Proceo di magnetizzazione dei materiali ferromagnetici Equazione dell energia magnetica nel cao bidimenionale Calcolo del campo di demagnetizzazione nel cao bidimenionale Contributo dei bordi Campo di demagnetizzazione ui bordi Contributo di bulk Riultati numerici Appendice A Appendice B Appendice C Concluioni Bibliografia... 10

5 Abtract Nel eguente lavoro di tei viene tudiata la fiica che ta alla bae di un enore AMR di campo magnetico, oprattutto dal punto di vita dell energia magnetica, che regola la dipoizione della magnetizzazione all interno di una trip di materiale ferromagnetico, e del fenomeno della demagnetizzazione, che influenza peantemente il funzionamento del dipoitivo e che dipende dalla geometria delle trip di cui è cotituito il enore. A partire da queta analii viene decritto un modello numerico che è tato realizzato mediante il oftware Matlab al fine di predire, nella maniera più accurata poibile, quelli che ono i riultati perimentali. Un ulteriore confronto è tato effettuato con i riultati ottenuti mediante un imulatore micromagnetico. La magnetizzazione delle trip di materiale ferromagnetico viene analizzata ia in un cao monodimenionale che in un cao bidimenionale, evidenziando il motivo per cui ia neceario etendere le notre coniderazioni al cao -D. Durante la trattazione viene anche prea in coniderazione l interazione che i determina quando divere trip vengono affiancate l una all altra, come accade nella truttura reale del enore.

6 Introduzione I enori AMR cotituicono una particolare clae di magnetometri che appartiene alla categoria dei enori magnetoreitivi. Queto genere di dipoitivi è in grado di rivelare campi magnetici di intenità paragonabile a quella del campo magnetico terretre. Grazie alle loro caratteritiche, che aranno decritte approfonditamente, queti enori vengono utilizzati in maniera molto diffua per un ampia gamma di applicazioni. Lo viluppo di nuove tecnologie baate ull effetto magnetoreitivo, ree poibili principalmente dallo tudio delle proprietà dei materiali, non ha pazzato via dal mercato queto genere di enori, che mantengono delle caratteritiche molto oddifacenti, abbinate a dimenioni ridotte e prezzi contenuti. Durante il lavoro di tei mi ono occupato in prima itanza dello tudio della fiica del dipoitivo, con particolare attenzione al fenomeno della demagnetizzazione e all analii dell energia magnetica del itema. Da queto tudio ono tate ricavate le equazioni che decrivono il comportamento di un enore AMR nel uo compleo. In eguito il modello analitico ricavato è tato implementato ul oftware Matlab, allo copo di predire il funzionamento del dipoitivo in relazione ai dati perimentali in notro poeo. Queta filoofia di lavoro è tata ucceivamente ripetuta per etendere lo tudio da un cao monodimenionale ad un cao bidimenionale. Vediamo con maggiore dettaglio come è tata trutturata la trattazione, analizzando i tratti alienti capitolo per capitolo. Capitolo 1. Dopo una breve panoramica ullo tato dell arte dei principali enori magnetici in commercio, claificati in bae al range di campi magnetici che ono in grado di miurare, vengono analizzati con maggiore dettaglio i enori magnetoreitivi. Di queta categoria ono inteticamente decritte le principali tipologie e i maggiori campi di applicazione.

7 Introduzione 3 Capitolo. Queta ezione contiene i fondamenti u cui i baa il funzionamento di un enore AMR: l effetto magnetoreitivo, il concetto dell aniotropia e la truttura di un tipico enore. Succeivamente viene tudiata nel dettaglio l energia magnetica del itema e come la ua minimizzazione determini la dipoizione della magnetizzazione all interno della trip. Infine viene dicua la demagnetizzazione e vengono calcolati i contributi di bordo e di bulk in un cao monodimenionale, prima per una ingola trip e poi per il cao di una erie di trip vicine. Capitolo 3. Queto capitolo contiene l analii dei riultati ottenuti mediante l implementazione oftware delle equazioni ricavate nel capitolo precedente. In particolare viene decritto il modello numerico e l algoritmo di convergenza e vengono confrontati i riultati ottenuti tramite Matlab con i dati perimentali a dipoizione e con il imulatore micromagnetico OOMMF. Capitolo 4. In queta ultima ezione viene eteo lo tudio dell equazione dell energia magnetica e il calcolo dei campi di demagnetizzazione per un cao bidimenionale. Infine ono brevemente riportati e dicui i riultati ottenuti implementando u Matlab le equazioni del cao -D.

8 Capitolo 1 Senori magnetici Il magnetimo è tato uno dei primi fenomeni fiici invetigati dall uomo e oggetto delle ue miure. L effetto di attrazione o repulione di alcuni materiali (calamite), coì come la proprietà di alcuni pezzi di roccia di ruotare pontaneamente vero la direzione del nord, è noto in dall antichità. I primi enori di campo magnetico hanno permeo la navigazione attravero la rivelazione del campo magnetico della Terra. La nacita e lo viluppo ucceivo dei enori magnetici ha permeo all umanità di analizzare e controllare migliaia di funzioni. I computer poiedono una memoria quai illimitata attravero l uo di enori magnetici come memoria; gli aerei volano con alti tandard di icurezza per merito dell elevata affidabilità degli witch enza contatto, che utilizzano i enori magnetici; le automobili fruttano i enori magnetici per conocere la loro poizione; le fabbriche incrementano la produttività grazie alla tabilità e al bao coto dei enori magnetici. In queto capitolo ci occupiamo di tilare una breve claificazione dei magnetometri più diffui, in bae ai valori di campo magnetico che ciacuna tipologia è in grado di rivelare. Dopo una breve decrizione delle caratteritiche dei principali enori, ci focalizzeremo ulla categoria dei enori magnetoreitivi (a cui appartiene la tipologia dei enori AMR). Infine vedremo le principali applicazioni dei enori magnetoreitivi e quali iano le apettative future riguardo lo viluppo della tecnologia allo copo della rivelazione dei campi magnetici.

9 Capitolo Grandezze fondamentali Le grandezze magnetiche di maggiore importanza ono il vettore intenità di campo magnetico H, la cui unità di miura nel itema internazionale è Am, e il vettore denità di fluo magnetico (o vettore induzione magnetica) B, il quale viene miurato in T. Nella tabella 1.1 ono riportati i coefficienti di converione per paare dalle unità di miura del itema internazionale alle altre unità di miura comunemente utilizzate in ambito cientifico. (A/m) Oerted (Oe) Tela (T) Gau (G) A/m Oe T G Tabella 1.1 Converione tra le unità di miura A partire da quete definizioni, è poibile introdurre tutte le altre grandezze comunemente adoperate nel campo del magnetimo: quelle più rilevanti per il proieguo della lettura ono la permeabilità magnetica del materiale μ e oprattutto il vettore magnetizzazione M. La permeabilità magnetica è una caratteritica del materiale che decrive la proporzionalità tra i vettori H e B : B H Queto modo di definire la permeabilità magnetica di un materiale non è empre il più conveniente. Talvolta è preferibile riferiri a queto parametro in relazione alla permeabilità magnetica del vuoto, attravero l utilizzo della permeabilità magnetica relativa μ r : r H m B H r 0

10 Capitolo 1 6 Sebbene la permeabilità embri il parametro più adatto a decrivere le proprietà magnetiche di un materiale, in realtà non empre riulta coì efficace, a caua della non linearità della relazione tra H e B, che determina la dipendenza di μ dal punto di lavoro, e di altre non idealità. In definitiva, ebbene la permeabilità magnetica ia un parametro molto utile da un punto di vita fiico, nella pratica è molto più conveniente decrivere i procei di magnetizzazione attravero la curva caratteritica B f H. Queta relazione contiene informazioni eenziali a propoito di un determinato materiale magnetico e generalmente viene fornita nei cataloghi dei materiali. Il econdo parametro di grande interee nella notra analii è il vettore di polarizzazione magnetica (tipicamente chiamato vettore magnetizzazione). L origine di queto vettore è legata al modello planetario dell atomo, in cui gli elettroni all interno del materiale orbitano intorno al nucleo, generando un campo magnetico imile a quello generato da una pira. Per emplicità è poibile ricondurre quete correnti microcopiche ad una grandezza vettoriale macrocopica, che decrive il comportamento globale del materiale e che è proprio il vettore magnetizzazione M. La relazione caratteritica all interno di ogni materiale, coì come nel vuoto, con cui queto vettore i lega alle altre grandezze magnetiche, è la eguente: B H M In queta epreione il termine μh rappreenta il contributo di un campo magnetico eterno, mentre il termine μm rappreenta il contributo della magnetizzazione interna al materiale: è evidente come, anche e non dovee eere preente alcun campo magnetico eterno, ia poibile che il materiale eibica un vettore denità di fluo magnetico legato alla ua magnetizzazione. 1. Claificazione dei principali enori di campo magnetico Un magnetometro è uno trumento in grado di miurare l intenità, la direzione e il vero di un campo magnetico, con le migliori pretazioni poibili. In realtà non empre iamo intereati a effettuare una miura vettoriale del campo magnetico, alcune volte vogliamo ecluivamente miurare la ua intenità. Per queto motivo i magnetometri i dividono in due categorie: quelli calari e quelli vettoriali. Ci ono diveri modi di miurare i campi magnetici, molti dei quali ono baati ull intima conneione tra i fenomeni magnetici e i fenomeni elettrici. Tuttavia le tecniche di miura del campo magnetico fruttano un enorme inieme di idee e fenomeni, che variano dal

11 Capitolo 1 7 campo della fiica alla cienza dei materiali. Lo copo di queto capitolo è quello di introdurre una claificazione tra i principali enori attualmente in commercio e di confrontarli tra loro, per comprendere in quali applicazioni ia conveniente l uo di uno piuttoto che dell altro. Nello tudio di un magnetometro non è ufficiente eprimere la relazione che lega il campo magnetico H al egnale di ucita del enore, ma è neceario garantire anche determinati parametri di miura eenziali, come per eempio il livello di rumore, la rioluzione, la enitività, il range di miura, la non-linearità, la banda, la tabilità con la temperatura, il coto e le dimenioni. In generale poiamo affermare che il panorama dei enori magnetici è piuttoto tabile. Negli ultimi anni hanno avuto un ruolo dominante empre le tee tipologie di enori: SQUID, enori a rionanza, fluxgate, enori magnetoreitivi, enori ad effetto Hall e enori induttivi. Tra le nuove tipologie olo il Tunnel Magnetic Junction (TMJ) e il Giant Magneto-Impedence (GMI) hanno introdotto nuove poibilità. Certamente tutti i enori tradizionali ono tati migliorati attravero la miniaturizzazione e la microelettronica, incrementando notevolmente le proprie pretazioni. La figura 1.1 rappreenta i tipici range di enitività dei più comuni enori di campo magnetico. Figura 1.1 Range di enitività dei più comuni magnetometri in commercio

12 Capitolo 1 8 I enori magnetici di utilizzo comune lavorano opra i nanotela ( nt ) a caua di tutti quei diturbi magnetici che poono eere preenti normalmente nell ambiente. D altro canto eite un mondo di campi magnetici da miurare, generalmente campi biomagnetici, ordini di grandezza otto i nt, dove poono eere utilizzati in maniera molto efficiente le proprietà dei materiali uperconduttori. Per queto motivo campi magnetici molto piccoli ono olitamente miurati attravero i enori SQUID. Sopra gli 0.1nT invece i adoperano principalmente due clai di enori: i enori a rionanza e i fluxgate. I metodi a rionanza (pompa ottica o preceione nucleare) determinano un ottima rioluzione della miura, tuttavia impiegano dipoitivi di grandi dimenioni e ono in grado di rivelare principalmente il valore calare dell intenità del campo magnetico. Per queti motivi vengono utilizzati prevalentemente in geofiica e per le ricerche paziali. Nello teo range di enitività ci ono i fluxgate, che hanno il vantaggio di eere più veratili: ono caratterizzati da dimenioni più ridotte e rivelano il valore vettoriale del campo, tuttavia per ottenere ottime pretazioni in termini di rioluzione devono eere realizzati con grande cura. Nel range attorno al valore del campo magnetico terretre (intorno alle decine di μt ) è poibile utilizzare dei enori molto più economici: i tratta degli Aniotropic Magneto-Reitance (AMR) e dei Giant Magneto- Reitance (GMR). Campi magnetici elevati invece vengono quai ecluivamente miurati attravero i enori ad effetto Hall. Infine i enori induttivi (tipicamente chiamati earch coil) hanno una caratteritica particolare: poono eere utilizzati per rivelare campi magnetici che variano u un ampio range di valori, dai campi più piccoli dell ordine dei pt fino ai campi magnetici più inteni. Vediamo in etrema intei il principio di funzionamento dei principali enori magnetici appena citati Senori SQUID I magnetometri SQUID (Superconducting QUantum Interference Device) cotituicono lo trumento principale per la rivelazione di campi magnetici di piccola intenità, oprattutto grazie alle loro ottime pretazioni in termini di enitività. Queti magnetometri ono in grado di miurare campi magnetici dell ordine dei ft e queto è fondamentale, ad eempio, per la miura dei campi neuromagnetici del cervello umano, di intenità molto più piccola ripetto al campo magnetico terretre (8 ordini di grandezza!). Eitono due effetti alla bae del funzionamento degli SQUID: la quantizzazione del fluo magnetico e il tunnelling attravero una giunzione debole (l effetto Joephon). Queti enori ono fondamentalmente cotituiti da un anello di materiale uperconduttore contenente al uo interno una o più giunzioni Joephon (i tratta della eparazione da parte di un materiale iolante di due uperconduttori, attravero la quale i può avere traporto di

13 Capitolo 1 9 carica per effetto tunnel). Il funzionamento di queto genere di enori i baa ull interazione tra la corrente elettrica all interno dell anello e il campo magnetico applicato (o meglio il fluo magnetico): quando determinati materiali vengono raffreddati al di otto di una temperatura critica i comportano come uperconduttori e non oppongono reitenza al paaggio di carica. Se una linea del fluo magnetico i concatena con l anello di materiale uperconduttore i induce una corrente lungo l anello proporzionale al fluo teo. Il fluo magnetico attravero l anello ( in ) è quantizzato e può aumere come valori olo multipli interi del quanto fondamentale: 0 h e Si può dimotrare che la corrente che corre lungo l anello è una funzione ocillante dell intenità del campo magnetico, oia all aumentare di H la corrente tende a alire fino a un valore di picco e poi a diminuire, aumendo un andamento periodico in maniera imile alle frange di interferenza prodotte dalla diffrazione della luce: in in 0 I( H ) I(0) in 0 I enori SQUID utilizzano la variazione periodica della corrente per miurare il campo magnetico: tipicamente l anello viene accoppiato induttivamente ad un circuito a radiofrequenza che fornice un campo magnetico di bia e allo teo tempo permette di rivelare l ucita. I cambiamenti del campo magnetico eterno e quindi della corrente dell anello determinano una variazione della frequenza di rionanza del circuito. 1.. Senori Search Coil I enori a bobina di induzione (anche chiamati earch coil) ono probabilmente i primi magnetometri ad eere tati utilizzati perché molto emplici e intuitivi. Come abbiamo detto in precedenza ei ono in grado di miurare campi magnetici u un ampiimo range di intenità, da valori deboli di circa T fino ai valori più elevati. Il principio di funzionamento di queti enori i baa ulla legge di Faraday dell induzione magnetica: una bobina, caratterizzata da una certa area A e da un certo numero di avvolgimenti n, concatenata con un fluo magnetico

14 Capitolo 1 10 variabile, perimenta ai uoi capi una differenza di potenziale proporzionale alla variazione temporale del fluo e di coneguenza viene percora da una corrente elettrica. Tipicamente la bobina viene riempita con un nucleo di materiale ferromagnetico caratterizzato da un elevata permeabilità magnetica per raccogliere in maniera più efficace il campo circotante ed incrementare il fluo magnetico ad ea concatenato. B H V n na na t t t La enitività di queto magnetometro dipende dunque dalla permeabilità del materiale di core, dall area della bobina, dal numero di avvolgimenti e dalla velocità con cui varia il fluo magnetico. Oggi alcuni materiali magnetici poono raggiungere valori di permeabilità magnetica relativa dell ordine di 5 10 e queto determina un aumento molto ignificativo della enitività del enore. Affinché il fluo concatenato con la bobina ia variabile nel tempo è neceario che il campo magnetico ia anch eo variabile nel tempo o che la bobina venga moa attravero un campo magnetico uniforme. Per queto motivo queta tipologia di enori non embrerebbe utilizzabile per rilevare campi magnetici tatici o lentamente variabili. In realtà è poibile realizzare un enore in cui la bobina viene mea in rotazione con una velocità candita da un quarzo, che permette la miura di campi magnetici in DC con buona accuratezza. Queti dipoitivi inoltre ono economici e molto emplici da realizzare Senori Fluxgate La truttura più emplice di un enore fluxgate conite in un materiale ferromagnetico avvolto mediante due bobine, una deputata al driving del dipoitivo e l altra al ening del campo magnetico eterno. Il funzionamento di queti dipoitivi i baa ul fenomeno dell induzione magnetica e ulla curva dell iterei: in particolare quello che i verifica è che i materiali ferromagnetici aturano in preenza di alti campi applicati e la curva di magnetizzazione che decrive queto fenomeno è non lineare. Quando alla bobina di driving viene applicata una corrente inuoidale ufficientemente ampia, il nucleo ferromagnetico raggiunge la magnetizzazione di aturazione una volta ogni mezzo ciclo. In queto cao il core atura e la ua riluttanza nei confronti del campo magnetico da miurare aumenta, attraendo con minore intenità il campo. Quando invece il nucleo ece dalla zona di aturazione il campo magnetico eterno è nuovamente attratto con maggiore vigore. Quindi l alternanza di attrazione e perdita di attrazione caua il fatto che le linee di fluo magnetico i concatenano o meno con la bobina di ening, generando una corrente e di

15 Capitolo 1 11 coneguenza una tenione di ucita. La tenione di ucita, a caua della non linearità e della immetria della curva di magnetizzazione, conite nelle armoniche pari della frequenza di eccitazione. La tenione aociata alla econda armonica è proporzionale al campo magnetico eterno. La enitività di queto enore dipende dalla forma della curva dell iterei: per ottenere la maima enitività è neceario che la curva abbia una forma quadrata, poiché queta produce la forza elettromotrice indotta più elevata per un dato campo magnetico eterno. Figura 1. Principio di funzionamento del enore fluxgate Nel coro degli anni ono tate viluppate molte verioni dei magnetometri a fluxgate. La maggior parte di quete raggiungono bai conumi di potenza facendo lavorare il enore all interno di un ciclo di iterei minore. Queto genere di enori ono molto più enibili al driving e all elettronica di readout del enore, piuttoto che alle proprietà del materiale che cotituice il nucleo ferromagnetico Senori ad effetto Hall L effetto Hall è un fenomeno fiico che i origina in coneguenza alla forza di Lorentz, econdo cui una particella dotata di carica elettrica q che i muove all interno di un campo elettromagnetico ubice una forza:

16 Capitolo 1 1 F q E v B Quando viene applicata una tenione ai moretti di un materiale emiconduttore i portatori di carica cominciano a fluire otenuti dal potenziale e i origina una corrente I. Se allo teo tempo viene applicato perpendicolarmente alla latra un campo magnetico, i portatori ubicono una deviazione dovuta alla forza di Lorentz, come rappreentato nella figura 1.3. Figura 1.3 Effetto Hall Queto deviazione della carica elettrica determina un accumulo di portatori ai lati del materiale che genera a ua volta un potenziale: quando il campo elettrico dovuto a queta differenza di potenziale produrrà una forza ui portatori eattamente pari alla forza di Lorentz, le cariche metteranno di ubire la defleione. La tenione coì generata, che viene chiamata tenione di Hall ( V ), viene miurata tra elettrodi poti ulle facce laterali della latra ed è proporzionale al campo magnetico applicato econdo la eguente relazione: H V H R t H IB

17 Capitolo 1 13 dove R H è il coefficiente Hall che tiene conto delle proprietà elettriche del materiale, t è lo peore della latra e I è la corrente di polarizzazione. La enitività di un enore ad effetto Hall dipende da diveri fattori quali ad eempio il materiale, le dimenioni e il livello tecnologico. Generalmente per ottenere buone pretazioni di enitività ed alto egnale di ucita i utilizzano materiali caratterizzati da una mobilità dei portatori elevata. Per queto motivo è preferibile utilizzare emiconduttori drogati di tipo n, dato che gli elettroni hanno mobilità uperiori alle lacune. 1.3 Senori magnetoreitivi Dopo aver brevemente analizzato le principali caratteritiche dei magnetometri più diffui in commercio, vogliamo adeo focalizzare la notra attenzione ulla categoria dei enori magnetoreitivi, per tudiarne le principali proprietà e per vedere quali iano le applicazioni in cui queti dipoitivi vengono maggiormente adoperati. La più importante di quete applicazione è quella delle tetine di lettura magnetoreitive, tuttavia i enori MR ono anche frequentemente utilizzati come traduttori meccanici ed elettrici e come enori di campo magnetico. C è una grandiima varietà di queto genere di enori ul mercato, ma queto non ignifica che la ricerca in queto campo abbia rallentato. Alle conferenze cientifiche dedicate ai enori magnetici o al magnetimo in generale l argomento delle magnetoreitenze è onnipreente e ogni anno porta a delle notizie rivoluzionarie. Generalmente i enori MR i uddividono in due categorie: i enori MR aniotropici (AMR) e i enori GMR. Queta claificazione i baa ulla differenza del meccanimo e delle caratteritiche che contradditinguono i due effetti alla bae di queti dipoitivi. In generale poiamo affermare che la tecnologia GMR ia più recente e ancora ampiamente in fae di progreo, mentre la tecnologia AMR ormai è abbatanza conolidata e conociuta nei uoi dettagli. Nel recente paato è tata introdotta una nuova tipologia di enori MR chiamata Magnetic Tunnel Junction (MTJ), la quale ha avuto dicreto ucceo oprattutto nell ambito delle memorie MRAM. I enori MR a film ottile eibicono alcune caratteritiche uniche: poono avere dimenioni molto ridotte (dell ordine delle frazioni di μm ) che permettono il poizionamento del dipoitivo a ridoo dell area da invetigare, poono rivelare un ampio range di campi magnetici ia in DC che in AC e poono avere coti molto contenuti. Il continuo caling delle dimenioni ta conducendo alla realizzazione di trutture in cala nanometrica, le quali eibicono nuovi fenomeni non ancora invetigati e che aprono nuovi cenari e nuove propettive per la cienza.

18 Capitolo AMR Il magnetometro AMR (Aniotropic Magneto-Reitance) è un enore vettoriale di campo magnetico. Il uo funzionamento i baa ull effetto magnetoreitivo, ovvero ulla dipendenza della reitività di alcuni materiali ferromagnetici con il campo magnetico applicato. In particolare, in queta tipologia di enori, l effetto magnetoreitivo è dovuto alla variazione della reitenza del materiale con l angolo compreo tra la direzione del fluo di corrente impota e la direzione della magnetizzazione. Un campo magnetico eterno è in grado di determinare una rotazione del vettore magnetizzazione e di coneguenza di produrre una variazione della reitenza del materiale dell ordine del 5%. I enori AMR vengono realizzati deponendo un ottile film di materiale ferromagnetico (tipicamente il Permalloy) u un wafer di ilicio, utilizzando un pattern a trip rettangolari. Tipicamente per realizzare il enore vengono utilizzate quattro reitenze, formate da un certo numero di trip di materiale ferromagnetico, connee tra loro nella claica configurazione a ponte di Wheattone. Per rivelare campi ul piano x-y viene utilizzata la combinazione di due enori, uno enibile a campi magnetici in direzione x e uno enibile a campi magnetici in direzione y. L effetto magnetoreitivo i manifeta in modo molto rapido, non limitato da bobine o frequenze ocillanti, per cui la banda del enore è piuttoto etea (1-5 MHz ). Altre caratteritiche fondamentali di queti enori ono la poibilità di eere integrati e di riultare compatibili con i normali procei CMOS, il bao coto, le dimenioni ridotte, l immunità al rumore e l accuratezza. Il funzionamento del enore i baa ul fatto che in fae di fabbricazione viene fiato un ae preferenziale alla magnetizzazione e viene impoto un fluo di corrente che corre a 45 ripetto all orientamento della magnetizzazione, per aumentare la enitività. Quando al enore viene applicato un campo magnetico eterno da miurare, eo reagice ruotando la ua magnetizzazione ripetto alla condizione di ripoo: la variazione dell angolo tra il vettore magnetizzazione e un fluo di corrente impoto ulla trip determina, a caua dell effetto magnetoreitivo, una variazione della reitenza del materiale. Tutti i 4 reitori del ponte ubicono una determinata variazione della reitenza, a econda di come ono poizionati i vettori M e J in aenza di campo magnetico, e la variazione compleiva del ponte ci fornice le informazioni ul campo applicato otto forma di una tenione differenziale.

19 Capitolo 1 15 Figura 1.4 Variazione relativa della reitenza in funzione dell angolo compreo tra la magnetizzazione e il fluo di corrente (a); rotazione prodotta dalla preenza di un campo magnetico eterno ul vettore magnetizzazione (b) 1.3. GMR Un altra tipologia di enori che frutta l effetto magnetoreitivo è quella dei GMR (Giant Magneto-Reitance), i quali permettono di raggiungere variazioni di reitività in funzione del campo magnetico applicato maggiori (tipicamente intorno al 10% - 0% ). Queto miglioramento della enitività è determinato dall utilizzo di una truttura caratterizzata da diveri trati di materiale ferromagnetico ovrappoti e intervallati da trati di metallo non magnetico (truttura multilayer). Il cambiamento della poizione relativa della magnetizzazione tra due layer ferromagnetici determina un ampia variazione della reitenza del materiale. In particolare è tato oervato che la reitenza di una truttura multilayer, in cui le magnetizzazioni riultano inizialmente allineate in modo antiparallelo (per campo magnetico nullo), decrece di oltre il 50% quando un campo magnetico eterno determina la dipoizione parallela. L origine fiica di queta evidenza perimentale ta nel fatto che gli elettroni ono più oggetti a fenomeni di cattering quando la magnetizzazione riulta antiparallela. Il principale vantaggio dei enori GMR ripetto ai enori AMR conite nel fatto che è neceario applicare un campo magnetico di maggiore intenità per ottenere il cambiamento della reitenza. Una truttura molto emplice di magnetometro GMR è la pin valve, rappreentata in figura 1.5: è cotituita da quattro layer, due dei quali formati da materiale ferromagnetico. In mezzo a queti due trati i interpone un materiale conduttivo non magnetico, mentre l ultimo trato è compota da un layer di materiale antiferromagnetico, che viene utilizzato per vincolare la magnetizzazione di uno dei due layer

20 Capitolo 1 16 ferromagnetici (detto hard ferromagnet). In queto modo olo uno dei due trati di materiale ferromagnetico (detto oft ferromagnet) può eere modificato dal campo eterno. Il layer magnetico che viene inibito i trova tra il conduttore e il materiale antiferromagnetico. Per ottimizzare il funzionamento di queta truttura è neceario che i vari layer abbiano peore molto ottile. Figura 1.5 Orientamento del vettore magnetizzazione nei layer ferromagnetici al variare delle condizioni di campo magnetico applicato Queta truttura di bae, può eere ripetuta per creare una geometria multilayer più complea: in queto cao la variazione percentuale della reitenza aumenta a caua della maggiore probabilità di flipping legata alle numeroe interfacce MTJ I enori MTJ (Magnetic Tunnel Junction) ono una clae relativamente nuova di magnetoreitenze, che fu introdotta a partire dalla metà degli anni 90. Nella loro truttura più emplice ono caratterizzati dalla ovrappoizione di tre layer: due layer di materiale ferromagnetico eparati da un layer molto ottile di materiale iolante, il cui peore può arrivare a qualche nanometro. Quando viene applicata una tenione ai capi di queta truttura i genera una

21 Capitolo 1 17 corrente che, per effetto tunnel, è in grado di attraverare anche il materiale iolante. Queta corrente riulta maima e la magnetizzazione dei due elettrodi è parallela, mentre invece riulta minima e la magnetizzazione è antiparallela. Per queto motivo la corrente del dipoitivo, e di coneguenza la reitenza, dipendono dal campo magnetico eterno che è in grado di ruotare la magnetizzazione degli elettrodi (i tratta ancora una volta dell effetto magnetoreitivo). I recenti pai avanti legati allo tudio dei materiali per implementare la truttura MTJ tanno portando allo viluppo di memorie ad acceo cauale magnetoreitive (MRAM) competitive in molti parametri con le memorie a emiconduttore. Per eempio l ampiezza del egnale magnetoreitivo permette operazioni di lettura molto rapide. Inoltre queto genere di memorie ono non volatili in quanto l informazione viene mantenuta mediante lo tato della magnetizzazione del dipoitivo. 1.4 Applicazioni dei enori magnetoreitivi In confronto ad altri enori magnetici, i enori magnetoreitivi offrono alcuni comportamenti molto competitivi, motivo per cui vengono adoperati in una vata gamma di applicazioni. Come prima coa i enori MR eibicono la maggiore enitività per unità di area: queto ignifica che è poibile realizzare enori etremamente piccoli, ma caratterizzati da un ottima enitività (e quindi un livello del egnale di ucita oddifacente). Queto vantaggio determina il loro largo utilizzo in applicazioni di lettura di dati memorizzati (tetine di letture e upporti di memoria). Le piccole dimenioni permettono di mappare il campo magnetico nello pazio con una rioluzione etremamente accurata. Inoltre, eendo queti enori enibili a campi magnetici nel piano teo del film e non, come i enori ad effetto Hall, a campi perpendicolari alla uperficie del enore, è poibile poizionare queti dipoitivi a ridoo dell area da invetigare. Infine i magnetometri MR ono molto veratili, in quanto poono funzionare per la rivelazioni di campi in un vato et di frequenze (comprea la DC), e hanno coti molto contenuti. Vediamo brevemente alcune delle principali applicazioni in cui i enori magnetoreitivi vengono impiegati con ucceo Miure elettriche I enori magnetoreitivi poo eere impiegati per la miura di grandezze elettriche, data la tretta relazione che intercorre tra fenomeni elettrici e magnetici. Solitamente per miurare una corrente viene utilizzata la tecnica dello hunt reitor. Tuttavia queta tecnica ha alcuni vantaggi: non garantice iolamento galvanico tra la orgente, che peo i trova a tenioni elevate, e la trumentazione di miura e neceita di interrompere la conneione per introdurre la reitenza di

22 Capitolo 1 18 hunt, coa non empre poibile nel cao di circuiti tampati (PCB) o circuiti ad alto voltaggio. Un'altra metodologia molto uata per miurare una corrente è quella che adopera dei traformatori, i quali tuttavia introducono errori legati all iterei e tipicamente ono limitati per correnti in AC molto elevate. Di coneguenza gli hunt reitor e i traformatori poono eere otituiti da dei traduttori di corrente baati u enori magnetici ad effetto Hall. Tuttavia, a caua della maggiore enitività, delle migliori pretazioni in termini di linearità e del miglior comportamento al variare della temperatura talvolta i enori ad effetto Hall vengono rimpiazzati dai enori magnetoreitivi. Il modo più emplice di convertire una corrente in un egnale che il enore è in grado di rivelare è quello di miurare il campo magnetico generato attorno al conduttore, opra la traccia o all interno della bobina, a econda di dove corra la corrente di interee (figura 1.6). Figura 1.6 Miura della corrente in un conduttore (a), in una traccia (b) o in una bobina (c) Il campo magnetico generato dalla corrente all interno di un conduttore può eere decritto mediante la relazione: H I x x Nel cao di circuiti tampati il enore può eere poizionato direttamente opra la traccia e in queto cao il campo magnetico (relativo ad una traccia di larghezza w ) può eere determinato a partire dall epreione approimata:

23 Capitolo 1 19 H I x w Uno dei principali problemi di queta modalità di miurazione è cotituito dai campi magnetici eterni (per eempio il campo magnetico terretre) che interfericono con la miura. Per uperare queto genere di inconvenienti è poibile utilizzare una truttura che frutta la combinazione di due enori, poizionati in maniera opportuna, come rappreentato nella figura 1.7. Figura 1.7 Tecnica di miura che frutta due enori per correggere gli errori introdotti da diturbi eterni (come ad eempio il campo magnetico terretre) Per miurare correnti di intenità minore (dell ordine dei ma ) conviene utilizzare una bobina, in grado di produrre campi magnetici più rilevanti grazie ad un elevato numero di avvolgimenti. In particolare e conideriamo una bobina compota da n pire, di lunghezza L e diametro D, il campo magnetico prodotto è: H ni x D L

24 Capitolo Magnetic Random Acce Memory (MRAM) L idea di utilizzare dipoitivi magnetoreitivi a film ottile come elementi di memoria i manifetò ubito dopo la nacita di queta tecnologia. Dato che un elemento di film ottile può eere coniderato in uno tato di ingolo dominio, il proceo di magnetizzazione, che conite nella rotazione del vettore magnetizzazione, è molto veloce. Il ciclo di iterei per campi magnetici applicati lungo l eay axi (ae in cui i aeta la magnetizzazione in aenza di campi eterni) è di forma rettangolare e la oglia di witching viene raggiunta molto rapidamente. Memorie a emiconduttore come SRAM, DRAM e FLASH eibicono alcuni vantaggi: per eempio le SRAM ono volatili, le DRAM ono volatili e richiedono il refrehing della capacità, le FLASH hanno un endurance della crittura limitata a circa 6 10 cicli. Di coneguenza le memorie magnetoreitive cotituicono un alternativa reale alle altre tecnologie di memoria, in quanto ono memorie non volatili (lo tato della magnetizzazione viene mantenuto anche quando pegniamo l alimentazione) e poiedono un endurance di crittura e lettura praticamente illimitata. Inoltre queta tecnologia è immune alle radiazioni, compatibile con la tecnologia dei emiconduttori, emplice da realizzare e a coti relativamente contenuti. La ingola cella può eere molto piccola, nel range ubmicrometrico, e molto veloce, con un tempo di witching di alcuni nanoecondi. In realtà lo viluppo di queta tipologie di memorie è tato reo poibile dall introduzione della tecnologia GMR. Infatti le MRAM baate u dipoitivi di tipo AMR avevano lo vantaggio di generare un egnale di ucita troppo bao e di coneguenza, per produrre celle con un rapporto egnale-rumore accettabile, era neceario aumentarne le dimenioni. Inoltre dato che il tempo di lettura dipende dalla differenza del egnale tra i due tati della magnetizzazione che rappreentano i due valori logici, queto non poteva eere inferiore alle centinaia di nanoecondi. Un ulteriore miglioramento delle pretazioni ripetto al GMR è tato ottenuto con l introduzione della tecnologia TMJ: infatti celle di dimenioni ubmicrometriche realizzate con queta truttura eibicono un cambiamento della reitenza a temperatura ambiente di circa il 40% per un campo magnetico relativamente piccolo. Queto permette di ottenere un egnale di ucita più ampio ripetto alle altre tipologie magnetoreitive. Il principio di funzionamento di una cella di memoria magnetoreitiva è rappreentato in figura 1.8. Eitono due tati ben definiti della magnetizzazione del film ottile che rappreentano i bit 1 e 0. Ogni cella viene comandata da una corrente di ene, fornita dalla corripondente linea di ene. Il cambiamento dello tato della magnetizzazione può eere cauato dal campo magnetico generato dalla corrente che corre in una word line. In queto modo è poibile crivere un 1 o uno 0 all interno della matrice delle celle attravero la combinazione tra la corrente della word line e la corrente di ene.

25 Capitolo 1 1 Figura 1.8 Lettura e crittura di una memoria MRAM Miure meccaniche I enori magnetoreitivi ono largamente uati anche per rivelare potamenti lineari e angolari di un oggetto e per miurarne la velocità e l accelerazione. Per quanto riguarda traduttori di potamenti lineari un enore MR può rivelare la poizione di un magnete in movimento o, mettendo in moto il enore, di un magnete fermo. In confronto ad altre tecniche la miura dello potamento con queto genere di enori offre diveri vantaggi: queto metodo è immune a condizioni favorevoli di illuminazione, che è il problema principale dei metodi ottici, può operare anche in preenza di potamenti a velocità molto lenta, che è lo vantaggio dei metodi induttivi, ed ha una enitività uperiore ripetto ai enori ad effetto Hall e di coneguenza il traduttore può eere poizionato anche ad una certa ditanza dal corpo in movimento. Le dimenioni del enore molto ridotte permettono una rioluzione paziale anche nel range dei nanometri e la ua robutezza permette il funzionamento anche in ambienti indutriali a temperature opra i 190. Inoltre, coniderando il bao coto di realizzazione, i enori MR hanno applicazioni in divere aree, come ad eempio l indutria automobilitica. Per miure u larghe ditanze con elevata rioluzione può eere uata una truttura caratterizzata da diveri enori allineati nella direzione in cui avviene il moto dell oggetto di riferimento. In queta tipologia di miura, rappreentata nella figura 1.9, ogni

26 Capitolo 1 enore è conneo a un microproceore deputato all elaborazione dei dati, attravero un multiplexer. Figura 1.9 Tecnica di miura della poizione di un oggetto che utilizza diveri enori allineati per aumentare la rioluzione u grandi ditanze Con modalità analoghe è poibile rivelare potamenti di oggetti in direzione radiale. La conocenza della poizione di un determinato oggetto nel tempo permette di determinarne la velocità e l accelerazione. 1.5 Trend futuri In queto capitolo ono tati preentati alcuni dei principali enori magnetici in commercio, ono tate evidenziate le loro caratteritiche peculiari ed è tato effettuato un confronto per chiarire in quali applicazioni ia preferibile una tipologia piuttoto che un altra e perché. Coa ci apetta in futuro? I trend futuri nel campo dei enori magnetici devono eere dicui ulla bae delle propettive della fiica e ulla bae della applicazioni. Se dovee eere coperto un qualche nuovo fenomeno fiico, queto potrebbe portare alla realizzazione di una tecnologia di enori totalmente

27 Capitolo 1 3 nuova. Tuttavia queta ipotei embra quantomeno remota: la maggior parte dei fenomeni fiici che vengono fruttati dai magnetometri attuali furono coperti nel 1800 e nei primi decenni del La più grande coperta recente, che in realtà è un etenione di un fenomeno macrocopico, avvenne nel 1960 e fu l effetto Joephon nelle trutture a uperconduttore. D altro canto, dal punto di vita delle applicazioni, il biogno di migliorare le pretazioni dei enori è onnipreente. Il trend è quello di una continua riduzione delle dimenioni, del conumo di potenza e del coto a parità di performance; meno rilevante invece è la ricerca di aumentare la enitività a partita di dimenioni, potenza diipata e coto. I riultati che ono tati fino adeo ottenuti derivano da un attento tudio delle proprietà magnetiche dei materiali, da cui lo tato dell arte dei dipoitivi ha tratto enormi benefici. Lo tudio dei materiali magnetici è peantemente in epanione con decine di migliaia di pubblicazioni al riguardo ogni anno. Per eempio la ricerca riguardante la truttura multilayer ha portato alla coperta dei enori GMR, in cui il coefficiente magnetoreitivo è riultato dieci volte tanto ripetto a quello del Permalloy, e di coneguenza ha permeo la cotruzione di magnetometri con un enitività molto più alta. Un altro eempio di miglioramento delle pretazioni dovuto allo tudio del materiale è quello dei uperconduttori ad alta temperatura: con queta tecnologia i enori SQUID ono diventati molto più pratici grazie alla neceità di un raffreddamento molto meno tringente. In definitiva il campo magnetico è miurabile e rivelabile in molto modi diveri, molti di queti probabilmente verranno prima o poi abbandonati a caua di un limite fiico oltre il quale non è più poibile pingeri. Quale ia il materiale con le migliori caratteritiche non è facile da predire, quello che invece è molto probabile è che comunque ignificativi miglioramenti ripetto alla ituazione odierna avverranno molto lentamente.

28 Capitolo Analii di una trip nel cao monodimenionale Lo copo di queto capitolo è quello di introdurre un modello analitico 1-D che permetta di decrivere il comportamento di una trip di materiale ferromagnetico (tipicamente una lega Ni-Fe, chiamata Permalloy) dal punto di vita della magnetizzazione, in preenza di un campo magnetico eterno. Queto modello verrà eteo, alla fine del capitolo, anche al cao in cui divere trip identiche iano poizionate l una accanto all altra, interagendo tra di loro, mentre nel capitolo 4 verrà coniderato il cao bidimenionale. Il modello ricavato ta alla bae del funzionamento dei enori AMR, i quali ono caratterizzati dall effetto magnetoreitivo, che conite nella dipendenza della reitività del materiale con l angolo compreo tra il vettore denità di corrente elettrica e il vettore magnetizzazione. Per queto motivo la preenza di un campo magnetico eterno H viene rivelata mediante la rotazione del vettore magnetizzazione M che eo teo produce, la quale i manifeta otto forma di una variazione della reitenza (nella realtà di un et di reitenze dipote nella configurazione a ponte di Wheattone). Per la realizzazione del modello 1-D inizialmente introdurremo l effetto magnetoreitivo e l equazione dell energia magnetica, che regola la dipoizione del vettore magnetizzazione in ogni punto. In eguito ci concentreremo ul contributo dato dalla demagnetizzazione, argomento principale del mio lavoro di tei. Nel capitolo ucceivo vedremo come, mettendo inieme tutti queti ingredienti, ia poibile implementare un modello numerico u oftware Matlab e calcolare la curva caratteritica di un dipoitivo, ovvero la relazione che lega la variazione relativa della reitenza compleiva del ponte (proporzionale al egnale di tenione di ucita) al campo magnetico applicato.

29 Capitolo 5.1 Effetto magnetoreitivo I materiali ferromagnetici ono caratterizzati da una reitività che varia in funzione dell angolo compreo tra la direzione del vettore denità di corrente elettrica J e la direzione del vettore magnetizzazione M. Queta proprietà determina l utilizzo di queti materiali per la rivelazione di campi magnetici: infatti, mentre il fluo di corrente viene fiato in una certa direzione mediante l utilizzo dei barber pole (ono una erie di trice di materiale ad alta conducibilità che vengono depoitate ulla trip magnetoreitiva), la preenza di un campo magnetico eterno determina una rotazione del vettore magnetizzazione, che i traduce in una variazione del valore della reitività del materiale. Per tudiare un enore AMR è quindi neceario conocere due relazioni fondamentali: - la prima è quella che decrive l effetto magnetoreitivo e che lega la variazione relativa della reitenza della trip all angolo λ, compreo tra J e M : R R f - la econda è la relazione tra la dipoizione della magnetizzazione, individuata mediante l angolo che il vettore magnetizzazione forma con un ae di riferimento chiamato eay axi, e il campo magnetico eterno: f H La ditribuzione della magnetizzazione è ricavabile tudiando l equazione dell energia magnetica del itema. Noto l angolo α tra la direzione della corrente elettrica e l eay axi, è poibile combinare tra loro le due dipendenze appena decritte e ottenere la relazione caratteritica della ingola reitenza: R R f H Conocendo le relazioni caratteritiche delle quattro reitenze del ponte, realizzate in maniera opportuna, i ottiene la variazione relativa della reitenza compleiva, che è proporzionale alla tenione di ucita del enore. Affinché la enitività del enore ia elevata, è neceario che da un lato il campo magnetico eterno produca un ampia rotazione del vettore magnetizzazione, dall altro che le rotazioni della magnetizzazione generino un elevata variazione della reitenza. Il primo fenomeno dipende dal punto di equilibrio a cui tende il itema nel dipori in una condizione di

30 Capitolo 6 energia minima, riultante dal bilanciamento di diveri contributi, il econdo dalle caratteritiche del materiale e in particolare dal coefficiente magnetoreitivo. Per adeo concentriamo la notra attenzione u queto econdo contributo. L effetto magnetoreitivo, coperto da William Thompon nel 1857, è decritto dalla eguente relazione: co dove ρ è la reitività aociata alla ituazione in cui il vettore magnetizzazione e il vettore denità di corrente ono paralleli; ρ invece è la reitività aociata alla ituazione in cui i due vettori ono tra loro perpendicolari. Sperimentalmente i nota come la reitività riulti maima quando i due vettori ono paralleli e minima quando i due vettori ono perpendicolari. A livello microcopico queta evidenza perimentale i fonda ulla maggiore probabilità di cattering per gli elettroni che viaggiano in parallelo alla magnetizzazione tra gli orbitali e gli orbitali d. Per tutte le altre ituazioni i può verificare che il valore della reitività aume un valore intermedio. La differenza Δρ ρ -ρ rappreenta l aniotropia magnetoreitiva. Partendo da queta relazione i giunge all epreione che lega la variazione relativa della reitenza all angolo : R R in 0 dove Δρ ρ è definito coefficiente magnetoreitivo ed è pari a (definendo ρ 0 la reitività nelle condizioni iniziali): 0 Il coefficiente magnetoreitivo aume un valore che dipende dal materiale ferromagnetico e dallo peore della trip: in particolare il uo valore tende ad aumentare all aumentare dello peore.. Aniotropia Un altra caratteritica fondamentale dei enori AMR è l aniotropia. Un materiale i dice aniotropo e le ue proprietà cambiano muovendoi lungo una direzione piuttoto che un'altra; al contrario, e le ue proprietà riultano invarianti con la con la direzione, il materiale viene detto

31 Capitolo 7 iotropo. In particolare, nel cao di un materiale magnetico, i parla di aniotropia e le proprietà magnetiche dipendono dalla direzione della magnetizzazione. L aniotropia può eere un fenomeno intrineco (per eempio dovuto alla truttura del reticolo critallino), oppure può eere indotta mediante una deformazione platica, un proceo di annealing o un irradiazione. L aniotropia può anche eere generata durante il proceo di fabbricazione ed è queto il cao che ci interea: in un film ottile di materiale ferromagnetico è poibile indurre un aniotropia uniaiale attravero l applicazione di un forte campo magnetico eterno in una certa direzione. Oltre a queto fenomeno, eite una econda tipologia di aniotropia, che viene detta aniotropia di forma. Quando un materiale ferromagnetico viene magnetizzato, eo reagice producendo a ua volta un campo magnetico, che viene detto di demagnetizzazione: queto fenomeno è dovuto al fatto che un materiale magnetizzato può eere vito come un dipolo magnetico, in grado di generare un campo a tutti gli effetti. Il campo di demagnetizzazione dipende fortemente dalla forma del materiale e può eere epreo mediante l utilizzo di un fattore, che viene detto coefficiente di demagnetizzazione: H d N dm Il campo di demagnetizzazione arà diretto nella direzione oppota al campo eterno che ha prodotto la magnetizzazione: è come e il materiale reagie allo copo di non variare troppo la propria condizione interna. In effetti quello che uccede è che il campo compleivo agente ul materiale riulta dalla omma algebrica tra i due: H in H e N d M Dato che il campo di demagnetizzazione influenza il campo interno, non è poibile tudiare le proprietà magnetiche di un materiale in generale, ma olo di un materiale con una forma ben definita: queta caratteritica viene detta aniotropia di forma. Il problema principale deriva dal fatto che il campo di demagnetizzazione è generalmente non uniforme e difficile da calcolare, e di coneguenza anche il campo interno. L unica eccezione vale per un materiale di forma ellioidale (e quindi anche ferica), per il quale la demagnetizzazione riulta uniforme e quindi è molto emplice calcolare il coefficiente di demagnetizzazione. Nel proieguo di queto capitolo vedremo come ia poibile calcolare i campi di demagnetizzazione (e i relativi coefficienti) in una geometria a trip rettangolare molto ottile, nel cao monodimenionale. Nel capitolo 4 etenderemo il calcolo ad un cao bidimenionale.

32 Capitolo 8 In definitiva un materiale ferromagnetico deputato alla cotituzione di un enore AMR preenta un ae, chiamato eay axi, lungo il quale i orienta la magnetizzazione in aenza di campo magnetico eterno. Eo è il riultato della omma dei due contributi di aniotropia appena decritti: - Una magnetizzazione impota al materiale flat mediante un forte campo magnetico durante la fabbricazione. Nel cao del Permalloy la magnetizzazione riultante a ripoo, definita magnetizzazione di aturazione ( M ), è pari a circa A m. - Un effetto di forma dato dalla geometria a trip del materiale. Vedremo che per le notre trip rettangolari, per un campo magnetico eterno nullo, prevarrà il contributo dato dall aniotropia di forma e il vettore magnetizzazione riulterà orientato parallelamente ai bordi. Applicando un campo magnetico lungo la direzione perpendicolare all eay axi, che poiamo rappreentare con un altro ae chiamato hard axi, è poibile far ruotare la magnetizzazione dalla poizione di ripoo e l effetto che ne conegue è una variazione di reitività. Continuando ad aumentare il campo magnetico lungo l hard axi i arriverà ad un valore pari a definito come campo aniotropo, in corripondenza del quale i verifica la aturazione del vettore magnetizzazione nella direzione dell hard axi. Applicando un campo magnetico lungo l eay axi nel vero oppoto a M, invece, i può giungere fino ad un campo H k, H c, definito come coercitività, in corripondenza del quale i domini magnetici ruotano di 180 ripetto alla poizione iniziale di ripoo lungo l eay axi (queto fenomeno viene detto flipping dei domini magnetici). Le due ituazioni appena decritte ono rappreentate nella figura.1. Figura.1 Rappreentazione del campo aniotropo e campo coercitivo

33 Capitolo 9 La natura aniotropa del materiale dipende proprio dal divero comportamento che il magnetoreitore aume nel cao in cui il campo magnetico eterno venga applicato lungo l eay axi o lungo l hard axi. Per realizzare un enore in grado di rivelare campi magnetici nel piano x- y, tipicamente i applica una magnetizzazione al materiale flat e in eguito vengono tagliate trip con un ae a 45 ripetto alla direzione della magnetizzazione, come motrato in figura.. In queto modo è poibile ricavare dallo teo film magnetico trip con un eay axi parallelo all ae x del film e quindi enibili a campi magnetici lungo y, e trip con un eay axi parallelo all ae y del film e quindi enibili a campi magnetici lungo x. Figura. Magnetizzazione del film ottile e geometria a trip.3 Il materiale: non olo Permalloy! Per realizzare le trip di film ottile dei enori AMR di fondamentale importanza ono la celta e il trattamento del materiale, che poono determinare variazioni molto ignificative delle pretazioni del dipoitivo. I parametri principali da tenere in conto per la celta ono: il coefficiente magnetoreitivo Δρ ρ, che deve eere il più elevato poibile eendo proporzionale alla tenione di ucita; il campo aniotropo H k, che deve eere il più piccolo poibile poiché la enitività è inveramente proporzionale ad eo; la coercitività H c, che deve eere anch ea di valore bao, poiché alti valori di coercitività cauano iterei nella caratteritica di traferimento. Tra tutti i materiali utilizzati quello di gran lunga più diffuo è il Permalloy, una lega tra i metalli Nichel e

34 Capitolo 30 Ferro (Ni-Fe), generalmente compota nelle proporzioni 0% Ferro e 80% Nichel. Il Permalloy è tato coniderato per moltiimi anni il materiale con le migliori caratteritiche in aoluto: ebbene preenti un valore del coefficiente magnetoreitivo intorno al 5%, inferiore ripetto ad altri materiali, ha il vantaggio di avere una permeabilità magnetica relativa etremamente elevata e una 6 baa coercitività ( μ 10 e Hc 0.A m per il Superpermalloy). Altri vantaggi di queto r max materiale ono il bao coto di depoizione a livello di proceo e la ua compatibilità con i procei CMOS. Dalla tabella.1, che preenta le caratteritiche delle principali leghe Ni-Fe e Co- Fe, è evidente come le pretazioni del materiale varino molto a econda della compoizione della lega: ρμωcm H A m μ r 1000 c Nome della lega Fe64Ni Invar Fe50Ni Ioperm Fe5Ni Fe44Ni Fe0Ni Permalloy Fe16Ni79Mo Superpermalloy Fe16Ni77Cu5Cr Mumetal Fe50Co Permendur Fe49Co49V Hiperco, Vacoflux Tabella.1 Proprietà delle principali leghe Ni-Fe e Co-Fe Recentemente lo tudio delle proprietà dei materiali ha condotto alla coperta di nuove frontiere: materiali amorfi e nanocritallini hanno dimotrato di avere le tee qualità del Permalloy, e non addirittura migliori. Inoltre, mediante un accurata elezione della compoizione delle leghe, upportata dall aggiunta di elementi addizionali come Mn, Cu, Cr, V e di trattamenti di annealing/cooling, è poibile ottenere ulteriori miglioramenti delle proprietà. Per eempio attravero un appropriato proceo di ricaldamento è poibile cambiare il ciclo di iterei di un determinato materiale. La fleibilità e la veratilità del Permalloy e delle altre leghe in funzione dei procei di annealing/cooling tuttavia può anche eere un problema otto alcuni certi punti di vita: le loro proprietà poono venire alterate durante il funzionamento di un certo dipoitivo.

35 Capitolo 31.4 Struttura del enore AMR Un enore AMR viene tipicamente realizzato mediante l utilizzo di 4 reitenze, dipote nella claica configurazione a ponte di Wheattone (a caua dei vantaggi della truttura a ponte in termini di offet e variazione con la temperatura). Quete reitenze i trovano, per un campo magnetico nullo applicato, in una differente condizione di magnetizzazione e di poizionamento dei barber pole, come rappreentato nella figura.3: - R 1 : magnetizzazione impota con un angolo di circa 180 ripetto all eay axi e corrente che corre con un angolo di 45 ripetto all eay axi; - R : magnetizzazione impota con un angolo di circa 180 ripetto all eay axi e corrente che corre con un angolo di 315 ripetto all eay axi; - R 3: magnetizzazione impota con un angolo di circa 0 ripetto all eay axi e corrente che corre con un angolo di 45 ripetto all eay axi; - R 4 : magnetizzazione impota con un angolo di circa 0 ripetto all eay axi e corrente che corre con un angolo di 315 ripetto all eay axi; La direzione della magnetizzazione in aenza di campo magnetico applicato in realtà riulta lievemente ruotata a caua dell aniotropia uniaiale con cui ono tate caratterizzate le trip. La corretta poizione viene determinata attravero la minimizzazione dell equazione dell energia magnetica, come vedremo in eguito. Figura.3 Struttura del enore a ponte di Wheattone: in blu ono rappreentati i vettori denità di corrente elettrica e in roo i vettori magnetizzazione

36 Capitolo 3 A caua dell effetto magnetoreitivo, la preenza di un campo magnetico eterno diretto lungo l hard axi determina una variazione del valore di ciacuna reitenza. In particolare le reitenze R 1 e R 4 hanno una variazione poitiva del proprio valore in funzione di un campo magnetico poitivo, mentre R e R 3 hanno una variazione negativa in corripondenza dello teo campo. I barber pole vengono applicati con un angolo α ripetto all eay axi di 45, in queto modo lavoriamo nella regione lineare e in particolare nel punto di maima enitività. Al fine di migliorare le pretazioni del enore ciacuna reitenza viene realizzata utilizzando un certo numero di trip di materiale ferromagnetico: dal punto di vita elettrico le trip ono collegate in erie, in modo tale da raggiungere un valore di reitenza totale in grado di minimizzare il conumo di potenza (fiata la tenione di alimentazione della tecnologia). Nella pratica i due reitori dello teo ramo vengono realizzati mediante una truttura interdigitata, per ottimizzare l occupazione dello pazio. A partire dalla variazione relativa di ciacuna reitenza è poibile calcolare la variazione relativa della reitenza compleiva del ponte, che è proporzionale al egnale di tenione di ucita: R4 R R R4 R R Vout Vdd Vdd R3 R4 R1 R R R3 R4 R R1 R R4 R V 1 1 out R R V R R R R dd R R R R Il enore decritto fino adeo permette di rivelare campi magnetici diretti lungo l ae x. Per realizzare un enore enibile a campi magnetici diretti lungo l ae y è neceario utilizzare una truttura duale, come motrato in figura.4:

37 Capitolo 33 Figura.4 Struttura del enore per la rivelazioni di campi magnetici diretti lungo l ae y.5 Equazione dell energia magnetica L equazione dell energia magnetica rappreenta la totale energia magnetica del itema in ogni punto. Un itema tende, per ua natura, ad una condizione di equilibrio della magnetizzazione in cui la ua energia magnetica viene minimizzata. Nella notra analii tracuriamo i tranitori con cui i giunge alla oluzione di regime: data una certa condizione iniziale (che ignifica trip di un determinato materiale e di una determinata forma, una certa dipoizione iniziale del vettore magnetizzazione e un determinato campo magnetico eterno applicato), ci interea come i orientano i domini magnetici all equilibrio. Queta oluzione i ottiene, come detto, minimizzando l energia del itema in ogni punto. In particolare, tra tutti i punti di minimo poibili, la oluzione tenderà a quello più vicino alla condizione iniziale (verrà implementata una funzione di ricerca del minimo locale nel modello numerico). Conideriamo un generico punto della trip in cui vogliamo tudiare la condizione di equilibrio della magnetizzazione, in preenza di un campo magnetico uniforme nello pazio, applicato con una certa direzione e una certa intenità: è poibile introdurre un itema di riferimento x-y all interno del quale ia preente il vettore magnetizzazione, formante un angolo con l ae y (eay axi), come rappreentato nella figura.5. Vediamo quali ono i contributi da tenere in coniderazione nel bilancio dell energia.

38 Capitolo 34 Figura.5 Sitema di riferimento x-y adottato per il calcolo dell orientamento della magnetizzazione di equilibrio nel generico punto di una trip.5.1 Contributo del campo magnetico eterno Il primo contributo dell equazione dell energia magnetica è legato all applicazione di un campo magnetico eterno H : come una maa poiede un energia potenziale quando viene pota all interno del campo gravitazionale di un altra maa, un momento magnetico poiede una determinata energia quando viene poto all interno di un campo magnetico. In particolare queta forma di energia i chiama energia magnetotatica o energia di Zeeman e può eere eprea come: E B m Dalla relazione tra il campo magnetico e il vettore induzione magnetica: i ricava: B H E H m In definitiva, normalizzando ul volume, è poibile otituire il vettore momento magnetico con il vettore magnetizzazione e ottenere la denità di energia magnetotatica: e H M HM co

39 Capitolo 35 dove μ rappreenta la permeabilità magnetica del materiale, H e M l intenità dei due vettori e ψ l angolo compreo tra il campo magnetico eterno e l eay axi ( ψ- è l angolo tra il campo eterno e il vettore magnetizzazione). Queto termine rappreenta un energia per unità di volume, per cui la ua unità di miura è Jm 3. Il ignificato fiico di queta relazione è che il campo magnetico eterno determina una forza che tende a imprimere una rotazione al vettore magnetizzazione. Infatti, in aenza di altri contributi all energia totale del itema, i due vettori tendono ad allineari per raggiungere la condizione di minimo. Come i può notare l energia riulta maima quando co ψ - = -1, ovvero quando i due vettori ono paralleli ma con vero oppoto; l energia invece riulta minima quando co ψ - =1, ovvero quando i due vettori ono paralleli e con lo teo vero. In realtà entrambi queti punti ono punti di equilibrio del itema, in quanto nel punto di maimo il vettore magnetizzazione ubice due forze eattamente identiche che lo pingono a ruotare in eno orario e in eno antiorario con la tea intenità. Si tratta tuttavia di un punto di equilibrio intabile, poiché bata un minimo potamento del vettore magnetizzazione da quella poizione per innecare la rotazione vero la condizione di minimo, che invece rappreenta il punto di equilibrio tabile del itema. In queto cao infatti, non olo non viene generata alcuna forza di rotazione, ma il itema tende a rimanere nella propria condizione anche in preenza di altri contributi, generando una forza di richiamo non appena la magnetizzazione dovee potari dalla poizione di equilibrio raggiunta. Per verificare quete oervazioni componiamo i vettori M e H nelle due componenti x e y: in H H y H x H co H M M M M co M y x in La denità di energia magnetica riulta: e H co M co H in M in

40 Capitolo 36 Calcoliamo la derivata della denità di energia ripetto a : e M H co in M H in co M H y in M H x co La derivata della denità di energia ripetto ad un angolo rappreenta, a meno di un egno, la coppia (forza di rotazione) per unità di volume che il vettore magnetizzazione ubice in preenza di un 3 campo magnetico. La ua unità di miura è J rad m. e F F1 F M H x co M H y in M H in co M H co in Di coneguenza, come rappreentato nella figura.6, la componente H x del campo tende a generare una rotazione poitiva di e ea tea è poitiva e una rotazione negativa di e ea tea è negativa: per il itema di riferimento angolare che abbiamo adottato, queto ignifica una rotazione in eno antiorario nel primo cao e in eno orario nel econdo cao. Invece la componente H i comporta in maniera oppota, tendendo a generare una rotazione poitiva e y Hy 0 e negativa e Hy 0. L intenità delle due forze dipende dalle componenti del campo nelle due direzioni e dall angolo del vettore magnetizzazione: il itema tende all equilibrio (in aenza di altri contributi) quando le due forze tendono a bilanciari, oia: F M H in co M H co in 0 tot H Hin co co in Quando il vettore magnetizzazione i allinea con il vettore campo magnetico eterno ( ψ ): e dunque l equivalenza riulta quindi verificata. H Hin co co in

41 Capitolo 37 Figura.6 Coppia applicata al vettore magnetizzazione a caua della preenza di un campo magnetico eterno.5. Contributo dell aniotropia uniaiale Il econdo contributo di cui biogna tenere conto nell equazione dell energia magnetica è legato all aniotropia uniaiale del materiale, la quale crea una orta di barriera alla libera rotazione della magnetizzazione all interno del critallo, a caua di una direzione preferenziale tabilita in fae di proceo. Queto contributo viene chiamato energia aniotropica e la ua denità di energia vale: e K u in 0 dove K u è la cotante di aniotropia e ha la eguente epreione, in cui M rappreenta la magnetizzazione di aturazione e H k il campo aniotropo: K 1 H M u k In definitiva i ricava l epreione compleiva della denità di energia magnetica eguente, la cui 3 unità di miura ancora una volta è [ J m ]: 1 e H km in 0

42 Capitolo 38 Queta epreione ci uggerice come l aniotropia tenda ad allineare il vettore magnetizzazione all ae aniotropo, infatti l energia aume il uo valore minimo per ε0 nπ, dove n rappreenta un qualiai numero intero. A differenza del cao precedente ora compare una funzione trigonometrica al quadrato, il che ignifica che la magnetizzazione tende a dipori parallelamente alla direzione dell aniotropia indipendentemente dal vero (queto arà alla bae del flipping della magnetizzazione nei enori AMR). Anche in queto cao calcoliamo la derivata della denità di energia ripetto all angolo, per ricavare la coppia (per unità di volume) agente ul vettore magnetizzazione: e 1 1co 0 1 M H k M H k in 0 Scomponendo l epreione ricavata mediante le note formule trigonometriche i ottiene: e 1 1 M H kin 0 M H k in 0 co in co 0 Nel cao in cui ε0 45: Per cui riulta: 0 in 1 0 co 0 F e 1 M H k co In aenza di altri contributi la forza riultante è nulla (condizione di equilibrio del itema) per 4 nπ. In queto cao non ci ono forza applicate al vettore magnetizzazione e queto rappreenta un punto di equilibrio tabile. Come appare evidente la derivata della denità dell energia magnetica i annulla anche per 3 4 nπ, tuttavia quete oluzioni rappreentano i punti di maimo dell energia e quindi conitono in punti di equilibrio intabile. In queto cao la forza riultante applicata al vettore magnetizzazione è nulla, non perché non ci iano forze applicate, ma olo perché le due forze applicate i bilanciano eattamente, tendendo a pingere M a collaare ull ae aniotropo ia da una parte che dall altra con la tea intenità, come motrato in figura.7.

43 Capitolo 39 Figura.7 Poizioni di equilibrio della magnetizzazione che minimizzano l equazione dell energia magnetica (in roo) e che maimizzano l equazione dell energia magnetica (in verde).5.3 Contributo dell aniotropia di forma Il terzo ed ultimo contributo dell equazione dell energia magnetica è legato alla demagnetizzazione: come abbiamo detto un materiale ferromagnetico reagice all applicazione di un campo magnetico eterno (o anche olo alla ua tea magnetizzazione) andando a reditribuire le ua carica interna. Queto produce un campo di demagnetizzazione che i oppone a quello applicato e di cui chiaramente biogna tenere conto per la minimizzazione dell energia totale del itema. La denità di energia aociata a queto contributo riulta: 1 e H d M La relazione è identica a quella del campo magnetico eterno tranne che per il fattore 1, il quale deriva dalla natura tea della demagnetizzazione: infatti, come vedremo in eguito, il campo di demagnetizzazione nace da una carica magnetica fittizia, attribuibile alle variazioni paziali della magnetizzazione, e non da un dipolo come il campo magnetico eterno. Nella notra analii monodimenionale, il campo di demagnetizzazione arà compoto ecluivamente dalla ua componente x (queto punto arà chiarito in eguito) per cui riulta: 1 e H dxm in

44 Capitolo 40 Dato che il campo di demagnetizzazione dipende a ua volta dalla ditribuzione angolare della magnetizzazione, è conveniente utilizzare un coefficiente N x, che viene definito come egue: N x M H dx in Da queta definizione è poibile ricrivere la denità di energia magnetica come: 1 e N xm in Il egno oppoto ripetto al contributo di campo magnetico eterno è legato al fatto che il campo di demagnetizzazione tende ad oppori alla variazione del vettore magnetizzazione da eo generata. Queto contributo viene minimizzato quando i azzera, ovvero quando l angolo aume i valori nπ, con n numero intero qualiai: ignifica che il vettore magnetizzazione tende ad orientari in maniera parallela ai bordi, da cui deriva il nome aniotropia di forma. Ancora una volta è poibile derivare queta epreione ripetto all angolo per ricavare la coppia per unità di volume che il campo di demagnetizzazione eercita u M : e 1 1 co 1 N xm N xm in N xm in co M H dx co F e M H dx co La forza applicata i azzera o quando Hdx 0, che ignifica nπ, punto di equilibrio tabile del itema (punto di minimo dell energia) o quando nπ, punto di equilibrio intabile del itema (punto di maimo dell energia).

45 Capitolo 41 Figura.8 Coppia applicata la vettore magnetizzazione a caua del campo di demagnetizzazione L epreione compleiva dell energia magnetica riulta dalla omma dei 3 contributi appena decritti: 1 1 e M H co M H k in 0 M N x in In realtà in un analii più precia ci potrebbero eere ulteriori contributi da coniderare come ad eempio un energia di cambio legata alle interazioni meccaniche tra domini adiacenti (deriva dalla poibilità per atomi vicini di condividere gli tei orbitali) o un energia magnetoelatica. Noi ci limitiamo alla modellizzazione di queti fenomeni che comunque conducono a riultati oddifacenti..6 Demagnetizzazione Un materiale ferromagnetico in cui è preente una magnetizzazione M non uniforme, o che viene ottopoto ad un campo magnetico eterno H (in grado di modificare o produrre una magnetizzazione), preenta inevitabilmente al uo interno un campo di demagnetizzazione, che dipende dalla geometria del materiale teo e di cui i deve tenere conto nello tudio dell equazione dell energia magnetica. Il notro copo è quello di calcolare i campi di demagnetizzazione prodotti all interno di una generica trip di forma rettangolare, in modo da

46 Capitolo 4 ricavare i coefficienti di demagnetizzazione che decrivono l effetto di queto fenomeno e ottenere una tima precia (attravero la oluzione dell equazione dell energia magnetica) della dipoizione del vettore magnetizzazione all interno del materiale. Vediamo dunque come ricavare la formula che ci permetterà di calcolare i campi di demagnetizzazione, ia nella ituazione di cao monodimenionale che, nel capitolo 4, di cao bidimenionale..6.1 Introduzione al calcolo del campo di demagnetizzazione Il punto di partenza è che il campo B, coì come il campo eterno H, è olenoidale, ovvero la ua divergenza è nulla (ignifica che le linee del campo ono chiue): B La relazione che lega il vettore denità di fluo di campo magnetico al campo di demagnetizzazione e al vettore magnetizzazione è la eguente: 0 B H d M Da queta relazione è poibile renderi conto come la preenza di un campo magnetico eterno non i traduca totalmente in una magnetizzazione, a caua di queta tendenza del materiale ad oppori ad un cambiamento della ua condizione attravero la demagnetizzazione. In ogni cao, mettendo a itema le due equazioni appena critte i ricava che, per garantire che le linee di campo di B e di H iano chiue, è neceario che magnetizzazione e demagnetizzazione i bilancino tra loro: Hd M Queta relazione ci uggerice, in analogia con il cao elettrico, che il campo di demagnetizzazione è generato da una carica magnetica fittizia vettore magnetizzazione nello pazio: ρ H d, il cui eno fiico è legato alla variazione del M M M M x y z x y z Queto ignifica che e all interno di un volumetto infiniteimo del materiale il vettore magnetizzazione ubice una variazione tra il valore che vi entra e il valore che vi ece (in una delle tre dimenioni), allora è neceario che all interno di queto volumetto vi ia della carica magnetica

47 Capitolo 43 reponabile della generazione di un campo di demagnetizzazione che i oppone a queta variazione. In maniera equivalente al cao elettrotatico è poibile definire un potenziale magnetico legato al campo di demagnetizzazione: H d e di coneguenza alla carica magnetica, attravero l equazione di Poion: Una carica magnetica puntiforme genera nello pazio circotante un potenziale, dato dalla funzione di Green: 1 Gr () 4 r Nel cao di ditribuzioni di carica, il potenziale i ricava dalla eguente integrazione: r ' M r ' r r ' G r r ' dr ' dr ' dr ' 4 r r ' 4 r r ' dove r è un punto generico dello pazio dove voglio conocere il potenziale e r' è un punto dello pazio dove è preente carica magnetica. Integrando per parti i ottiene: r r' r M 3 r ' d r ' 4 r r' e di coneguenza, dal legame tra potenziale e campo magnetico, ricaviamo la formula finale che utilizzeremo per tutti i notri calcoli: r r' H d r M r ' d r ' 3 4 r r'

48 Capitolo Calcolo del campo di demagnetizzazione u una trip rettangolare Conideriamo una trip di materiale ferromagnetico di forma rettangolare, caratterizzata dalle eguenti dimenioni: L ia la lunghezza della trip, w ia la larghezza della trip e t ia lo peore della trip. Per il momento facciamo riferimento ad una trip in cui il valore della lunghezza ia talmente elevato ripetto alle altre dimenioni, da poter a tutti gli effetti coniderare la trip infinitamente etea in quella direzione. Introduciamo il itema di riferimento x-y rappreentato in figura.9, in cui tiamo ezionando la trip lungo lo peore, alla coordinata z 0: non conideriamo la dipendenza dei parametri della demagnetizzazione con la direzione z, dato che la trip è molto ottile ( t w L ). Figura.9 Sitema di riferimento x-y per tudiare la demagnetizzazione u una trip di lunghezza infinita Il notro copo è quello di calcolare il vettore campo di demagnetizzazione in ogni punto della trip e ucceivamente di ricavare i valori del coefficiente di demagnetizzazione. Come decritto in precedenza, poiamo aociare a ciacun punto della trip un vettore magnetizzazione, il cui orientamento nello pazio è decritto mediante l utilizzo dell angolo, compreo tra il vettore teo e l eay axi (ae y). Si è decio di adottare una convenzione econdo la quale un angolo di 0 corriponde alla ituazione in cui il vettore magnetizzazione i trova concorde con l eay axi e variazioni poitive dell angolo coincidono con una rotazione in eno antiorario. Il campo di demagnetizzazione i origina dalla variazione paziale del vettore magnetizzazione: per emplicità

49 Capitolo 45 noi aoceremo a quete variazioni una carica magnetica fittizia, attravero la quale è immediata la comprenione della direzione e del vero del campo prodotto. In particolare è poibile uddividere il calcolo in due contributi: la carica magnetica di bordo, legata alla variazione della magnetizzazione tra il bordo e l eterno della trip (dove chiaramente M 0), e la carica magnetica interna (di bulk), legata alle variazioni della magnetizzazione tra punti adiacenti della trip. Data la geometria coniderata, è evidente come il campo di demagnetizzazione avrà come unica componente quella diretta lungo l ae x: la figura.10 permette di capire come la immetria determini la cancellazione del contributo in direzione y del campo di demagnetizzazione dovuto alla carica di bordo (ma un dicoro analogo vale per la carica di bulk). La coneguenza di queto fenomeno è che il coefficiente di demagnetizzazione e l angolo varieranno olo in funzione della coordinata x. In maniera equivalente poiamo affermare che il vettore magnetizzazione riulta uniforme lungo la direzione y. Figura.10 Cancellazione del campo magnetico lungo l ae y a caua della immetria della trip.6.3 Contributo di bordo La trip che tiamo coniderando è caratterizzata da due bordi: il bordo uperiore è quello che i trova alla coordinata x w, mentre il bordo inferiore è quello che i trova alla coordinata x -w. Non conideriamo invece gli altri due bordi, dato che tiamo upponendo che la trip

50 Capitolo 46 abbia lunghezza infinita. Il campo di demagnetizzazione magnetizzazione dalla relazione ricavata in precedenza: H d è legato alla divergenza del vettore r r' H d r M r ' d r ' 3 4 r r' dove r x,y,z è un generico punto della trip in cui vogliamo calcolare il campo e r' x',y',z' è un generico punto della trip dove è preente carica magnetica reponabile della generazione del campo teo. Dato che abbiamo chiarito come il campo varii olo in funzione della coordinata x, poiamo effettuare il calcolo per una determinata ezione di y e di z: per emplicità conideriamo y 0 e z 0. Inoltre, dato che la carica che vogliamo ora coniderare è olo quella di bordo, avremo x' ± w, a econda di quale bordo tiamo coniderando. Per il momento concentriamo la notra attenzione ul bordo uperiore, ma in modo del tutto analogo è poibile ragionare per la determinazione del bordo inferiore. In figura.11 è rappreentato il calcolo in un generico punto della trip per una generica carica del bordo uperiore: il campo di demagnetizzazione arà diretto lungo la congiungente tra i due punti e avrà un intenità che dipende dalla ditanza. Figura.11 Calcolo del campo di demagnetizzazione dovuto alla generica carica di bordo

51 Capitolo 47 La componente x del campo di demagnetizzazione (l intenità, poiché direzione e vero ono noti) i ricava dalla eguente relazione trigonometrica, dove α è definito come l angolo compreo tra la congiungente r - r' e l ae x: H H co Dunque il calcolo che dobbiamo effettuare diventa: dx d r r' co H dx r M r ' d r ' 3 4 r r' Dalla figura è emplice ricavare le eguenti equivalenze: w r r ' co x 3 w r r ' x y ' z ' 3 La divergenza di M è divera da zero olo in direzione x (poiché abbiamo aunto che il vettore magnetizzazione ia uniforme lungo le direzione y e z) e può eere eprea attravero una derivata parziale: M x M x ' Effettuando quete otituzioni i ottiene: w x 1 M Hdx x dz dy w x y ' z ' L t x,0,0 ' ' L t 3 4 x ' in cui l integrazione avviene u tutta la uperficie di bordo. Il egno è coerente con il fatto che ad una variazione poitiva della magnetizzazione, a cui corriponde una carica negativa, il campo magnetico riulti diretto nel vero poitivo dell ae x e vicevera in cao di carica poitiva. Per

52 Capitolo 48 quanto riguarda il calcolo della derivata parziale del vettore magnetizzazione i ottengono i eguenti riultati per i due bordi: bordo uperiore: M x w M in w x w x ' bordo inferiore: M x w M in w x w x ' La funzione delta di Dirac deriva dal fatto che la magnetizzazione aume un andamento a gradino in corripondenza del bordo, dettato dal fatto che la magnetizzazione eterna alla trip è nulla. Queto andamento viene motrato nella figura.1, in cui i è ipotizzato un orientamento poitivo dell angolo e che il vettore magnetizzazione ia uniforme all interno della trip. Figura.1 Andamento della magnetizzazione in funzione della coordinata x In definitiva, per il bordo uperiore i ottiene la eguente epreione: w x M w Hdx x dz dy w x y ' z ' L t,0,0 in ' ' L t 3 4

53 Capitolo 49 Con dicori analoghi è poibile ottenere la relazione del bordo inferiore: w x M w Hdx x dz dy w x y ' z ' L t,0,0 in ' ' L t 3 4 Coniderando adeo un valore della lunghezza tendente a infinito negli etremi di integrazione, con i calcoli volti nell Appendice A (*), i ricava che: 1 dy ' w x y ' z ' x z' 3 w A queto punto riolvendo l integrale poiamo ottenere la formula finale per entrambi i bordi. Ancora una volta fare riferimento all Appendice A (**) per i paaggi intermedi. Bordo uperiore: w x t w x z' w x t M w M w Hdx x,0,0 in dz ' in 4arctg t 4 4 t M w in arctg w x Bordo inferiore: w x t w x z' w x t M w M w Hdx x,0,0 in dz ' in 4arctg t 4 4 t M w in arctg w x Per quando riguarda il bordo uperiore, e il eno dell angolo è poitivo la carica di bordo riulta poitiva e quindi il campo magnetico all interno della trip arà negativo (l arcotangente è empre poitiva dato che x non aume mai valori uperiori a w). Vicevera e il eno dell angolo è

54 Capitolo 50 negativo i genera una carica magnetica negativa che produce un campo di demagnetizzazione rivolto vero la direzione poitiva dell ae x. Chiaramente e il vettore magnetizzazione è diretto in maniera parallela all eay axi il eno riulta nullo e, dato che la divergenza di M è zero, non i origina carica magnetica e di coneguenza campo di demagnetizzazione. Per il bordo negativo valgono coniderazioni duali. Ancora una volta i può notare come il eno dell angolo non dipenda dalla poizione del bordo, dato che abbiamo aunto che il vettore magnetizzazione ia uniforme nelle direzioni y e z. Un punto critico del calcolo potrebbe eere quando vogliamo determinare il campo di demagnetizzazione ul bordo teo u cui è preente la carica, in quanto tutte le cariche ditanti non danno contributo in direzione x e avvicinandoi i arriva a calcolare il campo ul punto teo dove è preente la carica. Dal calcolo è poibile verificare come: Per H Per H dx dx w x : arctg t w x w M w,0,0 in w x : arctg t w x w M w,0,0 in In definitiva il campo di demagnetizzazione compleivo i ottiene ommando i due contributi: t t M w,0,0 in M w H in dx x arctg arctg w x w x Come i evince dalla formula i due bordi lavorano in maniera concorde: ei generano un campo di demagnetizzazione che tende a ridurre la variazione del vettore magnetizzazione al bordo in modo da allineare tale vettore ai bordi della trip, in aenza di altre forze. Nella realtà il contributo della demagnetizzazione entra in contrato con altri fenomeni fiici, per cui il punto di equilibrio del itema viene raggiunto ovrapponendo tutti gli effetti. Per coniderare queto contributo all interno dell equazione dell energia magnetica conviene introdurre il coefficiente di demagnetizzazione, ricavato a partire dalla ua definizione:

55 Capitolo 51 Hdx x,0,0 t t 1 w,0,0 in w in N x arctg arctg M in x in x, 0, 0 w x w x Il coefficiente di demagnetizzazione ha il egno oppoto ripetto al campo corripondente: dove il campo tende ad oppori con maggiore forza ad una rotazione del vettore magnetizzazione (egno negativo del campo) corriponde un coefficiente di demagnetizzazione (poitivo) di intenità maggiore. All interno dell equazione dell energia magnetica queto i traduce nel eguente modo: e il coefficiente di demagnetizzazione è elevato ignifica che l angolo deve poizionari in modo tale da minimizzare quel contributo, che altrimenti arebbe predominante; e invece il coefficiente di magnetizzazione è di valore eiguo, allora non c è biogno di diporre il vettore magnetizzazione in maniera tale da minimizzare un contributo che, già di uo, è tracurabile ripetto agli altri..6.4 Contributo di bulk Il calcolo del campo di demagnetizzazione u tutta la trip dovuto al contributo di bulk è analogo a quello del contributo di bordo, con qualche piccola differenza: la prima conite nel fatto che adeo è neceario riolvere un integrale u tutto il volume della trip, e non olo u una uperficie come in precedenza; la econda è che ora il calcolo della divergenza del vettore magnetizzazione riguarda due punti adiacenti della trip e non il cao particolare di bordo. Conideriamo ancora una volta la trip di lunghezza infinita rappreentata in figura.9. La formula per calcolare il campo di demagnetizzazione è la tea del cao precedente: in cui, ancora una volta, r x,y,z r r' H d r M r ' d r ' 3 4 r r' è un punto generico della trip in cui voglio effettuare il calcolo (dato che la variazione avviene olo in direzione x, pongo per emplicità y 0 e z 0) e r' x',y',z' è un punto in cui è preente della carica magnetica, dovuta ad una variazione nello pazio della magnetizzazione e reponabile della demagnetizzazione.

56 Capitolo 5 Figura.13 Cancellazione del campo magnetico lungo l ae y a caua della immetria della trip e calcolo del campo di demagnetizzazione dovuto ad una generica carica di bulk Dalla figura.13 è poibile comprendere come anche in queto cao la componente in direzione y del campo è nulla e calcolare la componente del campo in direzione x (l intenità, dato che direzione e vero ono noti) con una emplice relazione trigonometrica, dove α è definito come l angolo compreo tra la congiungente r - r' e l ae x. Il calcolo da volgere è dunque il eguente: H H co dx d r r' co H dx r M r ' d r ' 3 4 r r' In particolare i tratta di un integrale u tutto il volume della trip: 1 M r r' co H x dz dy dx 4 x ' r r' w L t x dx,0,0 ' ' ' w L t 3 Ancora una volta ono verificate le equivalenze:

57 Capitolo 53 r r ' co x x ' 3 r r ' x ' x y ' z ' Per quanto riguarda la divergenza della magnetizzazione, in queto cao conideriamo un andamento di Mx x variabile all interno della trip, come evidenziato in figura.14. Si noti che, pure partendo da una condizione iniziale in cui il vettore magnetizzazione ia uniforme all interno della trip, è lo teo contributo di bordo a generare un campo di demagnetizzazione variabile in direzione x, che inevitabilmente determinerà una dipoizione non uniforme. M x in x ' x M in x ' dx ' M in x ' M x' x' 3 Figura.14 Andamento della magnetizzazione in funzione della coordinata x Introducendo queto ultimo termine otteniamo l integrale compleivo da riolvere: x x x M in ' ' H x dz dy dx x x ' y ' z ' w L t dx,0,0 ' ' ' w L t 3 4 x '

58 Capitolo 54 Ancora una volta iamo intereati al cao in cui la lunghezza della trip tenda ad un valore infinito. Si può dimotrare che ono valide le relazioni otto, già utilizzate in forma imile per il calcolo del contributo di bordo, e i cui calcoli ono viluppati nell Appendice A: 1 dy ' x x z ' 3 x x ' y ' z ' ' t t x x' t dz ' 4arctg x x ' z ' x x ' La oluzione finale è: in ' t M x Hdx x arctg dx x ' x x ' w,0,0 ' w Il egno meno decrive il fenomeno fiico econdo cui una derivata poitiva del eno di equivale a dire che il vettore magnetizzazione, muovendoi nella direzione tracciata dall ae x, ta aumentando la ua rotazione: a queto corriponde la generazione di una carica magnetica negativa che tende a morzare l effetto che l ha generata. Queto integrale non è riolvibile in forma chiua, infatti la oluzione dipende dalla ditribuzione paziale degli angoli della magnetizzazione, tuttavia una volta calcolato il campo è eo teo a modificare la dipoizione attravero l equazione dell energia magnetica. Per riolvere il problema è neceario implementare un algoritmo iterativo, econdo il quale la oluzione dell energia magnetica (ditribuzione degli angoli in funzione della poizione) determina un contributo legato alla derivata del eno degli angoli, che, inerito in queta formula, retituice il campo di demagnetizzazione e quindi i coefficienti di demagnetizzazione, che producono a loro volta un nuovo et di angoli. La oluzione finale del problema arà quella che determinerà la convergenza, oia deve verificari che la nuova oluzione dell equazione dell energia magnetica non i dicoti più di un certo errore da quella precedente. Dalla definizione è poibile calcolare il coefficiente di demagnetizzazione legato al contributo di bulk: H,0,0 w dx x 1 in ( x') t N x,0,0 arctg dx ' w M in x,0,0 in x x ' x x '

59 Capitolo 55.7 Multitrip Fino adeo abbiamo coniderato il calcolo del campo di demagnetizzazione dovuto alla carica di bordo e alla carica di bulk di una trip u e tea. In realtà, come abbiamo vito in precedenza, il enore è compoto da quattro reitori, ciacuno dei quali è realizzato mediante un certo numero di trip, dipote in erie da un punto di vita elettrico, ma affiancate tra loro da un punto di vita della dipoizione paziale. L utilizzo di divere trip in erie per formare il ingolo reitore è determinato dal fatto di voler raggiungere un valore nominale della reitenza adatto alla configurazione a ponte di Wheattone (tipicamente intorno ai 1 kω ). Allo teo tempo, per garantire un occupazione minima a livello di pazio, le trip vengono dipote una affianco all altra e viene utilizzata una truttura interdigitata tra i due reitori dello teo ramo del ponte, come viene motrato nella figura.15. A caua di queta truttura è naturale che la carica magnetica preente u ciacuna trip (determinata dalla divergenza del vettore magnetizzazione) origini un campo di demagnetizzazione anche ulle trip adiacenti, con maggiore intenità ulle trip immediatamente vicine e intenità decrecente all aumentare della ditanza. Nella modellizzazione analitica del enore dunque non poiamo ecludere il calcolo di come ciacuna trip influenzi le altre. Figura.15 Dipoizione interdigitata delle trip di due reitori dello teo ramo del ponte Per effettuare il calcolo del campo di demagnetizzazione nell etenione al cao multitrip facciamo le tee ipotei del cao precedente: conideriamo che tutte le trip iano caratterizzate da una lunghezza molto maggiore ripetto alle altre dimenioni, per cui le variazioni della magnetizzazione all interno di ciacuna trip avvengono ecluivamente in direzione x. Ancora una volta è

60 Capitolo 56 conveniente eparare il calcolo del contributo dovuto ai bordi delle trip e il contributo dovuto al bulk. Per emplicità conideriamo 3 trip di materiale ferromagnetico identiche tra loro, dipote una affianco all altra. Ciacuna trip ia caratterizzata da una larghezza w e da uno peore t, molto minori della lunghezza L. Chiamiamo d la ditanza tra due trip adiacenti. Conideriamo il itema di riferimento x-y motrato in figura.16. Immaginiamo di voler calcolare il campo di demagnetizzazione compleivo ulla trip centrale, determinato dai bordi della tea trip e da tutti i bordi delle trip vicine. Chiaramente dovremo ovrapporre tutti gli effetti per trovare il campo di demagnetizzazione totale. Lo teo ragionamento verrà poi applicato a tutte le altre trip. Il calcolo di ciacun contributo è eattamente lo teo del cao ingola trip, a patto di tenere conto delle ditanze tra tutti i bordi e la trip di riferimento. Figura.16 Calcolo del campo di demagnetizzazione nel cao multitrip Contributo legato ai bordi della trip centrale u e tea (è il calcolo volto nella ezione.6.3): t t M w,0,0 in M w H in dx x arctg arctg w x w x Contributo legato ai bordi della trip di initra u quella centrale:

61 Capitolo 57 t t M w 3,0,0 in M H in dx x d arctg w d arctg w d x 3 w d x Contributo legato ai bordi della trip di detra u quella centrale: t t M 3,0,0 in M w H in dx x w d arctg d arctg 3 w d x w d x Come i nota tutte le trip di detra avranno il bordo uperiore che i comporta allo teo modo del bordo uperiore della trip centrale, mentre il bordo inferiore avrà comportamento oppoto (egno poitivo). Queto deriva dalla poizione relativa tra il bordo e lo pazio vuoto che determina la polarità della carica magnetica generata a eguito di una certa variazione del vettore magnetizzazione. In maniera duale tutte le trip di initra avranno il bordo inferiore che i comporta allo teo modo del bordo inferiore della trip centrale, mentre il bordo uperiore avrà comportamento oppoto (egno poitivo). Il ragionamento è etendibile per un numero qualiai di trip e per il calcolo del campo di demagnetizzazione u una trip qualunque, dato che quello che conta è olo la poizione relativa tra le varie trip. Per crivere un calcolo generale conideriamo N trip dipote una affianco all altra, chiamiamo in la generica trip u cui vogliamo effettuare il calcolo e j la generica trip di cui tiamo coniderando il contributo. Il calcolo ulla trip in arà dato dalla ommatoria di tutte le trip j alla ua initra, della trip tea e di tutte le trip j alla ua detra. Il calcolo deve eere ripetuto per in che va da 1 a N. Strip alla initra di quella coniderata: in 1 t M H,0,0 in dx x in j w w in j d arctg j 1 in j w w in jd x t M in in j 1 w w in jd arctg in j 1 w w in jd x

62 Capitolo 58 Strip alla detra di quella coniderata: N t M H,0,0 in dx x j in w w j in d arctg j in 1 j in w w j in d x t M in j in 1 w w j in d arctg j in 1 w w j in d x Anche per quanto riguarda il contributo di bulk il cao multitrip ricalca il cao ingola trip, a patto di coniderare le ditanze corrette tra il punto in cui giace la carica magnetica e il punto in cui intendiamo calcolare il campo. Facciamo ancora un volta riferimento alla figura.16. Contributo legato al bulk della trip centrale u e tea (riultato del calcolo volto nella ezione.6.4): in ' t M x Hdx x arctg dx x ' x x ' w,0,0 ' w Contributo legato al bulk della trip di initra u quella centrale: w d in ' t M x H,0,0 dx x arctg dx ' 3 wd x ' x x ' Contributo legato al bulk della trip di detra u quella centrale: 3 w d in ' t M x dx w d H x,0,0 arctg dx ' x ' x x ' Generalizzando il calcolo per N trip, valgono tutte le ipotei fatte in precedenza per il contributo di bordo: Strip alla initra di quella coniderata:

63 Capitolo 59 in ' t M x Hdx x arctg dx Strip alla detra di quella coniderata: in 1 in j1w w in jd,0,0 ' in jw w in jd j 1 x ' x x ' in ' t M x Hdx x arctg dx N jin ww jin d,0,0 ' j in 1w w j in d j in 1 x ' x x ' Nel compleo la truttura multitrip ha l effetto di ridurre la demagnetizzazione delle trip, poiché i bordi affacciati tra due trip adiacenti hanno carica magnetica oppota che tende a neutralizzari, riducendo coì l effetto dei bordi. Queto come vedremo determina un aumento della enitività del enore..8 Senitività Prima di analizzare le curve caratteritiche ottenute mediante il modello 1-D (capitolo 3) è neceario introdurre un parametro fondamentale dei dipoitivi AMR: la enitività. Come vedremo queto parametro arà trettamente legato al campo magnetico a cui avviene lo witching della magnetizzazione, dato che tanto più un dipoitivo è enibile tanto prima avverrà il flipping dei domini magnetici. La enitività è la variazione dell angolo compreo tra il vettore magnetizzazione e l eay axi ( ) in funzione di una variazione del campo magnetico applicato lungo l hard axi ( H ): a parità di variazione del campo magnetico applicato, e la magnetizzazione x ruota maggiormente ignifica che il dipoitivo è più enibile e quindi in grado di rivelare con maggiore facilità la grandezza fiica d interee. Dato che la tenione di ucita del enore arà proporzionale alla variazione della reitenza compleiva del ponte, oltre alla enitività che lega la dipoizione della magnetizzazione al campo magnetico applicato, di fondamentale importanza è il coefficiente magnetoreitivo del materiale, che è un parametro che dipende dallo peore del film. Una volta fiato lo peore delle trip, la enitività riulterà inveramente proporzionale al coefficiente di demagnetizzazione. Infatti un dipoitivo che reagice maggiormente ad una ollecitazione eterna tenderà a variare di meno la ua configurazione in termini di magnetizzazione. Analiticamente è poibile ricavare una relazione molto emplice, partendo dall equazione dell energia magnetica normalizzata: 1 1 e M H y co M H x in M H k in 0 M N x in

64 Capitolo 60 Per trovare i punti di minimo di queta equazione è neceario annullare la derivata prima ripetto all angolo: e 1 1 M H y in M H x co M Hk in 0 M N x in 0 da cui i ricava, riorganizzando i termini: H M N H H H in kco 0 x xco yin kin 0 co Definiamo per emplicità di conti due parametri: a H co M N k 0 x b H in Per un campo magnetico eterno nullo ( Hx 0 e Hy 0) i ottiene: tan 0 k 0 b Hk in 0 a H co M N k 0 x Dato che co ε0 0 poiché l aniotropia uniaiale è diretta a 45, queta epreione ci conferma che per un campo magnetico nullo la magnetizzazione è determinata dal rapporto tra il contributo di aniotropia uniaiale (al numeratore) e il contributo di aniotropia di forma (al denominatore): poiché il econdo contributo prevale ul primo, il vettore magnetizzazione tenderà a dipori in maniera parallela all eay axi. In generale per un campo magnetico applicato, ma per piccoli angoli (valgono le approimazioni in e co 1 ), è poibile ricavare la eguente relazione: Hx b a H da cui i ricava la enitività del dipoitivo ripetto ad un campo magnetico in direzione dell hard axi: 1 1 H a H M N H x y x y y

65 Capitolo H a M N H y 0 x x Da queta relazione è evidente come la enitività dipenda con proporzionalità invera dal coefficiente di demagnetizzazione e dall eventuale preenza di una componente del campo in direzione y. Infatti la preenza di un campo di bia ha l effetto di ridurre la enitività e viene generalmente utilizzato per etendere il range di campi magnetici all interno del quale il enore funziona correttamente, prima che i verifica il flipping della magnetizzazione. Allo teo modo una geometria che determina una maggiore demagnetizzazione e che quindi i oppone con maggiore intenità all applicazione di un campo magnetico eterno, perimenta una variazione della ua magnetizzazione minore.

66 Capitolo 3 Modello numerico 1-D e riultati Nel capitolo ci iamo offermati ullo tudio della fiica dei dipoitivi AMR nel cao di geometria monodimenionale, con particolare attenzione al fenomeno della demagnetizzazione e alla rioluzione dell equazione dell energia magnetica, per ricavare le divere condizioni di equilibrio della magnetizzazione in relazione al campo magnetico applicato. In queto capitolo, invece, analizzeremo il modello numerico 1-D implementato u oftware Matlab, allo copo di ottenere la curva caratteritica dei enori AMR, che lega la variazione relativa della reitenza compleiva del ponte al campo magnetico applicato in direzione dell hard axi: ΔR R f H x. I riultati ottenuti tramite le imulazioni effettuate ono tati confrontati con i dati delle miure perimentali a dipoizione e riguardano quattro particolari dipoitivi chiamati V, V4, W e Queti dipoitivi i differenziano tra loro per le dimenioni geometriche della ingola trip, per il numero di trip che li compongono e per le caratteritiche dei barber pole. Un ulteriore confronto è tato effettuato con i riultati ottenuti mediante il imulatore micromagnetico OOMMF. Particolare attenzione durante la modellizzazione è tata riervata all algoritmo di convergenza, deputato al calcolo della configurazione della magnetizzazione nelle divere ituazioni, allo copo di ottenere un errore tra le oluzioni a due iterazioni ucceive inferiore ad una certa oglia, elezionabile dall utente, e di ridurre il più poibile il tempo di calcolo della imulazione.

67 Capitolo Tipologie di imulazione effettuate La maggior parte delle imulazioni del modello 1-D, realizzate durante il progetto di tei, hanno riguardato l utilizzo di uno dei 4 dipoitivi di cui avevamo a dipoizione i dati perimentali (in particolare la curva caratteritica). Ciacuno di queti dipoitivi è caratterizzato da trip in cui la lunghezza riulta molto maggiore ripetto alle altre due dimenioni, in modo da poter ritenere l approimazione di cao monodimenionale verificata. Per tutte le caratteritiche dei dipoitivi fare riferimento alla tabella 3.1. E poibile inoltre realizzare due tipologie di imulazione, in bae alla preenza o meno di un campo di bia, chiamato H a : la prima modalità conite nell applicare un campo magnetico di intenità crecente in direzione dell hard axi (è il campo che intendiamo rivelare) e contemporaneamente un campo magnetico di valore fiato in direzione dell eay axi (è il campo di bia). Il enore in queto cao rivelerà il campo riultante dalla omma vettoriale dei due: l applicazione di un campo di bia lungo l eay axi ha l effetto di allargare il range dei campi miurabili prima che avvenga il flipping della magnetizzazione, ma diminuice la enitività della miura. La econda modalità di imulazione conite nell applicare un campo magnetico variabile in una direzione generica, individuata dall angolo ψ tra il vettore campo magnetico eterno e l eay axi. Noi ci iamo focalizzati u due categorie di imulazione, ripetute per i 4 dipoitivi, che non hanno richieto l utilizzo del campo di bia, in quanto i dati a notra dipoizione riguardavano queti cai: - applicazione del campo magnetico eterno lungo l hard axi ( 90). - applicazione del campo magnetico eterno a 45 ripetto all eay axi W V4 V Numero di trip Lunghezza (L) 00μm 00μm 00μm 00μm Larghezza (w) 7.6μm 5.4μm 8μm 6μm Speore (t) 0nm 0nm 50nm 50nm Ditanza tra le trip μm μm μm μm Larghezza barber pole.8μm.8μm.8μm.8μm Ditanza barber pole 6μm 6.5μm 5.4μm 4μm Tabella 3.1 Caratteritiche dei dipoitivi di riferimento

68 Capitolo Struttura e riultati del modello numerico 1-D 3..1 Loop di convergenza L effetto magnetoreitivo, u cui i baa il funzionamento del enore AMR, conite nella dipendenza del valore della reitenza di un materiale con l angolo otteo tra il vettore magnetizzazione e il vettore denità di corrente elettrica ( λ ). La relazione che decrive queto fenomeno, in termini di variazione relativa della reitenza, è la eguente: R R in 0 Dato che la direzione in cui corre la corrente è fiata dai barber pole, la variazione della reitenza dipende ecluivamente dall orientamento del vettore magnetizzazione. Di coneguenza è di fondamentale importanza ricavare l andamento dell angolo, compreo tra il vettore magnetizzazione e l eay axi, in funzione della poizione x (nel cao monodimenionale il vettore magnetizzazione è uppoto uniforme nelle direzioni y e z): f x Per ricavare queta relazione è neceario minimizzare l energia magnetica in ogni punto della trip, in cui giocano un ruolo fondamentale il campo magnetico eterno, che tende a orientare il vettore magnetizzazione nella ua tea direzione, l aniotropia fiata in fae di proceo, che tende a orientare M nella direzione dell ae aniotropo, e la demagnetizzazione, il cui effetto è quello di orientare la magnetizzazione parallelamente ai bordi della trip. La neceità di implementare un loop di convergenza in fae di rioluzione numerica è determinata dal contributo legato alla demagnetizzazione: infatti il calcolo del coefficiente di demagnetizzazione dipende dalla ditribuzione angolare del vettore magnetizzazione, come evidente dalle epreioni del contributo di bordo e di bulk ricavate nel capitolo precedente e che ora riportiamo: t t 1 w in w N x in bordo arctg arctg in x w x w x w 1 in x' t N x bulk arctg dx ' w in x x ' x x '

69 Capitolo 3 65 Il metodo di rioluzione conite, una volta fiato il dipoitivo e tutti i parametri della imulazione, in un ciclo in cui ad ogni iterazione il programma riolve l equazione dell energia magnetica e ne utilizza la oluzione per calcolare il coefficiente di demagnetizzazione compleivo, omma del contributo di bordo e di bulk. Al termine di ogni ciclo la oluzione calcolata nell iterazione corrente viene confrontata con la oluzione dell iterazione precedente: e la variazione maima di angolo tra le due oluzioni è inferiore ad una certa oglia, tabilita dall utente, ignifica che è tata raggiunta la convergenza. In cao contrario il nuovo coefficiente di demagnetizzazione viene utilizzato per il calcolo della nuova oluzione. Poiché uno dei parametri principali del modello numerico è il tempo con cui il programma giunge a convergenza, eitono diveri metodi per migliorare l algoritmo e favorire la convergenza in un numero di iterazioni minore. Un primo metodo per ridurre l errore tra due iterazioni ucceive e migliorare la dinamica della convergenza conite nel mitigare ogni nuova oluzione, attravero l utilizzo di un et di coefficienti di morzamento (K), che ne riducono la variazione ripetto alla oluzione precedente. Un econdo metodo conite nel realizzare una griglia, caratterizzata da una ditanza tra due punti ucceivi che decrece eponenzialmente dal bordo vero il centro della trip. Il uo copo è quello di permettere di infittire il numero di punti in cui realizzare il calcolo in proimità dei bordi, che ono i punti critici da riolvere. Il procedimento decritto viene ripetuto per ogni condizione di campo magnetico eterno e per i diveri reitori. Note le variazioni di reitenza del ingolo reitore è poibile calcolare la variazione compleiva del ponte in funzione del campo magnetico applicato lungo l hard axi. Nella figura 3.1 è rappreentato il diagramma di fluo del ciclo di convergenza (per un certo campo magnetico eterno fiato). Il gue iniziale è compoto dal coefficiente di demagnetizzazione e dal vettore degli angoli della magnetizzazione x, da utilizzare per riolvere l equazione dell energia magnetica alla prima iterazione. Per un campo magnetico nullo è conveniente utilizzare un gue che permetta di ottenere delle buone pretazioni in termini di convergenza, come verrà dicuo nel paragrafo ucceivo; quando invece il campo magnetico viene incrementato il gue iniziale arà compoto della oluzione a convergenza ottenuta per il campo magnetico precedente. Per evitare che il loop di convergenza diventi infinito, nel cao in cui la oglia dell errore non venga mai oltrepaata, il numero delle iterazioni poibili viene limitato ad un certo valore (tipicamente 50 o 100 nel cao monodimenionale). Ad ogni ciclo in cui la convergenza (o il raggiungimento del maimo numero di iterazioni) non i verifica, il contatore (iter) viene incrementato e l equazione dell energia magnetica ricava la nuova ditribuzione della magnetizzazione a partire dal coefficiente di demagnetizzazione aggiornato e dalla ditribuzione precedente (attravero una funzione di calcolo del punto di minimo locale). Dato

70 Capitolo 3 66 che il modello completo implementato è caratterizzato da reitori compoti da un certo numero di trip (multitrip), il ciclo opera in maniera imultanea u tutte le trip. Figura 3.1 Diagramma di fluo del loop di convergenza 3.. Riultati numerici Analizzata la truttura generale del programma, vogliamo ora fare delle coniderazioni u come le pretazioni del loop di convergenza, in termini di errore e di numero di iterazioni, dipendano dai parametri e dalle celte dell utente. Conideriamo una generica trip di forma rettangolare di

71 Capitolo 3 67 materiale ferromagnetico (Permalloy), caratterizzata da una larghezza w 1μm e da uno peore t 0nm. Partiamo dalla condizione di campo magnetico eterno nullo, e poi vedremo coa accade all aumentare dell intenità del campo. La prima idea per tudiare il funzionamento del ciclo potrebbe eere quella di coniderare un coefficiente di demagnetizzazione cotante lungo tutta la trip (per eempio di valore pari a 0.5) e angoli inizialmente orientati in modo parallelo all eay axi. In figura 3. è rappreentato l andamento dell errore (maima variazione tra una ditribuzione angolare e la precedente) in funzione delle iterazioni in due cai in cui è tato modificato il coefficiente K di morzamento: nel primo cao K è pari a 1 alla prima iterazione (la oluzione non ubice morzamento) e 0.1 per tutte le ucceive, mentre nel econdo cao K è pari a 1 alla prima iterazione e 0. per tutte le ucceive. Come i nota non i giunge alla convergenza in neuno dei due cai, dato che la oglia di errore è tata fiata a 5 10 [rad], e dunque il itema ece dal ciclo poiché viene raggiunto il maimo numero di iterazioni poibili, fiato a 100. Tuttavia quello che i verifica appare divero da quello che ci i potrebbe apettare: dove il coefficiente K è maggiore (morza di meno) la oluzione tende a ridurre di meno la ua variazione e l errore all iterazione 100 riulta minore. Queto deriva dal fatto che la convergenza è un evoluzione del poizionamento dei vettori magnetizzazione la cui dinamica non è facilmente prevedibile a priori. Per queto motivo il parametro K verrà tabilito in maniera empirica, oervando quali valori ottimizzano la convergenza, enza forzarla. Figura 3. Errore in funzione delle iterazioni al variare dei coefficienti K

72 Capitolo 3 68 Una econda tipologia di analii conite nel provare ad utilizzare un coefficiente di demagnetizzazione iniziale divero e vedere come cambiano le coe, a parità di coefficienti K. Se upponiamo che all interno della trip la magnetizzazione i comporti in maniera abbatanza uniforme ripetto alla variazione che i evidenzia ai bordi, in condizioni di campo magnetico nullo, una celta poibile è quella di utilizzare come coefficiente di demagnetizzazione iniziale quello di bordo, enza coniderare il contributo del eno che introdurrebbe delle ingolarità, dato che l angolo è inizialmente uppoto a 0. Nella figura 3.3 è tato confrontato l andamento dell errore in funzione delle iterazioni, con K 0., per i due cai di divero gue iniziale. Si può oervare come la nuova celta porti il itema a convergere, anche e dopo un numero notevole di iterazioni. Figura 3.3 Errore in funzione delle iterazioni per diveri coefficienti di demagnetizzazione iniziali Se adeo applichiamo un campo magnetico nella direzione dell hard axi quello che uccede è che inizialmente la convergenza riulta più emplice da ottenere, per poi tornare a peggiorare quando l intenità del campo aumenta. Nella figura 3.4 è rappreentato l andamento dell errore in funzione delle iterazioni per campi magnetici applicati di divera intenità, nel cao di coefficiente di demagnetizzazione iniziale pari a quello di bordo.

73 Capitolo 3 69 Figura 3.4 Errore in funzione delle iterazioni per diveri valori del campo magnetico eterno 3..3 Scelta del gue iniziale A queto punto è logico pori una domanda: eite una condizione iniziale del coefficiente di demagnetizzazione, Nx, che minimizzi il numero di iterazioni necearie per arrivare alla convergenza (e quindi riduca il tempo di calcolo)? Durante le varie imulazioni abbiamo oervato che utilizzare il coefficiente di demagnetizzazione derivante dal calcolo di bordo come gue iniziale non ia la celta migliore in termini di convergenza. Eite dunque un metodo molto emplice per ricavare un epreione empirica del coefficiente di demagnetizzazione che migliori la rioluzione. Queto metodo conite nell oervare come evolve il coefficiente di demagnetizzazione durante le divere iterazioni e adoperare una curva di forma imile a quella che i ottiene a convergenza come condizione iniziale. In figura 3.5 ono rappreentati in blu e roo ripettivamente il coefficiente di demagnetizzazione di partenza (derivante dal calcolo di bordo) e a convergenza per una generica trip di Permalloy di w 1μm e t 0nm ; in arancione invece è rappreentato un poibile coefficiente di demagnetizzazione ricavato empiricamente, che chiameremo coefficiente equivalente, di cui riportiamo l epreione: t Ne x 0. N x bordo x 0.75 w Queto coefficiente di demagnetizzazione contiene al uo interno la omma di due contributi: il primo è proporzionale al coefficiente di demagnetizzazione del bordo, attenuato di un fattore 0., mentre il econdo termine rappreenta un approimazione del contributo di bulk.

74 Capitolo 3 70 Figura 3.5 Coefficiente di demagnetizzazione di bordo, coefficiente di demagnetizzazione a convergenza e coefficiente di demagnetizzazione equivalente per una generica trip Se utilizziamo queto coefficiente di demagnetizzazione equivalente è poibile ricavare l andamento dell errore in funzione dell iterazione rappreentato in figura 3.6, per un campo magnetico nullo. All aumentare del campo le curve che utilizzano i due gue iniziali tendono a coincidere. Figura 3.6 Errore in funzione delle iterazioni per diveri coefficienti di demagnetizzazione iniziale

75 Capitolo Soluzione calcolata mediante ingola iterazione Oltre al uo utilizzo come gue iniziale per permettere di velocizzare il loop di convergenza, il coefficiente di demagnetizzazione equivalente ricavato in precedenza ha il ignificato di fornire con buona approimazione la oluzione corretta, lanciando il programma nella modalità a ingola iterazione. Queto ignifica che l equazione dell energia magnetica viene minimizzata utilizzando il coefficiente di demagnetizzazione equivalente e queto produce una oluzione, che non viene riutilizzata per calcolare la demagnetizzazione attravero una nuova iterazione, ma che invece riulta autoconitente. Oervando la figura 3.7, poiamo confrontare l andamento dell angolo in funzione di x, nella modalità che frutta il ciclo di convergenza e nella modalità a ingola iterazione, per divere condizioni di campo magnetico applicato, rappreentate dai diveri colori: la oluzione ricavata con l algoritmo di convergenza è rappreentata in linea continua, mentre il riultato con ingola iterazione è rappreentato con la linea tratteggiata. Come prevedibile gli andamenti ricavati con la ingola iterazione ovratimano quelli derivanti dal loop di convergenza: infatti attravero la convergenza il campo di demagnetizzazione reagice a qualiai rotazione del vettore magnetizzazione, tendendo ad opporvii con maggiore vigore, e queto fenomeno i manifeta tanto più il campo magnetico eterno è elevato. Figura 3.7 Confronto delle ditribuzioni angolari della magnetizzazione per diveri campi applicati, nella oluzione con loop di convergenza (linea continua) e nella oluzione ingola iterazione (linea tratteggiata)

76 Capitolo 3 7 Da ulteriori oervazioni empiriche è tato oervato come il coefficiente 0.75, che moltiplica il econdo termine del coefficiente di demagnetizzazione equivalente, produca le migliori ripote in termini di accordo con la enitività del cao che utilizza il modello a convergenza, ma non in termini di campo magnetico di witching. Nel cao in cui ci interei approimare al meglio il campo in cui avviene il flipping della magnetizzazione è neceario otituire 0.75 con 0.7. Nella figura 3.8 è motrato il confronto per il dipoitivo 1419 tra la curva caratteritica ricavata con il modello numerico completo (in blu) e la curva caratteritica ricavata con il modello numerico a ingola iterazione nel cao di utilizzo di un fattore 0.75 (in roo) o di un fatto 0.7 (in arancione). Le curve ono ricavate per una imulazione con campo magnetico applicato lungo l hard axi, tuttavia riultati del tutto analoghi ono ottenibili per tutti gli altri dipoitivi e per un campo magnetico orientato a 45 ripetto all eay axi. (a)

77 Capitolo 3 73 (b) Figura 3.8 Confronto tra la curva caratteritica del modello completo e la curva caratteritica a ingola iterazione nel cao in cui ia tato utilizzato il coefficiente 0.75 (a) e 0.7 (b) 3.4 Confronto con il imulatore micromagnetico OOMMF Il oftware OOMMF (Object Oriented Micromagnetic Framework) è un imulatore micromagnetico, progettato dall Information Technology Laboratory (ITL) al National Intitute of Standard and Technology (NIST). Con il termine micromagnetimo i intende quel campo della fiica che riguarda la predizione del comportamento magnetico u cala ubmicrometrica. Queto imulatore riolve una forma più complea dell equazione dell energia magnetica per trovare la condizione di equilibrio tatica, tenendo conto anche di termini aggiuntivi ripetto a quelli da noi coniderati, come ad eempio un contributo di cambio energetico tra i vari domini, legato alla loro interazione, che, non eendo preente nel notro modello, tenderemo ad annullare. Per giungere alla oluzione tatica, inoltre, il programma utilizza anche lo tudio dei tranitori che permettono di predire quella che arà l evoluzione temporale della configurazione magnetica. Dato che il imulatore OOMMF è in grado di riolvere ecluivamente il cao di ingola trip, in queta ezione non conidereremo un particolare dipoitivo tra quelli introdotti, ma faremo riferimento ad una generica trip di materiale ferromagnetico (Permalloy), con le eguenti dimenioni: - w 1μm - t 0nm

78 Capitolo L 0μm L obiettivo è quello di confrontare i riultati numerici ottenuti con il modello 1-D e quelli ottenuti mediante la imulazione micromagnetica, per verificarne la correttezza prima di effettuare il confronto con i dati perimentali. In figura 3.9 ono rappreentati gli andamenti dell angolo in funzione della coordinata x, al variare del campo magnetico applicato nella direzione dell hard axi: i campi variano da un valore di 10 Oe ad un valore di 80 Oe. In linea continua ono rappreentati i riultati ottenuti attravero il notro modello numerico e in linea tratteggiata i riultati ottenuti tramite il imulatore OOMMF, da cui i può notare un buon accordo tra le due oluzioni, che i conerva anche a campi più elevati. Lo teo confronto può eere effettuato per valori negativi del campo magnetico eterno, che variano da -10 Oe a -80 Oe, come motrato nella figura Figura 3.9 Confronto della ditribuzione angolare della magnetizzazione tra il modello numerico e il imulatore micromagnetico OOMMF, per campi magnetici poitivi

79 Capitolo 3 75 Figura 3.10 Confronto della ditribuzione angolare della magnetizzazione tra il modello numerico e il imulatore micromagnetico OOMMF, per campi magnetici negativi 3.5 Confronto tra la oluzione ingola trip e la oluzione multitrip Fino adeo abbiamo empre coniderato cai di imulazione ingola trip per vedere quali ono i principali riultati in termini di convergenza che il programma è in grado di retituire. Nella realtà tuttavia i enori AMR utilizzano dei reitori che ono compoti dalla erie di un certo numero di trip, la cui interazione non è tracurabile per ottenere una curva caratteritica confrontabile con quella dei dati perimentali. Nel capitolo precedente abbiamo illutrato i calcoli che ono tati implementati nel modello. Nella figura 3.11 vengono confrontate le curve caratteritiche nel cao di ingola trip e nel cao di multitrip per il dipoitivo 1419 (ma un dicoro analogo è valido per tutti gli altri dipoitivi): è evidente come le due curve i differenzino ia in termini di enitività che in termini di campo magnetico di witching. La preenza del calcolo multitrip ha l effetto compleivo di aumentare la enitività del enore nel range lineare che ci interea, in quanto la preenza di carica di bordo di egno oppoto u due trip adiacenti riduce l effetto dato dalla demagnetizzazione. Riducendo ulteriormente la ditanza tra le trip è logico apettari che la enitività continui ad aumentare, fino a tendere al cao di un unica trip di larghezza pari alla omma delle larghezze delle ingole trip quando la ditanza viene azzerata. Queta tendenza è motrata nella figura 3.1 dove, ancora una volta, è tata rappreentata in blu la curva caratteritica del dipoitivo 1419, nel cao in cui le trip abbiano una ditanza di μm, e in roo la curva

80 Capitolo 3 76 caratteritica nel cao in cui la ditanza ia ridotta a nm. Allontanando tra loro le trip, invece, i tende a ricadere nel cao ingola trip, poiché quete mettono di interagire tra loro. Figura 3.11 Confronto delle curve caratteritiche del dipoitivo 1419 per il cao multitrip e ingola trip Figura 3.1 Confronto delle curve caratteritiche del dipoitivo 1419 per due cai multitrip con divera ditanza tra le trip

81 Capitolo Confronto con i dati perimentali La realizzazione di un modello numerico tramite il oftware Matlab, che implementi le formule ricavate nel capitolo precedente, ha come obiettivo principale quello di ottenere la corretta relazione caratteritica di un enore AMR. Queta relazione permette di legare la variazione relativa della reitenza del ponte (che arà proporzionale alla tenione di ucita del enore) all intenità del campo magnetico applicato lungo l hard axi. Di coneguenza, per verificare la correttezza del modello, è neceario confrontare i riultati ottenuti dalle imulazioni con i dati perimentali relativi ai 4 dipoitivi introdotti, nelle condizioni di campo magnetico applicato lungo l hard axi e di campo magnetico applicato con un angolo ψ di 45 ripetto all eay axi Simulazione con ψ 90 La prima tipologia di imulazione effettuata conite nell applicazione di un campo magnetico in direzione dell hard axi ( ψ 90) e nel calcolo della variazione relativa della reitenza del ponte ad eo aociata. L intenità del campo applicato varia con un certo pao, tabilito dall utente a econda della rioluzione che i intende ottenere, da un determinato valore negativo fino al corripettivo valore poitivo. La rappreentazione che decrive la dipendenza tra il campo magnetico eterno e il egnale di ucita del enore è la curva caratteritica. Nella figura 3.13 vengono confrontate le curve caratteritiche relative ai 4 dipoitivi di riferimento, in cui ono tati rappreentati in verde i dati perimentali e in blu i riultati ottenuti utilizzando il modello numerico. Come i nota c è un ottimo accordo tra i due andamenti nel range in cui la dipendenza è circa lineare, mentre le curve i dicotano a eguito del raggiungimento del campo magnetico di witching, dove tuttavia il enore mette di funzionare correttamente. La pendenza della regione quai lineare è legata da un lato al concetto di enitività decritto nel paragrafo.8 e dall altro al coefficiente magnetoreitivo. In particolare i dipoitivi che preentano uno peore maggiore ono intrinecamente caratterizzati da una variazione relativa della reitività maggiore, dato che poiedono un coefficiente magnetoreitivo più elevato. Tra i dipoitivi a pari peore invece, quelli caratterizzati da larghezza minore (W e V) aranno oggetti ad una maggiore demagnetizzazione e di coneguenza ad una enitività minore, con coneguente allargamento del range lineare. Come decritto in precedenza anche il numero e la ditanza tra le trip che cotituicono ciacun reitore influicono ulla demagnetizzazione. A dipoitivi più enibili corriponde un flipping dei domini magnetici che avviene a campi inferiori, invece e un dipoitivo

82 Capitolo 3 78 preenta un range lineare molto eteo, a caua della baa pendenza della curva caratteritica, il flipping i verifica a campi più elevati. (a) (b)

83 Capitolo 3 79 (c) (d) Figura 3.13 Confronto delle curve caratteritiche riultanti dal modello numerico e dai dati perimentali, nella tipologia di imulazione con campo magnetico diretto lungo l hard axi, per il dipoitivo 1419 (a), W (b), V4 (c) e V (d)

84 Capitolo Simulazione con ψ 45 La econda tipologia di imulazione effettuata conite nell applicazione di un campo magnetico variabile in una direzione che forma un angolo di 45 ripetto all eay axi ( ψ 45), a partire da un certo valore negativo dell intenità del campo fino al corripettivo valore poitivo, con un certo pao. In queto cao il campo magnetico compleivo arà la omma di una componente del campo diretta lungo l hard axi e una componente del campo diretta lungo l eay axi. Tuttavia la curva caratteritica che ci interea tudiare è quella che lega la variazione relativa della reitenza del ponte alla ola componente x del campo magnetico applicato, dato che queto enore viene utilizzato per rivelare olo campi magnetici in direzione x (per rivelare campi magnetici in direzione y verrà utilizzato un enore duale). In figura 3.14 riportiamo ancora una volta il confronto tra i dati perimentali (in verde) e il modello numerico (in blu). Quello che i può notare è che, e confrontiamo i grafici relativi a queto tipo di imulazione con i grafici relativi alla imulazione precedente, per uno teo dipoitivo, la pendenza della regione lineare riulta maggiore e lo witching i verifica a campi inferiori. In effetti, come verrà motrato in eguito, la preenza di una componente del campo magnetico eterno diretta lungo l eay axi ha l effeto di determinare il flipping della magnetizzazione a campi più bai. Inoltre il confronto tra le due tipologie di imulazione viene effettuato a parità di campo magnetico diretto lungo l hard axi, tuttavia in queta econda modalità, per avere lo teo valore di H x della precedente, è neceario che il campo eterno compleivo ia uperiore, per cui la enitività riulta aumentata. Un ultima oervazione riguarda il fatto che, a parità di peore, i dipoitivi a larghezza minore (W e V), a caua della loro geometria più allungata e per l effetto dei bordi, tendato a produrre una demagnetizzazione maggiore e quindi a preentare il campo di witching a valori più elevati. In queta imulazione, per tutti i dipoitivi analizzati, le due curve riultano piuttoto differenti dal punto di vita del campo magnetico di witching: embra dunque che il modello non rieca a prevedere in maniera corretta queto fenomeno. Queto è dovuto alla preenza di un campo magnetico eterno diretto a 45 ripetto all eay axi, che determina la formazione di vortici della magnetizzazione, che in queto modello monodimenionale non poono eere previti. A caua di queta emplificazione l effetto della demagnetizzazione riulta ignificativamente aumentato e di coneguenza il campo magnetico di witching del modello numerico ovratima quello riultante dai dati perimentali. Per ottenere una maggiore attinenza con i dati è neceario implementare un calcolo della demagnetizzazione bidimenionale, che conideri la poibilità della formazione di vortici, legata alla criticità dei bordi.

85 Capitolo 3 81 (a) (b)

86 Capitolo 3 8 (c) (d) Figura 3.14 Confronto delle curve caratteritiche riultanti dal modello numerico e dai dati perimentali, nella tipologia di imulazione con campo magnetico diretto a 45 ripetto all eay axi, per il dipoitivo 1419 (a), W (b), V4 (c) e V (d)

87 Capitolo 3 83 Un ulteriore conferma del fatto che un analii monodimenionale non ia ufficiente quando il campo magnetico applicato ha una componente lungo l eay axi, a caua della tendenza della magnetizzazione a dipori econdo dei vortici, è data dalla figura 3.15, in cui vengono rappreentati i campi di witching H del dipoitivo 1419 al variare della direzione del campo magnetico applicato. Il confronto avviene tra i dati perimentali in notro poeo (curva blu) e il riultato del modello numerico (curva roa). Per emplicità aociamo il campo magnetico di witching al punto di maimo della curva caratteritica. Quello che i nota è che tanto più il campo magnetico è diretto con un angolo piccolo ripetto all eay axi (ovvero tanto maggiore è la componente y del campo) e tanto peggio riuciamo imulare lo witching. Figura 3.15 Campo magnetico di witching H al variare dell angolo compreo tra il campo magnetico applicato e l eay axi 3.7 Flipping della magnetizzazione Analizzando le curve caratteritiche che decrivono la variazione relativa della reitenza del ponte in funzione del campo magnetico applicato nella direzione dell hard axi, è poibile notare come vi ia un andamento abbatanza lineare per un certo range di campi, la cui ampiezza dipende dal dipoitivo e la cui pendenza definice la enitività compleiva del enore. Queta è la regione in cui il enore funziona in maniera corretta. Oltre queto range lineare, la curva raggiunge un punto di maimo e in eguito inizia a decrecere: a che coa è dovuto queto andamento? In teoria ci i potrebbe apettare che, all aumentare del campo magnetico applicato, la variazione della reitenza

88 Capitolo 3 84 continui ad aumentare, tuttavia queto non accade a caua del coiddetto flipping della magnetizzazione. Queto fenomeno è cauato ia dall aniotropia uniaiale con cui è tata caratterizzata la trip in fae di fabbricazione, ia dall applicazione di un campo magnetico (che può raggiungere intenità pari alla coercitività) in vero oppoto alla magnetizzazione. In particolare il flipping avviene ulle trip dei reitori R 1 e R in preenza di un forte campo magnetico poitivo applicato nella direzione dell hard axi e ulle trip dei reitori R 3 e R 4 in preenza di un forte campo magnetico negativo applicato nella direzione dell hard axi (in eguito vedremo coa uccede applicando il campo magnetico con un angolo ψ divero). Per comprendere queto fenomeno è utile riprendere l equazione dell energia magnetica, ricavata nel capitolo precedente: 1 1 e HM co M H k in 0 M N x in Abbiamo capito che a regime l orientamento del vettore magnetizzazione in ogni punto della trip è determinato da una rotazione, dovuta alla riultante di divere forze che agicono u M. Per capire coa accade quando arriviamo al flipping conideriamo la figura 3.16, in cui viene rappreentata l evoluzione della magnetizzazione in un punto di una qualiai trip del reitore R 3 (o in modo equivalente R 4 ), in eguito dell applicazione di un campo magnetico negativo di intenità crecente nella direzione dell hard axi. In aenza di campo magnetico il vettore magnetizzazione tende a dipori parallelamente all eay axi con un angolo di circa 0 (in realtà i dipone con un angolo poitivo molto piccolo a caua dell aniotropia uniaiale). Se adeo applichiamo un campo magnetico negativo nella direzione dell hard axi, il vettore magnetizzazione tenderà a ruotare in eno orario. Tanto maggiore è l intenità del campo applicato e tanto maggiore arà la rotazione. Nel bilancio dell energia magnetica ci ono due poizioni limite (dicue nel capitolo precedente) che rappreentano punti di maimo dei ingoli contributi dell aniotropia uniaiale e dell aniotropia di forma: quando M i dipone a -45 e quando i dipone a -90. Il vettore magnetizzazione tenderà a ubire delle forze non appena ci i muove da quete condizioni limite che lo porterebbero a collaare ulla direzione dell ae aniotropo o ulla direzione dell eay axi, in uno o nell altro vero a econda di dove ci iamo potati ripetto al maimo della funzione. Quindi all aumentare della rotazione ci arà un punto nel quale la minimizzazione dell energia del itema pota repentinamente il vettore magnetizzazione dal quarto al terzo quadrante. Di particolare rilevanza quindi è il campo magnetico eterno attorno al quale i verifica il flipping, in quanto è evidente come dopo queta rotazione ignificativa l'ucita del enore non rappreenterà più il valore corretto del campo magnetico.

89 Capitolo 3 85 Figura 3.16 Flipping della magnetizzazione per una generica trip del reitore R 3 o R 4 Lo teo dicoro vale per una qualiai trip del reitore R 1 (o R ), in cui la magnetizzazione, per un campo eterno nullo, tende a dipori con un angolo di circa 180. In queto cao, quando viene applicato un campo magnetico eterno poitivo nella direzione dell hard axi, i oerva un comportamento duale: Figura 3.17 Flipping della magnetizzazione per una generica trip del reitore R 1 o R

90 Capitolo 3 86 Per capire meglio coa uccede, concentriamo la notra attenzione ul punto centrale ( x 0) di una generica trip, dato che è quello meno influenzato dalla demagnetizzazione e quindi è il primo a perimentare il fenomeno dello witching dei domini magnetici. Nella figura 3.18 viene rappreentato l angolo in queto punto in funzione di un campo magnetico H x poitivo, variabile tra 0 e 30 Oe. In roo è rappreentata la variazione per una trip di R 3, in blu per una trip di R 1 : come dicuo in precedenza è olo la curva blu a ubire il flipping, dato che il campo applicato è poitivo. Nella figura 3.18 (b) è rappreentata la tea ituazione ma per un campo magnetico applicato con un angolo ψ di 45 : come i può notare in queto cao il flipping avviene a campi deciamente più bai poiché, oltre alla componente x, eite anche la componente y del campo ad eercitare una forza ulla magnetizzazione. Come i può oervare dopo il flipping il comportamento delle due trip è eattamente lo teo. (a)

91 Capitolo 3 87 (b) Figura 3.18 Angolo del vettore magnetizzazione (ripetto all eay axi) e flipping in funzione di un campo magnetico applicato in direzione dell hard axi (a) e di un campo magnetico applicato a 45 ripetto all eay axi (b)

92 Capitolo 4 Analii di una trip nel cao bidimenionale Lo copo di queto capitolo è quello di etendere la teoria del calcolo del campo di demagnetizzazione e la rioluzione dell equazione dell energia magnetica al cao bidimenionale. Uno tudio monodimenionale, come quello effettuato nel capitolo, ha condotto a dicreti riultati nel confronto con i dati perimentali e con il imulatore micromagnetico OOMMF. In particolare è tato evidenziato come i riultati iano tati molto buoni nel cao di campo magnetico applicato con un angolo ψ 90 ripetto all eay axi, per tutti i dipoitivi indagati. All aumentare della componente y del campo magnetico applicato, invece, è tata ricontrata una perdita di aderenza con i dati perimentali, oprattutto riguardante il campo magnetico al quale i verifica il flipping della magnetizzazione. Queto fenomeno è cauato dal fatto che la magnetizzazione, nel cao in cui il campo magnetico venga applicato in una direzione generica, aume una conformazione molto più complea, caratterizzata da una erie di vortici che il notro modello 1-D non è in grado di prevedere. La preenza di queta conformazione magnetica ha globalmente l effetto di ridurre la demagnetizzazione e di coneguenza aumentare la enitività della curva caratteritica e diminuire il campo magnetico a cui avviene il flipping dei domini magnetici. A partire da quete coniderazioni abbiamo decio di tudiare il cao bidimenionale per decrivere in maniera più accurata la dipoizione della magnetizzazione all interno di una generica trip di forma rettangolare. Prima di volgere i calcoli relativi al campo di demagnetizzazione vediamo in dettaglio come avviene il proceo di magnetizzazione in un materiale ferromagnetico e come ia neceario modificare l equazione dell energia magnetica nel cao -D.

93 Capitolo Proceo di magnetizzazione dei materiali ferromagnetici I materiali ferromagnetici ono tipicamente caratterizzati da una truttura policritallina, ovvero compota da diveri critalli con conformazioni reticolari tra loro differenti. Queti critalli ono cotituiti da numeroe micro-aree, denominate domini magnetici, a ciacuna delle quali può eere aociata una magnetizzazione pontanea. Generalmente queta magnetizzazione è diretta per ogni dominio in maniera correlata ripetto a quella dei domini adiacenti appartenenti allo teo critallo: in queto cao il materiale non preenta una magnetizzazione uniforme. E poibile forzare dall eterno una direzione privilegiata della magnetizzazione, che viene comunemente indicata mediante l utilizzo di un ae di riferimento chiamato eay axi. Quello che i verifica a eguito di queta impoizione è che il ubtrato tende a reagire mediante un proceo chiamato demagnetizzazione, fino a riarrangiare i domini in una ditribuzione di magnetizzazione a lui conforme. All interno di un certo critallo lo tato locale della magnetizzazione è dovuto a diveri fattori tra cui la truttura e la dimenione del reticolo, la preenza di impurità, ma oprattutto il bilancio dell energia locale. I materiali ferromagnetici tendono pontaneamente a creare piccole regioni che condividono la medeima direzione di magnetizzazione in modo da garantire la minima energia del itema. In figura 4.1 viene rappreentato il proceo di formazione dei domini magnetici: ad un materiale ferromagnetico le cui linee di campo giacciono prevalentemente all eterno del materiale è aociata un elevata energia magnetica. Il itema, per minimizzare la propria energia, tende a chiudere le linee di campo all interno del materiale, generando dei ottodomini in cui la magnetizzazione egue l orientamento dei domini adiacenti. In queto comportamento conite la demagnetizzazione, la quale tende a orientare il vettore magnetizzazione in maniera parallela ai bordi del materiale. Queto fenomeno ta alla bae della generazione di andamenti della magnetizzazione nella claica forma a vortice, difficili da prevedere e non attravero un modello bidimenionale molto accurato e che renderanno ardua la convergenza del notro algoritmo.

94 Capitolo 4 90 Figura 4.1 Proceo di formazione dei domini magnetici 4. Equazione dell energia magnetica nel cao bidimenionale I enori AMR baano il loro funzionamento ul principio fondamentale econdo il quale la reitività di alcuni materiali dipende dall angolo compreo tra il vettore magnetizzazione M e il vettore denità di corrente J. Dato che il fluo di corrente è fiato dai barber pole, quello che determina la variazione della reitività è la rotazione del vettore magnetizzazione. Per ricavare l orientamento di queto vettore in ogni punto della trip e per ogni condizione di campo applicato, è neceario tudiare l equazione dell energia magnetica, in quanto il itema tende a ruotare la magnetizzazione in modo tale da dipori in una configurazione in grado di minimizzare la ua energia. Nel cao monodimenionale abbiamo ricavato la eguente epreione per la denità di energia magnetica per unità di volume: 1 1 e HM co M H k in 0 M N x in dove il primo contributo dell equazione conite nel prodotto calare tra il campo magnetico eterno e il vettore magnetizzazione e tende a produrre l allineamento tra i due vettori, il econdo contributo tiene conto dell aniotropia uniaiale del materiale e tende a orientare il vettore magnetizzazione nella direzione dell aniotropia, mentre il terzo contributo è legato alla demagnetizzazione e tende a diporre la magnetizzazione in maniera parallela ai bordi delle trip. Focalizziamo adeo la notra attenzione ecluivamente u quet ultimo termine, poiché è l unico a variare quando etendiamo le

95 Capitolo 4 91 notre coniderazioni al cao -D. Infatti, mentre nel cao monodimenionale abbiamo coniderato il campo di demagnetizzazione diretto ecluivamente in direzione x (e quindi con componente H dy nulla), nel cao bidimenionale biogna tenere conto di entrambi i contributi. Conideriamo un itema di riferimento x-y come quello rappreentato in figura 4., relativo ad un generico punto della trip, in cui come al olito definiamo come l angolo compreo tra il vettore magnetizzazione e l ae y. Figura 4. Sitema di riferimento x-y adottato per il calcolo dell equilibrio in un generico punto della trip Il campo di demagnetizzazione agente in queto punto può eere compoto nelle ue due componenti ortogonali H dx e H dy. La denità di energia legata alla demagnetizzazione è: e Hd M HdyM y HdxM x H dym co H dxm in E poibile definire il coefficiente di demagnetizzazione in direzione y ( N ) e in direzione x ( N y x ) come: N y Hdy M co

96 Capitolo 4 9 N x M H dx in Introducendo queti coefficienti nell equazione i ottiene: 1 1 e N co in ym N xm Da queta relazione riulta evidente come per minimizzare il primo contributo (quello legato alla componente y del campo di demagnetizzazione) ia neceario che il vettore magnetizzazione i orienti con un angolo π nπ, mentre per minimizzare il econdo contributo (legato alla componente x del campo di demagnetizzazione) ia neceario che i orienti a nπ, dove n è un numero intero qualiai. Quindi, a econda di quale campo prevale in ogni punto della trip, il vettore magnetizzazione aumerà un orientamento in grado di minimizzare l epreione compleiva. Calcoliamo la derivata della denità di energia ripetto a all angolo : e 1 co 1 in 1 1 N ym N xm N ym in N xm in N M N M in co in co y x Dato che N M co H e N M in y dy H x dx, riulta: e M Hdy in M Hdx co La derivata della denità di energia ripetto all angolo rappreenta, a meno di un egno, la coppia (forza di rotazione) per unità di volume con cui il campo di demagnetizzazione imprime una rotazione a M : e F F1 F M H dy in M H dx co

97 Capitolo 4 93 Tuttavia, dato che il campo di demagnetizzazione tende ad oppori al campo magnetico eterno, eo è generalmente caratterizzato da un egno negativo. Appare dunque evidente come un campo H dy negativo tenda a produrre una rotazione nella direzione poitiva del itema di riferimento angolare adottato (in eno antiorario), mentre un campo H dx negativo tenda a produrre una rotazione nella direzione negativa, come rappreentato in figura 4.3. I punti di equilibrio del itema i ottengono annullando la forza riultante in gioco: ovvero per: F M H in M H co 0 dy dx H dy in H dx co Figura 4.3 Coppia applicata ul vettore magnetizzazione a caua del campo di demagnetizzazione L epreione compleiva dell equazione dell energia magnetica riulta: e M H co pi M H k in 0 N ym co N xm in Queta epreione ha ubito una modifica ripetto al cao monodimenionale in quanto adeo la trip non viene più coniderata di lunghezza infinita e di coneguenza il vettore magnetizzazione

98 Capitolo 4 94 riente anche della preenza dei due bordi laterali: queti tendono a orientare il vettore M ad ei parallelo e dunque il fenomeno dell aniotropia di forma riulta più compleo dato che le direzioni preferenziali ono due e tra loro ortogonali. 4.3 Calcolo del campo di demagnetizzazione nel cao bidimenionale Come abbiamo vito nel cao monodimenionale è poibile aociare ad ogni punto della trip un vettore campo di demagnetizzazione, il cui valore è legato alla divergenza del vettore magnetizzazione. Mentre nel cao 1-D il calcolo è tato effettuato u una determinata ezione (per emplicità y 0), dato che il vettore magnetizzazione era uniforme lungo la direzione y, in queto cao il calcolo deve eere volto per tutti i punti r x, y,0. Rimane valida invece l ipotei di coniderare lo peore della trip molto minore ripetto alle altre dimenioni, per cui ia il campo di demagnetizzazione che il vettore magnetizzazione ono uniformi nella direzione z. Inoltre fino ad ora abbiamo uppoto di utilizzare trip di lunghezza L molto maggiore della larghezza w e dello peore t (idealmente trip di lunghezza infinita): per materiali caratterizzati da queta geometria l effetto dei bordi ituati a y L e y -L appare tracurabile ed, a caua della totale immetria, il campo di demagnetizzazione è compoto olo dalla componente in direzione x, coa che adeo non riteniamo più valida. Per tutti queti motivi il calcolo del campo di demagnetizzazione è etremamente più emplice in una geometria monodimenionale ripetto al cao -D, che ci accingiamo a motrare. Conideriamo una trip di forma rettangolare caratterizzata da una lunghezza L che i etende lungo l ae y, una larghezza w che i etende lungo l ae x e uno peore t che i etende lungo l ae z, come motrato nella figura 4.4. Prendiamo per emplicità un itema di riferimento che abbia l origine degli ai coincidenti con il centro della trip.

99 Capitolo 4 95 Figura 4.4 Sitema di riferimento x-y per tudiare la demagnetizzazione u una trip rettangolare Il campo di demagnetizzazione in ogni punto conite nella ovrappoizione di diveri contributi: il contributo legato ai bordi e il contributo legato al bulk Contributo dei bordi Una trip di forma rettangolare come quella rappreentata in figura 4.4 è caratterizzata da due bordi paralleli all ae x (alle coordinate y - L e y L ) e due bordi paralleli all ae y (alle coordinate x -w e x w ), ui quali poiamo upporre che ia depoitata una certa carica magnetica, legata alla variazione u ciacun bordo del vettore magnetizzazione lungo le direzioni x e y. Queta carica è reponabile della generazione di un vettore campo di demagnetizzazione in ogni punto, Hd x,y,0. Per effettuare il calcolo di queto campo in un cao bidimenionale è utile comporre il generico vettore nelle due componenti ortogonali, Hdx x,y,0 e Hdy x,y,0, che poono coì eere calcolate eparatamente. Una volta definiti direzione e vero di queti campi poiamo concentrarci ul calcolo della loro intenità, il cui punto di partenza è la relazione integrale ricavata nel capitolo e che ora riportiamo: r r' H d r M r ' d r ' 3 4 r r'

100 Capitolo 4 96 Il vettore r x,y,0 definice un generico punto della trip ulla uperficie z 0 in cui vogliamo calcolare il campo, mentre il vettore r' x',y',z' definice un generico punto di uno dei bordi della trip in cui è preente carica magnetica coperta, che contribuice alla determinazione del campo di demagnetizzazione. Conideriamo come primo contributo la carica magnetica ituata ul bordo alla coordinata x w. La figura 4.5 permette di capire come viene effettuato il calcolo in queto cao. Figura 4.5 Calcolo del campo di demagnetizzazione dovuto ad una generica carica del bordo uperiore Le due componenti del campo tra loro ortogonali poono eere definite come egue: H H co dx H H in dy d d dove è l angolo compreo tra la congiungente tra r e r' e l ae x. Ne conegue che: r r' co H dx r M r ' d r ' 3 4 r r'