ANALISI STATISTICA DELLE VENDITE E METODI PER LA PREVISIONE

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1 La previione delle vendie ANALISI STATISTICA DELLE VENDITE E METODI PER LA PREVISIONE Prof. Domenico SUMMO. Premea Un imprendiore, nell eplicare la propria aivià economica, non fa alro che prevedere quali poranno eere i biogni e le preferenze dei conumaori in fuuro. La previione, in ale coneo, è emplicemene un ipoei riguardane il fuuro, faa in bae ad informazioni paae. Conocere per prevedere è divenao da lungo empo una propoizione coì ovvia da fiorare la banalià. La previione è efficace quando è poibile conocere le modalià di manifeazione di un eveno con un anicipo di empo ale da inraprendere azioni orienae a fruare i vanaggi, e l eveno è favorevole, o a limiare i danni in cao conrario. Le azioni auae in coneguenza delle previioni poono endere a modificare in qualche modo l eveno previo; ad eempio bai penare alle poliiche di markeing (poliiche di prodoo, di prezzo, pubbliciarie e di diribuzione) rivole ad aenuare gli effei della agionalià della domanda. La previione delle vendie ricopre un ruolo cenrale nella geione di una azienda e coiuice enz alro il problema più compleo e delicao. Ea compare come un inpu imporane in ue le fai del proceo deciionale di pianificazione aziendale. La previione, per poer eere veramene efficace, non può eere un eercizio diconinuo ma deve eplicari coninuamene nel empo; ea i forma e i modifica momeno per momeno e richiede la conocenza coninua di ai e di fai che formano il euo economico dell azienda. Giui F., Viali O., Saiica economica, op. ci.. Caprara G., Previioni e programmazione in un imprea induriale, Giuffrè, Milano, 965. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

2 La previione delle vendie. L organizzazione dei dai Per una più punuale analii del fenomeno è opporuno organizzare il daa e econdo alcune variabili decriive. Da ogni ao di vendia i poono ricavare una moleplicià di dai: la ipologia del bene ceduo, la quanià cedua, il valore del bene, la modalià di diribuzione, le condizioni di vendia, il luogo di deinazione, ecc. In ale oica, le analii condoe ulle previioni di vendia dei beni e ervizi di un azienda conenono di ricavare ue quelle informazioni necearie all organizzazione delle riore diponibili e delle divere funzioni aziendali; i raa, allora, di analii che per l azienda ricoprono un ruolo cenrale in quano inereano ui i diveri eori dell azienda: dall area degli acquii, alla produzione, al peronale, alla commercializzazione e diribuzione e, non per ulimo, all area economico-finanziaria. Le regirazioni delle vendie i poono organizzare econdo una marice in cui le righe ono riferie alle ingole vendie, menre le colonne riporano ue o alcune delle informazioni innanzi dee. L analii aiica delle vendie riguarderà, in al cao, la claificazione ed elaborazione dei dai riguardani i caraeri ricavai da ale marice. I dai opporunamene claificai poono rappreenari in abelle doppie o muliple a econda dei caraeri eaminai. Per ogni caraere coniderao poono eere coruii diveri rappori aiici, a condizione che ci ia un neo logico ra i caraeri a confrono. Ad eempio, indicando con i,,..., le ipologie di beni e ervizi vendui e con j,,..., n le aree errioriali, i dai poono eere organizzai in una abella a doppia enraa del ipo eguene. Vendie Area errioriale... j... Toale Y Y... Yj... Yn Y. Y Y... Yj... Yn Y.... i Yi Yi... Yij... Yin Yi.... Y Y... Yj... Yn Y. Toale Y. Y.... Y.j... Y.n Y.. Perano, prendendo in coniderazione il oale delle vendie dell area errioriale j-eima o del prodoo i-eimo, i poono calcolare per riga e per colonna i egueni quozieni: ) rappori di coeienza ra le vendie dei ingoli prodoi: (per riga) Yij Yij Yij,,..., Y Y Y i i in (per colonna) Y Y ij j Y, Y ij j Y,..., Y ij j Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

3 La previione delle vendie ) rappori di compoizione: Yij Yij ripeo al oale delle colonne, menre per il oale delle righe. Y. j Yi. Coniderando ancora la variabile empo, i poono calcolare i aggi di variazione delle vendie ra il empo ed il empo -, ia riferii ai ingoli prodoi che alle aree: Y R Y ij ij ( ) ( ) Quando i confroni avvengono ra aree errioriali divere, è neceario ener cono delle divere iuazioni ocio-economiche. Ad eempio per un bene di largo conumo le vendie, a parià di alre condizioni, dipendono dalla conienza numerica della popolazione preene. Per eeguire delle comparazioni paziali è quindi neceario depurare il valore compleivo delle vendie dall incidenza della divera numeroià delle popolazioni, calcolando prima i rappori pro-capie. 3. L orizzone emporale delle vendie e meodi di previione. Le analii ulle vendie vengono generalmene condoe facendo riferimeno ad un deerminao inervallo di empo. Non eie una delimiazione emporale in merio alla claificazione delle vendie, uavia è imporane diinguere le previioni a breve, a medio e lungo ermine; quea diinzione implica differenze che dipendono non olano dalla duraa dell inervallo della previione, ma anche dal ipo di analii che viene effeuaa e dagli obieivi che ci i prefigge di raggiungere. Sia i meodi di previione a breve che quelli a medio ermine ono normalmene adoai uilizzai a livello aziendale, invece, i meodi di previione a lungo ermine riguardano in prevalenza ambii di ricerca di caraere macroeconomico. Le previioni a breve ermine riguardano un periodo di empo fino ad un anno e conenono di anicipare la dimenione della domanda di beni, delle maerie prime, della forza lavoro, del fabbiogno di liquidià. Le previioni a medio ermine abbracciano un periodo che varia da a 5 anni e riguardano eenzialmene l area della produzione aziendale e quella finanziaria, per prevedere o conrollare la reddiivià degli inveimeni e le divere raegie e aivià di markeing da meere in praica. Le previioni a lungo ermine i rifericono ad un periodo che varia fra i cinque e i dieci anni, e riguardano oprauo l andameno fuuro della domanda globale di mercao di un deerminao bene o ervizio (domanda primaria), al cui inerno i pone la previione del volume delle vendie a livello di azienda (domanda econdaria). Connea a quea previione è la programmazione circa l epanione della capacià produiva e quindi l inallazione di nuovi impiani. Alri obieivi connei alla previione delle vendie riguardano le foni di finanziameno necearie per oenere i programmi di inveimeno, i fabbiogni di peronale e di maerie prime, uniamene alle foni dove reperire quee ulime. La componene rend che caraerizza le erie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

4 La previione delle vendie oriche dei dai di vendia rappreena la finalià delle previioni di lungo ermine; uavia, non i raa di far riferimeno ad una erapolazione acriica dei dai paai, ma, piuoo, di individuare la fae in cui preumibilmene i rova il ciclo di via del comparo o del prodoo 3. La previione a lungo ermine, infine, non può, né deve propori di formulare una predizione, ea può inquadrare invece un ragionevole numero di alernaive ulla bae di una approfondia conocenza del paao e delle endenze che i colgono nel preene 4. Da un puno di via operaivo i numeroi meodi di previione delle vendie i differenziano per preuppoi e conenui meodologici, non i adaano ui allo eo modo al ipo di problema che di vola in vola ci i rova a dover riolvere e poono eere implemenai per analii ia a caraere emporale ia errioriale. Fra i diveri meodi di previione una diinzione oanziale è quella fra meodi aiici e meodi congeurali; quei ulimi, fondai eenzialmene u elemeni come il giudizio peronale e l eperienza, preenano il limie della oggeivià. I meodi di previione a caraere preamene aiico i baano generalmene u modelli che aumono come valide per il fuuro quelle relazioni che i ono già verificae ia a livello errioriale (per aree) che emporale. Nell ambio delle divere meodologie aiiche per la previione, i diinguono: meodi endogeni e meodi eogeni. I meodi endogeni uilizzano gli ei dai del fenomeno organizzai u bae emporale con copo di prolungarli nel empo uilizzando le ecniche aiiche di analii ipiche delle erie emporali. Dopo aver compoo la erie orica nelle ue componeni (rend, andameno congiunurale e agionale), i principali meodi endogeni che poono eere impiegai ono: - il meodo della media emplice e mobile, - il meodo dell erapolazione del rend, - il meodo del livellameno eponenziale, - il meodo di Box e Jenkin. I meodi eogeni di previione, invece, coniderano la relazione che eie ra la variabile ripoa (le vendie) e le poibili variabili indipendeni o eplicaive. Si raa di pecificare il modello che lega quee variabili che rappreenano le deerminani delle vendie e ipoizzare che nel fuuro quee caue poano coninuare ad influire ul fenomeno oggeo di analii: nel noro cao le vendie. In quea clae di meodi rienrano enz alro i modelli lineari e non lineari di regreione emplice e mulipla. Alri meodi eogeni che poono eere impiegai, ono: i ondaggi, le avole inpuoupu di Leonief ed il calcolo ieraivo dei parameri di una inerpolane lineare. 3 Valdani E.-Buacca B., Previioni delle vendie e ciclo di via del prodoo, ETAS, Torino, Marbach G., Le previioni di lungo periodo: analii eploraive, Franco Angeli Ediore, Milano, 980. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

5 La previione delle vendie 4. Il meodo della media emplice e mobile Il meodo della media arimeica emplice è applicabile a quelle erie oriche azionarie, cioè in aenza di rend e di agionalià. In ali condizioni, ogni nuovo dao conduce ad una migliore approimazione della previione ucceiva. Se dunque al empo ono diponibili oervazioni,,...,,..., relaive alle vendie, i può calcolare la media arimeica emplice, daa da:, che rappreena il valore medio delle vendie alla fine del periodo. Dalle coniderazioni precedeni riula dunque che la previione per il periodo è daa dalla media ea, cioè: ˆ. Quando al empo i rende effeivamene diponibile un nuovo dao v, la media può eere aggiornaa, aggiungendo al numeraore il nuovo valore ed aumenando il denominaore di una unià:, la quale divena la previione per il empo, effeuaa uilizzando il valore medio delle vendie alla fine del periodo, e coì via. L epreione precedene può eere cria in modo applicaivamene più emplice:, che conene di calcolare la media al empo, e dunque la previione per il empo, in funzione della media al empo e del nuovo dao rilevao al empo. Perano, per effeuare la previione in un cero periodo, ono ufficieni re dai: la media calcolaa per il periodo precedene, il numero dei ermini che compongono la erie per cui è calcolaa ale media, ed il valore dell ulimo dao oervao. L impiego della media emplice, e da un lao è inuiivo, dall alro preena alcuni difei, nel eno che aribuice un peo empre uguale a ue le vendie precedeni; è noo, invece, che le vendie più lonane nel empo hanno un imporanza minore ripeo alle più receni. Inolre il meodo non iene cono delle componeni iemaiche (rend, agionalià) 5. Il meodo delle medie mobili è meno oggeo a ali problemi: eo, infai, conene di modificare i dai orici della erie man mano che i rende diponibile una 5 Valdani E.-Buacca B., Previioni delle vendie e ciclo di via del prodoo, op. ci.. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5

6 La previione delle vendie nuova oervazione, ecludendo dal calcolo l oervazione più vecchia ed includendo la più recene, manenendo coane il numero dei ermini da cui caurice la media. Per il calcolo della media mobile, occorre abilire il numero k di ermini da coniderare. In cao che k ia dipari, la media mobile i dice cenraa; nel cao di k pari, invece, la media non è cenraa e riula neceario effeuare una ucceiva media mobile a due ermini. La media mobile iniziale a k ermini i calcola come nel cao della previione a media emplice: k, k ed anche in queo cao ale valore rappreena la previione per il periodo ucceivo: vˆ k k v. La differenza a nel fao che, all acquiizione del dao relaivo al periodo n, il calcolo della media relaiva a quell iane, la quale coiuice perciò la previione per il periodo n, divena: k k, k e coì via. Ripeo al meodo della media arimeica emplice, in queo cao vi è lo vanaggio di dovere neceariamene enere in archivio gli ulimi k dai, anziché olo l ulima media calcolaa, ma preena il vanaggio di enere cono, in una cera miura, ia del rend che della componene agionale. k 5. Il Meodo dell erapolazione del rend Il meodo conie nella valuazione delle endenze evoluive aiicamene ignificaive dei dai orici relaivi alle vendie, in modo da erapolarne l andameno ad un periodo ucceivo. Si raa dunque di un meodo piuoo emplice, baao ulle uuali ecniche di analii delle erie oriche, mediane le quali i dai originari vengono depurai della componene agionale, nonché della ciclica e della accidenale. Ciò richiede l aunzione che il fuuro andameno delle vendie poa eere dedoo da quelle che ono ae le manifeazioni paae dello eo fenomeno, rienendo coani le condizioni che hanno dao origine alla paaa evoluzione. Queo meodo di previione, quindi, conene riulai acceabili e rimangono coani per un cero periodo di empo i faori che conribuicono alla crecia o alla diminuzione del fenomeno da prevedere. Per poer formulare ipoei ulla più probabile evoluzione fuura delle vendie, i applicano alcune funzioni maemaiche in grado di rappreenare ignificaivi modelli ipici della dinamica delle ee per un cero periodo di empo. È buona norma procedere ad una preliminare rappreenazione grafica dei dai orici, in modo da Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 6

7 La previione delle vendie evidenziare un cero ipo di andameno e elezionare a priori una famiglia di funzioni adeguae, cegliendo poi ra quee quella che meglio di ogni alra compenera ra loro ignificaivià aiica e emplicià di calcolo e di inerpreazione. Individuaa la funzione maemaica che meglio piega l andameno delle vendie, i raa di applicare ai dai il procedimeno dei minimi quadrai per il calcolo dei parameri. Non empre l applicazione di quea meodologia conduce a riulai univocamene deerminai, nel eno che a vole più funzioni danno luogo a indici aiici ugualmene acceabili; in al cao i può uare il meodo dell analogia, o della previione per confrono, condenando in una unica valuazione i riulai oenui. Poe, allora, le oervazioni ai empi,,...,,..., : e la funzione precela è,,...,,..., ; ˆ a b, il iema per il calcolo dei parameri riula: ; a b a b una vola imai ali parameri, la previione all iane k arà: ( k) k a b Tuavia poiché in quei cai le previioni poono avere caraere ieraivo, orge il problema del modo con cui modificare il valore dei parameri dell epreione lineare impiegaa per effeuare le previioni dopo che divena finalmene diponibile una nuova oervazione della erie relaiva all iane. Perano aume primaria imporanza poer diporre di un procedimeno che conena di imare i nuovi parameri uilizzando i calcoli effeuai in precedenza 6. Per impoare ale procedura, operiamo innanziuo una ralazione ull ae dei empi e poiamo l origine all iane ()/. Ciò equivale a porre ad eempio: z Perano i nuovi empi aranno: z 3 3,,...,,. z 3 6 Giui F., Viali O., Saiica economica, op. ci.. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 7

8 La previione delle vendie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 8 e la funzione rappreenarice arà dalla eguene: z bz a ˆ I uoi parameri aranno ricavai dal iema: z z b z a z b a, per che varia da (-)/ a (-)/; è emplice verificare che la ommaoria delle z è uguale a 0, per cui il calcolo dei parameri è immediao: ; a ; z z b. Si dimora 7 che: ( ) ; )/ ( )/ ( z perano: ( ) ˆ z b ( ) La omma dei primi numeri naurali elevai al quadrao è fornia da: ( )( ) 6 di coneguenza, ponendo z -()/, i oiene che la ommaoria di z al empo divena: z z ( ) 4 3 Cfr. Girone G.-Salvemini T., Lezioni di aiica, vol., Cacucci, Bari, 000.

9 La previione delle vendie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 9 ( ) La previione a k iani fuuri è daa dalla eguene epreione: k b a k ˆ Supponiamo che venga ora acquiio il nuovo dao della erie oggeo di udio; i nuovi parameri della funzione rappreenarice riulano, aggiungendo il nuovo dao e oraendo il primo: ; a a a a a ) (. Ad eempio, e conideriamo una erie formaa da ee oervazioni annuali relaive alle vendie di un deerminao bene (Tab. 5.), i oerva che ulla bae del meodo dell aggiornameno dei parameri l oava oervazione i calcola nel modo eguene, dopo aver prevenivamene calcolao i due coefficieni di regreione: 05,39; 7 737,7 a,0; 8 56,3 z z b, per i ricava: z z 0, 05,39 ˆ. La previione a k iani fuuri è daa k a a k k z ˆ ˆ nel noro cao, per 7 e per k arà: 4 ˆ 4 b a 05,39,0 4 3,4

10 La previione delle vendie Tab. 5.- Eempio di aggiornameno dei parameri di una inerpolane lineare. n..i. pei modificai Anni Vendie z dopo aver acquiio il nuovo dao (99) , , , , , ,4 5-03, ,3 5 06, , , , ,4 Toali 737,7 8 56, ,6 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica N.B.: Si fa noare che i parameri, ripeo ai valori originari, ono: b b,0, menre a arà dao da 7 a a b 05,39,0 97,34; perano la previione all anno con ali parameri è ancora: ˆ 97,34,0 8 3,4. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 0

11 La previione delle vendie Riorniamo, adeo, ai parameri a e b, ma nell oervare in paricolare il econdo che, ulla bae dei ee dai originari che compongono la erie delle vendie, i ha: z b z 3 5 ( ) Supponiamo che venga acquiio il nuovo dao relaivo al 003, che, raformao in ermini relaivi (99600), riula pari a 3,6. Volendo rideerminare i parameri e far concorrere olo gli ulimi ee dai, dobbiamo applicare il conceo di media mobile ai vecchi parameri; in alri ermini, dobbiamo racurare il primo dao e coniderare l ulimo dao acquiio. Si oervi che ciò compora una modifica dei pei originari, coì come i legge nell ulima colonna della abella. Perano i avrà, nell eempio coniderao: 3,6 00 a a 05,39 05,39,94 07,3 7 b b a ( ),0 ( ,6 737,7), La previione delle vendie al nuovo empo 9, oia al 004, arà quindi (empre poo il 99600):. ˆ 4 a b 4 07,3,6 4 5,79 6. Meodo del livellameno eponenziale Il meodo del livellameno eponenziale (eponenial mooing) è uilizzao di frequene in ambio aziendale per la perequazione dei dai e la previione a breve ermine. Queo meodo pare dalla coniderazione che il dao più recene fornica il conribuo più imporane alla previione delle vendie (). Quea impoazione conduce a deerminare un ao di decremeno di imporanza dei ermini della erie cronologica oggeo di udio, denominao coane di livellameno, di olio indicao con la leera α, la quale aume un valore compreo ra 0 e. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

12 La previione delle vendie Daa una erie orica, ad eempio le vendie, i vuole prevedere il fenomeno ad un empo k, in cui k è l orizzone di previione. Poo ad eempio una erie con rend coane, o uo al più alerao da faori accidenali ( a ε ) è logico che il calcolo della previione al empo coincide con la media emplice dei valori oervai fino all iane con peo uguale. Perano indicando con:,,...,,..., la erie orica delle vendie ai empi da,,,. la previione al empo arà: ˆ. Se invece il livello della erie mua in modo ocaico (oia e la erie è coane olo in alcuni iani di empo) è più realiico calcolare v ˆ n aravero una media ponderaa delle oervazioni precedeni dando peo maggiore a quelle più receni. Poo che il dao più recene fornica un conribuo più imporane alla previione, il meodo del livellameno eponenziale viene coì denominao perché alla ucceione delle vendie v viene oiuia una ucceione perequaa che i configura come una media ponderaa di ue le oervazioni diponibili in cui i pei ono coiuii da una ucceione eponenziale con inenià decrecene all aumenare della dianza dal empo in cui viene effeuaa la previione. Perano poo un deerminao ao di decremeno di imporanza dei ermini della erie cronologica oggeo di udio, denominao coane di livellameno, di olio indicao con la leera α, la quale aume un valore compreo ra 0 e e con,,... i valori auni da una erie orica delle vendie in corripondenza, ripeivamene, dei empi,,..., ; la previione al periodo i oiene mediane la formula: ( α ) * * α [] In cui, come è ao deo, α è il coefficiene di livellameno, menre valore livellao al empo. Si conideri che il valore livellao al empo è: * è il per cui, oiuendo i ha: ( α ) * * α [] * α ( α )[ α ( α ) ] * ( α ) ( ) * α α α. [3] Per oiuzioni ucceive i oiene la formula generale: Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

13 La previione delle vendie * ( α ) α ( α )... α ( α ) ( α ) * α α [4] Eendo 0 ( α ), il peo aribuio ai ermini della erie va decrecendo man mano che ci i allonana nel empo. Dal puno di via operaivo il meodo richiede la deerminazione della coane * di livellameno la ima del dao relaivo alla prima previione per iniziare il calcolo della [4].Queo dao può eere il primo valore della erie oppure un valore medio. Tuavia occorre preciare che la cela arbiraria ha una baa incidenza ui calcoli eendo ale valore moliplicao per il coefficiene (-α), valore molo piccolo; perano l errore riula racurabile. Puno di forza di queo meodo è che per effeuare la previione ono ufficieni re oli dai: α, *, e. Per quano riguarda il valore di α, ci i affida all eperienza del ricercaore, oppure può eere oenuo minimizzando l'errore quadraico medio. All'aumenare di α, aumenando il peo aribuio ai ermini più receni, aumena anche il poere del modello di adaari a variazioni dei valori oervai, per cui eo rappreena la reaivià del modello. Tab Eempio di previione delle vendie con il meodo del livellameno eponenziale. Valori calcolai con coefficiene: Mee Periodo Valori oervai α 0, α 0,5 α 0,9 Gennaio 00, Febbraio 35,0 00,0 00,0 00,0 Marzo 3 95,0 93,5 67,5 4,5 Aprile 4 97,5 93,6 8,3 89,7 Maggio 5 30,0 94,0 89,4 96,7 Giugno 6 75,0 05,6 49,7 98,7 Luglio 7 55,0 0,6,3 87,4 Agoo 8 30,0 97,0 83,7 58, Seembre 9 0,0 9,0 56,8 3,8 Oobre 0 77,5 93,9 88,4,3 Novembre 35,0 0,3 33,0 70,9 Dicembre - 05,6 34,0 38,6 Riula, per α0,: ( 0,) 00 93, 5 ( 0,) 93,5 93, 6 ( 0,) 0,3 05, 6 * 0, 35 * 0, 95 3 * 4 0, 35 Similarmene i oengono le previioni per α0,5 e α0,9. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

14 La previione delle vendie Fig. 6. Andameno del rend-ciclo della erie imaa, econdo il valore di alpha. La dicrezionalià del meodo deriva dalla cela arbiraria del paramero α, che ha effei ul grado del livellameno della erie imaa. Coniderao che un adaameno perfeo dell oervao preuppone che le miure iano eae e quindi gli errori iano nulli, i oerva che quano minore è il valore precelo per α, ano minore arà infai l appiaimeno della erie imaa di rend-ciclo, come riula evidene dalla figura 6.. Tale uddea arbirarieà può eere limiaa cegliendo il paramero eo econdo un crierio di oimalià; in oanza, per miurare la bonà del livello di adaameno del modello nel periodo oervao e la relaiva capacià di erapolazione previiva ulla bae dei diveri valori di α, poono eere prei in coniderazione gli errori medi e aolui, derivai dall implemenazione dei diveri modelli di livellameno eponenziale. 7. Le previione con modelli ocaici: il procedimeno di BOX E JENKINS L'impoazione moderna delle erie cronologiche nace dalla coniderazione che la decrizione del loro comporameno mediane emplici funzioni del empo emerge dall'applicazione di procedure aiiche neurali, cioè ideniche per ue le erie oriche, enza ener cono della naura del meccanimo che deermina il produri dei dai della erie, delle ruure probabiliiche ad ee evenualmene oggiaceni. Per far ì che ia la erie oervaa ad orienare vero un poibile modello generaore dei dai che la coiuicono, è neceario rifari al conceo di "proceo ocaico". Ciò compora che i valori rilevai iano inerpreabili come una delle ane realizzazioni finie di uno eo proceo ocaico. Si raa, in oanza, di capire che ipo di meccanimo ha agio ull andameno della variabile conideraa (le vendie) meccanimo che i può ripeere nel fuuro. L analii ocaica delle erie emporali i Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

15 La previione delle vendie fonda ul preuppoo che le manifeazioni di un fenomeno come le vendie iano prodoe da una ruura probabiliica che non conociamo, ma della quale poiamo imare i parameri ricorrendo ai meodi dell inferenza induiva mediane lo udio delle relazioni emporali che riuciamo a riconocere fra i dai rilevai. L impiego dei modelli ocaici nella previione delle vendie i adaa bene, ad eempio, quando i dai di bae ono variazioni rimerali delle vendie del prodoo k epree in quanià fiiche in un dao inervallo emporale. L aenza di agionalià è una condizione che rende più pedia la procedura da eguire e conene un correo impiego del modello ocaico. Alla bae del meodo di Box e Jenkin vi è la nozione di funzione di auocorrelazione oale e parziale e, inolre, una paricolare clae di procei ocaici coiddei a paramero dicreo caraerizzai da paricolari requiii. Nella ricerca del modello che decrive la erie che riproduca il meccanimo che la genera è imporane ener preene come individuare il proceo generaore dei dai della erie, come verificarne la cela e come uilizzare il riulao per la previione. La ua applicazione richiede, allora, come preuppoo che ra i dai della erie vi ia auocorrelazione, ciò a a ignificare che i coefficieni di correlazione oale e parziale devono eere calcolai ui dai della erie e ugli ei dai liai k vole. Dall andameno di quee due funzioni i cerca di rialire mediane un procedimeno inferenziale alla ima dei parameri del modello rappreenaivo del proceo. In inei, le fai principali per arrivare a pecificare e imare un modello uilizzabile a fini previionali ono le egueni: - analii preliminare dei dai di bae: - idenificazione del modello, - ima dei parameri, - verifica della qualià aiica delle ime,previione. 7.. Definizione del proceo ocaico 8 Un proceo ocaico, o proceo aleaorio X è coiuio da una famiglia di variabili cauali Y, Y,...,Y,,Y decrie ed ordinae da un paramero che indica il empo e che inenderemo dicreo. Fiao un valore (ad eempio ) ed una deerminaa prova perimenale (cioè oervando il valore che per la v.c. Y Y ) i oiene un numero reale inerpreabile come realizzazione finia della v.c. conideraa. Per le erie cronologiche, perano, gli valori oervai,...,, ecc. ai empi,...,, ecc. coiuicono nel loro inieme una pare finia di una famiglia, di una ingola realizzazione di un proceo ocaico oggiacene. Uilizzando ali valori "campionari", i raa di ricavare con procedure aiiche ime aendibili delle grandezze che caraerizzano il proceo generaore. Ovviamene ogni proceo ocaico ha ue caraeriiche e proprieà e un proceo ocaico può eere conociuo olo e ono noe le funzioni di denià per ogni k-pla di variabili componeni. E' facile renderi cono dei complei problemi che i preenano per udiarne le caraeriiche e le proprieà; ciò induce a emplificare e a 8 Giui F., Viali O. (983), Saiica Economica, Cacucci Ediore, Bari. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5

16 La previione delle vendie prendere in coniderazione olano paricolari procei ocaici per i quali è più facile applicare la meodologia inferenziale. Per ogni v.c. componene il proceo ocaico, poono definiri il valore medio e la varianza e coniderando a due a due le v.c. i può calcolare l auocovarianza e perano i avrà: Inolre per faciliare i confroni ra diveri procei ocaici, la funzione di auocovarianza viene andardizzaa dividendola per la funzione varianza e i oiene la funzione auocorrelazione. Un paricolariimo proceo ocaico è quello denominao "Whie noie" (rumore bianco); ale proceo i indica con il imbolo W ed è coiuio da v.c. W, W..., incorrelae, ha valore medio nullo e varianza σ w coane ed indipendene dal empo. Se le v.c. ono normali, i ha il proceo ocaico "Whie noie" gauiano. Nell'analii delle erie cronologiche aumono noevole imporanza i procei ocaici azionari. Eiono uavia almeno due definizioni di azionarieà. La prima, denominaa azionarieà in eno fore, è molo reriiva in quano implica l'invarianza delle varie ruure probabiliiche che caraerizzano il proceo ed è caramene applicabile nei cai concrei. Perano è preferibile far riferimeno ad una definizione meno rigida, definendo come proceo ocaico in eno debole, o emplicemene "proceo azionario", quei procei per i quali: ) Il valore medio è coane al variare del empo: E ( Y ) µ ; quea è la condizione di invarianza in media, che implica l'aenza di rend nella ea media. ) La varianza è finia e coane al variare del empo: E ( Y µ ) T quea è la condizione di omocedaicià. 3) L'auocovarianza ra X e X τ dipende olano dallo faameno emporale (lag): τ γ ( τ ) E ( Y µ )( Y τ µ ) ed eprime perano la conneione fra le v.c. componeni al variare della loro dianza. Per faciliare confroni ra diveri procei ocaici, la funzione di auocovarianza viene andardizzaa dividendo per la varianza. Si oiene coì la funzione di auocorrelazione ρ(τ), immerica, nel eno che ρ(τ) ρ(-τ), la quale eprime il coefficiene di auocorrelazione binario fra Y e Yτ. ρ( τ ) che può criveri anche nella forma: E( Y µ )( Y E( Y τ µ ) µ ) ( µ ) γ ( τ ) σ γ ( 0) ( Y µ ) τ ρ( τ ) σ Y. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 6

17 La previione delle vendie Il grafico della funzione di auocorrelazione al variare di τ è deo correlogramma. Perano i coefficieni di auocorrelazione, ρ(τ), miurano la concordanza o la dicordanza ra i valori della erie orica e quelli differii di τ unià di empo; conenendo di analizzare la ua ruura inerna, oia i legami ra i ermini della ea. In paricolare ρ(0) (coefficiene di correlazione ra la erie e é ea); gli alri coefficieni ono comprei ra - e. Infine, un proceo ocaico i definice "inveribile" e per ogni valore del paramero uie la relazione: Y f(y -, Y -...) W Un proceo inveribile può eere epreo cioè da una funzione della oria racora del fenomeno e da un rumore bianco. Volendo, allora, analizzare una erie orica di un fenomeno economico, giova ricordare che ea rappreena una realizzazione finia di un proceo conociuo di cui occorre ricercare le caraeriiche, impiegando procedure di inferenza aiica. Il problema è indubbiamene complicao dal fao che i dai,..., n della erie coiuicono una ucceione di n campioni di ampiezza uniaria u alreane v.c. diine. Tuavia e il proceo è azionario e e ono verificae, ripeo ai vari parameri, alcune condizioni di ergodicià 9, è poibile derivare dai dai ime conieni dei parameri ei e delle funzioni che caraerizzano il proceo. Dae ali ipoei, i hanno le egueni ime: per la media: ˆµ ; per la varianza: S ( 0) per l'auocovarianza: ( τ ) ( ) ˆ γ ; τ γ µ ( µ )( τ µ ) ˆ ; 9 La condizione che aicura l'ergodicià di un proceo ripeo al valore medio è che la ua funzione di correlazione enda a zero; un proceo i dice ergodico e la media relaiva a un gran numero di manifeazioni in un dao iane di empo ende alla media emporale. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 7

18 La previione delle vendie per l'auocorrelazione: ˆ ρ ( τ ) per l auocorrelazione parziale: ˆ φ ττ τ Q P τ τ ( µ )( τ ( µ ) µ ) ; oenua calcolando i deerminani delle marici i oiene: ˆρ () ˆρ ( ). ˆρ () ˆρ () ˆρ (). ˆρ ( ) Q τ ˆρ ( ) ˆρ (). ˆρ (3).. ˆρ ().. ˆ ρ ( τ ). ˆ ρ ( τ 3). ˆ ρ ( τ ) ˆρ () ˆρ ( ). ˆ ρ ( τ ) ˆρ () ˆρ (). ˆ ρ ( τ ) P τ ˆρ ( ) ˆρ (). ˆ ρ ( τ 3).. ˆρ ().. ˆ ρ ( τ ). ˆ ρ ( τ 3). 7.. Modelli AR, MA, ARMA e ARIMA. Il proceo ocaico auoregreivo di ordine "p", che i indica con il imbolo AR(p), è un proceo che genera la erie orica: Y η Y - η Y -... η p Y -p W cioè il valore oervao al empo è dao dalla combinazione lineare di p ermini immediaamene precedeni e da una componene aleaoria, per cui il dao auale è il riulao di ane manifeazioni paae. Il proceo ocaico a media mobile di ordine "q", che i indica con il imbolo MA(q), è, invece, un proceo che genera la erie orica: Y W ϕ W - ϕ W - ϕ q W -q cioè il valore oervao al empo è dao dalla combinazione lineare dei valore di una componene cauale allo eo empo e nei q empi immediaamene precedeni, per cui il dao auale i configura come il riulao di una ucceione di impuli aleaori. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 8

19 La previione delle vendie Le erie oriche di moli fenomeni economici poono eere efficacemene decrie da modelli riconducibili ai procei AR (auoregreivi) o MA (media mobile) oppure da modelli mii coiuii congiunamene da una componene auoregreiva e da una componene media mobile. Emergono perano i procei ARMA (procei ocaici auoregreivi di ordine p e media mobile di ordine q. In alri ermini da un puno di via inerpreaivo i può ragionevolmene penare che il valore di x di una erie orica oervao al empo,,... ia funzione lineare dei valori oervai in empi precedeni (la ruura AR) e di avvenimeni cauali verificaii nel empo e in empi precedeni (la ruura MA). Nell'ambio dei procei ARMA, noevole rilievo aumono quelli azionari e inveribili, nonché la maggior pare delle erie oriche di naura economica e di ipo evoluivo creceni o decreceni. E' neceario in via preliminare effeuare differenze e raformazioni dei valori oervai, in modo che la erie riulane "Y " poa rieneri generaa da un proceo ocaico azionario. Le raformazioni più frequeni ono dae da: Y differenze prime; Y differenze econde; Y differenze prime dei logarimi. log log log Nel cao di dai menili: Y differenze con faameno di mei; Y differenze prime dei logarimi con log log log faameno di dodici mei. I modelli ocaici relaivi ai valori delle differenze vengono chiamai inegrai ed indicai con la igla ARIMA, cioè proceo ocaico auoregreivo di ordine p inegrao d vole e media mobile di ordine q. Per la cela del ipo di differenze e della raformazione più opporuna di una erie orica, ci i avvale oliamene del grafico dei valori ; in bae ad eo, i deermina l'operaore rienuo adeguao, e i effeua la rappreenazione grafica dei valori, che dovrebbero apparire azionari. In cao negaivo i coniderano differenze o raformazioni uleriori. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 9

20 La previione delle vendie Il modello - che deve eere individuao ed i cui parameri devono eere imai - è lo rumeno impiegao per decrivere o inerpreare un fenomeno governao da leggi probabiliiche, noo come proceo ocaico. E' conueudine indicare i modelli di Box-Jenkin come modelli della clae ARMA, perché la loro ruura è formaa da componeni auoregreive, oia oervazioni ulla ea erie faaa emporalmene, e da componeni a media mobile, anch'ee riardae. Il procedimeno di Box-Jenkin inizia con un eame preliminare dei dai della erie per udiare le caraeriiche (mediane grafici, indicaori, calcolo di coani, ecc.) e per individuare le raformazioni più convenieni capaci di ricondurre la erie oggeo di analii ad una erie modificaa eprimibile con un modello ARMA (un modello i dice inveribile quando nella ua pare a media mobile deve dare un minor peo alle oervazioni meno receni). L'eliminazione del rend può effeuari o inerpolando ra puni una funzione maemaica aa a rappreenarlo, o deerminando le differenze di ordine ufficienemene elevao per aicurare la azionarieà. Se la varianza non è coane al variare del empo (eerocedaicià), prima di eliminare il rend conviene operare una raformazione logarimica. Quando la erie è menile, rimerale, ecc. e quando i ha ragione di rienere che la agionalià giochi un ruolo rilevane, occorre eliminarne gli effei, ciò che in ede operaiva viene realizzao prendendo in coniderazione le differenze ra i valori della erie faai di mei, di 3 mei, ecc. Con ale arificio l'influenza della agionalià viene quano meno conenua. Per l accerameno della azionarieà in media e varianza della erie emporale olre ad eaminare graficamene le ocillazioni circa l andameno della ea erie inorno al relaivo valore medio - è neceario calcolare i coefficieni di auocorrelazione globale e parziale; prima di arrivare al calcolo degli ei coefficieni è neceario calcolare la media, la varianza e l auocovarianza che ne coiuicono i preuppoi indipenabili. La azionarieà in media i manifea mediane una funzione di auocorrelazione globale che cende vero lo zero con mola rapidià. Se la erie è azionaria il coefficiene η deve inolre riulare in valore aoluo minore dell unià. Conideriamo una erie orica formaa da n oervazioni, una regola praica uggerice di calcolare i coefficieni di correlazione oale e parziale in numero non uperiore ad un quaro; e, inolre, i coefficieni ono ignificaivamene diveri da zero occorre per ognuno di ei calcolare il e e confronarlo con i valori oglia Idenificazione di un modello della clae ARMA Per idenificare il modello i poono confronare i coefficieni di auocorrelazione calcolai con modelli eorici di correlogrammi relaivi a procei azionari AR che ono di andameno noo (riporai in appendice). Scelo il modello i raa di abilire il grado dello eo, quea deciione è in funzione della auocorrelazione parziale; prima di uo, è neceario effeuare un conrollo ul coefficiene auoregreivo η ramie il e ponendo come empre l ipoei che ia η 0. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 0

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