Introduzione alla RO - Parte II

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1 Introduzione alla RO - Parte II Andrea Scozzari a.a March 7, 2014 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

2 Problema della pianificazione del personale: Soluzione Un azienda deve pianificare i turni lavorativi del proprio personale sulla base di un dato fabbisogno giornaliero (vedi Tabella). Il contratto prevede che ogni persona deve lavorare per 5 giorni consecutivi e deve avere 2 giorni di riposo. L azienda vuole programmare i turni in modo tale da occupare il numero minimo di lavoratori per soddisfare il fabbisogno giornaliero. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

3 Problema della pianificazione del personale Problema: decidere il numero di persone da impiegare in modo tale da minimizzare il numero (costo) totale di lavoratori e contemporaneamente soddisfacendo le richieste giornaliere Il costo totale (da minimizzare) associato al piano di assunzione scelto rappresenta l obiettivo che si vuole raggiungere. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

4 Problema della pianificazione del personale A causa dei vincoli (richieste giornaliere) del problema, la decisione su quale piano di assunzione scegliere non è ovvia e non è sufficiente una semplice analisi dei dati disponibili per individuarla. Il problema può di nuovo essere strutturato matematicamente come modello di Programmazione Lineare (PL). incognite o variabili decisionali: 1. I insieme dei giorni in cui un impiegato può iniziare un turno, I = 7 2. x i, i I, numero di impiegati che iniziano il turno nel giorno i Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

5 Problema della pianificazione del personale A causa dei vincoli (richieste giornaliere) del problema, la decisione su quale piano di assunzione scegliere non è ovvia e non è sufficiente una semplice analisi dei dati disponibili per individuarla. Il problema può di nuovo essere strutturato matematicamente come modello di Programmazione Lineare (PL). incognite o variabili decisionali: 1. I insieme dei giorni in cui un impiegato può iniziare un turno, I = 7 2. x i, i I, numero di impiegati che iniziano il turno nel giorno i La funzione obiettivo del problema (da minimizzare): x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

6 Problema della pianificazione del personale I vincoli di richiesta giornaliera: Es., una persona che inizia il turno di Martedi, deve lavorare fino a Sabato incluso, ed avrà poi Domenica e Lunedi di riposo. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

7 Problema della pianificazione del personale I vincoli di richiesta giornaliera: Es., una persona che inizia il turno di Martedi, deve lavorare fino a Sabato incluso, ed avrà poi Domenica e Lunedi di riposo. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

8 Problema della pianificazione del personale I vincoli di richiesta giornaliera: 1. Lunedi: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 17 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

9 Problema della pianificazione del personale I vincoli di richiesta giornaliera: 1. Lunedi: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x Martedi: x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 13 vincoli di non negatività: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

10 Soluzione ottima: x 1 = 4, x 2 = 4, x 3 = 2, x 4 = 6, x 5 = 0, x 6 = 4, x 7 = 3 Z = 23 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

11 Indagine di mercato Un azienda pubblicitaria deve svolgere una indagine di mercato per lanciare un nuovo prodotto. L indagine è svolta telefonicamente su un campione di persone che deve essere così composto: 1. Almeno 150 donne sposate 2. Almeno 110 donne non sposate 3. Almeno 120 uomini sposati 4. Almeno 100 uomini non sposati Le telefonate sono effettuate al mattino al costo di 2 euro per telefonata ed alla sera al costo unitario di 3 euro. Sono contate nel costo solo le telefonate andate a buon fine. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

12 Indagine di mercato La percentuale delle persone mediamente contattate sono state rispettivamente alla mattina e alla sera 1. Donne sposate: 30% la mattina e 30% la sera 2. Donne non sposate: 10% la mattina e 20% la sera 3. Uomini sposati: 10% la mattina e 30% la sera 4. Uomini non sposati: 10% la mattina e 15% la sera Si vuole sapere a quale costo è possibile raggiungere il massimo numero di persone. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

13 Indagine di mercato Variabili 1. x 1 = numero di telefonate al mattino 2. x 2 = numero di telefonate alla sera min 2x 1 + 3x 2 0.3x x x x x x x x x 1, x 2 0 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

14 Modello di regressione Si consideri una funzione y = f (x) incognita di cui però siano noti alcuni valori y 1, y 2,..., y n osservati sperimentalmente in corrispondenza di alcuni valori x 1, x 2,..., x n della variabile indipendente. Le coppie (x 1, y 1), (x 2, y 2),..., (x n, y n) costituiscono una nuvola di punti sul piano cartesiano (x, y). Assumendo che la relazione tra le variabili sia di tipo lineare (Regressione lineare) si ha il seguente Problema: Trovare una retta che meglio approssima la nuvola di punti. E(a, b) = n (y i ax i b) 2 i=1 Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

15 Modello di regressione Minimizzando E(a, b) si ottiene la retta dei minimi quadrati. Un altra misura dello scostamento E (a, b) = n y i ax i b i=1 E (a, b) è non lineare ma possiamo ancora formulare un problema di PL Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

16 Modello di regressione Minimizzando E(a, b) si ottiene la retta dei minimi quadrati. Un altra misura dello scostamento E (a, b) = n y i ax i b i=1 E (a, b) è non lineare ma possiamo ancora formulare un problema di PL Introduciamo delle variabili ausiliarie s 1, s 2,..., s n e consideriamo il seguente problema min n i=1 s i y i ax i b s i i = 1, 2,..., n (1) Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

17 Modello di regressione Risolvere (1) equivale a minimizzare E (a, b) in cui, in particolare, in ogni soluzione ottima deve aversi per ogni indice i y i ax i b = s i Se così non fosse avremmo per qualche indice k y k ax k b < s k per cui ponendo y k ax k b = s k otterremmo un valore più basso della funzione obiettivo del problema (1). Si noti inoltre che le variabili s i sono indipendenti. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

18 Modello di regressione Pertanto possiamo risolvere il problema seguente min n i=1 s i s i y i ax i b s i i = 1, 2,..., n (2) s i 0 i = 1, 2,..., n Si noti che le variabili a e b non sono vincolate ad essere non negative! Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

19 Esercizio n.1 Esame del Una ditta manifatturiera deve produrre un certo prodotto in quantità sufficiente per far fronte agli impegni dei prossimi quattro mesi. Le disponibilità di beni utilizzabili per questo prodotto sono limitate, ma sono in quantità diverse per i vari mesi. Il costo unitario di produzione varia in base alle disponibilità del personale utilizzabile. Il prodotto potrebbe essere fabbricato in un mese e quindi conservato per la vendita nel mese successivo, ma ad un costo di immagazzinamento pari ad 1 euro per unità al mese. Se una merce è venduta nello stesso mese in cui viene prodotta, nessun costo di immagazzinamento è sostenuto dalla ditta. All inizio del periodo di produzione si assume che non vi siano merci già in giacenza e non si vogliono avere giacenze alla fine dei quattro mesi. Con riferimento ai dati nella seguente tabella: Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

20 Quanto dovrebbe essere prodotto dalla ditta in ciascuno dei quattro mesi al fine di minimizzare il costo totale? Formulare il problema. Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

21 Si indichi con x i 0, i = 1, 2, 3, 4, la produzione nel mese i. I vincoli sulla massima produzione: i Vincoli di domanda x 1 40 x 2 50 x 3 30 x 4 50 x 1 20 (x 1 20) + x 2 30 x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 + x 3 + x Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18

22 Si noti che il generico vincolo: x 1 + x x j D j stabilisce che la quantita di merce prodotta dal primo mese al mese j (compreso) deve soddisfare la somma delle domande (ossia degli impegni) D j = d 1 + d d j in ogni mese. La differenza tra il primo ed il secondo membro della disequazione rappresenta la parte di merce prodotta ed immagazzinata dal mese 1 al mese j. La funzione obiettivo (da minimizzare) Z = 14x 1 +16x 2 +15x 3 +17x 4 +(x 1 20)+(x 1 +x 2 50)+(x 1 +x 2 +x 3 100) Andrea Scozzari (a.a ) Introduzione alla RO - Parte II March 7, / 18