Esercizi di formulazione

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Leonora Bianco
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1 Esercizi di formulazione Pianificazione della produzione di energia Formazione delle classi nelle scuole Ase combinaorie Assegnameno di frequenze Problema di miscelazione

2 Pianificazione della produzione di energia periodi di pianificazione fabbisogno simao di energia nel periodo pari a produzione disponibile (che non può essere dismessa) dagli impiani a perolio pari a esisono due opzioni per aumenare la produzione: - impiani a carbone: - coso per megawa e - duraa 20 anni - impiani nucleari: - coso per megawa e - duraa 15 anni

3 Pianificazione della produzione di energia per ragioni di sicurezza la capacià degli impiani nucleari non deve superare, in ogni periodo, il 20% della capacià oale. Preparare un Piano di Produzione dell energia equivale a decidere la capacià produiva degli impiani a carbone e di quelli nucleari in ogni peridodo. Problema: Deerminare un piano di produzione in modo che: 1. La domanda di energia sia soddisfaa in ogni periodo 2. Siano rispeai I vincoli sulla duraa degli impiani e di sicurezza 3. Il coso complessivo di espansione della produzione sia minimo

4 Pianificazione della produzione di energia Variabili decisionali: = quanià di capacià da carbone insallaa all inizio del periodo = quanià di capacià da nucleare insallaa all inizio del periodo = quanià di capacià da carbone disponibile nel periodo = quanià di capacià da nucleare disponibile nel periodo

5 Pianificazione della produzione di energia Capacià da carbone disponibile nel periodo w = s= max{1, 19} x s, = 1,..., T Capacià da nucleare disponibile nel periodo z = s= max{1, 14} y s, = 1,..., T Capacià nucleare non superiore al 20% della capacià oale w z 0.2, = 1,..., T + z + e

6 Pianificazione della produzione di energia Coperura della domanda nel periodo w + z + e d, = 1,..., T Funzione obieivo min n j= 1 ( c x + n y )

7 Pianificazione della produzione di energia min n ( c = 1 x + n y ) s.. w z s= 1, 19} xs = 0, = max{ 1,..., T s= 1, 14} ys = 0, = max{ 1,..., T w + z + e d, = 1,..., T 0.8z 0.2w 0.2e, = 1,..., T y, x, w, z 0, = 1,..., T

8 Formazione delle classi nelle scuole quarieri, scuole, classi per ogni scuola la scuolaha capacià per la classe nel quariereci sono sudeni della classe la disanza della scuoladal quariereè Problema: formare le classi in modo da minimizzare la disanza complessiva percorsa dagli sudeni Variabili decisionali: = numero di sudeni del disreo assegnai alla classe della scuola

9 Formazione delle classi nelle scuole Vincoli di capacià: I i= 1 xijg C jg, j, g Ogni sudene deve essere assegnao ad una classe: J j= 1 xijg = Sig, i, g Disanza complessiva percorsa: I J G d ij x i= 1 j= 1 g= 1 ijg

10 Formazione delle classi nelle scuole min I J G d ij x i= 1 j= 1 g= 1 ijg I i= 1 J j= 1 xijg C jg, j, g xijg = Sig, i, g x ijg 0 i, j, g

11 Ase combinaorie Insieme di offereni insieme di oggei Ogni giocaore fa un offera per ciascun sooinsieme di a cui è ineressao. S 3 S 5 o 1 o 2 S o 3 S S 1 S 4 S 3 S S 2 S 5 4

12 Ase combinaorie Vincoli: gli insiemi vendui devono essere disgiuni (oggei in copia unica) ogni offerene ha dirio ad acquisare al più un insieme di oggei Obieivo del vendiore è massimizzare il guadagno S 1 S 3 S 5 S 4 o 1 o 2 o 3 S S S 3 S S 5 4 S 2 guadagno oimo = 7

13 Ase combinaorie Grafo: un nodo per ogni coppia offerene-offera un arco fra una coppia di nodi se: hanno in comune l offerene S 2, O 1 o 2 S o 3 S S 3 4 S S 5 o 1 S 1, O 1 S 1, O 3 S 2, O 2 S 3, O 3 S 5, O 1 S 4, O 2 S 5, O 2

14 Ase combinaorie Grafo = (, ): un nodo per ogni coppia offerene-offera un arco fra una coppia di nodi se: le offere non sono disgiune S 2, O 1 S 3 S 1, O 1 S 2, O 2 S 5 S 1 S 4 S 1, O 3 S 3, O 3 S 2 S 5, O 1 S 4, O 2 S 5, O 2

15 Ase combinaorie peso su ciascun nodo pari al valore dell offera S 2, O 1 S 1, O S 2, O S 1, O 3 S 3, O 3 4 S 5, O S 4, O 2 S 5, O 2 massimizzare il guadagno equivale a calcolare l insieme sabile (nodi a coppie non adiaceni) di peso massimo

16 Formulazione Variabile binaria: = 1 se è preso nell insieme sabile; = 0 alrimeni max V j= 1 w j x j x i + x j 1 x j { 0,1}, j = 1,, n

17 Assegnameno di frequenze Insieme di rasmeiori Spero suddiviso in canali (frequenze) Due rasmeiori vicini a cui è assegnaa la sessa frequenza possono generare inerferenza Problema: deerminare il minimo numero di frequenze ale che l inerferenza oale sia nulla

18 Grafo d inerferenza G = (V, E) un nodo per ciascun rasmeiore un arco fra rasmeiori poenzialmene inerfereni Si definisce colorazione, l assegnameno di un colore a ciascun nodo in modo che gli esremi di arco non ricevano mai lo sesso colore a e b d Deerminare il minimo numero di frequenze ale che l inerferenza oale sia nulla equivale a calcolare una colorazione con il numero minimo di colori c

19 Formulazione I Variabili decisionali = 1 se al verice è assegnao il colore = 0 alrimeni = 1, se il colore è aivao; = 0 alrimeni min x V k= 1 ik V k = 1 xik y k = 1, + x y jk k x ik yk {0,1} {0,1},

20 Formulazione II Una colorazione equivale ad una parizione dei verici in insiemi sabili sia S la collezione di ui gli insiemi sabili e a b Variabili decisionali d c = 1 se l insieme sabile s è aivao ; = 0 alrimeni min S s= 1 x s xs s: i S 1, x s {0,1}

21 Problema di miscelazione Un azienda casearia desidera produrre un nuovo lae LAQ di ala qualià, espressa in ermini di requisii nurizionali: Proeine Carboidrai Grassi Calcio almeno 32 g/liro almeno 36 g/liro almeno 45 g/liro almeno 45 g/liro LAQ è prodoo miscelando re diversi ipi di lae L1, L2, L3, con le segueni caraerisiche nurizionali (g/liro) L1 L2 L3 Proeine Carboidrai Grassi Calcio

22 Problema di miscelazione Sapendo che i cosi di produzione dei re ipi di lae sono: L1 L2 L3 0.5 /liro 0.6 /liro 0.4 /liro Formulare il problema di PL che minimizzi il coso di produzione di LAQ

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