1/s. 1/s = ,43. Con questa scelta dei generatori possiamo utilizzare ancora la formula di Millman: + s

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1 5. ipota forzata. ircuito imbolico: / / /( on la traformazione del generatore di corrente i ha lo chema eguente. / / /( Formula di Millman: dove p j, ( j ( j ( ( 5 [( ] 8 8,4. t 5 t Antitraformata: v( t,5 e e co( t 8,4,5 * p p * ipota libera. ircuito imbolico con i generatori delle condizioni iniziali. / / on queta celta dei generatori poiamo utilizzare ancora la formula di Millman: 4 ( I poli ono p,p* come nel punto precedente, il reiduo di p è j. t Antitraformata: v( t e co( t 45

2 5. Frequenze naturali. ircuito imbolico con le condizioni iniziali nulle. I / IF LK nodo : LK nodo : I Sitema: I Determinante: ( ( Frequenze naturali: orrente i(t. ircuito imbolico con la condizione iniziale. / / on la formula del partitore di tenione i ricava I t t Antitraformata: i( t e e A I ( ( 5.4 Il circuito imbolico è motrato nella figura eguente. /( /( / o

3 I nodi e ono allo teo potenziale. LK nodo : o LK nodo : o Dalla econda equazione i ricava o o (l operazionale con le reitenze ed cotituice un amplificatore non invertente. Sotituendo nella prima equazione e utilizzando la condizione i ottiene: ( ( o Poli:, ½ ± j /. eiduo di : j j A 9. Antitraformata: 6 co( 4 ( / t e t v t o ipetendo con i ottiene: o v o (t co(t en(t I poli ono, ± j. La matrice dei coefficienti del itema precedente è: ( Annullando il determinante i ottiene l equazione Per le frequenze naturali ono, ½ ± j / ; per le frequenze naturali ono, ± j. In entrambi i cai coincidono con i poli delle traformate ottenute opra. 5.5 Il circuito imbolico con la condizione iniziale è motrato nella figura eguente.

4 / /( v ( o I nodi e hanno lo teo potenziale (. LK nodo : ( v LK nodo : o iolvendo il itema i ottiene ( v ( o ( ( La traformata o ha tre poli, - e ±j, perciò A B B * o j j Affinché la tenione v o (t ia inuoidale deve eere A : ( A v ( ( v v (,5. Inoltre i ricava B j/, quindi ( t co( t 9 en( t. v o 5.6 (a ircuito imbolico: I / v (/ / v (/ on la LKT i ricava: 4

5 quindi v ( v( I ( I v ( I v ( v ( v ( v( ( v ( v( v( ( Abbiamo il eguente viluppo in frazioni parziali : / / ( ( Antitraformando : v (t ½ (v ( v ( ½ (v ( v ( v (t ½ (v ( v ( ½ (v ( v ( /( e t /( e t (b Il circuito da coniderare per ricavare le frequenze naturali è il eguente : / d d / Il itema dell analii nodale i ottiene per ipezione viiva: d / / d Indicando con p il parallelo tra e d e annullando il determinante i ha: p p p Le oluzioni ono ± Sono entrambe negative eendo p <. p 5

6 5.7 (a Spegnendo il generatore i ottiene un circuito L parallelo le cui frequenze naturali hanno parte reale negativa (v. capitolo 8. (b Spegnendo il generatore i ottiene un circuito L enza perdite che ha due frequenze naturali immaginarie (v. capitolo 8. (c Spegnendo il generatore i ottiene lo chema eguente, che preenta la frequenza naturale nulla (una corrente cotante può circolare nei due induttori con tenione nulla ai loro capi. ombinando i due induttori in parallelo i ottiene poi la frequenza naturale -/τ - 6. H. H Ω (d Spegnendo il generatore i ottiene un circuito L erie le cui frequenze naturali hanno parte reale negativa (v. capitolo Dopo aver pento il generatore, poiché non influice ulla tabilità, poiamo traformare lo chema in un circuito L erie ricavando la reitenza equivalente del bipolo nella figura eguente. i v - ki 4 Ω Per la LK i k i v/4 v 4(k i quindi la reitenza equivalente è pari a 4( k Ω. Sotituendo la reitenza equivalente nello chema originale i ha il circuito L eguente. 4 i L 4( k 4 ovvero un circuito L con reitenza pari a 4k Ω. Il circuito è tabile quando la reitenza è poitiva, quindi per k<. 6

7 5.9 ircuito imbolico. / / k k Equazione LK: ( k che equivale alla eguente:. Le frequenze naturali i ricavano annullando l epreione tra parentei ovvero riolvendo l equazione ( ( k. Ponendo per comodità x i poono tudiare le radici dell equazione x ( k x. Le radici ono reali e negative per k, reali e poitive per k 5. Le radici ono complee e coniugate per <k<5; la parte reale è (k/, dunque è negativa per k<. Per k la parte reale i annulla e il circuito ha due frequenze naturali immaginarie, pertanto i comporta da ocillatore. 5. (a Per ricavare la tenione a vuoto i fa riferimento allo chema eguente, in cui il generatore controllato è aperto poiché i o. Applicando la LKT i ricava facilmente v T 8. A i o v T Ω B Ω 4 A 4 A Ω Per ottenere la reitenza equivalente conideriamo il circuito riportato di eguito, con i generatori indipendenti penti. Per comodità il vero del generatore di corrente eterno è tato celto concorde con i o. Si noti la polarità di v (v eq i o. v i o i o Ω i o Ω Ω IF 7

8 Scrivendo la LK per il nodo abbiamo l equazione i o v / i o, dalla quale i ricava v - i o. Inoltre v v ; perciò v - i o eq - Ω. (butilizzando il circuito equivalente di Thevenin con i generatori penti i ha lo chema eguente. L Applicando la LK i ottiene: L /( - Ω Le frequenze naturali i ottengono annullando l epreione tra parentei. Le oluzioni hanno parte reale poitiva oppure ono reali poitive, dunque il circuito è intabile per qualiai valore di L e. 5. on riferimento al circuito imbolico motrato nella figura eguente, i applica la LK alle due linee tratteggiate: in o f o / f in / o La matrice dei coefficienti del itema è / / f / Annullando il determinante i ottiene l equazione 8

9 Il circuito ha una ola frequenza naturale ( ( perciò il circuito è tabile e >. 5. onideriamo il cao (b. L impedenza è f f f 8 6 Z ( ( Gli zeri del numeratore ono - e -; gli zeri del denominatore (i poli ono e -. Poiché Y(/Z( il ruolo dei poli e degli zeri i inverte. / / / / / / on i moretti aperti (figura a initra le frequenze naturali i ricavano per ipezione viiva. Infatti il condenatore da / F rimane carico al valore iniziale poiché la ua corrente è nulla, perciò i ha la frequenza naturale nulla. Inoltre, il condenatore da F non può che caricari ulla reitenza da ½ Ω con cotante di tempo ½ econdo, che corriponde alla frequenza naturale -. on i moretti in corto circuito (Figura a detra, applicando la LK al nodo cerchiato i ottiene: ( / ( 8 6 Perciò le frequenze naturali coincidono con gli zeri di Z( (i poli di Y(. 5.4 Il circuito equivale al eguente, dove Z. v Z v - 9

10 La funzione di traferimento è ( Z Z H Dividendo numeratore e denominatore per, i ottiene p /( ( H dove p //. La traformata della ripota al gradino unitario è ( ( p p H ( τ /τ avendo poto τ p. Sviluppando in frazioni parziali /τ ( L antitraformata è ( ( / τ t e t v per t > Il valore iniziale è zero, il valore finale è /(. Infatti: / ( lim ( lim τ τ / ( lim ( lim τ τ 5.5 Il circuito può eere coniderato un partitore di tenione con funzione di traferimento ( Z Z Z H t /( τ

11 dove Z e Z che i ottiene. Sotituendo nella relazione precedente e tenendo conto H ( ( 5.6 Applicando la LK alla linea chiua evidenziata, e tenendo conto che, i ricava dunque g H (. g g - g / La ripota al gradino è Antitraformando: eendo τ. g g ( H( v ( t g ( e t / τ g 5.7 Analii nodale. g / IF LK nodo : LK nodo : g

12 Dalla prima equazione i ricava equazione i ricava la funzione di traferimento ; otituendo queta epreione nella econda ( g H ( (* g ( Si verifica facilmente che per, H( diventa uguale alla funzione di traferimento dell eercizio precedente: A H '( τ A g τ La funzione di traferimento (* può eere critta nella tea forma: A H ( τ dove τ ( g e A ( g. g La cotante di tempo dipende ora da tutte le reitenze oltre che dalla conduttanza g; inoltre, eendo g>, i ha τ < τ. Infine, aumendo g>, abbiamo A <A. 5.8 algono le eguenti relazioni: Z ( Y ( Y (,5 Z ( Z (,5,4 Perciò, partendo dall ultima epreione, abbiamo una erie L- con L,5 H e,4 F; queto bipolo è in parallelo ad un condenatore di capacità,5 F; infine dobbiamo inerire in erie un induttore di induttanza unitaria. Il bipolo è motrato di eguito.,4 F,5 H H,5 F 5.9 Applicando ai moretti un generatore di corrente arbitraria I i ottiene lo chema eguente nel dominio di Laplace.

13 / o I k o L equazione LK al nodo cerchiato è IF I ( k o Inoltre, per la legge del partitore di tenione, i ha o /(. Sotituendo queta relazione nella equazione precedente i ottiene Z ( I ( k Per k - i ha Z( /( che corriponde ad un ammettenza Y(, che equivale al parallelo di un condenatore e di un reitore, entrambi unitari. 5. Dobbiamo utilizzare le eguenti proprietà della ripota al gradino unitario x(t: limt x( t lim H( lim x( t lim H( Le funzioni di traferimento (a e (b hanno due poli complei coniugati e neuno zero, quindi hanno un epreione del tipo K H ( ( p( p* Il limite per è nullo mentre il valore H( è divero da zero. Quindi corripondono alle ripote ( e (4. La (4 i morza più velocemente quindi corriponde ai poli più lontani dall ae immaginario, ovvero alla funzione (a. La ( corriponde alla (b. La funzione (d ha due poli complei e uno zero nell origine, quindi il limite per è nullo e H( ; pertanto corriponde alla ripota (. Infine, la funzione (c ha due poli e due zeri complei coniugati, con la tea parte immaginaria e parte reale oppota: ( a jb( a jb H ( K ( a jb( a jb Per la funzione tende a K; per i ha H( K. Quindi la ripota corripondente è la (. 5. Sappiamo che lim x( t lim H(. Dallo chema eguente i vede che per il t condenatore è un corto c. mentre l induttore è un aperto, pertanto la funzione di traferimento tende a /(. Poiché tale valore deve eere,5, ricaviamo Ω. t

14 . / Per Ω la funzione di traferimento è H (, ( I poli ono p, ± j ; gli zeri ono z, ± j. 4 La traformata della ripota al gradino è ( H(,5 A p A* p t / 4 A La ripota ha la forma v ( t,5 A e co(t. Per t la ripota al gradino tende al valore,5, come in figura (b. L ocillazione ha una frequenza angolare ω rad/, quindi il periodo è π/,68. La cotante di tempo è 4 econdi, quindi i morza molto lentamente. 5. ( in ( in ( τ /τ in ( e t / τ ( t / τ ( ( e v( t e e u( t / τ t /τ Per t < la ripota è v( t e ; quando il valore in t tende all infinito. alcolando l area tra e abbiamo / τ t / τ τ ( e A( e dt on la regola di De L Hôpital / τ lim A ( lim e Perciò poiamo dire che la ripota contiene un impulo di Dirac di area unitaria in t quando. 4

15 / τ e t / τ Per t >, u(t quindi la ripota è v( t e. Utilizzando la regola di De L Hôpital / τ / τ e e abbiamo: τ lim lim τ t / τ Dunque, quando, per t > abbiamo v( t e. τ Antitraformando la funzione di traferimento i ottiene: / τ H ( / τ / τ h( t δ ( t e τ t / τ 5.4 Il primo amplificatore funziona da ineguitore quindi la tenione del nodo è pari a in. Inoltre. in / o LK nodo : in LK nodo : in o iolvendo ripetto alla tenione o i ottiene: traferimento i ricava la ripota impuliva: o in. Antitraformando la funzione di H ( h( t δ ( t e t 5

16 5.5 on riferimento al circuito imbolico (.I. nulle applichiamo l analii nodale. in α/ /(α o o LK nodo : in ( o α o LK nodo : o o α iolvendo i ottiene: H ( o in α I poli hanno l epreione, α ± α Per α > i poli ono reali ditinti e negativi,, α ± β, con β α : H ( A A A β αt e h( t ( e β βt e βt Per α abbiamo due poli coincidenti in : H ( ( h( t te t Per α < i poli ono complei e coniugati:, α ± j α & α ± jω H ( A A* A jω 6

17 αt α h( t e co( ωt 9 e t en( ωt ω ω 5.6 Si applica l analii nodale al circuito imbolico. / A I : B I in Nodo A Nodo B ( in A I A B A B I B Nodo B I / elazioni del traformatore: A B I I iolvendo il itema per otituzione i ricava A che coincide con l incognita: ( A ( in 5 ( 5 La funzione di ingreo può eere critta come combinazione di gradini unitari: Pertanto v in in ( t u( t u( t u( t u( t ( ( e e e Sotituendo in i ottiene la traformata della tenione richieta 5 ( A( ( e e e dove A ( 5 A( ha due poli complei, ± j con reidui pari ad ½. Quindi 5 5 a( t e t / 5 co(,4t u( t 7

18 infine v ( t a( t a( t a( t a( t 5.7 Analii nodale del circuito imbolico con condizioni iniziali nulle ( B : LK nodo A: ( in A / A ( A o / A / LK nodo B: A / o in A B o iolvendo i ricava: in o ( H ( ( H ( jω ( ω jω H ( jω ( ( ω ( ω La funzione di traferimento è di tipo paa bao, con valore maimo della ripota in ampiezza unitario (per ω. Per ricavare la pulazione di taglio imponiamo la condizione: ( ω ω ( ( 4 che equivale alla eguente: ( ω 7( ω. Ponendo x (ω i ottiene una equazione di econdo grado con una ola oluzione poitiva:,4,74 ω c. x ( 7 5 /,4. Quindi 5.8 Analii nodale del circuito imbolico (figura eguente con condizioni iniziali nulle (NB: B o LK nodo A: LK nodo B: in A ( A o A o A o o 8

19 / in A / B - o Si ricava in o H ( ( La ripota in ampiezza è il modulo della funzione di traferimento H( jω: H ( jω jω ω La funzione di traferimento è di tipo paa bao, con valore maimo della ripota in ampiezza unitario (per ω, quindi: ω ω c La traformata della ripota al gradino unitario è: quindi o ( ( ( v o (t e t t e t 5.9 Per il circuito della figura eguente i ha: H ( L L L ± ( 4L Non ci ono zeri. I poli ono,. on i valori dati i poli ono complei: L 5 ± 5 α ± jβ (figura eguente., j 9

20 j5 j5-5 -j5 La ripota in ampiezza è H ( jω ( jω L jω ( ω L ( ω Per ω vale uno. Per ω tende a zero. Il maimo i ottiene alla pulazione ω m 5 7 rad/ (v. formula (5.7 del libro; il maimo vale H max,4. β α,4 7 ω 5. I diagrammi (a e (b hanno due poli complei ma non lo zero nell origine. Quindi la ripota in frequenza è del tipo ( o (; il diagramma (b ha i poli più vicini all ae immaginario quindi deve corripondere alla ripota ( che ha un picco, mentre i poli più lontani danno una ripota monotona decrecente come la (. Il diagramma (c corriponde alla funzione di traferimento ( a jb( a jb H ( K ( a jb( a jb Sotituendo jω i verifica facilmente che il modulo è cotante (K per ogni ω; quindi la ripota è la (4. La ripota in frequenza ( i annulla per ω, perciò deve corripondere al diagramma (d che è l unico con uno zero nell origine. 5. (a Una funzione di traferimento razionale reale può eere critta nella eguente forma fattorizzata: M ( zi i H ( K N ( p i i

21 dove z i rappreenta uno zero e p i è un polo. Affinché la ripota in ampiezza ia indipendente dalla frequenza, i fattori a numeratore e a denominatore i devono compenare quindi deve eere MN n. Sotituendo jω, e coniderando per emplicità il modulo al quadrato, i ha l epreione eguente: H ( jω K n jω z i n jω p i Ecludiamo il cao z i p i per ogni i, poiché privo di interee. Uno zero reale z i a corriponde al fattore a ω al numeratore; eo arà compenato eattamente, per ogni ω, olo dal fattore relativo al polo p i a. Una coppia di zeri complei coniugati α ± jβ, corriponde ai fattori α ( ω β e α ( ω β al numeratore; queti riultano compenati eattamente dai due poli complei coniugati α ± jβ. Entrambe le condizioni i poono eprimere con p i z i, i,, n. (b Poiché la ripota in frequenza è ignificativa olo per i circuiti tabili, i poli devono trovari nel emipiano initro aperto, quindi gli zeri ono neceariamente nel emipiano detro. Sotto ono riportati i diagrammi del primo e econdo ordine. i i a a a a α b b β α β (c Il circuito imbolico con condizioni iniziali nulle è riportato di eguito. / in o

22 I nodi e hanno lo teo potenziale (. LK nodo : ( in LK nodo : in o iolvendo il itema i ottiene o H ( ; il polo è -, lo zero è. in 5. Diagramma del modulo. La funzione di traferimento ha tre poli (uno reale e due complei e due zeri immaginari. Poiché H( j, il valore iniziale del diagramma di Bode è db. I punti di rottura del diagramma aintotico ono tre. Il primo (ω corriponde al polo reale in e la pendenza diventa - db/decade. Il econdo (ω corriponde ai due zeri immaginari in ±j: la pendenza paa da a db/decade. Infine i due poli complei in ±j corripondono ad un cambio di pendenza di -4 db/decade alla pulazione di rottura ω α β,6 rad/. Utilizzando la cala logaritmica per la pulazione i ottiene il diagramma aintotico nella Figura eguente, in cui tutti i egmenti hanno pendenza di ± db/decade. db - -6, 4 ω Il diagramma eatto (in roo non i traccia facilmente poiché le pulazioni di rottura ono troppo vicine tra loro. Il polo reale in corriponderebbe ad un valore di - db alla pulazione ω, ma la preenza degli zeri ne altera il valore. Si noti che gli zeri immaginari provocano l annullamento della funzione di traferimento in j, perciò il diagramma di Bode per ω tende a -. I poli complei ono caratterizzati da un fattore di morzamento ζ α/ω /,6, perciò il modulo di H in ω dovrebbe eere - log ζ 4 db. In realtà il valore è influenzato dalla preenza dell aintoto verticale in ω. Diagramma della fae. Nella figura eguente ono riportati i diagrammi approimati (lineari a tratti della fae per il polo reale (pendenza -45 /decade e i due poli complei (pendenza - 9 /decade. Per i due zeri in ±j è motrato il grafico eatto della fae: un gradino di 8 in corripondenza di ω. In roo è motrato il grafico eatto. Si noti come la fae tenda a -9 per ω poiché i contributi dei poli e degli zeri complei i annullano a vicenda.

23 gradi 8,, -45 ω Poiamo utilizzare lo chema della Figura 5.89 del libro con i valori in Tabella 5.5 (pag. 69. Per n abbiamo lo chema eguente: Ω F Ω icavando la funzione di traferimento i ottiene H( Ω H,5. Per n i ha lo chema eguente: F Ω - - icavando la funzione di traferimento i ottiene,5 H (. 5.5 Poiamo partire dallo chema nella Figura 5.9 del libro (pag. 6. Per avere reitenze da 5 Ω dobbiamo calare l impedenza di un fattore 5, quindi l induttanza va moltiplicata per 5 e le

24 capacità vanno divie per 5. La pulazione del filtro normalizzato è ω c rad/; per avere una larghezza di banda f c khz, dobbiamo calare la frequenza di un fattore π (capacità e induttanza ono divie per 6π. Lo chema è motrato di eguito. 5 Ω /(π µf /(6π H /(π µf 5 Ω 5.7 Si eegue prima uno caling di impedenza di un fattore ½ ricavando i valori nella figura eguente. 5 Ω 6 mh 4,7 mh - 5,8 µf,4 µf 5 Ω - Quindi i cala la frequenza di un fattore 4, ottenendo lo chema finale: 5 Ω,5 mh,675 mh -,45 µf,6 µf 5 Ω La funzione data ha pulazione di taglio unitaria. Per avere pulazione di taglio ω c, dobbiamo calare la pulazione di un fattore ω c : La nuova f.d.t è H (jω jω ωc n a n H jω ωc o n jω... a ωc H ( n a n ω c H n o ω n c... a ω n c ω n c Utilizzando i coefficienti in Tabella 5.4 (pag. 68 abbiamo: 4

25 H ( 4 H o 496,9 8,5 7, Inizialmente dobbiamo calare in frequenza di un fattore, il filtro paa alto in Figura E.5 (lo chema è nella figura eguente. Ω,5 F 5 H 5 H Ω - - Applicando la procedura decritta, i ottiene il filtro elimina banda nella figura eguente. Si noti che nello chema ci ono tre bipoli rionanti con pulazione di rionanza unitaria.,4 H - Ω 5 H, F,5 F 5 H, F Ω Poiché l operazionale non aorbe corrente, e ono in erie, quindi poiamo ricavare e u con la formula del partitore di tenione: u u Poiché abbiamo infine 5

26 H ( u ( ( Per H, per H, quindi i tratta di un filtro paa banda. Ponendo e i ha H ( ( jω H ( jω (* ( jω Poiamo tracciare facilmente il diagramma di Bode del modulo. Il modulo del termine jω è una retta con pendenza db/decade. Il numeratore vale uno ( db per ω/(, perciò la retta intereca l ae delle acie per queto valore di ω. Il denominatore ha un polo reale doppio con pulazione di rottura /(. L aintoto corripondente ha pendenza -4 db/decade per ω. Lo cotamento del grafico eatto da quello aintotico vale 6 db alla pulazione di rottura (è un polo doppio. Infatti, coniderando l epreione (* per ω/(, i vede che H vale ¼ ovvero -6 db. Il grafico eatto della ripota in ampiezza è motrato in roo. db db/dec /( 6 db ω -4 db/dec 5.4 Aumendo gli operazionali ideali, il primo tadio non è influenzato dal econdo quindi poiamo ricavare la funzione di traferimento utilizzando la formula dell amplificatore invertente: H ( in Analogamente per il econdo tadio: H o ( 6

27 ombinando i due riultati abbiamo o H ( HH in ( / ( ( ( / H ( ( onfrontando queta epreione con quella data i ricava Infine B ω ω H o B ( ω 5.4 ircuito imbolico. / in Analii nodale (. / o in LK nodo : ( o LK nodo : o Dalla econda i ricava o che otituita nella prima equazione fornice: o ( in Dividendo numeratore e denominatore per i ottiene 7

28 H ( o in onfrontando queta epreione con quella richieta i ricava: B ω ω H B ω 5.44 Utilizzando le relazioni precedenti, abbiamo tre equazioni, corripondenti alle pecifiche, e cinque incognite (tre reitenze e due capacità. Poiamo aumere e ; in queto modo abbiamo olo tre incognite (,, e il vincolo u H è oddifatto (H,5. Le altre due equazioni ono ω π6 ( 4π 6 Bω π ( 4π 6 Sotituendo la econda epreione nella prima i ricava 55. Aumendo kω i ricava 55 kω. Inoltre,64 nf La funzione di traferimento può eere fattorizzata nel modo eguente: / H ( ( ( La f.d.t. del econdo ordine ha la forma normalizzata (v. formula (5. del libro: H ( H ω ζω ω con ω, ζ /, H (è una funzione di Butterworth di ordine con pulazione di taglio, e può eere realizzata con un filtro di Sallen-Key (Fig. 5.4 del libro. Utilizzando le formule (5.7 e aumendo abbiamo: ζ 8

29 ω ω Scegliendo kω ricaviamo ½ mf e mf. La f.d.t. ½ /( i può realizzare con il filtro paa bao nella figura eguente, in cui (ad eempio kω, mf. Per eliminare l effetto di carico poiamo unire i due tadi attravero un ineguitore, come motrato nello chema finale eguente. kω mf kω kω in mf kω ½ mf o 9