Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 27: Strutture ad albero avanzate. Lezione 27 - Modulo 1. Trie (1) Trie binario

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Ferdinando Di Marco
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1 Informatica 3 Informatica 3 LZION 27: trutture ad albero avanzate Lezione 27 - Modulo Modulo : Trie Modulo 2: lberi bilanciati Modulo 3: trutture dati spaziali Trie olitecnico di Milano - rof. ara omai olitecnico di Milano - rof. ara omai 2 Trie () Trie binario efinizione di trie: struttura data basata sulla decomposizione dello spazio della chiave suddivisione uguale dell intervallo della chiave memorizza i record nelle foglie sempio di trie: codice di Huffmann olitecnico di Milano - rof. ara omai 3 Il fattore di ramificazione è determinato dall alfabeto utilizzato: {, } trie binario olitecnico di Milano - rof. ara omai 4

2 Trie alfabetico () Trie alfabetico (2) Il fattore di ramificazione è determinato dall alfabeto utilizzato: caratteri alfabetici + $ trie alfabetico a n t $ e a l t o e p r e $ $ h d e u e c r k $ $ o r s e $ olitecnico di Milano - rof. ara omai 5 Il fattore di ramificazione è determinato dall alfabeto utilizzato: caratteri alfabetici + $ trie alfabetico a d h n e u t deer duck $ e ant a l anteater antelope horse olitecnico di Milano - rof. ara omai 6 TRII Trie Informatica 3 TRII Trie (TRII = ractical lgorithm To Retrieve Information oded In lphanumeric) albero binario pieno che memorizza i record nelle foglie e utilizza i nodi interni per memorizzare la posizione del pattern di bit della chiave utilizzata per decidere quale ramo prendere xxxxxx xxxxxx 2 xxxxx xxxxx 2 3 xxx xxxx x olitecnico di Milano - rof. ara omai 7 Lezione 27 - Modulo 2 lberi bilanciati olitecnico di Milano - rof. ara omai 8

3 Introduzione I T possono diventare sbilanciati operazioni di ricerca e aggiornamento costose occorre utilizzare altri algoritmi di aggiornamento che abbiano buone prestazioni e che mantengano l albero bilanciato lbero VL modifica le procedure di inserimento e cancellazione dei T in modo da mantenere l albero bilanciato lbero splay non richiede che l albero sia bilanciato ma bilancia il T ogni volta che vi si accede per una ricerca o per un aggiornamento lbero VL lbero VL: T per il quale vale la seguente proprietà: per ogni nodo l algezza dei suoi sotto-alberi di sinistra e di destra differisce al massimo di accesso a un albero con n nodi: O(log n) inserimenti/cancellazioni: se sono proporzionali alla profondità dell albero sono O(log n) olitecnico di Milano - rof. ara omai 9 olitecnico di Milano - rof. ara omai sempio Rotazione singola asi e 4: rotazione singola casi: nodo più profondo sbilanciato ) il nuovo nodo è il figlio di sinistra del figlio di sinistra di 2) il nuovo nodo è il figlio di destra del figlio di sinistra di 3) il nuovo nodo è il figlio di sinistra del figlio di destra di 4) il nuovo nodo è il figlio di destra del figlio di destra di 5 olitecnico di Milano - rof. ara omai olitecnico di Milano - rof. ara omai 2

4 Rotazione doppia lbero splay asi 2 e 3: rotazione doppia G G lbero che migliora le prestazioni di un T non bilanciato obiettivo: mantenere basso il costo totale di tutti gli accessi le singole operazioni non sono efficienti (O(n)) una serie di m operazioni richiede O(m log n) per un albero di n nodi con m>=n Ogni volta che il nodo viene acceduto (inserito, cancellato, cercato) viene eseguito il processo di splaying viene spostato alla radice se viene cancellato, il padre di viene spostato alla radice olitecnico di Milano - rof. ara omai 3 olitecnico di Milano - rof. ara omai 4 Rotazione singola e è figlio della radice viene applicata una rotazione singola Rotazione a zigzag e è il figlio sinistro di e è il figlio destro di G oppure è il figlio destro di e e il figlio sinistro di G viene applicata una rotazione a zigzag spesso si ha una riduzione dell altezza dell albero G olitecnico di Milano - rof. ara omai 5 olitecnico di Milano - rof. ara omai 6

5 Rotazione a zigzig e è il figlio sinistro di e è il figlio sinistro di G oppure è il figlio destro di e e il figlio destro di G viene applicata una rotazione a zigzig sposta il nodo verso la radice sempio () Ricerca del valore 89 splaying G G G olitecnico di Milano - rof. ara omai 7 olitecnico di Milano - rof. ara omai 8 sempio (2) Ricerca del valore 89 splaying sempio (3) Ricerca del valore 89 splaying 7 9 G olitecnico di Milano - rof. ara omai 9 olitecnico di Milano - rof. ara omai 2

6 onclusioni Le rotazioni dell albero splay tendono a far avvicinare alla radice i nodi a cui si accede più di frequente Il processo tende a ribilanciare l albero L operazione di inserimento avviene come per il T, a cui segue l operazione di splying L operazione di cancellazione è equivalente al caso T e il nodo padre viene spostato alla radice Informatica 3 Lezione 25 - Modulo 3 trutture dati spaziali olitecnico di Milano - rof. ara omai 2 olitecnico di Milano - rof. ara omai 22 Introduzione k-d tree () Tutte le strutture dati viste finora: ricerca su una chiave monodimensionale pplicazioni spaziali che trattano posizioni nello spazio sistemi informativi geografici informatica grafica intelligenza artificiale strutture dati spaziali - dati organizzati per posizione olitecnico di Milano - rof. ara omai 23 k-d tree: T modificato in cui le ramificazioni ad ogni livello sono definite da un discriminatore: il discriminatore a livello i è i mod k per k dimensioni s. dati con coordinate xy: k=2 ad ogni livello il discriminatore alterna tra x e y Un nodo N a livello (radice) ha nel sottoalbero di sinistra i nodi il cui valore x è minore di N x (il sottoalbero di destra ha i nodi il cui valore x è maggiore di N x ) Un nodo M a livello ha nel sottoalbero di sinistra i nodi il cui valore y è minore di M y ecc. olitecnico di Milano - rof. ara omai 24

7 k-d tree (2) sempio: sempio: ricerca di (69,5) (4,45) (4,45) (5,7) (7,) (69,5) (5,7) (7,) (69,5) (55,8) (8,9) (55,8) (8,9) olitecnico di Milano - rof. ara omai 25 olitecnico di Milano - rof. ara omai 26 sempio: ricerca di (69,5) sempio: ricerca di (69,5) (4,45) (4,45) x: 4<69 (5,7) (7,) (69,5) (5,7) (7,) (69,5) (55,8) (8,9) (55,8) (8,9) olitecnico di Milano - rof. ara omai 27 olitecnico di Milano - rof. ara omai 28

8 sempio: ricerca di (69,5) sempio: ricerca di (69,5) (4,45) (4,45) (5,7) (7,) (69,5) (5,7) (7,) y: <5 (69,5) (55,8) (8,9) (55,8) (8,9) olitecnico di Milano - rof. ara omai 29 olitecnico di Milano - rof. ara omai 3 sempio: ricerca di (69,5) k-d tree: inserimento sempio: inserimento di (,5) (4,45) (4,45) (5,7) (7,) (69,5) (5,7) (7,) (69,5) (55,8) (8,9) (55,8) (8,9) olitecnico di Milano - rof. ara omai 3 olitecnico di Milano - rof. ara omai 32

9 k-d tree: inserimento sempio: inserimento di (,5) (4,45) (5,7) (7,) x --- (,5) (69,5) (55,8) (8,9) Quadtree (e octree) Utilizzato per la rappresentazione di superfici 2 (quadtree) o solidi 3 (octree) Tecnica di decomposizione spaziale: superficie o solido come combinazinoe di superfici o solidi con caratteristiche più semplici (es. pixel o voxel) sempio di oggetto 2: olitecnico di Milano - rof. ara omai 33 olitecnico di Milano - rof. ara omai 34 Quadtree () L idea fondamentale dei quadtree (e octree) è quella del principio della suddivisione binaria. Quadtree: si ottiene suddividendo ricorsivamente un piano 2 in 4 quadranti (,,2,3). Quando il quadtree rappresenta un area 2 ogni quadrante può essere: pieno vuoto parzialmente pieno Un quadrante parzialmente pieno è ulteriormente suddiviso in sottoquadranti. Quadtree (2) Il procedimento termina quando o tutti i quadranti sono pieni o vuoti oppure quando si raggiunge una soglia (cutoff depth). e 4 quadranti sono tutti vuoti o tutti pieni vengono sostituiti con il quadrante del livello superiore olitecnico di Milano - rof. ara omai 35 olitecnico di Milano - rof. ara omai 36

10 Quadtree (3) parzialm. pieno 2 3 pieno vuoto 3 2 Octree Octree: ono simili ai quadtree: qui le 3 dimensioni vengono suddivise in ottanti anzichè quadranti. Gli ottanti vengono identificati tramite un numero (da a 7) oppure tramite un nome simbolico (es. N, O, W ). Operazioni tipiche: unione/intersezione di due alberi si calcola in maniera molto semplice, visitando i due alberi top-down in parallelo. olitecnico di Milano - rof. ara omai 37 olitecnico di Milano - rof. ara omai 38 Operazioni su Octree/Quadtree UNION tra due alberi (quad- oppure octree) si considerano le coppie di nodi corrispondenti tra i due alberi se uno dei due nodi è vuoto si copia nell albero che rappresenta l unione l altro nodo se uno dei due nodi è pieno si copia questo nodo nell unione altrimenti si considerano i sottoquadranti/ottanti e si ripete lo stesso ragionamento INTRZION tra due alberi: si calcola come l unione, invertendo vuoto e pieno. sempio di unione quadtree quadtree 2 unione olitecnico di Milano - rof. ara omai 39 olitecnico di Milano - rof. ara omai 4

11 olitecnico di Milano - rof. ara omai 4 sempio di intersezione quadtree quadtree 2 intersezione

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