Ottimizzazione Combinatoria Formulazioni e Formulazioni Ottime

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1 Oimizzazione Combinaoria Formulazioni e Formulazioni Oime Prof. Anonio Saano Diparimeno di Informaica e Siemiica Univerià di Roma La Sapienza A.A. 29

2 Formulazione Lineare Problema di PL: min {c T x : xs} P = {xr n : Ax < b} POLIEDRO con (AR mn, br m ) P è una FORMULAZIONE di S P {,} n =S Un poliedro P è una formulazione e e olo e - coniene ui i veori di S - non coniene alcun veore di {,} n - S Poo avere infinie formulazioni dello eo problema di PL

3 Lower Bound (approimazioni inferiori) Problema di PL: min {c T x: xs} P è una FORMULAZIONE di S P {,} n =S min {c T x: x S}=min {c T x: x P {,} n }= c T x * = z * > min {c T x: x P}=LB(P) Problema di PL (Rilaameno Lineare) Valore della Soluzione Oima del Problema di PL LB(P) z * LB(P) Lower Bound per z * z* LB(P)

4 Lower Bound = Cerificao di Qualià Problema di PL: min {c T x: xs} LB(P) min {c T x: x S}= z * Calcolare z * è (di olio) difficile Calcolare LB(P) è facile (Simpleo) Se conociamo una oluzione ammiibile x S (di valore z =c T x ) LB(P) fornice una cerificazione di qualià per x. z z * gap c T x decrecene z z* LB(P) gap LB(P) gap nullo x oimo per PL x

5 Lower Bound... riaumendo Problema di PL: min {c T x: xs} LB(P) min {c T x: x S}= z * Calcolare z * è difficile Calcolare LB(P) è facile (Problema di Programmazione Lineare) Trovare una oluzione x S è (di olio) facile (Euriiche) Il gap c T x - LB(P) cerifica la qualià di x piccolo gap = buona qualià di x gap nullo = x oimo per PL Il gap dipende dalla formulazione P S ammee mole formulazioni alernaive Come claificarle (e ceglierle)?

6 Crieri di qualià delle Formulazioni () No. diequazioni di Ax<b? ; No. variabili? ; facilià di calcolo? Qualià = piccolo gap = maimo lower bound CRITERIO : P migliore di P 2 LB( P ) > LB(P 2 ) Problema: Dipendenza dalla funzione obieivo P LB(P ) > LB(P 2 ) P2 c T x P migliore di P 2 Se uilizzo c T x LB(P 2 ) > LB(P ) d T x P 2 migliore di P Se uilizzo d T x

7 Crieri di qualià delle Formulazioni (2) Il crierio di qualià deve eere indipendene dalla funzione obieivo (che non è prevedibile a priori) CRITERIO 2: P migliore di P 2 LB( P ) > LB(P 2 ) per ogni cr n Equivalene a: CRITERIO 3: P migliore di P 2 P P 2 Eie una formulazione conenua in ogni alra? P S =conv(s) P " formulazione P di S Formulazione oima

8 Problema di PL: Formulazione Oima z*= min {c T x : xs} P S =Conv(S) = {xr n : Ax < b} POLIEDRO (AR mn, br m ) S inieme dei verici di P S (S=Ex(P S )) Ogni diequazione di Ax < b definice una faccia maimale di P S (... e dim(p S )=n) z * =min {c T x : x S}=min {c T x: x Ex(P S )} = min {c T x : x P S }=LB(P S )= c T x x oluzione oima del rilaameno lineare z * = LB(P S ) = c T x (gap=) c T x = z * c T x "xs x Ex(P S )=S x oluzione oima del PL

9 Rilaameni di P S (I) Diponiamo di una decrizione (eplicia) di: P S ={xr n : Ax<b} per ogni problema di PL? Ovvero: Conociamo la marice A e il veore b? Dove conocere ignifica: conocere i coefficieni oppure avere una regola che conene di calcolare i coefficieni di ogni riga della marice (A,b) Sforunaamene NO! Quai empre conociamo olo alcune (poche) righe di (A,b) che definicono una formulazione di S D P ={xr n : Dx < d} P {,} n =S d?? A b

10 Eempio di P S S={ y{,} 5 : 7y + 6y 2 + 5y 3 + 3y + 2y 5 } P S ={ y R 5 : Ay< b, y > 5 } y + y 2 y + y 3 y + y + y 5 2 y + y 2 + y 3 + y 2 y + y 2 + y 3 + y 5 2 3y + 2y 2 + 2y 3 + y + y 5 y,, y 5 Regola di coruzione di un ipo di riga di A: Se la omma dei coefficieni di k variabili è maggiore di allora al più k- di ee poono eere poe ad. y + y 2 y + y 3 y + y + y 5 2 Famiglia di diequazioni di P S

11 Rilaameni di P S (II) Non diponiamo di una decrizione di P S per ogni problema di PL. Diponiamo di Rilaameni di P S, ovvero: Poliedri P ={xr n : Dx < d }) con le egueni proprieà:. Il poliedro P è una formulazione di S 2. Il iema Dx < d è coiuio da alcune famiglie di diequazioni appareneni al iema Ax < b. Ciacun rilaameno produce un lower bound di z * : LB(P) = min {c T x: x P}< z *

12 Eempio: Problema di Deciione (II) Due progei A e B Vanaggi c A e c B aociai Vincolo: riore uilizzae < D = Riore necearie d A =5 e d B =7 xs =,, min c A x A + c B x B Verifica: P N {,} 2 =S a) xs xp N (SP N {,} 2 ) b) xp N {,} 2 xs (P N {,} 2 S) vincoli di box min c A x A + c B x B 5x A + 7x B < >x A, x B > xp N = Formulazione Naurale: x A x B 7 / 2 P N

13 Eempio: Problema di Deciione (III) Formulazione Naurale: min -5/3x A - x B xp N = 5x A + 7x B < >x A, x B > 3-2 x B P S P N Formulazione Oima: min -5/3x A - x B xp S = x A + x B < >x A, x B > Vincolo logico: uno olo dei due progei può eere aivao x A

14 Eempio: Soografo - Conneo di Peo Minimo Grafo G(V,E) con due nodi peciali e : c =2 Pei c uv per ogni uv c =3 Peo di un inieme F : c(f) = c uvf uv 2 c 3 =2 3 Trovare il ooinieme di archi F* di peo minimo che coniene un cammino ra e : Soografo - Conneo di Peo Minimo c uv > F* inieme degli archi di un cammino

15 Eempio: Grafo - Conneo di Peo Minimo (II) S = veori di incidenza di un oografo - conneo x = Formulazione? min {c T x: xs {,} E } Problema di PL: Quali condizioni deve oddifare un veore x{,} E per eere il veore di incidenza di un oografo - conneo? 2 3

16 Taglio - Inieme di archi K la cui rimozione dirugge ui i cammini da a K aglio - Per ogni P cammino - K P K X X = nodi connei ad X = nodi non connei ad (X, X ) parizione di V 3 X X G ( X ) = K

17 Teorema (.): (caraerizzazione dei grafi - connei) Un inieme di archi F coniene un oografo - conneo e e olo e F ha inerezione non vuoa con ogni aglio -. Solo e F - conneo F coniene - cammino P K aglio - Se (per aurdo) K P K F Ogni Taglio - coniene arco di F ma F non è - conneo F non coniene gli archi di un cammino - X = nodi connei ad con archi di F X = nodi non connei ad con archi di F X X conraddizione X ; X ; X ; X (X, X ) parizione di V Archi da X a X definicono un aglio - Neun arco di F da X a X

18 Formulazione: Grafo - Conneo di Peo Minimo (Ogni aglio - coniene archi di F) xs K F " aglio - K 2 3 K x F = x K = (x F ) T (x K ) " aglio - K x F S (x) T (x K ) x e x K e > ee x e > ek x F S Se conidero i veori di incidenza E. " aglio - K (veore di incidenza oografo - conneo F)

19 Formulazione: Grafo - Conneo di Peo Minimo x F S Ogni aglio - coniene un arco di F Quindi: xs min cx xp= x e > e K aglio - x e > e E P è una Formulazione (formulazione oima) Come riolvere il problema di PL? x e > per ogni aglio - K e Il numero di diequazioni (vincoli) è enorme ( V =2 36 ) METODO DEL SIMPLESSO DINAMICO