Fondamenti di automatica. Fondamenti di automatica. Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale (Vecchio Ordinamento) Raccolta di temi d esame

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1 Fondamenti di automatica (Prof Rocco) Coro di Laurea in Ingegneria Aeropaziale (Vecchio Ordinamento) Fondamenti di automatica (Prof Rocco) Appello del Cognome: Nome: Raccolta di temi d eame Matricola: Firma: La preente raccolta comprende i teti e le oluzioni delle prove critte intermedie e i teti di tutti gli appelli ordinari degli AA , 999- e - Avvertenze: Il preente facicolo i compone di 8 fogli (comprea la copertina) Tutti i fogli utilizzati vanno firmati Durante la prova non è conentito ucire dall aula per neun motivo e non conegnando il compito o ritirandoi Nei primi minuti della prova non è conentito ritirari Durante la prova non è conentito conultare libri o appunti di alcun genere Non è conentito l uo di calcolatrici con dipla grafico Le ripote vanno fornite ecluivamente negli pazi predipoti Al termine della prova va conegnato olo il preente facicolo Ogni altro foglio eventualmente conegnato non arà preo in coniderazione La chiarezza e l ordine delle ripote cotituiranno elemento di giudizio

2 Prima prova critta intermedia AA 998/99 Si conideri il itema idraulico riportato in figura: h u A h q A Il itema è cotituito da due erbatoi di ezione cotante collegati da una valvola Anche il econdo erbatoio preenta una valvola in ucita Le due valvole, entrambe ad apertura cotante, tabilicono tra la portata di liquido che le attravera e il livello nel erbatoio a monte le relazioni: q α h, q α h Si auma come ingreo la portata entrante u e come ucita del itema il livello del econdo erbatoio h Si indichi e le eguenti affermazioni ono vere o fale: Il itema è di ordine 4 VERO FALSO Il itema è lineare VERO FALSO Il itema è trettamente proprio VERO FALSO Il itema è tempo variante VERO FALSO Si crivano le equazioni del itema dinamico Poto A, A, α, α, i determinino eventuali punti di equilibrio del itema corripondenti all ingreo cotante u u 4 Si dicuta la tabilità degli eventuali tati di equilibrio determinati al punto precedente Eercizio Un itema dinamico preenta i diagrammi di Bode (eatti e aintotici) del modulo e della fae della ripota in frequenza riportati in figura: q db gradi Diagramma di Bode - Fae - Diagramma di Bode - Modulo Si tracci il diagramma polare approimato della ripota in frequenza Sapendo che il itema non preenta poli o zeri complei, i determini un epreione della funzione di traferimento compatibile con i diagrammi riportati Si determinino il valore iniziale e l eventuale valore finale della ripota allo calino unitario del itema 4 Si determini, nel modo più rapido poibile, l epreione, anche approimata, dell ucita a tranitorio eaurito quando l ingreo aume l andamento: ut ( ) in( 7 t) Si conideri il itema dinamico decritto dal eguente chema a blocchi: dove: U + 4 G ( ), F ( ) + Si determini la funzione di traferimento del itema compleivo (da u a ) Si dicuta la tabilità del itema compleivo Si dica, motivando la ripota, e il itema compleivo è a fae minima o non minima F() Y

3 Soluzioni Falo (il itema è di ordine ), Falo, Vero, Falo Poto x h, x h : α x u x& + A A α x α x x& A A x Annullando le derivate, i trova l unico tato di equilibrio: x + u x 4 x x x 4 Si linearizza il itema nell intorno del punto di equilibrio: δx& δx& α δu δx + A x A α α δx A x A x δx La matrice dinamica del itema linearizzato è: δx& δx+ δu 4 δx& δx δx 4 4 A 4, ed eendo triangolare, ha gli autovalori ulla diagonale Poiché entrambi gli autovalori (, /4) hanno parte reale negativa, il itema linearizzato è aintoticamente tabile, e quindi lo è anche il punto di equilibrio del itema non lineare di partenza Eercizio Diagramma polare: Im Diagramma di Nquit Re Il itema ha tipo zero (pendenza iniziale del modulo nulla) e guadagno pari a (modulo iniziale db e fae iniziale nulla) Ha uno zero a parte reale negativa alla pulazione, un polo a parte reale negativa alla pulazione e due poli a parte reale negativa alla pulazione : + G ( + )( + ) Valore iniziale: ( ) G lim G lim Eendo il itema aintoticamente tabile, i può applicare il teorema del valore finale: lim t lim G G( ) t 4 t G7j in 7t+ G7j in 7t, ( ) ( ( )) ( ) avendo ricavato immediatamente modulo e fae di G(7j) dai diagrammi di Bode

4 Elaboriamo lo chema a blocchi: U + +F() Y Si ottiene: Y U G + F + G + F G F L + G Applichiamo il criterio di Routh al denominatore: Poiché gli elementi della prima colonna della tabella ono tutti poitivi, il itema è aintoticamente tabile Il itema non è a fae minima, dal momento che preenta uno zero a parte reale poitiva ()

5 Seconda prova critta intermedia AA 998/99 e R() n dove G ( ) ( + ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aram(t), con A cotante arbitraria, ed in aenza del diturbo n, l errore e a tranitorio eaurito ia nullo Un diturbo nt ( ) in( ω t), con ω rad /, ia attenuato a regime ull ucita di un fattore almeno pari a Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 6 e la pulazione critica ia maggiore o uguale a rad/ Con il regolatore coì progettato, i tracci l andamento qualitativo della ripota di allo calino unitario in Si determini un valore adeguato del tempo di campionamento per la realizzazione digitale del controllore Quindi i dicretizzi la funzione di traferimento del controllore con il metodo di Eulero implicito (o Eulero all indietro) Eercizio Si conideri un generico itema dinamico in retroazione: L() Poto quindi L ( ) k ( + ), con k >, i determini, con il criterio di Nquit, l intervallo di valori di k per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile 4 Si verifichi il riultato con il metodo del luogo delle radici Si conideri il itema dinamico a tempo dicreto decritto dalle eguenti equazioni: x ( k+ ) 5 x( k) + u( k) x( k+ ) x( k) x( k+ ) x( k) + x( k) + 5 x( k) k ( ) x ( k) Si dicuta la tabilità del itema dinamico Si determini la funzione di traferimento G*(z) da u a Si dica e il itema può eere interpretato come un itema a egnali campionati (erie di uno ZOH, di una funzione di traferimento a tempo continuo razionale e di un campionatore) 4 Con riferimento al eguente itema di controllo: u R(z) i determini la funzione di traferimento R(z) del regolatore, cauale, in modo tale che il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile, la ripota di ad uno calino in non preenti errore a regime e i eaurica in tempo finito e minimo G*(z) in cui L() è la funzione di traferimento di un itema privo di poli a parte reale poitiva Si giutifichi la eguente affermazione: Se riulta L(jω) < per ogni ω, il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Detta S() /(+L()) la funzione di enitività del itema, i pieghi perché il valore maimo S M di S(jω) cotituice un indice di robutezza della tabilità del itema in anello chiuo

6 Soluzioni Progetto tatico Il requiito di errore nullo a regime con riferimento a rampa impone tipo della funzione di traferimento d anello pari almeno a due, e quindi tipo del regolatore pari almeno a uno Il guadagno del regolatore è indeterminato Poniamo: R( ) L( ) ( + ) Il requiito di attenuazione del diturbo impone che: L( jω) ω >, + L( jω) oia, approimativamente: ( ) L( j ) [ ] L jω ω ω> db Progetto dinamico Scegliamo di tagliare in ω c Per evitare la zona proibita in alta frequenza, aggiungiamo un polo in ω 5 Occorre anche aggiungere uno zero in baa frequenza (ω ) Si ottiene: ( ) ( ) ( ) ϕ m arctan arctan 5 arctan 6 Riulta quindi: µ ( ) L + 5 L ( + )( + ) µ L i ricava oervando che µ L µ L 4 Pertanto: L ( ) R ( ) R( ) L ( ) + 5 db -5 - L L -5 - w (rad/) Poiché il margine di fae è elevato, i può approimare il itema in anello chiuo con un itema a cotante di tempo: ( ) F + ω c + 5 ΩN ωc T π ΩN 5 Eulero implicito: z * R ( z) R z Tz Tz Tz z z 4 + z Tz Tz ( T ) ( T ) + 5 z 5 + z Eercizio Se il modulo di L(jω) è empre minore di, il diagramma di Nquit aociato a L è tutto contenuto nel cerchio di centro l origine e raggio, per cui non compie giri intorno al punto Riulta quindi N P d, e, per il criterio di Nquit, il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile La minima ditanza del diagramma polare di L dal punto è pari a: min ω ( ω) + L j Per aumentare la robutezza della tabilità occorre maimizzare queta quantità, o, equivalentemente, minimizzare: max ω + L j ( ω) S M Il diagramma di Nquit con k è riportato di eguito: Amplitude Time (ec) Imag Axi L L - Real Axi

7 Imag Axi P Real Axi Poiché P d, il diagramma non deve compiere giri intorno al punto Il punto P è caratterizzato dalla pulazione ω π tale che: L( jωπ) 8 4 arctan( ωπ) 8 ωπ tan ( 45 ) 5 In corripondenza: k k L( jωπ ) + 4ω π Deve eere: L jω π < k < ( ) 4 Ricriviamo L() come: 5 L ( ) ρ ( + 5 ), con ρ k 4 Poiché k >, i ha ρ <, e occorre tracciare il luogo invero: Poiché la omma delle parti reali dei poli i conerva (e vale 5), quando due dei tre rami entrano nel emipiano detro, il terzo polo i trova in 5 Eeguiamo la punteggiatura u queto punto: ρ ρ 5 Si ha quindi aintotica tabilità per: ρ < ρ < < k < 4ρ < k < Imag Axi Real Axi La matrice dinamica A del itema riulta: 5 A 5 Eendo triangolare, gli autovalori ono gli elementi ulla diagonale ( 5,, 5) Poiché tutti gli autovalori ono a modulo minore di, il itema è aintoticamente tabile Traformando le ingole equazioni a tato iniziale nullo: zx( z) 5 X( z) + U ( z) zx( z) X( z) zx( z) X( z) + X( z) + 5 X( z) Yz ( ) X( z) Eliminando X e X e otituendo nella terza equazione, otteniamo: Yz ( ) z + Yz ( ) X( z) + U( z) G ( z) z 5 * z z+ 5 U( z) zz ( 5 )( z+ 5 ) Il itema non può eere un itema a egnali campionati, in quanto il polo in z non può eere l immagine attravero la traformazione di campionamento (z e T ) di un polo del itema a tempo continuo 4 G* è aintoticamente tabile ma a fae non minima Ha grado relativo Poniamo quindi: * z + F ( z), z da cui: * F ( z) zz ( 5 )( z+ 5 ) z + zz ( 5 )( z+ 5 ) Rz ( ) * G ( z) * F ( z) z + z ( z+ ) z z

8 Prima prova critta intermedia AA 999/ Si conideri la rete elettrica riportata in figura: u L L R R R Si crivano le equazioni del itema che decrive la dinamica della rete elettrica Poto L, R, R, R, i dicuta la tabilità del itema Si determini, e poibile, il valore dell ucita quando l ingreo aume il valore cotante u u 4 Si determini, nel modo più rapido poibile, il valore iniziale della ripota di ad uno calino unitario in u Eercizio Un itema dinamico, di funzione di traferimento: µ G ( ) ( + T) preenta il diagramma polare della ripota in frequenza riportato in figura: L Sapendo che il punto A del diagramma è aociato alla pulazione ω A rad/, i determinino i valori dei parametri µ e T della funzione di traferimento Si determini, nel modo più rapido poibile, l epreione a tranitorio eaurito dell ucita quando l ingreo u aume l andamento u(t) 5in(t) Si traccino i diagrammi di Bode aintotici del modulo e della fae della ripota in frequenza G(jω) 4 Si tracci l andamento qualitativo della ripota allo calino del itema, indicando approimativamente la durata del tranitorio Con riferimento ad un generico itema dinamico, i enunci, anche in modo chematico, il principio di ovrappoizione degli effetti, avendo cura di pecificarne le ipotei di validità Per ciacuno dei 4 itemi dinamici del primo ordine riportati di eguito, i dica, giutificando la ripota, e il principio di ovrappoizione degli effetti è valido: + + ) xt & xtut ) xt & tut ) xt & xt ut 4) xt & xt ut (i auma (t) x(t) per tutti i itemi) Utilizzando il principio di ovrappoizione degli effetti, i determini la traformata di Laplace Y() dell ucita per il itema decritto dal eguente chema a blocchi: U W + F() Y Im A 5 Re dove: F G 6,, + ut ca t, wt ca t 4 Si determini l epreione analitica dell ucita nel dominio del tempo (oia l epreione (t) ) Dopo aver effettuato la celta delle variabili di tato, i utilizzino le leggi di equilibrio delle tenioni alle tre maglie della rete L L L u R R R

9 Soluzioni Dette x, x, x le correnti nelle tre induttanze, i crivono le equazioni di bilancio delle tenioni alle tre maglie: R u Lx R ( x x ) x L x R & + & L x L u R R ( x x ) Lx R ( x x ) x L x R + R R & + & x + L L u R ( x x ) Lx + R x R x L x R R & + & x L R x La matrice dinamica del itema riulta: A, ed ha polinomio caratteritico: ( ) χa λ λ + 5λ + 6λ+ Poiché la tabella di Routh: preenta tutti gli elementi della prima colonna poitivi, il itema è aintoticamente tabile Occorre determinare l ucita di equilibrio Si può procedere come egue: * * * CA Bu [ ] u [ ] * * * u u * * (i oervi che det(a) χ A ) 4 Poiché il itema è trettamente proprio riulta Eercizio Poiché il diagramma parte dal punto, i ha µ Inoltre la fae in corripondenza del punto A vale π/, per cui: π π G( jωa) arctan( ωat) ω AT tan T 4 ω A Riulta: t 5 G( j) in( t + G( j) ) 5in( t π ) 5co( t), dove modulo e fae di G(j) i leggono direttamente dal diagramma polare (ω A ) db gradi - -8 Diagramma di Bode - Modulo - Diagramma di Bode - Fae -9 -

10 4 7 tempo () Il tranitorio i eaurice dopo un tempo pari a circa 7 volte la cotante di tempo (7 econdi) Dato un itema dinamico lineare, i conideri il movimento x (t), (t) che origina dallo tato x all itante t ed è forzato dall ingreo u (t) a partire da t ed il movimento x (t), (t) che origina dallo tato x all itante t ed è forzato dall ingreo u (t) a partire da t Se ora i conidera il movimento x (t), (t) che origina dallo tato x α x +β x all itante t ed è forzato dall ingreo u (t) α u (t)+β u (t) a partire da t, riulta: x (t) α x (t)+β x (t), (t) α (t)+β (t), a partire da t, α e β eendo due numeri reali arbitrari ) Non valido: itema non lineare ) Valido: itema lineare (tempo variante) ) Valido: itema lineare 4) Non valido: itema non lineare ( + F ) G ( F ) G Y 6 + L U F ( F ) U+ + G W W ( + 7+ ) 4 Metodo di Heaviide: Y ( ) ( + )( + 4) + ( + 4) + ( + ) α α α α α α ( + 7+ ) Valutando il numeratore in,, 4, i ottiene il itema: α 4 α 76 α 4 α 4 4α 6 α Pertanto: t 4t 7 4 t 4t t α+ αe + αe + e e, t 6

11 Seconda prova critta intermedia AA 999/ e R() n dove G ( + )( + ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), con A cotante arbitraria, ed in aenza del diturbo n, l errore e a tranitorio eaurito ia nullo Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 5 La pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a rad/ Il regolatore abbia ordine (numero di poli) uguale a Con il regolatore coì progettato, i determini l inieme delle pulazioni ω per cui un eventuale diturbo inuoidale in linea di retroazione nt in( ω t) ia attenuato, a regime, ull ucita di un fattore almeno pari a Si upponga di volere realizzare il regolatore in tecnologia digitale: i calcoli il decremento di margine di fae aociato al ritardo intrineco di converione, quando i adotta come pulazione di Nquit il valore Ω N rad/ (precindendo dall eventuale aliaing cauato dal diturbo n) Eercizio Con riferimento al itema di controllo di figura, L() τ Poto quindi L, con τ >, i determini, con il criterio di Nquit, il + τ maimo valore τ max di τ per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile 4 Poto τ τ max i determini approimativamente il tempo di aetamento della ripota di allo calino in Si conideri il itema dinamico a tempo dicreto decritto dalle eguenti equazioni: x( k + ) x( k) x( k + ) 5 x( k) + x( k) + u( k) k x k + x k ( ) ( ) ( ) Si determini la funzione di traferimento G(z) dall ingreo u all ucita Con riferimento al eguente itema di controllo: u R(z) poto R(z) ρ R, con ρ R >, i determini con il luogo delle radici, il maimo valore di ρ R per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Si determini quindi la funzione di traferimento R(z) del regolatore, cauale, in modo tale che il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile, la ripota di ad uno calino in non preenti errore a regime e i eaurica in tempo finito e minimo 4 Si dicuta la tabilità del regolatore progettato al punto precedente G(z) in cui i uppongono oddifatte le ipotei di applicabilità del criterio di Bode, detta F() Y()/Y () la funzione di traferimento in anello chiuo e ω c la pulazione critica, i dimotri che F( jω c) dipende olo dal margine di fae dell anello Si pieghi perché anche lo morzamento dei poli dominanti in anello chiuo dipende olo dal margine di fae

12 Soluzioni Poiché è di tipo, l errore a tranitorio eaurito prodotto da un riferimento a calino è nullo anche per regolatore di tipo zero, qualunque ia il guadagno del regolatore Formalmente potremo porre: R L R G G Il tracciamento del diagramma del modulo di L evidenzia che occorre procedere al progetto dinamico per oddifare i requiiti ul margine di fae Tracciato il modulo di L come in figura, i ottiene ω c, mentre la fae critica e il margine di fae valgono: db 5-5 L w (rad/) ( ) ( ) ϕ c 9 arctan arctan ϕ m 8 ϕ c (i oervi il contributo della coppia zero polo alla pulazione ) Le pecifiche ono oddifatte e riulta: L, ( + )( + ) da cui i ottiene l epreione della funzione di traferimento, del primo ordine: R L + G + A regime l ucita forzata da n riulta: ( ω) ( ω + ( ω) ) t H j in t H j, L con H L ( + L ) cui riulta: ( ω) H j ( ω) L( jω) Occorre quindi determinare l inieme delle pulazioni per L j L( jω) L( jω) db, + db dove l approimazione è valida per valori di pulazione deciamente maggiori della pulazione critica Per ipezione del grafico l intervallo dei valori è dato da ω > rad/ T 8 ωc ϕm ωc π Ω N Eercizio ( ωc) ( ) L j F( jωc) + L jω jϕ c + e c + coϕc + j inϕc + coϕ + coϕ + in ϕ coϕ coϕ in ϕ ( + ) ( ) ( ) c c c c m m Aunta per F() un approimazione del econdo ordine, a guadagno unitario e con poli complei a pulazione naturale ω c : F i ha: ωc + ζωc+ ωc, F( jω c ) F( jω c ) ζj ζ Per confronto con l epreione trovata al punto precedente: ζ in( ϕm ) ζ in ϕ ( ) m Si tracciano i diagrammi aintotici di Bode, per un generico valore di τ, dai quali i deduce l andamento qualitativo del diagramma di Nquit:

13 db gradi Diagramma di Bode - Modulo - Diagramma di Bode - Fae /τ Im Diagramma di Nquit Non avendo L poli a parte reale poitiva, per il criterio di Nquit il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e il punto P di interezione del diagramma polare è a detra del punto Riulta: ( ) arctan( ) tan( ) L jωp 9 ωpτ 8 ωpτ 45 ωp τ e quindi: L( jω P ) τ< ω P τmax 4 Dai diagrammi di Bode i deduce ω c, mentre: ( ) ( ) ϕ 9 arctan ω τ 9 arctan 5 ϕ c c m Eendo il margine di fae eiguo, è opportuno fare riferimento all approimazione del econdo ordine ricordata al punto Lo morzamento vale: ( ) ζ in ϕ ϕ, m m ed il tempo di aetamento: τa 5 ωζ 5 c 67 Applicando la traformata Zeta alle ingole equazioni a tato iniziale nullo: z X( z) + 5 X( z) zx( z) U( z) Yz ( ) ( z ) X( z), Yz X z X z zx( z) X( z) zx( z) 5 X( z) + X( z) + U( z) ( ) ( ) + ( ) e quindi: Gz ( ) z z z + 5 P Re La funzione di anello riulta: ( ) RzGz ( ) ( ) Lz ρ R z 5 ( z ) Occorre tracciare il luogo delle radici diretto Il itema è aintoticamente tabile e entrambi i poli ono all interno del cerchio egnato in figura Il valore di ρ R per cui un ramo arriva al punto è (con la regola di punteggiatura): 5 5 ρ R 5, mentre il valore di ρ R per cui un ramo arriva al punto è: 5 5 ρ R 75 Deve quindi eere: ρ < min ρ, ρ 5 ( ) R R R Poiché G ha uno zero a modulo maggiore di, anche la funzione di traferimento in anello chiuo, F, deve preentare lo teo zero Perché la ripota i eaurica in tempo finito, tutti i poli di F devono eere nulli, mentre il vincolo di caualità del regolatore impone che il grado relativo di F ia almeno pari a (grado realtivo di G) Poniamo quindi: Fz ( ) z ρ z Il vincolo di preciione tatica impone F, da cui ρ Applicando la formula riolutiva: ( ) Fz ( ) ( z 5 ) ( z )( z+ ) 5 Fz Rz ( ) Gz ( ) L 4 Eendo preente un polo a modulo maggiore di (in z ) il regolatore è intabile Im Re

14 Prima prova critta intermedia AA / Si conideri il itema meccanico riportato in figura: K D p Il itema è cotituito da un corpo di maa M, oggetto ad una forza eterna F, ad una forza di attrito vicoo proporzionale alla velocità v (D v) e ad una forza di richiamo elatico non lineare proporzionale al cubo della poizione p (K p ) Si crivano le equazioni del itema dinamico corripondente (i auma come ucita la poizione p) Poto M, D 4, K, i determini il punto di equilibrio del itema in preenza di una forza cotante F F 4 Si dicuta la tabilità dello tato di equilibrio determinato al punto precedente 4 Si upponga ora che, a partire dalla precedente condizione di equilibrio, la forza F δf t ca t ia ottopota ad una piccola perturbazione a calino, Si determinino approimativamente il valore di regime raggiunto dalla corripondente variazione di poizione, il tempo di aetamento al 99% e la ovraelongazione percentuale maima (i riporta a lato il diagramma ovraelongazione percentuale maima/morzamento ) M Sovraelongazione % max F db gradi Diagramma di Bode - Modulo - - Diagramma di Bode - Fae - - Si tracci il diagramma polare qualitativo della ripota in frequenza del itema Si determini un epreione della funzione di traferimento compatibile con i diagrammi opra riportati e i dica e il itema è aintoticamente tabile e a fae minima 4 Si upponga che il itema ia oggetto ad un ingreo ad onda quadra di periodo T π Si determinino approimativamente, nel modo più rapido poibile, il fattore di amplificazione (o di attenuazione) dell armonica principale dell ingreo e lo faamento dell armonica tea Si conideri il itema dinamico decritto dal eguente chema a blocchi: U Y F() Smorzamento Eercizio Si dia la definizione di ripota in frequenza di un itema dinamico, indicando in particolare la clae dei itemi (lineari e/o non lineari, tempo invarianti e/o tempo varianti, aintoticamente tabili e/o non aintoticamente tabili) a cui i applica la definizione Si conideri ora un itema dinamico di ordine avente i diagrammi di Bode, effettivi e aintotici, della ripota in frequenza riportati in figura: Si determini la funzione di traferimento H() Y()/U() k Poto G, F, i determini l inieme dei valori del parametro k ( + ) per i quali il itema di funzione di traferimento H() è aintoticamente tabile Poto k e detta (t) la ripota allo calino unitario in u, i determinino, & (, ) && ( ) e, e eite, lim t t 4 Si criva l epreione generale del guadagno tatico di un itema dinamico lineare e invariante in termini delle matrici A, B, C e D che lo definicono e, enza eeguire conti, i dica quanto vale il guadagno tatico per il itema di funzione di traferimento H()

15 Soluzioni Il itema meccanico è retto dall equazione: Mv& + Dv + Kp F Poto x p, x v, u F, i crivono le equazioni del itema dinamico: x& x K x& M x D M x + M u x Annullando le derivate, i trova l unico tato di equilibrio: x x x 4x + 4 x Si linearizza il itema nell intorno del punto di equilibrio: δx& δx δx& ( x ) δx 4δx + δu 6δx 4δx + δu δ δx La matrice dinamica del itema linearizzato è: A 6 4, ed il uo polinomio caratteritico è: χ A ( λ) λ + 4λ+ 6 Poiché il polinomio, di econdo grado, ha tutti i coefficienti poitivi, i due autovalori hanno parte reale negativa Pertanto il itema linearizzato è aintoticamente tabile, e quindi lo è anche il punto di equilibrio del itema non lineare di partenza 4 La funzione di traferimento del itema linearizzato è la eguente:, n n δ ωn µ δu ζω + ω con: µ, ωn 6, ζ 6 Il valore di regime della variazione di poizione, a eguito dell ingreo δu(t) ca(t), è quindi pari a µ/6 Dal diagramma i trova che per uno morzamento ζ/ la ovraelongazione percentuale maima è di circa il % Infine, il tempo di aetamento al 99% i può calcolare approimativamente come: ( ) ln 46 T a ζω n Eercizio Dato un itema lineare, tempo invariante di funzione di traferimento i definice ripota in frequenza la funzione complea di variabile reale ω data da G(jω) per ω La definizione non richiede l aintotica tabilità del itema Diagramma polare: Il itema ha tipo zero (pendenza iniziale del modulo nulla) e guadagno pari a (modulo iniziale db e fae iniziale nulla) Ha uno zero a parte reale poitiva alla pulazione, un polo a parte reale negativa alla pulazione e due poli a parte reale negativa alla pulazione : G ( + )( + ) Eendo tutti e tre i poli a parte reale negativa, il itema è aintoticamente tabile, ma non è a fae minima per via dello zero a parte reale poitiva Im Re

16 4 La pulazione dell armonica principale dell ingreo è pari a: π π ω rad/ T π Eendo il itema aintoticamente tabile vale il teorema della ripota in frequenza Il fattore di amplificazione e lo faamento i leggono direttamente ui diagrammi di Bode: G j (il diagramma del modulo vale circa 4 db) Amplificazione: ( ) Sfaamento: G( j) 8 Lo chema a blocchi preenta dua anelli di retroazione negativa innetati Elaborando quello più interno i ottiene: U + Y T() con: G T + GF Pertanto: H G GF G Y T + GF G U + T + G + GF + G + Sotituendo le epreioni date di G e F i ha: ( + ) ( ) [ k ] G F [ ] H L k Applichiamo il criterio di Routh al denominatore, cotruendo la tabella di Routh: k 4 k k Il itema è aintoticamente tabile e e olo gli elementi della prima colonna della tabella ono tutti poitivi Si ottiene quindi: 4 k > k > < k < 4 Applicando il teorema del valore iniziale i ottiene: ( ) [ Y( ) ] H lim lim lim H lim & ( ) lim[ ( Y( ) ( ) )] lim[ Y ] lim[ H ] lim && ( ) lim [ Y ( ( ) & ( ) )] lim[ Y ] lim[ H ] lim Poiché per k il itema è aintoticamente tabile, i può applicare il teorema del valore finale: lim t lim[ Y ] lim H lim H lim t L epreione generale del guadagno tatico, valida per itemi con matrice A non ingolare, è: CA B + D Poiché queta epreione coincide con il valore aunto dalla funzione di traferimento in, nel notro cao il guadagno tatico vale H

17 Seconda prova critta intermedia AA / dove G + + ( ) ( ) d e R() Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), con A <, ed in aenza del diturbo d, l errore e a tranitorio eaurito oddifi la limitazione: e Un diturbo d con componenti armoniche a pulazioni non uperiori a rad/ ia attenuato ull ucita di un fattore almeno pari a Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 5 La pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a rad/ Si dica, giutificando la ripota e il itema di controllo è in grado di ineguire correttamente il eguente egnale di riferimento: + in + 4 in( ) o t t t Si upponga di volere realizzare il regolatore in tecnologia digitale: i calcoli il decremento di margine di fae aociato al ritardo intrineco di converione, quando i adotta come pulazione di Nquit il valore Ω N 5 rad/ Eercizio Si conideri il itema di controllo di figura, K P Si determini con il luogo delle radici il maimo valore K P di K P per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Si tracci, per KP KP, il diagramma di Nquit qualitativo aociato alla funzione di traferimento d anello del itema Sempre per KP KP, i determini il periodo dell ocillazione permanente che i manifeta nel itema in anello chiuo ottopoto ad una perturbazione (ad eempio uno calino in ) 4 Si upponga ora di progettare il controllore proporzionale K P con le regole di Ziegler e Nichol in anello chiuo, oia i ponga KP 5 KP Si tracci anche in queto cao il diagramma di Nquit qualitativo aociato alla funzione di traferimento d anello del itema, avendo cura di indicare ul diagramma, con preciione, il punto corripondente alla pulazione critica Si conideri un egnale a tempo dicreto *(k) e la relativa traformata Zeta Y*(z) Si enuncino i teoremi del valore iniziale e del valore finale a tempo dicreto, con le eventuali ipotei di applicabilità Si upponga che il egnale *(k) ia in realtà il riultato del campionamento di un egnale (t) a tempo continuo, con pao di campionamento pari a T Si dica otto quali ipotei è poibile ricotruire il egnale a partire da * e i criva la formula che dà eplicitamente la ricotruzione Si conideri ora il itema di funzione di traferimento: * G ( z) z z 6z + 8 Sapendo che il itema è in realtà un itema a egnali campionati (erie di uno ZOH, di un itema a tempo continuo e di un campionatore incrono e in fae con lo ZOH), con periodo di campionamento T, i determinino i poli del itema originario a tempo continuo 4 Si determinino i primi quattro campioni della ripota di G * allo calino unitario in cui: G K P >, ( + )

18 Soluzioni Per ottenere errore a tranitorio eaurito finito, non nullo, in preenza di una variazione a calino del riferimento, è ufficiente una funzione di traferimento d anello di tipo zero, e quindi un regolatore di tipo zero L errore riulterà pari, in modulo, a: A e <, + µ R + µ R da cui µ R 656 Scelto µ R, concludiamo il progetto tatico ponendo formalmente: R L R G ( + ) ( + ) Il requiito di attenuazione del diturbo in linea di andata comporta, come è noto, un vincolo ul modulo di L(jω): [ db ] ( ω) L( jω) L j, ω < Il tracciamento del diagramma del modulo di L evidenzia che occorre procedere al progetto dinamico per oddifare i requiiti ul margine di fae Per il tracciamento del modulo di L, cegliendo di tagliare alla pulazione, occorre introdurre uno zero, per eempio a pulazione 4, per garantire l attenuazione del diturbo In baa frequenza i raccordano i diagrammi, mentre in alta frequenza i può mantenere il polo alla pulazione 5, aggiungendone un altro db L -4 - w (rad/) Si ottiene quindi ω c, mentre la fae critica e il margine di fae valgono: L, ( ) ( ) ( ) ϕ c arctan 65 + arctan 4 arctan ϕm 8 ϕc Le pecifiche ono oddifatte e riulta: L ( + 4) ( + 65 ) ( + 5) ( + 5 ) ( + 54 ) ( + ), da cui i ottiene l epreione della funzione di traferimento del regolatore: R R L L ( + 5 )( + ) ( + 54 ) ( + ) Il egnale di riferimento preente un armonica a pulazione di molto uperiore all etremo uperiore della banda paante del itema Pertanto il egnale non può eere riprodotto correttamente in ucita T 8 ω ϕ c m ωc π Ω N 5 Eercizio La funzione di traferimento d anello è: K G L K P P ρ, ( + ) ( + ) con ρ K P < Occorre quindi tracciare il luogo invero: Im Re Per determinare il maimo valore di K P, occorre determinare il valore di ρ per cui due dei tre rami del luogo entrano nel emipiano detro Sfruttando la regola di conervazione della omma delle parti reali dei poli, poiamo equivalentemente calcolare il valore di ρ con riferimento al punto (quando due poli hanno parte reale nulla, il terzo ha parte reale ) Eeguendo la punteggiatura in queto punto: K P m ρ

19 Per il tracciamento del diagramma di Nquit, ci i può appoggaire al tracciamento dei diagrammi di Bode aintotici: db - Diagramma di Bode - Modulo -4 - Diagramma di Bode - Fae -9-8 gradi Im - - Diagramma di Nquit Re E importante oervare che, eendo per KP KP il itema al limite di tabilità, il diagramma di Nquit paa per il punto La pulazione dell ocillazione i trova in corripondenza del punto in cui il diagramma polare di L paa per il punto, oia la fae di L vale 8 L( jω) 9 arctan( ω) 8 ω tan( ) Il periodo dell ocillazione vale quindi: π T π 88 ω 4 Il diagramma di Nquit ha la tea forma del precedente, ma taglia il emiae reale negativo nel punto 5 (avendo dimezzato il guadagno d anello): La pulazione critica corriponde al punto in cui il diagramma polare incontra la circonferenza di centro l origine e raggio unitario Per individuare queto punto con preciione, occorre calcolare il margine di fae Dai diagrammi di Bode i deduce ω c, mentre: ( ) ( ) Re ϕc 9 arctan ωc 9 arctan 45 ϕm 5 Im - - Diagramma di Nquit ϕ m Teorema del valore iniziale: * * ( ) lim Y ( z) z Teorema del valore finale: Se Y*(z) è razionale, e tutti i uoi poli ono a modulo minore di o in z, lim * ( k) lim [ ( z ) Y * ( z) ] k z Il egnale oggetto a campionamento deve eere a banda limitata, oia il uo contenuto armonico deve eere otanzialmente nullo per pulazioni uperiori a un etremo Ω, e tale etremo deve eere inferiore alla pulazione di Nquit Ω N π/t La ricotruzione è data dalla formula di Shannon: ( t kπ) + N t * in Ω ( k) N t k k Ω π Il legame tra i poli i del itema a tempo continuo e i poli z i del itema a tempo dicreto è dato dalla traformazione di campionamento: T zi e i Poiché i poli di G*(z) ono z, z 4, i poli del itema a tempo continuo aranno: ln z ln z ln, ln 4 T T (in realtà, in aenza di ulteriori ipotei, potrebbero anche eerci poli complei e coniugati con parte reale o e parte immaginaria multipla di π) 4 La traformata della ripota allo calino è: * * z z Y ( z) G ( z) z z 6z + 8 Con il metodo della lunga diviione i ottiene: * z Y ( z) z z z z z L Pertanto *, *, * 6, *() 8

20 4 Giugno 999 d e R() dove G ( ) ( + ) ( + 5 ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) ca(t), ed in aenza del diturbo d, l errore e a tranitorio eaurito (e ) oddifi la limitazione: e Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 5 e la banda paante ia la più ampia poibile Con il regolatore coì progettato, i determini l inieme delle pulazioni ω per cui un diturbo in linea di andata d(t) in(ωt) ia attenuato ull ucita di un fattore almeno pari a Eercizio Si conideri la eguente rete elettrica: u L C in cui NL è un elemento che, avendo ai uoi capi una tenione v, riulta attraverato da una corrente i v Si crivano le equazioni del itema dinamico che decrive il comportamento della rete elettrica Poto L C, i determinino eventuali punti di equilibrio corripondenti all ingreo cotante ut ( ) u Si dicuta la tabilità degli eventuali punti di equilibrio trovati al punto precedente Un itema dinamico preenta la ripota allo calino unitario riportata in figura: i NL v tempo () Si determini l epreione della funzione di traferimento del itema Si conideri ora il eguente itema retroazionato: in cui ( ) R k R() Si tracci il luogo delle radici al variare di k, per k > Sulla bae del luogo precedentemente tracciato, i pieghi e è poibile rendere il itema di controllo arbitrariamente veloce (oia aumentarne arbitrariamente la banda paante) Eercizio 4 Si conideri il eguente itema a egnali campionati: u* u * ZOH 5 dove G ( ), e il tempo di campionamento T vale ( )( + ) 4 Si determini l epreione della funzione di traferimento G*(z) da u* a * 4 Si commenti il legame tra i poli di e i poli di G*(z), etendendo il riultato al cao generale

21 9 Luglio 999 Si conideri il eguente itema in retroazione: d e R() dove G ( ) ( + )( + 5)( + 5 ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), e di un diturbo d(t) Dca(t), con A, D, l errore e a tranitorio eaurito (e ) oddifi la limitazione: e 5 Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 6 e la pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a 5 rad/ Il regolatore ia di ordine non uperiore a due Con il regolatore coì progettato, i tracci il diagramma polare qualitativo aociato alla funzione di traferimento d anello, individuando approimativamente ul diagramma il punto corripondente a ω ω c Eercizio Si conideri il eguente itema dinamico a tempo continuo: &x( t) xt ( ) + ut ( ) t ( ) xt ( ) Si crivano le epreioni dei movimenti liberi di tato e ucita a partire da un generico tato iniziale x x Si crivano le epreioni dei movimenti forzati di tato e ucita quando u(t) in(t) Si determini l epreione che aume l ucita compleiva quando t 4 Si verifichi il riultato del punto precedente mediante il teorema della ripota in frequenza τ Si ricorda che τ e ( in( τ) co( τ) ) e in( τ) dτ in cui è un itema dinamico, a fae minima, il cui diagramma del modulo della ripota in frequenza è riportato di eguito: db w (rad/) Si determini approimativamente il tempo di aetamento della ripota di allo calino in Si determini approimativamente il margine di guadagno del itema in anello chiuo Si conideri ora il eguente itema di controllo: R() dove è la funzione di traferimento del itema del punto Si upponga di voler determinare il regolatore nella clae dei regolatori PID, utilizzando le regole di Ziegler e Nichol ad anello chiuo Si determinino i valori del periodo T dell ocillazione critica ed il valore K P del guadagno critico Eercizio 4 Si conideri il eguente itema a tempo dicreto: ( ) ( ) x k+ x k + u ( k) x( k+ ) x( k) x( k) x ( k+ ) x ( k) + x ( k) x ( k) 4 Si determini il punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante uk ( ) 4 Si dicuta la tabilità del uddetto punto di equilibrio u

22 Luglio 999 e v + R () R () in cui G ( ) ( )( + ) Si determini la funzione di traferimento R () del regolatore dell anello interno in modo tale che il itema di funzione di traferimento Y()/V() (oia l anello interno chiuo) ia aintoticamente tabile, con due poli coincidenti in Si progetti quindi il regolatore R () dell anello eterno nella clae dei regolatori integrali, in modo tale che il margine di fae ϕ m valga Con i regolatori coì progettati, i determini approimativamente il tempo di aetamento della ripota di allo calino in Eercizio Si conideri il eguente itema meccanico (maa, molla e morzatore): K D p Si determini la funzione di traferimento dalla forza F alla poizione p Poto M, D, K, i criva l epreione analitica della ripota della poizione p allo calino unitario ulla forza F Si conideri ora il eguente itema di controllo: µ in cui è la funzione di traferimento del punto, mentre µ> Si determini l intervallo di valori di µ per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Si conideri il eguente itema di controllo: M F in cui: C() H() e R() G ( ), R ( ), H ( ) ( + )( + ) + Poto C() k, i determini k in modo tale che un diturbo d(t) ca(t) abbia effetto nullo a tranitorio eaurito ull ucita Si determini un epreione della funzione di traferimento del compenatore C() in modo tale che il itema nel uo compleo ia aintoticamente tabile e che un diturbo d(t) in(t) abbia effetto nullo a tranitorio eaurito ull ucita Eercizio 4 Si conideri un campionatore ideale, con periodo di campionamento T: v(t) v*(k) 4 Si criva la relazione che intercorre tra la traformata di Fourier V(jω) del egnale di ingreo e la traformata di Fourier V*(e jθ ) del egnale di ucita 4 Si campioni il eguente egnale inuoidale con un periodo di campionamento celto in modo tale da mettere in evidenza il fenomeno dell aliaing (ci i limiti a egnare i campioni ulla figura) v t (ec) 4 Si enunci il teorema di Shannon (o del campionamento) 44 Si conideri ora il eguente egnale a tempo continuo, ottenuto 5 ommando due inuoidi: Si determini il maimo valore del 5 periodo di campionamento per la v converione analogico/digitale -5 corretta (enza aliaing) del - egnale 5-5 d t (ec)

23 Settembre 999 Si conideri il eguente itema in retroazione: L() d e R() 5 dove G ( + )( + ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), con A cotante arbitraria, e di un diturbo d(t) in(t), l errore e a tranitorio eaurito (e ) oddifi la limitazione: t e Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 4 e la pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a rad/ Si upponga ora che la funzione di traferimento del proceo otto controllo ia in realtà affetta da un ritardo di tempo: G 5 e ( + )( + ) τ Si determini il maimo valore che può aumere il ritardo τ perché il itema in anello chiuo, con il regolatore progettato al punto, rimanga aintoticamente tabile Eercizio Si conideri il eguente itema dinamico a tempo continuo: x& t αx t + x t x& t x t x t x& t x t x t + u t x t t Si determini l inieme dei valori del parametro α per cui il itema è aintoticamente tabile Poto α, i determini il guadagno tatico del itema Sempre per α i determinino le caratteritiche aintotiche, per t, del movimento libero e del movimento forzato dell ucita quando u(t) ca(t) in cui: L ρ ( + )( + )( + ) Si tracci il luogo delle radici diretto aociato a L() Si tracci il luogo delle radici invero aociato a L() Per uno dei due cai (ρ> oppure ρ<), a celta, ulla bae del luogo tracciato, i determini l inieme dei valori di ρ per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Eercizio 4 Si conideri il itema a tempo dicreto decritto dalla funzione di traferimento: z + Gz ( ) zz ( + )( z+ ) 4 Si determini il guadagno di G 4 Si determini il tipo di G 4 Si dicuta la tabilità del itemaù 44 Si dica e il itema è a fae minima o no 45 Si determinino i primi 5 campioni della ripota del itema allo calino unitario

24 4 Settembre 999 R() Sulla bae del grafico, i determinino i valori di R e C Si conideri un generico itema di controllo: L() n dove G + Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: Un diturbo n, traformabile econdo Fourier, avente componenti armoniche ignificative olo a pulazioni maggiori di ω rad /, ia attenuato ull ucita almeno di un fattore Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 4 e la pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a rad/ Si determini un valore adeguato del tempo di campionamento per la corretta realizzazione digitale del controllore Eercizio Con riferimento alla eguente rete elettrica: u Si determini la funzione di traferimento dalla tenione u alla tenione La figura eguente motra la ripota di all impulo in u: R C Si pieghi che coa i intende per diagramma di Nquit aociato a L Si enunci il criterio di Nquit, piegando il ignificato di tutti i imboli utilizzati Sia ora: L k, con k > + Si determini, con il criterio di Nquit, l inieme dei valori di k per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Eercizio 4 4 Con riferimento al eguente itema di controllo: in cui: G * ( z) z +, z z * + u* R(z) i determini la funzione di traferimento R(z) del regolatore, cauale, in modo tale che il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile, la ripota di * ad uno calino in * non preenti errore a regime e i eaurica in tempo finito e minimo 4 Si dicuta la tabilità del regolatore R(z) determinato al punto precedente G*(z) * tempo ()

25 8 Gennaio e R() n in cui G + Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In aenza del diturbo n, l errore e a tranitorio eaurito, e, ia nullo quando (t) ca(t) Un diturbo n, traformabile econdo Fourier, avente componenti armoniche ignificative olo a pulazioni maggiori di ω 6rad /, ia attenuato ull ucita almeno di un fattore Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale di 6 e la pulazione critica ω c ia maggiore o uguale di rad/ Il regolatore ia di ordine Si tracci l andamento qualitativo del diagramma polare aociato alla funzione di traferimento d anello L() riultante dal precedente progetto, evidenziando ul grafico il punto corripondente alla pulazione critica ω c Eercizio Si conideri il itema idraulico riportato in figura: Il itema è cotituito da due erbatoi di u ezione cotante collegati da una valvola Anche il econdo erbatoio preenta una valvola in ucita Le due valvole, entrambe h A ad apertura cotante, tabilicono tra la portata di liquido che le attravera e il livello q nel erbatoio a monte le relazioni: q α h, q α h Si auma come ingreo la portata entrante A q u e come ucita del itema la portata in ucita dal econdo erbatoio q Poto A, A, α, α, i determini il punto di equilibrio del itema corripondente all ingreo cotante u u h Si dicuta la tabilità dello tato di equilibrio determinato al punto precedente Si upponga ora che, a partire dal punto di equilibrio determinato precedentemente, il itema venga ollecitato con una piccola variazione a calino dell ingreo u Si tracci l andamento qualitativo dell ucita corripondente a tale perturbazione Si conideri il eguente itema di controllo: C() d in cui: G H() e R() ( + )( + ), H ( + ) Si determini il regolatore R() in modo tale che il itema in anello chiuo abbia due poli con pulazione naturale ω n e morzamento ζ7 Si upponga di dover progettare il compenatore C() in modo tale che il itema nel uo compleo ia aintoticamente tabile e che un diturbo d(t) in(t) abbia effetto nullo a tranitorio eaurito ull ucita Si crivano le condizioni che devono eere oddifatte dalla ripota in frequenza aociata alla funzione di traferimento C() (non è richieta l epreione di C()) Eercizio 4 4 Con riferimento ad un generico itema dinamico lineare a tempo dicreto, i enuncino le condizioni di aintotica tabilità, tabilità emplice ed intabilità del itema 4 Si conideri ora il eguente itema in retroazione: U + G(z) z in cui Gz ( ) z Si dicuta la tabilità del itema in anello chiuo Y

26 Gennaio dove G e ( + )( + + ) e R() Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), con A, l errore e a tranitorio eaurito (e ) oddifi la limitazione: e 5 Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 5 e la pulazione critica ω c ia la maima poibile Il regolatore ia di ordine uno Si tracci l andamento qualitativo del diagramma polare aociato alla funzione di traferimento d anello L() riultante dal precedente progetto, evidenziando ul grafico il punto corripondente alla pulazione critica ω c Eercizio Un itema dinamico preenta la ripota all impulo riportata di eguito: in cui R k, k> Utilizzando il metodo del luogo delle radici, i determini il maimo valore k max di k per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Poto quindi k k max /, i determini il margine di guadagno del itema retroazionato riultante Si conideri un generico itema dinamico lineare tempo invariante: &x t Ax t + Bu t t Cx t + Du t Si crivano le epreioni del movimento libero di tato e ucita Si crivano le epreioni del movimento forzato di tato e ucita Sia ora: A B C [ ] D,,, Si determini l epreione del movimento libero dell ucita a partire dalla x condizione iniziale [ ] 4 Con i valori numerici aegnati al punto precedente, i determini il valore a cui tende quando u(t) ca(t) Eercizio 4 Si conideri il eguente itema a egnali campionati: u* u * ZOH dove G ( ), e il tempo di campionamento T vale + 4 Si determini l epreione della funzione di traferimento G*(z) da u* a * 4 Si determini il guadagno del itema di funzione di traferimento G*(z) 4 Si dica e il itema di funzione di traferimento G*(z) è a fae minima t () Si determini l epreione della funzione di traferimento del itema Si conideri ora il eguente itema retroazionato: R()

27 8 Febbraio in cui L () è la funzione di traferimento di un itema aintoticamente tabile, a fae minima e guadagno poitivo, il cui diagramma di Bode del modulo della ripota in frequenza è riportato di eguito: 4 e v + R () R () in cui G ( ) ( )( + ) Si determini la funzione di traferimento R () del regolatore dell anello interno in modo tale che il itema di funzione di traferimento Y()/V() (oia l anello interno chiuo) ia aintoticamente tabile, con due poli coincidenti in Si progetti quindi il regolatore R () dell anello eterno nella clae dei regolatori integrali in modo tale che il margine di fae ϕ m ia uguale a 5 Eercizio Con riferimento ad un generico itema dinamico tempo invariante: x& f( x, u) g( x, u) i dia la definizione di tabilità di un movimento Si dica per quale categoria di itemi dinamici tempo invarianti ha eno parlare di tabilità del itema e per quale motivo Si conideri ora il eguente itema dinamico: x& x+ αx x& x x& x+ αx x+ u x Si individui l inieme dei valori di α per cui il itema è aintoticamente tabile 4 Si dica quindi e per l intervallo di valori individuato al punto precedente il itema è anche a fae minima Si conideri il eguente itema di controllo: L () db w (rad/) Si determini approimativamente il tempo di aetamento della ripota di allo calino in Si tracci il diagramma polare qualitativo della ripota in frequenza aociata a L () Si upponga ora che ia preente un ritardo nell anello, oia che la funzione di traferimento d anello ia L ( ) e τ L ( ) Si determini il maimo valore del ritardo τ per cui il itema in anello chiuo rimane aintoticamente tabile Eercizio 4 4 Con riferimento al eguente itema di controllo: in cui: G ( z) * z, * + u* R(z) i determini la funzione di traferimento R(z) del regolatore, cauale, in modo tale che il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile, la ripota di * ad uno calino in * non preenti errore a regime e i eaurica in tempo finito e minimo 4 Si dica e il regolatore R(z) determinato al punto precedente è a fae minima G*(z) *

28 Giugno d e R() Si citino, enza aggiungere altri commenti, due ragioni che poono indurre, in un generico progetto del controllore, a cegliere una banda paante ampia, e due che invece poono indurre a mantenerla limitata Con riferimento ora al eguente itema di controllo: L() dove G ( + )( + ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t), con A, ed in aenza del diturbo d, l errore e a tranitorio eaurito oddifi la limitazione: e 5 Un diturbo d(t) avente componenti armoniche ignificative olo per ω rad/ ia attenuato ull ucita di un fattore almeno pari a Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 5 La pulazione critica ω c ia maggiore o uguale a rad/ L ordine (numero di poli) del regolatore ia minimo Con il regolatore coì progettato, i tracci l andamento qualitativo del diagramma polare aociato a L, avendo cura di indicare ul diagramma il punto corripondente a ω c Eercizio Con riferimento alla eguente rete elettrica, R ( ) + in cui L µ, ( + ) i determini il valore µ di µ in modo tale che la banda paante del itema di controllo abbia come etremo uperiore la pulazione rad/ Si tracci il luogo delle radici, per µ >, aociato al itema di controllo, indicando approimativamente ul luogo la poizione dei poli del itema in anello chiuo quando µ µ Eercizio 4 4 Dato il itema a tempo dicreto di funzione di traferimento: Gz ( ) z 4z + z, + z + i dicuta, enza calcolare numericamente le radici del denominatore, la tabilità del itema 4 Si determinino il valore iniziale e l eventuale valore finale della ripota di G all impulo unitario u R C in cui RC, i determini l epreione della funzione di traferimento dall ingreo u all ucita Si determini l epreione, a tranitorio eaurito, di quando u aume l andamento ut in t +

29 6 Luglio e d R() G () G () e dove G, G ( + )( + ) Si determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che: In preenza di un egnale di riferimento (t) Aca(t) e di un diturbo d(t) Dca(t), con A e D cotanti arbitrarie, l errore e a tranitorio eaurito ia nullo Il margine di fae ϕ m ia maggiore o uguale a 45 La pulazione critica ω c ia circa uguale a rad/ Si upponga il diturbo d miurabile Si diegni lo chema a blocchi del itema di controllo comprenivo del compenatore del diturbo Eercizio Si conideri il itema dinamico decritto dalle eguenti equazioni: x& t x t + αx t + u t x& t x t x& t x t x t t x t Si determini l inieme dei valori del parametro α per cui il itema è aintoticamente tabile Si ponga ora α Si upponga che, a partire dalla condizione iniziale x, x, x, il itema venga ollecitato dall ingreo: t ut + e co t, t Si determini il valore, e eite, a cui tende per t Si conideri il eguente itema di controllo: R() in cui G Utilizzando il metodo del luogo delle radici, i determini la funzione di traferimento R() del regolatore in modo tale che il itema in anello chiuo abbia due poli complei con morzamento ζ e pulazione naturale ω n 5 Con il regolatore progettato al punto precedente, i tracci il diagramma di Nquit qualitativo aociato alla funzione di traferimento d anello, verificando la tabilità del itema in anello chiuo Eercizio 4 Si conideri un campionatore ideale, con periodo di campionamento T: v(t) v*(k) 4 Si enunci il teorema di Shannon (o del campionamento) 4 Sia ora v(t) in(4t), T π/ Dopo aver appurato che la condizione del teorema di Shannon non è verificata, i trovi il periodo della inuoide derivante dall aliaing del egnale 4 Si conideri ora il eguente itema eternamente a tempo continuo: e(t) e*(k) R(z) u*(k) ZOH in cui il campionatore e lo ZOH operano con lo teo periodo T Si criva l epreione della ripota in frequenza U(jω)/E(jω) u(t)