dizionari dizionari introduzione al bilanciamento dizionari/2 alberi bilanciati ! ADT che supportano le seguenti operazioni

Transcript

1 dizionari dizionari alberi bilanciati! ADT ce supportano le seguenti operazioni! membersip! ance detta searc! insert! delete! o remove! le liste e i BST sono dizionari maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 2 dizionari/2 introduzione al bilanciamento! tutte le implementazioni finora considerate anno almeno un operazione di costo lineare w.c.t. (worst case time, tempo nel caso peggiore)! in molti casi un costo lineare è giudicato inaccettabile! strutture più efficienti?! alberi bilanciati! tavole as! nozione intuitiva di bilanciamento! tutti i rami di un albero anno approssimativamente la stessa lungezza! ciascun nodo interno a molti figli! caso ideale per un albero k-ario! ciascun nodo a 0 o k figli! la lungezza di due rami qualsiasi differisce di al più una unità maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 3 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 4

2 bilanciamento perfetto bilanciamento perfetto/2 foglie foglia + 1 nodo interno! un albero binario perfettamente bilanciato di n nodi a altezza lg 2 n +! " 1 se ogni nodo a 0 o 2 figli n f = n i +1 n f = # foglie n i = # nodi interni n = n f + n i le foglie sono circa il 50% dei nodi! facilmente generalizzabile ad alberi di arità k! ( k! 1) n + 1 n = ( k! 1) ni + 1 " n = f f k! costo di ricerca/inserimento/eliminazione O(log n)! ripetuti inserimenti/eliminazioni possono distruggere il bilanciamento! degrado delle prestazioni maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 5 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 6 bilanciamento in altezza fattore di bilanciamento! un albero è bilanciato in altezza se le altezze dei sottoalberi sinistro e destro di ogni nodo differiscono di al più un unità! gli alberi bilanciati in altezza sono detti alberi AVL! da Adel son-vel skii & Landis, primi proponenti in un albero bilanciato in altezza FDB! 1, per ogni nodo 78 fattore di bilanciamento (FDB): altezza sottoalbero dx altezza sottoalbero sx +1 0 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 7 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 8

3 alberi AVL? alberi di Fibonacci maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 9! alberi AVL col minimo numero di nodi (fissata l altezza) F AVL maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 10 alberi di Fibonacci/2 alberi di Fibonacci/3 AVL i AVL i +1 alberi di Fibonacci alberi bilanciati di altezza i col minimo numero di nodi AVL i Relazioni AVL i = AVL i + AVL i F i = F i + F i +1 AVL i = F i 1! un albero di Fibonacci a tutti i fattori di bilanciamento dei nodi interni pari a ± 1! è l albero bilanciato più vicino alla condizione di non bilanciamento! un albero di Fibonacci con n nodi a altezza < 1.44 lg(n ) 0.328! dimostrato da Adel son-vel skii & Landis " # un AVL di n nodi a altezza $(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 11 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 12

4 inserimento in AVL rotazioni negli AVL 1. inserire nuovo nodo come in un BST classico il nuovo nodo diviene una foglia 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento ce sono mutati in seguito all inserimento solo nel ramo interessato all inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l alto 3. se nel ramo appare un fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre ribilanciare tramite rotazioni casi possibili! DD: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio destro (del nodo ce si sbilancia)! SD: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio destro (del nodo ce si sbilancia)! DS: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio sinistro (del nodo ce si sbilancia)! SS: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio sinistro (del nodo ce si sbilancia) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 13 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 14 rotazione semplice (caso DD)! gli antenati di non sono interessati all inserimento percé in seguito alla rotazione recuperano il loro fattore di bilanciamento precedente maggio 2002 ASD Alberi bilanciati rotazione doppia (caso SD) 0 0 R 0 +1 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati R! gli antenati di non sono interessati all inserimento 0

5 rappresentazione nodo algoritmo inserimento /1 class AvlNode { Comparable element; AvlNode left; AvlNode rigt; int eigt; AvlNode(Comparable el) { tis(el, null, null); AvlNode(Comparable el, AvlNode lt,avlnode rt) { element = el; left = lt; rigt = rt; eigt = 0; maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 17 AvlNode insert(comparable x, AvlNode t) { if(t == null) t = new AvlNode(x, null, null); else if(x.compareto(t.element) < 0) { t.left = insert(x, t.left); if(eigt(t.left) - eigt(t.rigt) == 2) if(x.compareto(t.left.element) < 0) t = rotatewitleftcild(t); // SS else t = doublewitleftcild(t); // DS else maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 18 algoritmo inserimento /2 rotazione semplice (SS) else if(x.compareto(t.element) > 0) { t.rigt = insert(x, t.rigt); if(eigt(t.rigt) - eigt(t.left) == 2) if(x.compareto(t.rigt.element) > 0) t = rotatewitrigtcild(t); // DD else t = doublewitrigtcild(t); // SD else ; // Duplicate; do noting t.eigt=max(eigt(t.left),eigt(t.rigt))+1; return t; restituisce la nuova radice AvlNode rotatewitleftcild(avlnode k2) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.rigt; k1.rigt = k2; k2.eigt = max(eigt(k2.left), eigt(k2.rigt)) + 1; k1.eigt = max(eigt(k1.left), k2.eigt ) + 1; return k1; maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 19 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 20

6 rotazione doppia (SD) inserimento negli AVL/costo AvlNode doublewitrigtcild(avlnode k1){ k1.rigt=rotatewitleftcild(k1.rigt); return rotatewitrigtcild(k1);! passo 1: proporzionale all altezza dell albero $(lg n) " passo 2: proporzionale all altezza dell albero $(lg n) " passo 3: O(lg n) in totale: $(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 21 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 22 cancellazione negli AVL rotazione semplice 1. cancellare nodo come in un BST classico 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento ce sono mutati in seguito alla cancellazione solo nel ramo interessato all inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l alto 3. per ogni nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre operare una rotazione semplice o doppia O(lg n) rotazioni nel caso peggiore! eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di! il figlio destro a FDB +1; a), b) e c)! il figlio destro a FDB 0; d), e) ed f) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 23 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 24

7 rotazione doppia rotazione doppia/2! eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di! FDB() = 1 e FDB(R)= 1; g), ) ed i)! rotazione R- ( resta a, R e vanno a +1) e rotazione -R! eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di! FDB() =, FDB(R)=+1, j), k) ed l)! rotazione R- ( resta a, R va a e va a 0) e rotazione -R maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 25 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 26 cancellazione negli AVL/costo cancellazione negli AVL/esempio! nel caso peggiore occorre effettuare rotazioni (semplici o doppie) lungo tutto il ramo! passo 1: proporzionale all altezza dell albero $(lg n) " passo 2: proporzionale all altezza dell albero $(lg n) animazione tratta dal sito Web ttp:// " passo 3: $(lg n) $(1) in totale: $(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 27 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 28