Algoritmi e Strutture di Dati

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1 Algoritmi e Strutture di Dati Capitolo 0 - Code con priorità e insiemi disgiunti This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 9405, USA.

2 Introduzione Strutture di dati viste finora Sequenze, insiemi e dizionari Strutture speciali Le operazioni di base (inserimento, cancellazione, lettura, etc.) possono non essere sufficienti: a volte è necessario inventarsene di nuove Se non tutte le operazioni sono necessarie, è possibile realizzare strutture di dati più efficienti, specializzate per particolare compiti 2

3 Code con priorità L'idea Una struttura di dati detta heap che mantiene i dati in modo parzialmente ordinato Utilizzazioni Code con priorità Gli oggetti vengono estratti dalla coda in base alla loro priorità Heapsort Algoritmo di ordinamento Costo computazionale: O(n log n) Ordinamento sul posto 3

4 Alberi binari 4

5 Alberi binari heap Un albero binario completo è un albero max-heap sse Ad ogni nodo i viene associato un valore A[i] A[p(i)] A[i] Un albero binario completo è un albero min-heap sse Ad ogni nodo i viene associato un valore A[i] A[p(i)] A[i] Ovviamente, le definizioni e gli algoritmi di max-heap sono simmetrici rispetto a min-heap 5

6 Alcune informazioni sugli alberi heap Un albero heap non impone alcuna relazione di ordinamento fra i figli di un nodo Un albero heap è un ordinamento parziale Riflessivo: Ogni nodo è di se stesso Antisimmetrico: se n m e m n, allora m = n Transitivo: se n m e m r, allora n r Ordinamenti parziali Utili per modellare gerarchie complesse o mantenere informazioni parziali Nozione più debole di un ordinamento totale... Ma più semplice da costruire 6

7 Array heap E' possibile rappresentare un albero binario heap tramite un array heap (oltre che tramite puntatori) Come è fatto? Array A[..n] Come è organizzato? A[] contiene la radice p(i) = i/2 l(i) = 2i r(i) = 2i+ n =

8 Array heap Ricapitolando: Array max-heap: A[i] A[2i], A[i] A[2i+] Procedure per gestire heap maxheaprestore - O(log n) Un algoritmo che mantiene la proprietà di max-heap heapbuild - O(n) Un algoritmo che costruisce un max-heap da zero heapsort - O(n log n) Ordina sul posto un array 8

9 maxheaprestore() Input Scopo Un array A e un indice i Gli alberi binari con radici l(i) e r(i) sono max-heap E' possibile che A[i] sia minore di A[l(i)] o A[r(i)] In altre parole: il sottoalbero con radice i può non essere un max-heap Ripristinare la proprietà di max-heap sul sottoalbero con radice i Facendo scendere l'elemento A[i] nell'array 9

10 maxheaprestore() 0

11 maxheaprestore() Domanda: Esempio di funzionamento 5, 5, 2, 9, 0, 7, 4, 3, 6, 8, 2 E' un array max-heap? E' possibile applicare maxheaprestore() alla radice? Domanda: Qual è la complessità in tempo di maxheaprestore()? Domanda Dimostrare la correttezza di maxheaprestore()

12 2 heapbuild() Principio generale Sia A[..n] un array in input Tutti i nodi A[ n/ n] sono foglie dell'albero e quindi heap di un elemento da cui iniziare La procedura heapbuild() attraversa a ritroso i restanti nodi dell'albero ed esegue maxheaprestore()

13 3 heapbuild() Domanda: Esempio di funzionamento 4, 45, 28, 34, 5, 20, 2, 30, 2, 25, 6, 22 Domanda: Correttezza Esprimere un'invariante di ciclo Dimostrare la sua correttezza Domanda Complessità Qual è la complessità di heapbuild()?

14 4 Complessità Le operazioni maxheaprestore() vengono eseguite su heap di altezza variabile Viene eseguito n/2 volte su heap di altezza 0 Viene eseguito n/4 volte su heap di altezza Viene eseguito n/8 volte su heap di altezza 2 Viene eseguito n/2 h+ volte su heap di altezza h Da cui si deduce Ricordando che per x <

15 5 Ordinamento tramite heap Intuizione Il primo elemento dello heap è sempre il massimo Andrebbe collocato nell'ultima posizione L'elemento in ultima posizione? In testa! Chiama maxheaprestore() per ripristinare la situazione

16 6 heapsort() Domanda: Esempio di funzionamento 4, 45, 28, 34, 5, 20, 2, 30, 2, 25, 6, 22 Domanda: Correttezza Esprimere un'invariante di ciclo Dimostrare la sua correttezza Domanda: Complessità Qual è la complessità di heapsort()?

17 7 Esercizi Esercizio Dimostrare che uno heap con n nodi ha altezza Θ(log n) Esercizio Scrivere un'implementazione iterativa di maxheaprestore() (in pseudo-codice) Esercizio Dimostrare che il tempo di esecuzione nel caso peggiore di maxheaprestore() è Ω(log n) Esercizio Implementare heapsort() nel vostro linguaggio preferito

18 8 Code con priorità Coda con priorità Una struttura di dati che serve a mantenere un insieme S di elementi, ciascuno con un valore associato di priorità

19 Specifica 9

20 Code con priorità 2 0

21 Inserimento 2

22 Code con priorità - minheaprestore() 2 2

23 Rimozione del minimo e riduzione priorità 2 3

24 2 4 Code con priorità Esercizio Qual è la complessità delle operazioni sulle code con priorità? Esercizio Scrivere lo pseudocodice di una versione heapbuild() basata sulla insert() Le due procedure creano lo stesso heap? Dimostrare o produrre un esempio contrario Qual è la complessità di questa versione di heapbuild()? Esercizio L'azione di delete(priorityitem x) cancella l'elemento x dallo heap. Scrivete una versione di delete() che operi in tempo O(log n).