CAPITOLO 9 RISPOSTA IN FREQUENZA

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1 77 CAPIOO 9 RISPOSA IN FREQUENZA Negli amplificatori tudiati nei capitoli precedenti abbiamo calcolato più volte l amplificazione relativa a egnali genericamente alternati, enza preoccuparci di quale foe la frequenza del egnale d ingreo. Sembrerebbe cioè che qualunque ia la frequenza del egnale d ingreo, l amplificazione riulti empre la tea. Ovviamente nei circuiti reali non è coì! Si intuice facilmente che la preenza dei condenatori di accoppiamento e di by-pa al di otto di una certa frequenza comporti un taglio dei egnali in gioco, quindi una riduzione dell amplificazione. Si deve altreì coniderare che i modelli equivalenti dei dipoitivi attivi viti precedentemente ono validi ino a quando la frequenza non riulti troppo elevata. Infatti, in corripondenza delle giunzioni dei tranitor, a caua dei differenti drogaggi, i creano empre dei fenomeni capacitivi. Normalmente i valori di quete capacità ono dell ordine delle decine di pf, quindi non influenzano molto il comportamento dinamico degli amplificatori. A frequenze elevate, tuttavia, i loro effetti non ono più tracurabili e i egnali tendono a eere bypaati da tali capacità. effetto finale è che anche a frequenze elevate l amplificazione i riduce coniderevolmente. In queto capitolo eamineremo gli effetti della frequenza ull amplificazione dei circuiti, oia vedremo come il egnale d ucita varia al variare della frequenza del egnale d ingreo. Studieremo, cioè, quella che è nota come ripota in frequenza degli amplificatori. 9. Banda paante Il modo più emplice di coniderare le relazioni tra tenioni e correnti di un circuito in preenza di elementi reattivi è quello di ricorrere ai faori. In queto modo, ogni grandezza può eere eprea come un numero compleo. Anche l amplificazione arà eprimibile come un numero compleo dipendente dalla frequenza. In altri termini, ea arà una funzione complea della frequenza jω (o jf), che indicheremo con A(jω). a ripota in frequenza di un amplificatore riulta completamente definita dall andamento delle curve del modulo e della fae di A(jω), che può eere eprea in forma eponenziale come egue

2 78 j A jϕ ( jω) A e A e A, (9.) avendo indicato con A il modulo e con ϕ la fae dell amplificazione. a fae ϕ è determinata ia dai componenti reattivi del circuito, che delle rotazioni di 80 introdotte dagli tadi invertenti. Allo teo modo i può operare per altre funzioni circuitali, quali l impedenza d ingreo (non più emplicemente reitenza ), l impedenza d ucita, l amplificazione di potenza, di corrente, ecc. Studieremo adeo il comportamento di un amplificatore, uddividendo il campo di frequenze groomodo in tre regioni divere: - Bae frequenze: i è accennato in precedenza che la preenza di capacità di accoppiamento determina una ripota di tipo paa-alto. Un effetto imile deriva anche dall eventuale preenza di capacità di bypa. Ad eempio, al diminuire della frequenza, la capacità C E di uno tadio ad emettitore comune, o C S di uno tadio a ource comune, non può più eere coniderata un cortocircuito e lo tadio i traforma in una configurazione a doppio carico, con coneguente riduzione dell amplificazione. In un amplificatore ad accoppiamento RC, l amplificazione di tenione diminuice empre alle bae frequenze fino ad annullari per f 0. icevera per un amplificatore ad accoppiamento diretto e privo di capacità di bypa i ha A cotante e ϕ 0 fino a frequenza nulla. - Alte frequenze: il comportamento alle alte frequenze di un amplificatore è determinato, in linea generale, dalle capacità paraite dei dipoitivi attivi preenti nel circuito. ali capacità provocano una diminuzione dell amplificazione all aumentare della frequenza, per cui la ripota riulta di tipo paa-bao. - Medie frequenze (o centro banda): vengono denominate medie frequenze (o centro banda) quelle per le quali poono coniderari ininfluenti tutti gli effetti capacitivi. In queta ituazione l amplificazione i mantiene cotante e nullo lo faamento. Utilizzando per le capacità di accoppiamento e di bypa valori elevati ( 00 µf), l etenione delle medie frequenze può raggiungere divere decadi, ad eempio da qualche Hz a qualche centinaio di khz. Infatti le capacità paraite, che hanno valori normalmente comprei tra qualche pf e qualche decina di pf, fanno entire in queto cao la loro influenza in un campo di frequenze molto più elevato di quello dei condenatori ineriti nel circuito. a banda paante B i definice come il campo di frequenze delimitato dalle frequenze di taglio inferiore f e uperiore f H per le quali, convenzionalmente, il modulo dell amplificazione di tenione A diminuice ino a / 2 0, 707 del uo valore maimo A 0 aunto alle medie frequenze (cioè circa 70% di A 0 ). Ea vale quindi B f H - f. (9.2)

3 79 In Fig. 9. viene riportata una tipica curva di ripota in modulo di un amplificatore. Inieme all andamento reale viene anche riportato l andamento aintotico che coincide con quello reale a frequenze ufficientemente bae, alte e alla medie frequenze, dicotandoene in pratica oltanto in corripondenza delle frequenze di taglio. Si noti che per tali valori di frequenze l amplificazione diminuice di un valore pari a ( 0,707) 0,293 ripetto al valore a centro banda A 0. 0,293 A o 0,293 A o Fig. 9. Andamento caratteritico della ripota in frequenza di un amplificatore In realtà eite effettivamente una banda di frequenza ad amplificazione cotante (banda piatta) olo quando f e f H riultano eparate da almeno due decadi. In queto cao l amplificatore può eere coniderato a banda larga. In cao contrario eo tende ad aumere le caratteritiche di un amplificatore elettivo, con un maimo più o meno accentuato della curva del modulo. eitenza di una banda piatta etea facilita lo tudio della ripota in frequenza dell amplificatore, conentendo di effettuare in maniera eparata l analii alle bae, alle medie e alle alte frequenze. 9.2 Fedeltà di un amplificatore e ditorioni Nelle applicazioni i egnali trattati ono raramente inuoidali puri. Si opera in generale u egnali periodici (forme d onda quadre, triangolari, ecc.) o u egnali non periodici provenienti da traduttori (microfoni, pick-up, ecc.). Sia in un cao che nell altro, il egnale, in bae alla teoria viluppata da Fourier (cfr. Cap. 0), può eere penato come la omma di infinite componenti inuoidali, il cui pettro di frequenza i etende genericamente fino ad infinito. e armoniche più

4 80 ignificative, tuttavia, riultano peo compree in una gamma di frequenze limitata. Ad eempio, un onda quadra immetrica può eere ricotruita con dicreta approimazione ommando oltanto le prime dieci armoniche dipari. Riulta allora chiara l importanza del confronto fra la banda paante di un amplificatore e lo pettro di frequenza del egnale da amplificare. Per fedeltà di un amplificatore i intende generalmente la ua attitudine a riprodurre all ucita il egnale di ingreo enza ditorioni della forma d onda. ralaciando in queta ede le ditorioni legate ai fenomeni di non linearità dei dipoitivi attivi, che i poono verificare in maniera rilevante nell amplificazione di egnali ampi (che non aranno trattati in queto coro), ci offermiamo u quelle legate alle caratteritiche di ripota in frequenza dell amplificatore. Si poono avere due tipi di ditorione del egnale d ucita, dei quali un tipo (ditorione di frequenza) legato alle caratteritiche dell andamento del modulo dell amplificazione al variare della frequenza, l altro (ditorione di fae) legato alle variazioni della fae con f. a ditorione di frequenza è preente quando le componenti in frequenza del egnale applicato all ingreo dell amplificatore non vengono amplificate in maniera uniforme, ovvero con uguale valore di A. Non vi è quindi ditorione di frequenza e tutte le componenti del egnale ono compree nella gamma delle medie frequenze (banda piatta) dell amplificatore, oppure, com è ovvio, nel cao particolare di egnale inuoidale puro. Infatti, coniderando ad eempio le armoniche di un onda quadra immetrica, e le ultime armoniche vengono amplificate meno delle prime (che invece vengono proceate con lo teo rapporto di amplificazione), è chiaro che i rapporti tra le ampiezze delle armoniche non aranno più gli tei che i avevano prima del proceo di amplificazione: pertanto la loro omma non darà più l onda quadra d ingreo ma i otterrà un onda lievemente trapezoidale e più arrotondata in corripondenza dei fronti di alita e di dicea. Per quanto detto, un amplificatore con frequenza di taglio uperiore f H 20 khz, non è idoneo ad amplificare fedelmente un onda quadra immetrica di frequenza 0 khz, perché tutte le armoniche (dipari) del egnale riultano uperiori a f H e quindi vengono amplificate meno della fondamentale. a ditorione di frequenza arà invece poco importante e la frequenza del egnale è khz. a maima attenuazione che viene tollerata è pari a quella che i ha in corripondenza delle frequenze di taglio (cioè / 2 0, 707 ). In ogni cao, diremo che la condizione per non avere ditorioni di frequenza è che l andamento del modulo dell amplificazione A ia cotante al variare della frequenza. a ditorione di fae i ha invece quando lo faamento tra un armonica e la ucceiva varia in ucita. Una generica componente del egnale di ingreo, eprea da v i (t) im en(ωt), fornice in ucita, alvo eventuali rotazioni di fae di 80,

5 8 v o ϕ ( t) A ( ωt + ϕ ) A en ω t + im en im. (9.3) ω II rapporto ϕ / ω (dimenionalmente un tempo) viene chiamato ritardo di fae ed indicato con t ph. Pertanto l equazione (9.3) può eere ricritta come o ( t) A en[ ( t t )] v ω +. (9.4) im a forma d onda d ucita è imile a quella d ingreo (ovvero ancora inuoidale), ma tralata lungo l ae dei tempi di t ph. È allora intuitivo che, nel cao di egnale multifrequenziale, la forma d onda rimane inalterata olo e tutte le componenti vengono tralate in maniera uguale. Condizione di non ditorione di fae è pertanto che ia t ph k (cotante) per tutte le frequenze compree nello pettro del egnale, ovvero che i abbia ϕ k ω. (9.5) equazione (9.5) indica una rigida relazione di proporzionalità fra fae e frequenza. Non i ha ditorione di fae nel cao particolare in cui ia ϕ 0 per tutta la gamma delle frequenze di interee. Queta condizione i verifica, ad eempio, in un amplificatore con accoppiamento RC alle medie frequenze. Si noti infine che la rotazione di fae di 80 cauata dagli tadi invertenti non produce ditorione della forma d onda, ma olo il uo ribaltamento attorno all ae dei tempi. ph 9.3 Decibel amplificazione (o guadagno) di tenione A è data dal rapporto tra la tenione d ucita v o e quella d ingreo v i. Per definizione, l amplificazione di tenione in decibel (db) è uguale a A db 20 og (A) 20 og (v o / v i ). (9.6) Quindi, il guadagno di potenza in decibel di un circuito avente amplificazione pari a 0 è uguale a 20 og (0) 20 db. Il imbolo db ci informa che il guadagno è epreo in decibel anche e ovviamente queti rimane empre una grandezza adimenionale. edremo fra poco perché il decibel i dimotra un unità particolarmente conveniente lavorando con amplificazioni di tenione e di potenza. È intereante notare che una progreione di amplificazioni in potenza di 0 equivale in decibel ad un aumento di 20 db per ogni potenza di 0, cioè: - per A 0 A db 20 og (0) 20 og (0 ) 20 db, - per A 00 A db 20 og (00) 20 og (0 2 ) 40 db, - per A 000 A db 20 og (000) 20 og (0 3 ) 60 db,

6 82 e coì via. Evidentemente il guadagno in decibel può anche eere negativo; appiamo infatti che e l argomento del logaritmo è inferiore a (ma empre poitivo), il logaritmo è minore di zero. Quindi e l amplificazione è minore di, abbiamo ad eempio: - per A 0, A db 20 og (0,) 20 og (0 ) 20 db, - per A 0,0 A db 20 og (0,0) 20 og (0 2 ) 40 db, - per A 0,00 A db 20 og (0,00) 20 og (0 3 ) 60 db. Il cao limite i ha ovviamente quando l amplificazione è unitaria, nel qual cao riulta: - per A A db 20 og () 20 og (0 0 ) 0 db. Poiamo pertanto concludere dicendo che e un circuito amplifica (nel eno che preenta un amplificazione di tenione maggiore di ), allora l amplificazione eprea in decibel è poitiva; e il circuito preenta un attenuazione di tenione, allora l amplificazione in decibel riulta negativa; e infine, il circuito lacia paare il egnale d ingreo enza modificarne l ampiezza (come nel cao di un ineguitore d emettitore o di un buffer eparatore d impedenza ad operazionale), allora l amplificazione in decibel è nulla. Un altra intereante proprietà del guadagno in decibel è la eguente: mentre le amplificazioni ordinarie di più tadi in cacata i moltiplicano, quelle epree in decibel i ommano. Infatti, indicate con A, A 2,, A n, le amplificazioni di n tadi in cacata, l amplificazione compleiva è data da A A A 2 A n. (9.7) Nel cao in cui l amplificazione è eprea in decibel, i ha invece: A db 20 og (A A 2 A n ) 20 og (A ) og (A n ) A db + + A n db. (9.8) In alcuni cai può eere utile eprimere anche le amplificazioni di potenza in decibel. Poiché la potenza u un carico è proporzionale al quadrato della tenione ad eo applicata, i definice amplificazione (o guadagno) di potenza in decibel: A P db 0 og (A P ) 0 og (P o / P i ), (9.9) avendo indicato con P i la potenza d ingreo e con P o la potenza d ucita. Per potere viualizzare immediatamente la ripota in frequenza di un amplificatore, il modo più efficace è icuramente quello di diporre di una rappreentazione grafica dell amplificazione in funzione della frequenza. In realtà, poiché abbiamo detto che l amplificazione A è una funzione complea di ω, neceitiamo di due diagrammi: il modulo e la fae di A(jω). Il modulo ci informa di quanto viene amplificata l ampiezza del egnale d ingreo, mentre la fae ci dice qual è lo faamento del egnale d ucita ripetto al egnale d ingreo. Infatti, e indichiamo con i (jω) e o (jω) i faori della tenione d ingreo e di quella d ucita, i ha

7 83 dalla quale i ricava j o ( jω ) j A( jω) j i ( jω ) o (jω) A(jω) i (jω) ( jω) e A( jω) e ( jω) e o o ( jω) A( jω) i ( jω) ( jω) A( jω) + ( jω) o, (9.0) i i. (9.) In altri termini, per conocere l ampiezza del egnale d ucita è ufficiente moltiplicare l ampiezza del egnale d ingreo per il modulo dell amplificazione, mentre per la fae del egnale d ucita bata ommare la fae dell amplificazione con la fae del egnale d ingreo. Conocendo i diagrammi del modulo e della fae in funzione della frequenza la ripota è immediatamente calcolabile. uttavia il modulo dell amplificazione al variare della frequenza può variare di parecchi ordini di grandezza. Queto rende difficile la rappreentazione grafica del modulo dell amplificazione a meno che non i adoperi per le ordinate una cala epana come quella logaritmica. In queta ede i rivela utile convertire l amplificazione di tenione in decibel. Infatti, ampie ecurioni del modulo dell amplificazione poono eere contenute e rappreentate utilizzando i decibel. Il problema dell epanione della cala non eite oltanto per il modulo dell amplificazione, ma anche per l ae delle acie, oia per l ae delle frequenze. Molto peo, infatti, l amplificazione i mantiene cotante all interno di un ampio intervallo di frequenze ma, al di fuori della banda paante, ea decrece rapidamente. Ad eempio, e l amplificazione i mantiene cotante da 00 Hz a 00 khz, mentre al di otto di 00 Hz ea diminuice di -20 db in una decade di frequenze (da 00 a 0 Hz), è evidente che con una cala delle acie lineare il tratto decrecente da 00 Hz a 0 Hz apparirà praticamente verticale (e i rappreenta ullo teo ae l intera banda paante). Da ciò i evince l importanza di adoperare una cala logaritmica per l ae delle frequenze. Oerviamo che l amplificazione di un circuito può eere empre eprea nella forma A ( jω) A 0 ω + j + z ω + j + p ω ω j + j z2 zm. (9.2) ω ω j + j p2 pn A 0 è una cotante (che coincide con l amplificazione a centro banda), mentre tutti i termini entro parentei ono dovuti alla preenza di elementi reattivi. I valori z, z 2,, z m, prendono il nome di zeri dell amplificazione; i valori p, p 2,, p n, prendono il nome di poli dell amplificazione. Si noti che per jω { z } m i i, il numeratore della (9.2) i annulla, mentre per jω { } n i i p, i annulla il denominatore della (9.2). Sia zeri che poli, ono eprei in funzione dei parametri circuitali

8 84 (reitenze, capacità, ecc.). In particolare, i vedrà fra poco che queti ono in genere uguali all invero delle cotanti di tempo tipiche del circuito. Se conideriamo una funzione A(jω) avente un olo polo e neuno zero, cioè del tipo A 0 /( + jω/p), quando la frequenza ω è uguale a p, il modulo di A(jω) è uguale a A / 2, cioè ω p coincide con la frequenza di taglio. Si noti che, e i eprime l amplificazione in decibel, allora il uo valore in corripondenza della frequenza di taglio ω p, corriponde ad A 0 db 20 og ( 2 ) A 0 db 3 db, cioè l amplificazione diminuice di 3 db ripetto al valore di centro banda. Da emplici proprietà dei numeri complei i evince che il modulo di A(jω) è uguale al prodotto dei moduli di tutti i termini tra parentei a numeratore della (9.2) divii per i moduli di tutti i termini tra parentei a denominatore (per il termine cotante A 0 ). a fae di A(jω) è uguale alla omma delle fai dei termini tra parentei a numeratore della (9.2) meno la omma delle fai dei termini tra parentei a denominatore (più eventualmente la fae del termine cotante A 0 ) Ripota in frequenza di un amplificatore RC Note le caratteritiche del egnale d ingreo, la ripota in frequenza è determinata non appena i conoce l epreione analitica della A(jω). Per il calcolo della A(jω), i deve valutare il rapporto tra o (jω) e i (jω) utilizzando i conueti trumenti per l analii circuitali (leggi di Kirchoff, teorema di hevenin, ecc.), avendo cura di coniderare per tutti gli elementi reattivi (oltanto condenatori, nel notro cao), il valore della loro reattanza. utto queto può embrare emplice, almeno in teoria. In realtà, la preenza degli elementi reattivi complica notevolmente i calcoli e le epreioni che e ne ricavano. Per tale motivo è icuramente conveniente, oltre che itruttivo, effettuare alcune emplici approimazioni Ripota alle medie frequenze Prima di iniziare, è bene preciare che, lavorando nel dominio della frequenza, tenioni e correnti in gioco ono rappreentate da faori; per tale motivo, ee aranno empre indicate con lettere maiucole per ditinguerle dalle tee grandezze nel dominio del tempo che vengono invece rappreentate con lettere minucole. I pedici invece reteranno indicati in minucolo, dato che i tratta empre di grandezze alternate, quindi non continue. Poiché alle medie frequenze, il guadagno è indipendente dalla frequenza (cfr. par, 9.), in tale regione le capacità poono eere tracurate. Pertanto il calcolo dell amplificazione i riduce a quello già affrontato nel Cap. 6, dove ia l amplificazione che la ripota riultano indipendenti da

9 85 ω. In tale regione per un amplificatore a FE configurato a ource comune i ottengono le eguenti epreioni: avendo poto dove o g A g m m, (9.3) R D // R. Per un amplificatore a BJ a emettitore comune i ha invece: o g A g m r R β R + r R + r r β R + r R + r m, (9.4) R C // R. Evidentemente per lo tadio a BJ i è coniderata l influenza della reitenza di orgente R, mentre i è tracurata per lo tadio a FE data l elevata impedenza d ingreo di quet ultimo Ripota alle bae frequenze Sotto le medie frequenze, le reattanze delle capacità di accoppiamento e di quella di bypa diventano coniderevolmente elevate e non poono più approimari a cortocircuiti. Eaminiamo dapprima l influenza delle capacità di accoppiamento per un amplificatore a ource comune ed uno a emettitore comune. I modelli a baa frequenza per entrambe le configurazioni è riportato in Fig a) b) Fig. 9.2 Modelli di amplificatori a baa frequenza per a) FE (ource comune); b) BJ (emettitore comune) Si noti che la reitenza equivalente del partitore d ingreo per l amplificatore a BJ (Fig. 9.2b) è tata omea dato che ea è generalmente molto più grande della reitenza r del tranitor. I circuiti d ingrei e d ucita cotituicono dei filtri paa-alto, il cui chema generico è riportato in Fig. 9.3a; eo può eere inoltre rappreentato nella forma di hevenin (Fig. 9.3b) come nel circuito d ingreo, o nella forma di Norton (Fig. 9.3c) come nel circuito d ucita. e due forme ono ovviamente equivalenti.

10 86 a) b) c) Fig. 9.3 Schemi di un filtro paa-alto: a) chema generale; b) forma di hevenin; c) forma di Norton Alle medie frequenze, dove il condenatore C C è effettivamente cortocircuitato, l ucita o(mf) del circuito di hevenin è R o( MF ), (9.5) R + R dove con R e i ono indicate ripettivamente la reitenza e la tenione equivalente di hevenin. Alle bae frequenze dove C C non è più tracurabile i ha o ( jω) R + R R + R R + R j ωc C jωc C o( MF ) ( R + R ) ωc ( R + R ) R + R j R j ωc C C (9.6), Pertanto, l ucita a baa frequenza è legata a quella alle medie frequenze da un fattore compleo dipendente dalla frequenza e dal prodotto RC. Quando la frequenza diminuice, un aliquota della tenione inizia a cadere u C C, coicché la tenione o in ucita i riduce. a frequenza di taglio ω c per la quale la tenione d ucita o (jω) diviene 0,707 volte la tenione alle medie frequenze o(mf) i ricava immediatamente dalla (9.6): ω c. (9.7) C + C ( R R ) Dunque la frequenza di taglio i eprime come l invero della cotante di tempo del circuito RC, dove R è la reitenza equivalente vita dalla capacità C. Il comportamento degli amplificatori a FE e a BJ di Fig. 9.2 può eere adeo valutato. Ad una frequenza definita da

11 87 per l amplificatore a FE, o da ω ( FE ) (9.8) C + ω ( BJ ) C C C ( R R ) G ( R + r ) (9.9) per l amplificatore a BJ, la tenione al circuito d ingreo g o be riulterà pari al 70% di. Analogamente per il circuito d ucita, ad una frequenza definita da per l amplificatore a FE, o da ω 2( FE ) (9.20) C + C2 C2 ( R R ) D ω 2( BJ ) (9.2) C + ( R R ) per l amplificatore a BJ, la tenione d ucita o riulterà pari al 70% di g m g o di g m be. Evidentemente anche l amplificazione compleiva diminuirà allo teo modo. Più preciamente, applicando la (9.6) al circuito d ucita e a quello d ingreo del circuito a FE i ottiene da cui, otituendo circuito d' ucita circuito d' ingreo o Pertanto l amplificazione vale A ( j ) j ωc C2 che i può crivere in modo più compatto o g g C m g j ωc j m C2 j ωc C ( R + R ) D g ( R + R ) ( R + ) ( + ) D R ωcc R RG G, (9.22). (9.23) A0 ω, (9.24) ( ) ( ) j j ωcc 2 RD + R ωcc R + RG A0 A ( jω), (9.25) ω2( FE ) ω ( FE ) j j ω ω dove A 0 è l amplificazione alle medie frequenze ( g m ). Ovviamente per l amplificatore a BJ i ottiene un epreione analoga. Giova ricordare che il modulo di A (jω) è dato da

12 88 0 A. (9.26) 2 2 ω2 ω + ω A + ω È facile dimotrare che in corripondenza della frequenza di taglio, muovendoi vero frequenze più bae, il modulo dell amplificazione diminuice approimativamente con una pendenza di 20 db per decade di frequenza. In generale, in corripondenza di un polo, il modulo dell amplificazione ubice una variazione di pendenza pari a 20 db/decade. Da quanto detto inora, per prevedere il comportamento di un circuito con capacità di accoppiamento in ingreo e in ucita, bata determinare ω e ω 2 : la più alta delle due coincide con la frequenza di taglio ( ). Pertanto per progettare un circuito amplificatore pecifico, i calcola C C (o C C2 ) da una delle (9.8) (9.2) coniderando ω (o ω 2 ) come frequenza di taglio; i celga l altro valore di ω 2 (o ω ) più piccolo di almeno un fattore 4 ripetto a quello aunto come frequenza di taglio; i calcoli il valore dell altra capacità C C2 (o C C ) dal corripondente valore di frequenza ω 2 (o ω ). Se adeo conideriamo anche l effetto delle capacità di bypa le coe i complicano notevolmente. I ragionamenti che abbiamo fatto per le due capacità di accoppiamento preupponevano che le due capacità C C e C C2 foero inviibili l una all altra, oia non interagenti, nel eno che il circuito equivalente vito da ognuna delle due capacità foe ecluivamente reitivo. Includendo anche la capacità di bypa queto non è più vero. A queto punto retano olo due poibilità: o i calcola l intera epreione di A(jω) effettuando l analii completa della rete elettrica, oppure i utilizza un metodo approimato acrificando la preciione del riultato. a prima poibilità è enza dubbio da cartare, dato che i calcoli ono troppo laborioi e complei. Quanto alla econda poibilità, è opportuno coniderare che eitono parecchi metodi approimati peo diveri l uno dall altro; in letteratura peo vengono adottati metodi differenti e lo tudente volenteroo, impegnato in una ricerca bibliografica delle differenti tecniche di analii approimata, richierebbe di fare un indigetione di formule e calcoli, enza riucire davvero a deumere una regola generale. Il problema è che molto peo i teti (univeritari e non) pongono il problema dal punto di vita dell analii circuitale, prendendo pertanto in coniderazione tutti i cai poibili (capacità vicine, ditanti, interagenti, non interagenti, interagenti a gruppi, ecc.). Da un punto di vita progettuale, le coe ono invece più emplici. Se iamo noi a progettare un circuito, decideremo di dimenionare i parametri nel modo che riulti più emplice ai ( ) a meno che le due frequenze non iano proime; tale eventualità non verrà prea in coniderazione in queto coro.

13 89 fini del progetto. aunzione più ovvia da fare a queto punto è che gli eventuali poli che caturicono dalla preenza delle capacità iano molto ditanti l uno dall altro: dunque le capacità verranno dimenionate in modo che la frequenza di taglio dipenda olo dal polo più grande. Se gli altri poli ono lontani, in corripondenza del polo più grande i ha effettivamente il taglio a 3 db. Si dice allora che i è nell approimazione di polo dominante. Per quanto riguarda il eguito dello tudio, noi adotteremo il metodo che prevede di calcolare, per ogni capacità C i, la ua reitenza equivalente R eq, coniderando tutte le altre capacità in cortocircuito (e la tenione d ingreo pari a 0). Ognuno di queti gruppi R eq C i darà luogo ad un polo (/R eq C i ) ma i farà in modo che uno ia molto più grande degli altri in modo che olo da eo dipenda il valore della frequenza di taglio. A rigore, queto metodo peo indicato come metodo delle cotanti di tempo a cortocircuito i adotta olo otto certe ipotei e il riultato è lievemente divero da quello da noi preentato. uttavia, ai fini del calcolo dei valori di capacità per il progetto di un amplificatore, gli errori ono davvero contenuti, e i adotta l approimazione di polo dominante (e noi l adotteremo empre!). Prima di iniziare a calcolare la reitenza equivalente vita dalla capacità di ource C S o di emettitore C E, oerviamo che i valori ω e ω 2 prima calcolati per le capacità C C e C C2 (epreioni (9.8) (9.2)) ono eattamente quelli che i otterrebbero cortocircuitando la capacità C S o C E : il metodo delle cotanti di tempo a cortocircuito i dimotra dunque anche valido per le altre capacità. Per l amplificatore a FE, la reitenza equivalente vita dalla capacità C S coincide con la reitenza d ucita di un amplificatore a drain comune, già calcolata nel Cap. 6 (epreione (6.5)) ( ). Pertanto il polo dovuto alla capacità di bypa vale ω S( FE ). (9.27) CS RS // gm Analogamente per l amplificatore a BJ, il polo dovuto alla capacità di bypa vale ω E( BJ ). (9.28) CE RE // gm Un poibile andamento del modulo è riportato in Fig ( ) in realtà nel drain comune non vi è la reitenza di drain che invece qui è preente, tuttavia e i analizza nuovamente il procedimento di calcolo della reitenza d ucita i vede che ea dipende olo dalla corrente di drain impota dal generatore pilotato.

14 90 A db A 0 db - 40 db/decade - 20 db/decade - 60 db/decade ω ω 2 ω S f Fig. 9.4 Diagramma del modulo a baa frequenza di un amplificatore a ource comune con capacità di accoppiamento e di bypa In Fig. 9.4 abbiamo uppoto che ω S coincida con la frequenza di taglio dell amplificatore. Queta ituazione i verifica nella pratica quai empre. Infatti, i fa in modo che la reitenza più piccola dia luogo al polo con la frequenza più alta, cioè al polo dominante. In queto modo per gli altri due condenatori che devono eere elezionati in modo che i poli corripondenti riultino molto più piccoli del polo dominante i ottengono valori di capacità ragionevolmente piccoli. Il progetto di un amplificatore provvito ia di capacità di accoppiamento che di bypa, i effettua econdo i eguenti pai: i calcola C S (o C E ) tramite la (9.27) (o la (9.28)), coniderando ω S (o ω E ) come frequenza di taglio; i celgono i valori degli altri poli ω e ω 2 più piccoli di almeno un fattore 4 ripetto al polo dominante; i calcolano i valori delle altre capacità C C e C C2 dai corripondenti valori di frequenza ω e ω Ripota alle alte frequenze Al di opra delle frequenze di centro banda, le reattanze delle capacità di accoppiamento e di bypa ono piccole e tracurabili. Eitono tuttavia altre capacità interne ai dipoitivi attivi che ono in genere pote in parallelo all ucita o all ingreo. Ee ono rappreentate in Fig. 9.5 nello chema equivalente dinamico ad alta frequenza dell amplificatore a ource comune (Fig. 9.5a) e di quello ad emettitore comune (Fig. 9.5b).

15 9 a) b) Fig. 9.5 Schema dinamico ad alta frequenza dell amplificatore a) a ource comune; b) ad emettitore comune C g è la capacità interna tra il gate ed il ource, mentre C gd è quella tra gate e drain; eite anche una capacità C d tra drain e ource, che di olito è tracurabile e per tale motivo non è inclua nello chema di Fig. 9.5a. Allo teo modo, C è la capacità del diodo bae-emettitore, mentre C jc è quella del diodo bae-collettore. Si noti che C è l eventuale capacità di carico o d ingreo dello tadio ucceivo. ali capacità ono molto piccole, dell ordine delle decine di pf o più piccole, per cui a frequenze ufficientemente bae ee non influenzano la ripota del circuito. imitandoci per il momento alle ole capacità C g e C, ee ono in parallelo all ingreo, per cui a frequenze non troppo elevate ee preentano una reattanza molto alta e non influenzano la ripota. Poiché ee ono molto piccole, in pratica i comportano da circuiti aperti ino a quando la frequenza non è tanto elevata da non potere più coniderare la loro reattanza infinita. In quete condizioni, ee tendono a bypaare la tenione d ingreo e ovviamente provocano una riduzione dell amplificazione e della tenione d ucita. Ee ono pertanto reponabili della compara di una frequenza di taglio uperiore nel diagramma dell amplificazione. analii dei circuiti di Fig. 9.5 è laborioa a caua della preenza delle capacità C gd e C jc, le quali realizzano una reazione negativa tra l ucita e l ingreo (e quindi riducono il guadagno alle alte frequenze). Si può tuttavia dimotrare che l amplificazione alle alte frequenze poiede i due eguenti poli: e ω (9.29) ( R // R ) C 2 Co G D eq ω, (9.30) R ( R // R ) C o

16 92 dove i è poto: e C eq C g + C gd ( + A 0 ) C g + C gd ( + g m ) (9.3) C o C gd + C. (9.32) Pertanto l epreione completa dell amplificazione alle alte frequenze è uguale a A ( jω) g, (9.33) m [ + jωc ( R // R )] [ + jωc ( R // R )] eq cioè, in forma più compatta A0 A ( jω). (9.34) ω ω + j + j ω ω2 andamento del modulo, la cui epreione è G + + ω ω2 o 0 A, (9.35) 2 2 ω A ω D è rappreentato in Fig A db A 0 db - 20 db/decade - 40 db/decade ω ω 2 f Fig. 9.6 Diagramma del modulo ad alta frequenza di un amplificatore a ource comune con capacità di accoppiamento amplificazione i mantiene cotante alle medie frequenze, dopodiché, in corripondenza del primo polo coincidente con la frequenza di taglio diminuice con pendenza di 20 db/decade; al

17 93 econdo polo, infine, la pendenza diviene 40 db/decade. In condizioni di polo dominante, la frequenza di taglio coincide con la frequenza del polo più bao. Per l amplificatore a BJ a emettitore comune, il cui chema equivalente alle alte frequenze è riportato in Fig. 9.5b, i perviene alle tee concluioni. amplificazione è eprea ancora dalla (9.34), dove i due poli ω e ω 2 ono dati dalle epreioni dove e ω, (9.36) ( R // r ) C eq ω 2, (9.37) ( R // R ) C C o C eq C + C jc ( + A 0 ) C + C jc ( + g m ) (9.38) C o C jc + C. (9.39) Poiché C eq è molto elevata a caua del fattore amplificante g m, riulta in genere ω «ω 2, per cui ω i aume pari alla frequenza di taglio (ia nell amplificatore a BJ, che in quello a FE). analii della ripota alle alte frequenze è ulteriormente complicata dal fatto che i modelli eaminati in qui ono a parametri concentrati: queti ultimi poono oltanto approimare gli effetti che in realtà ono ditribuiti lungo le differenti regioni dei tranitor. e capacità C, C jc, C g, C gd ono pertanto a loro volta dei modelli delle capacità reali ditribuite. 9.6 Prodotto guadagno larghezza di banda. Frequenza di tranizione Conideriamo la frequenza di taglio (uperiore) ω dell amplificatore a emettitore comune inora eaminato. Ea dipende dall amplificazione alle medie frequenze A 0. In particolare, ea è inveramente proporzionale al guadagno alle medie frequenze g m. Ne conegue che per aumentare la frequenza di taglio uperiore dell amplificatore e dunque per aumentarne la larghezza di banda i deve ridurre il guadagno alle medie frequenze. Un altra poibilità è quella di aumentare la reitenza di orgente R, ma ovviamente ciò non è empre poibile. Da queta coniderazione riulta evidente che l amplificazione e la larghezza di banda non poono coniderari indipendenti l uno dall altro. Definita la larghezza di banda B come la differenza tra la frequenza di taglio uperiore f H e quella inferiore f, eendo normalmente f «f H, riulta B f H. (9.40) Pertanto, per uno tadio a emettitore comune poiamo ricavare il prodotto guadagno larghezza di banda come egue:

18 94 B A 0 2 // m [ ] m ( R r ) C ( R // r ) C + C ( + g ) 2 ( R // r ) 2 ( C + C ) ( R // r ) eq g g m jc + 2C jc g jc f m + 2C jc. (9.4) In queti paaggi matematici è tata introdotta una nuova grandezza: la frequenza di tranizione f. edremo fra poco quale ia il uo ignificato fiico. Per adeo ci bata oervare che ea è definita come f 2 g m ( C + C ) jc (9.42) e che ea è un parametro fornito normalmente dal cotruttore, in quanto dipendente da parametri interni del tranitor. Dalla (9.4) i deume che il prodotto guadagno larghezza di banda aumenta al crecere del carico compleivo Fiati e al diminuire di R. Si ricordi però che al crecere di decrece f H. e R, riulta inoltre chiaro che un elevato valore del prodotto guadagno larghezza di banda richiede tranitor ad elevate f e baa C jc. Si può facilmente dimotrare che la frequenza di tranizione, corriponde alla frequenza per la quale il modulo dell amplificazione di corrente in cortocircuito del tranitor è uguale a (0 db). e cae cotruttrici fornicono in genere il valore di f, miurato in corripondenza di uno o più punti di ripoo (dato che f dipende da g m, che dipende a ua volta dalla corrente di collettore a ripoo). Abitualmente, invece, ee non fornicono il valore della capacità C, perché troppo difficile da miurare direttamente. Pertanto tale capacità può eere ricavata dalla (9.56), nota la f e la capacità C jc. 9.7 Ripota in frequenza di un amplificatore operazionale amplificatore operazionale ideale preenta guadagno ad anello aperto infinito e larghezza di banda infinita. Un amplificatore operazionale reale preenta invece larghezza di banda e guadagno limitati; inoltre, il guadagno ad anello aperto diminuice al crecere della frequenza. In Fig. 9.7a è illutrato il diagramma di ripota in frequenza del 74C, uno degli operazionali integrati più claici. Come i vede, il guadagno ad anello aperto diminuice di 20 db per decade: ciò ignifica che, aumentando la frequenza di un fattore 0, l amplificazione diminuice di un fattore 20. In ogni punto della curva il prodotto guadagno larghezza di banda è cotante e pari ad MHz. ale prodotto è una figura di merito dell amplificatore operazionale e viene peo indicato con GBW (gain - bandwidth).

19 95 a) b) Fig. 9.7 a) Diagramma di ripota in frequenza del µa 74C. b) Schema a blocchi di un operazionale integrato A prima vita i può penare che tale diminuzione di A O rappreenti uno vantaggio; tuttavia queto fatto è voluto ed è determinato dalla preenza, all interno del circuito integrato, di un circuito RC paa-bao, come motrato in Fig. 9.7b. Queta riduzione del guadagno impedice che intaurino ocillazioni dovute al rumore di alta frequenza: per ottenere un amplificatore tabile i acrifica la ripota in frequenza. a riduzione del guadagno ad anello aperto (A O ) pone dei limiti in frequenza anche al guadagno con reazione A f. Ciò è evidenziato in Fig. 9.8 per un amplificatore con guadagno A f 00 (40 db). A f Fig. 9.8 Ripota in frequenza di un operazionale ad anello aperto (A O ) e di un amplificatore con A f 40 db

20 96 Alle bae frequenze A O è coì elevato ripetto ad A f che il comportamento ideale dell amplificatore non viene modificato. Quando però il valore di A O i avvicina al valore di A f, anche il guadagno A f dell amplificatore comincia a diminuire e cende al di otto del valore teorico. a frequenza per cui A O è uguale al valore di A f alle bae frequenze (40 db nell eempio) coincide con la frequenza di taglio uperiore f H della curva di ripota (0 khz in Fig. 9.8) e definice la larghezza di banda per piccoli egnali dell amplificatore. Pertanto, e il prodotto guadagno larghezza di banda GBW MHz, i ha f GBW A khz. Graficamente è H f pertanto emplice ricavare la frequenza di taglio, non appena i rappreenti il diagramma del modulo del guadagno ad anello aperto A O e i conoca l amplificazione del itema reazionato A f alle bae frequenze. amplificatore operazionale preenta dunque un polo alle alte frequenze, ia che lo i conideri ad anello aperto che reazionato, cioè il diagramma del modulo preenta a denominatore un termine del tipo ( + jω/ω H ). Se conideriamo ad eempio un buffer a guadagno unitario ed applichiamo un gradino unitario in ingreo ad eo (Fig. 9.9a), dato che l amplificatore i comporta da paa-bao l ucita arà uguale a ( e t/τ ), in cui τ /ω H (Fig. 9.9b). a) b) c) Fig. 9.9 a) Gradino in ingreo del buffer a guadagno unitario. b) Ucita teorica. c) Ucita reale, limitata dallo lew rate

21 97 In pratica queta ucita i ha olo in teoria, o e l ampiezza del gradino è molto piccola; altrimenti l andamento reale è quello rappreentato in Fig. 9.9c. In altre parole, la ripota del circuito non può alire con la velocità previta dalla cotante di tempo dell eponenziale. Ea, al contrario, riulta quai lineare nel uo tratto iniziale. Quando i verifica queto fenomeno i dice che l amplificatore operazionale è limitato dallo lew rate. o lew rate i definice come la pendenza della rampa linare all ucita, motrata in Fig. 9.9c. Il cotruttore fornice il valore dello lew rate, in genere epreo in /µ. Ne egue che l amplificatore operazionale comincerà a manifetare queta limitazione, quando al uo ingreo viene applicato un egnale a cui corriponde una pendenza iniziale dell eponenziale d ucita che upera il valore dello lew rate.