Indici con gli alberi. Indici su memorie secondarie. Organizzazione logica di un disco

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1 Indici con gli alberi Alberi perfeamene bilanciai per indici su memorie di massa: B-alberi Indici su memorie secondarie Spesso i dai da ordinare sono in quanià ale da richiedere disposiivi di memoria secondaria, come i dischi Organizzazione logica di un disco raccia (cilindro) blocco (record fisico) esina seore Ogni accesso ha un empo di laenza I dischi sono sruurai in blocchi adiaceni dei pagine

2 Un albero binario impaginao Quese pagine hanno dimensione cosane: ora sono piene Un albero di ricerca impaginao B-alberi Un Un B-albero è un un albero perfeamene bilanciao (rami ui della sessa lunghezza) di di pagine di di dimensione fissaa, ali ali che: le le pagine sono sempre riempie almeno per meà, ad ad eccezione della radice; se se una pagina ha ha r chiavi e non è un un foglia, allora ha ha r + 1 figli; le le chiavi nelle pagine sono ordinae, e la la relazione con le le chiavi dei dei sooalberi è quella degli alberi di di ricerca. B-alberi da Baer (che li ha invenai con McCreigh) o forse da bilanciao

3 Un B-albero In un nodo (diverso dalla radice) ci sono i 2 chiavi: è il grado dell albero (= 1/2 max numero delle chiavi in un nodo) L alezza di un B-albero Teorema. Se Se un un B-albero di di grado ed ed alezza h coniene n chiavi, allora h log +1 (n +1 (n + 1)/2 Queso è il peggior rapporo ra h e n 1 chiavi ( + 1) ( + 1) 2 L alezza di un B-albero Teorema. Se Se un un B-albero di di grado ed ed alezza h coniene n chiavi, allora h log +1 (n +1 (n + 1)/2 Sul livelloi ci sono 2( + 1) i 1 chiavi, dunque : n 1+ 2 h i= 1 i ( + 1) 1 = 1+ 2 h 1 i= 0 i ( + 1) h ( + 1) 1 h = 1+ 2 = 2( + 1) 1 h è O(log n): quindi la cosane moliplicaiva è ano minore quano maggiore è

4 Ricerca in un B-albero Search(k, T) // Pos: rue sse k è una chiave in T if T = hen reurn false else (, b) Src(k, roo(t)) reurn b Src(k, x) // Pre: x nil // Pos: riorna (, b) dove è un nodo dell albero T.c. x = roo(t), // se k èin allora b = rue // se k non è in allora b = false e è una foglia Ricerca in un B-albero Src(k, x) sia x = x 1 k 1 x 2 x r k r x r+1 if k {k 1,, k r } hen reurn (x, rue) else if x è una foglia hen reurn (x, false) else if k < k 1 hen reurn Src(k, x 1 ) else sia i 1.. r.c. k k i.. k i+1 (poso k r+1 = + ) reurn Src(k, x i+1 ) È una generalizzazione della ricerca in un albero binario di ricerca Inserimeno I B-alberi crescono dalle foglie: quando non c è più poso si innesca un meccanismo di propagazione delle suddivisioni dei nodi verso la radice

5 Divisione di un nodo Caso in cui l inserimeno di una chiave avviene in un nodo pieno diverso dalla radice Divisione della radice a b c d e 22 a 16 a a Divisione della radice a a b c d e Queso è il solo caso in cui l alezza aumena

6 Inserimeno Inser(k, T) // Pre: il grado di T è ; Pos: T risula dall inserimeno di k in T if T = hen T [nil, k, nil] else (x, b) Src(k, roo(t)), u nil, v nil while no b do // se b = rue allora non c è più nulla da fare sia x = [ 1 k 1 2 r k r r+1 ], i.c. k k i.. k i+1 (poso k r+1 = + ) z [ 1 k 1 2 k r ukvk i+1 r k r r+1 ] if r < 2 hen x z, b rue // c è poso in x else // r = 2 i.e. x era pieno e z ha una chiave in più sia z = [ 1 k 1 2 r k r r+1 ] k k +1, u [ 1 k 1 2 k +1 ] v [ +2 k r k r r+1 ] if x = roo(t) hen roo(t) [u, k, v], b rue else x Paren(x) Per cancellare la chiave k disinguiamo i casi: 1. La chiave k è in una foglia 2. La chiave k è in un nodo inerno La chiave k è in una foglia x: 1. Il nodo x rimane con almeno chiavi: OK 2. Tola k, x ha 1 chiavi (e non è una foglia, alrimeni OK): Caso: k x 1 r >

7 La chiave k è in una foglia x: 1. Il nodo x rimane con almeno chiavi: OK 2. Tola k, x ha 1 chiavi (e non è una foglia, alrimeni OK): min() x, k {min()} (risulao) La chiave k è in una foglia x: 1. Il nodo x rimane con almeno chiavi: OK 2. Tola k, x ha 1 chiavi (e non è una foglia, alrimeni OK): Caso: k x 1 1 La chiave k è in una foglia x: 1. Il nodo x rimane con almeno chiavi: OK 2. Tola k, x ha 1 chiavi (e non è una foglia, alrimeni OK): max() x, k, max() (risulao)

8 La chiave k è in un nodo inerno Caso: k k x > max(x) k (risulao) x max(x) bilanciameno La chiave k è in un nodo inerno Caso: k k x 1 1 fusione (risulao) k x, Ma ora dobbiamo conrollare se qui ci sono ancora chiavi Analisi della complessià Le operazioni di ricerca, inserimeno e cancellazione sono O(h) h è O(log n) = O(log n) (ma cona in praica: meglio grande) gli accessi al disco (e i empi di laenza) sono O(h) Meglio fermarsi qui: buon weekend 2 X 2 = 5