Filtri attivi 1 V R 1. Dell op.amp. V o. V i. H db

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1 Filtri attivi

2 Filtri attivi Un filtro attivo del primo ordine (paa BASSO o paa ALTO) può eere realizzato collegando, all'ingreo di un amplificatore NON invertente con operazionale, una cella filtrante paiva (paa BASSO o paa ALTO) a reitenza e capacità Si ceglie l'amplificatore NON invertente (invece di quello invertente) perché preenta un'impedenza di ingreo più elevata e quindi carica meno il filtro paivo, non alterandone, fra l'altro, la frequenza di taglio. V i C - + U Eempio: filtro paa bao attivo del I ordine OUT V o V o C H= V i C C Dell op.amp. C C C H db K= (+ / )>=

3 Filtri attivi Eempio: filtro paa bao attivo del econdo ordine OUT V i C + U OUT C + U V o Vengono poti in cacata due tadi del primo ordine H= V o 4 V C i C C 3

4 H db Filtri attivi N =/C= polo (polo doppio) La pendenza nella banda ocura è di -4 db/decade. ω 4

5 Filtri attivi Mettendo in cacata N filtri del primo ordine con lo teo polo i ottiene un filtro di ordine N con pendenza piu ripida nella banda ocura (N*dB/decade) che meglio i avvicina al filtro ideale, ma che nella banda paante è meno piatto e decrece fino a -3N db. Eempio N=4 ; 4 poli reali coincidenti Pendenza -8 db/decade in banda ocura Attenuazione a ω o (ω polo ) pari a - db H db ω 5

6 Filtri attivi Soluzione che conente di avere una pendenza alta in banda ocura e una variazione di guadagno in banda paante contenuta: Utilizzare configurazioni circuitali che generino una funzione di traferimento con poli complei e coniugati. Q H ( ) Fattore di merito N( ) Q N( ) Fattore di morzamento - quantifica l attitudine del filtro a morzare le ocillazioni nella ripota temporale ad un egnale a gradino Pulazione naturale o di rionanza 6

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8 Data una funzione di traferimento H ( ) N( ) Q Filtri attivi N( ) I poli ono complei coniugati per ξ< (Q>.5) A econda del valore di ξ (o di Q) il diagramma vero i cota da quello aintotico di valori poitivi o negativi ξ -4dB/decade Per ξ=.77 (Q=.77) lo cotamento in e di -3 db ω ω 8

9 FILTI Filtri attivi I poli della funzione di traferimento i trovano riolvendo l equazione Si trova: p <ξ< (.5<Q< ) dicriminante negativo, poli complei e coniugati - - modulo p - j - - p ξ = (Q=.5) dicriminante nullo, poli reali coincidenti ξ > (Q<.5) dicriminante poitivo, poli reali ditinti ξ < poli con parte reale poitiva, itema intabile 9

10 appreentazione grafica nel piano di Gau I poli complei i trovano dipoti u un cerchio di raggio ω. parte reale -ξ ω = -ω co(θ) Im ξ = co(θ) Q= /( co(θ)) ω θ e

11 = ripple (a) f c = f conv (conv=converione) permette di paare da a t = taglio fconv t Paa bao t Paa alto fconv Fornice i parametri che permettono di effettuare la celta della forma della ripota effettiva, oia l'approimazione della ripota (filtro BUTTEWOTH, CHEBICHEV o BESSEL) che ci è tata richieta)

12 FILTI Filtri attivi Mettendo in cacata moduli con funzione di traferimento con poli complei e coniugati e cegliendo opportunamente il coefficiente di morzamento ξ per ciacun modulo, i può, ad empio, ottenere una funzione di traferimento compleiva tale che alla pulazione ω il modulo i dicoti dal diagramma aintotico di 3 db. N.B. Mettendo in cacata funzioni di traferimento, la f.d.t. compleiva è il prodotto delle f.d.t., che epreo in db corriponde alla omma delle ingole f.d.t. epree in db. H H H H H H db db db

13 FILTI Filtri attivi Moduli del econdo ordine con poli complei e coniugati in cacata H H H=H *H ) ( ) ( ) ( ) ( N H N H ) ( ) ( ) ( N N H H H db db db H H H H H H 3

14 FILTI Filtri attivi H db H 5 db ξ= ξ= cotamento=5.339 db xi= cotamento=-.36 db xi=.3868 H db = H db + H db 5-3db t 4

15 Filtri attivi Dai grafici i vede come mettendo in cacata due f.d.t. con poli complei e coniugati, a parità di ω, e con ξ =.9 e ξ =.38, i ottiene una f.d.t. che alla ω ha uno cotamento dal diagramma aintotico di -3 db (uguale a quella di un filtro del primo ordine), ma nella banda attenuata una pendenza di -8 db/decade. Ciò è ottenuto combinando funzioni con ripote in frequenza con ovraelongazioni poitive che compenano quelle negative. Queto metodo i può generalizzare ponendo più moduli in cacata, ottenendo pendenze empre più ripide, con caratteritiche uguali in banda paante. 5

16 Configurazioni circuitali FILTI Filtri attivi ) Filtri a retroazione poitiva emplice (VCVS Sallen Key) ) Filtri a retroazione negativa multipla 6

17 I due tipi più comuni di filtri attivi utilizzano VCVS (Sallen e Key) (voltage-controlled voltage ource) un amplificatore non invertente e rete di retroazione emplice poitiva. Utilizza un amplificatore con guadagno K Multiple-feedback o retroazione negativa multipla un amplificatore invertente a guadagno molto elevato e rete di retroazione multipla B A Y4 Y Y4 - OUT Y Y5 + Y3 - Y3 Y Y5 Y + OUT VCVS Multiple-feedback 7

18 Ciacuna ammettenza Y i riferice ad un elemento ingolo, una reitenza oppure una capacità; cegliendo opportunamente tali elementi i può realizzare un itema del ordine la cui f.d.t. è eprea da una delle equazioni dei quadripoli del ordine. Nell'ipotei che l'amplificatore operazionale ia ideale, l'impedenza di ucita del filtro è nulla. Il carico non ha pertanto alcuna influenza ulla f.d.t. del filtro. È queto uno dei principali vantaggi dei filtri attivi ripetto a quelli paivi perché, nei itemi di ordine uperiore al econdo, i può progettare eparatamente ciacuno tadio (chiamato anche cella) del filtro. Per poter realizzare la f.d.t. del filtro è ufficiente conocere il valore dei parametri ω e Q per ciacuno tadio. I manuali fornicono opportune tabelle che mettono in corripondenza queti parametri con le caratteritiche della curva di ripota del filtro compleivo. Speo, dato che i valori normalizzati delle capacità dei condenatori ono in numero minore ripetto ai valori diponibili per le reitenze i fruttano i gradi di libertà in più per cegliere valori convenienti per le capacità. Inoltre, per emplificare il progetto, peo i cerca di utilizzare per i condenatori o per i reitori dei valori uguali 8

19 Configurazione VCVS o di Sallen e Key La configurazione generale ha la caratteritica di utilizzare un op-amp in configurazione non invertente I componenti del circuito ono in generale reitenze e condenatori rappreentati dalle loro Y (ammettenze); Elevata impedenza d'ingreo Baa impedenza d'ucita egolazione del guadagno tramite le due reitenze collegate all'ingreo invertente. Ideale per filtri con ripota alla Butterworth. Preenza di una retroazione poitiva e coneguenti vantaggi di natura pratica Forte dipendenza del Q del circuito dal guadagno coicché l'utilizzo della configurazione è limitato a bai valori di Q (<Q<) e di guadagno (al più ). Sconigliato per filtri paa-banda. B A Y Y4 - OUT Vo KYY 4 V Y ( Y Y Y Y ) Y [ Y Y ( - K) Y ] i K A B Y3 Y + Y5 9

20 Configurazione a retroazione multipla o Multiple FeedBack (MFB) E caratterizzato da due anelli di retroazione negativa; Il egnale entra dal moretto dell operazionale (configurazione invertente). I componenti del circuito ono in generale reitenze e condenatori rappreentati dalle loro Y (ammettenze); Baa impedenza d'ucita. Scara dipendenza del Q del circuito da guadagno coicché e poibile realizzare valori di Q ragionevolmente elevati (comunque Q < 5). Va bene per tutti i tipi di ripota (Butterworth, Beel, Chebyhev). Media impedenza d'ingreo. ichiede op-amp con elevato guadagno oia con comportamento molto proimo a quello ideale. Y4 Vo YY 3 - V Y Y Y ( Y V Y Y ) i Y 3 4 Y Y Y3 - + Y5 OUT

21 FILTI Filtri attivi primo ordine Filtri del primo ordine (pendenza +/- db per decade nella banda ocura) Nella configurazione VCVS ono cotituiti da un filtro paivo eguiti da uno tadio operazionale che funziona da buffer, rendendo la funzione di traferimento indipendente dal carico o dagli tadi ucceivi. Nella configurazione a reazione negativa multipla i mette un olo condenatore che determina nella f.d.t. un olo polo.

22 Paa bao (VCVS) FILTI Filtri attivi primo ordine V i C - + U OUT V o V i C - + U OUT V o V Vo o C V Vi C i C C K=+ / K= polo = o = t =/C polo = o = t =/C C C

23 FILTI Filtri attivi primo ordine Paa bao (reazione negativa multipla) Cf - f OUT V o f - V C i f f V i + U Vo - f f C f C f f K=- f / polo = o = t = / f C f 3

24 FILTI Filtri attivi primo ordine Paa alto (VCVS) - - OUT C OUT V i C + V o Vi + V o V o C Vi C C V V o i C C C K=+ / K= polo = o = t =/C ; polo = o = t =/C ; zero zero 4

25 FILTI Paa alto (eazione negativa multipla) Filtri attivi primo ordine C f V i - + U OUT V o V V o i Cf - C - f C K=- f / polo = o = t =/ C zero 5

26 Filtri paa banda La ripota in frequenza di un filtro paa-banda è del tipo Queto andamento può eere ottenuto. ealizzando un circuito con tale f. di t. la quale però non può eere caratterizzata da una ripota piatta u un ampio intervallo di frequenze. Utilizzando un filtro paa alto e un filtro paa bao in cacata. La f. di t. compleiva i ottiene moltiplicando la f. di t. dei due filtri. 6

27 FILTI Filtri attivi primo ordine Paa banda a banda larga, Q< (VCVS) Cacata di un filtro paa alto e uno paa bao; la frequenza di taglio del paa alto deve eere minore di quella del paa bao (di almeno una decade per avere un guadagno non troppo variabile nella banda paante) - - OUT OUT V i C + C + V o Vo C V C C i uno zero nell origine due poli ditinti 7

28 Paa banda FILTI H 3 H H = = log MATLAB SCIPT w=; %paa alto w=; %paa bao for i=: w(i)=i*.; H(i)=j*w(i)/(j*w(i)+w); H(i)=w/(j*w(i)+w); end; H3=H.*H; plot(log(w),ab(h)); hold on; plot(log(w),ab(h),'r'); plot(log(w),ab(h3),'g');grid H 3 H H = = log 8

29 FILTI Filtri attivi econdo ordine Sfruttando le configurazioni a reazione negativa multipla e VCVS, nella rete paiva ono preenti due condenatori che generano due poli; nel cao di filtri paa-bao e paa-alto la pendenza nella banda ocura è di -4 db/decade. L andamento nella banda paante dipende dai poli (reali coincidenti o ditinti o complei e coniugati. Dato che le configurazioni circuitali ono retroazionate, occorre verificare la tabilita (poli con parte reale negativa). 9

30 FILTI Filtri attivi econdo ordine Paa bao (reazione negativa multipla) 3 C - V i C + OUT V o V V o i - C C C C C 3 3 3

31 Paa bao (reazione negativa multipla). FILTI Filtri attivi econdo ordine Confrontando la f.d.t. con la formula generale di f.d.t. con due poli i ha; 3 ) AK o - K rappreenta il guadagno in continua, (frequenza zero), che i ottiene ponendo = (otituendo ai condenatori dei circuiti aperti). ) n o C C 3 n 3) o o n Q C 3 Mediante quete formule di progetto è poibile dimenionare il circuito, date le pecifiche. 3

32 FILTI Filtri attivi econdo ordine Eempio: Filtro paa-bao del econdo ordine in configurazione reazione negativa multipla. Specifiche: K = -, f =khz, H(f ) =-3dB. Per avere cotamento di -3dB alla frequenza f, Q=ξ=.77. Fio = = kw ; Dalla ) per il guadagno K trovo 3 = kw. Dalla 3) trovo C ; (ω =πf=68 krad/) Q C,36 nf C 68 n 3 Dalla ) trovo C ; C n C 3 8pF 3

33 FILTI Filtri attivi econdo ordine 33

34 FILTI Filtri attivi econdo ordine Paa bao (reazione poitiva emplice (VCVS)) - + OUT V i C V o C Funzione di traferimento V K o C n V 3 i - K K C K K 3 n - 3- K C C 34

35 FILTI Filtri attivi econdo ordine Paa bao (reazione poitiva emplice VCVS) Un poibile dimenionamento del circuito: ) data, i celgono i valori di e C ) i ceglie il valore di K(Q) e quindi il rapporto / ; i ha infatti Q 3- K - e quindi - 35

36 FILTI Filtri attivi econdo ordine Eempio: Filtro paa-bao del econdo ordine in configurazione reazione poitiva emplice (VCVS). Specifiche: ) f o =khz ) cotamento di -3dB per f=f Per la pecifica ) deve riultare Q=ξ=.77. Fio C=nF, ricavo per oddifare la ),59 K 3-9 fc 68 f C n Dalla condizione ) - -, 4.59 Fio =k e quindi =5.9k N.B. in queto cao il guadagno in continua del filtro determina la poizione dei poli e non è quindi fiabile. Se i deidera un certo guadagno occorre mettere in cacata uno tadio di amplificazione. Q 3- K - 36

37 FILTI Filtri attivi econdo ordine 37

38 Paa alto (reazione negativa multipla) FILTI Filtri attivi econdo ordine Lo chema i ottiene da quello del paa bao, invertendo la poizione dei reitori e condenatori nella rete di retroazione. C3 C C - V i + OUT V o V V o i - C C 3 C CC3 C C 3 CC3 38

39 Paa alto (reazione negativa multipla) Formule di progetto: FILTI Filtri attivi econdo ordine ) K - C C 3 K rappreenta il guadagno nella banda paante (frequenze maggiori della frequenza di taglio) per f -->. ) C C 3 3) C CC 3 C C3 Q 39

40 FILTI Filtri attivi econdo ordine Paa alto (reazione poitiva emplice (VCVS)) - C C + OUT V i V o V K K o V 3 i - K n 3- K C C C K 4

41 FILTI Filtri attivi econdo ordine Paa alto (reazione poitiva emplice (VCVS)) Formule di progetto: Si uano gli tei criteri uati per il paa bao VCVS. Dimenionamento del circuito: ) data, i celgono i valori di e C ) data la poizione dei poli, i ceglie il valore di K e quindi il rapporto / ; i ha infatti Q 3- K - e quindi - 4

42 FILTI Filtri attivi ordine uperiore Si ottengono mettendo in cacata filtri del primo e econdo ordine: la funzione di traferimento compleiva è il prodotto delle ingole f.d.t. (la omma nei diagrammi di Bode in cui il modulo del guadagno è epreo in db). Per ottenere nella banda paante la maima piattezza e in corripondenza della frequenza di taglio un cotamento di 3 db ripetto al diagramma aintotico, i ua l approimazione di Butterworth. I poli della f.d.t. compleiva devono avere un valore opportuno: devono eere dipoti, nel piano di Gau, u un cerchio di raggio ω e equiditanziati di un angolo pari a 8/n dove n e l ordine del filtro. 4

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44 Si può dimotrare che e N è pari, il polinomio B N () è dato dal prodotto di N / polinomi di econdo grado del tipo +b+ con b> e N è dipari allora è preente anche il fattore + ealizzazione con approimazione di Butterworth 44 ) ( ) ( t N N t n N N n n B H B H Il polinomio B N () n N n B H t N B H n

45 . Si conideri la funzione di traferimento del filtro. Nel cao del filtro di Butterworth di ordine N, con frequenza di taglio t =, riulta H() = / B N ( / ). Si decompone B N come prodotto p () p () p m (), dove p i () è del tipo + oppure +b+, con b reale poitivo. 3. Si realizzano eparatamente i itemi S i che hanno /p i (/ ) come funzione di traferimento ( i m). 4. Si cotruice il itema S ottenuto ponendo in cacata i itemi S i, in modo che l ucita di S i ia l ingreo di S i+ La cotruzione è corretta poiché il itema compleivo S ha come funzione di traferimento H( / ) il prodotto delle funzioni di traferimento dei itemi S i B p p p p H N m m... ; b H H

46 + - OUT C C ) 46 Utilizzo per il ingolo blocco un filtro VCVS, paa bao del II ordine ;.765 K H K H

47 47 ; 3 3 ) (, K K K K K H - - W W W - - k ' - K '' k ' K - ' F C k K K K K.5.35.Ottengo., '' ' Fio,5,35,848 3,765 3 W k C.6 ; K K H

48 Collegando in cacata celle del ordine alla Butterworth, quete avranno diveri e opportuni coefficienti di morzamento. Celle di filtri del ordine alla Chebychev o alla Beel avranno diveri ia i fattori di morzamento ia ω o. f c è il fattore di converione f conv PB f f conv f t per ogni tadio PA f f f t conv per ogni tadio 48

49 Circuito di Antoniou: otituzione induttore In letteratura ono preenti molti modelli di filtri che baano il loro funzionamento ulla otituzione dell induttore nel claico circuito LC, con una rete C e amplificatori operazionali. Uno dei circuiti che garantice le migliori pretazioni è il circuito di Antoniou; il quale riulta poco enibile alle non idealità degli amplificatori operazionali. L C

50 Filtri a capacità commutate I principale vantaggi dei circuiti fin qui motrati ono otanzialmente dovuti all impoibilità che ei poano eere integrati in un unico circuito integrato monolitico e alla neceità di precie cotanti di tempo C per ripettare le pecifiche di progetto. Dobbiamo coniderare inoltre che i componenti in commercio aumono olo alcuni valori tandard e con ben determinate tolleranze. Una oluzione a queti problemi è data dai circuiti a capacità commutata. Ei i baano ul concetto per cui una capacità a cui è collegato un interrutore può comportari come una reitenza e la velocità di commutazione dell interruttore è ufficientemente alta. 5

51 Se la frequenza f c con cui viene azionato l interruttore è molto maggiore della frequenza del egnale di ingreo (ul moretto A), quindi durante il tempo di commutazione T c poo coniderare il egnale cotante, è poibile crivere: quantita di carica potata : frequenza di commutazione : I Qf C C(V A -V B )f C da ΔQ C(V f c A -V cui poiamo crivere B ) (V A -V B )/I eq / f c C T c / C eq C T c C C Il vantaggio principale è dovuto al fatto che la cotante di tempo dipende da un rapporto di capacità. In queto modo l incertezza ul valore della cotante di tempo è molto minore ripetto a quella ottenibile con un claico circuito C. 5

52 L uo delle capacità commutate permette di fare dipendere i parametri del filtro non da valori aoluti di grandezze non omogenee fra loro (e. C, prodotto di reitenza e capacità) ma da omogenee fra loro (e. C, prodotto di reitenza e capacità) ma da APPOTI di capacità, quindi di grandezze omogenee e molto ben controllabili. L errore ul valore aoluto di un parametro può arrivare al 3%, mentre l errore ul rapporto di valori di capacità può anche riduri a olo lo.%. Inoltre l'eliminazione dei reitori determina una diminuzione della potenza diipata. 5

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