Algoritmi e Strutture Dati. Alberi binari di ricerca
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1 Algoritmi e Strutture Dati Alberi binari di ricerca Alberto Montresor Università di Trento 2018/10/25 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
2 Sommario 1 Alberi binari di ricerca Ricerca Minimo-massimo Successore-predecessore Inserimento Cancellazione Costo computazionale 2 Alberi Red-Black Definizioni Alberi Red-Black Esempi Alberi Red-Black Inserimento Alberi Red-Black Cancellazione
3 Alberi binari di ricerca Introduzione Dizionario E un insieme dinamico che implementa le seguenti funzionalità: Item lookup(item k) insert(item k, Item v) remove(item k) Possibili implementazioni Struttura dati lookup insert remove Vettore ordinato O(log n) O(n) O(n) Vettore non ordinato O(n) O(1) O(1) Lista non ordinata O(n) O(1) O(1) * Assumendo che l elemento sia già stato trovato, altrimenti O(n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 1 / 78
4 Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca (ABR) Idea ispiratrice Portare l idea di ricerca binaria negli alberi Memorizzazione Le associazioni chiave-valore vengono memorizzate in un albero binario Ogni nodo u contiene una coppia (u.key, u.value) Le chiavi devono appartenere ad un insieme totalmente ordinato Nodo albero Tree Tree parent Tree left Tree right Item key Item value Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 2 / 78
5 Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca (ABR) Proprietà 1 Le chiavi contenute nei nodi del sottoalbero sinistro di u sono minori di u.key 2 Le chiavi contenute nei nodi del sottoalbero destro di u sono maggiori di u.key Le proprietà 1. e 2. permettono di realizzare un algoritmo di ricerca dicotomica Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 3 / 78
6 Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca Specifica Getters Item key() Item value() Tree left() Tree right() Tree parent() Dizionario Item lookup(item k) insert(item k, Item v) remove(item k) Ordinamento Tree successornode(tree t) Tree predecessornode(tree t) Tree min() Tree max() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 4 / 78
7 Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca Funzioni interne Tree lookupnode(tree T, Item k) Tree insertnode(tree T, Item k, Item v) Tree removenode(tree T, Item k) Dictionary Tree tree Dictionary() tree = nil Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 5 / 78
8 Alberi binari di ricerca Ricerca Ricerca lookupnode() Item lookupnode(tree T, Item k) Restituisce il nodo dell albero T che contiene la chiave k, se presente Restituisce nil se non presente Implementazione dizionario Item lookup(item k) Tree t = lookupnode(tree, k) if t nil then return t.value() else return nil Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 6 / 78
9 Alberi binari di ricerca Ricerca Ricerca esempio u 8 Valore cercato: 3 u = 6 3 < 6; u = 2 (Sinistra) 3 > 2; u = 4 (Destra) 3 < 4; u = 3 (Sinistra) 3 = 3; Trovato Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 7 / 78
10 Alberi binari di ricerca Ricerca Ricerca Implementazione Iterativa Tree lookupnode(tree T, Item k) Tree u = T while u nil and u.key k do if k < u.key then u = u.left else u = u.right % Sotto-albero di sinistra % Sotto-albero di destra return u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 8 / 78
11 Alberi binari di ricerca Ricerca Ricerca esempio Tree lookupnode(tree T, Item k) Tree u = T while T nil and T.key k do u = iif(k < u.key, u.left, u.right) return u 1 4 Valore cercato: 5 u = < 6; u = 2 5 > 2; u = 4 5 > 4; u = nil (Destra) return nil (Non trovato) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 9 / 78
12 Alberi binari di ricerca Ricerca Ricerca Implementazione Ricorsiva Tree lookupnode(tree T, Item k) if T == nil or T.key == k then return T else return lookupnode(iif(k < T.key, T.left, T.right), k) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 10 / 78
13 Alberi binari di ricerca Minimo-massimo Minimo-massimo min albero radice 6? 1 max albero radice 6? max albero radice 2? min albero radice 8? 8 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 11 / 78
14 Alberi binari di ricerca Minimo-massimo Minimo-massimo Tree min(tree T ) Tree u = T while u.left nil do u = u.left return u Tree max(tree T ) Tree u = T while u.right nil do u = u.right return u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 12 / 78
15 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Esempio 1 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u Successore di 12? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 13 / 78
16 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Esempio 2 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u Successore di 2? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 14 / 78
17 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Caso 1 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u u 6 Successore di u? s 3 8 u 12 s 9 15 Caso 1 u ha figlio destro Il successore v è il minimo del sottoalbero destro di u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 15 / 78
18 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Esempio 3 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u 6 Successore di 9? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 16 / 78
19 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Esempio 4 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u 6 Successore di 4? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 17 / 78
20 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Caso 2 Definizione Il successore di un nodo u è il più piccolo nodo maggiore di u s 6 Successore di u? 2 u 8 s Caso 2 u non ha figlio destro u 9 15 Risalendo attraverso i padri, il successore è il primo avo v tale per cui u sta nel sottoalbero sinistro di v Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 18 / 78
21 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore Successore-predecessore Implementazione Tree successornode(tree t) if t == nil then return t if t.right nil then % Caso 1 return min(t.right) else % Caso 2 Tree p = t.parent while p nil and t == p.right do t = p p = p.parent return p Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 19 / 78
22 Alberi binari di ricerca Successore-predecessore min diventa max Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 20 / 78 Successore-predecessore Implementazione Tree predecessornode(tree t) if t == nil then return t if t.left nil then % Caso 1 return max(t.left) else % Caso 2 Tree p = t.parent while p nil and t == p.left do t = p p = p.parent return p Tree successornode(tree t) if t == nil then return t if t.right nil then % Caso 1 return min(t.right) else % Caso 2 Tree p = t.parent while p nil and t == p.right do t = p p = p.parent return p Per passare da successore a predecessore right diventa left
23 Alberi binari di ricerca Inserimento Inserimento insertnode() Tree insertnode(tree T, Item k, Item v) Inserisce un associazione chiave-valore (k, v) nell albero T Se la chiave è già presente, sostituisce il valore associato; altrimenti, viene inserita una nuova associazione. Se T == nil, restituisce il primo nodo dell albero. Altrimenti, restituisce T inalterato Implementazione dizionario insert(item k, Item v) tree = insertnode(tree, k, v) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 21 / 78
24 Alberi binari di ricerca Inserimento Inserimento esempio 6 Valore da inserire: u = < 6; u = 2 (Sinistra) 5 > 2; u = 4 (Destra) 5 > 4; u = nil (Destra) Inserito Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 22 / 78
25 Alberi binari di ricerca Inserimento Inserimento implementazione Tree insertnode(tree T, Item k, Item v) Tree p = nil % Padre Tree u = T while u nil and u.key k do % Cerca posizione inserimento p = u u = iif(k < u.key, u.left, u.right) if u nil and u.key == k then u.value = v % Chiave già presente else Tree new = Tree(k, v) % Crea un nodo coppia chiave-valore link(p, new, k) if p == nil then T = new % Primo nodo ad essere inserito return T % Restituisce albero non modificato o nuovo nodo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 23 / 78
26 Alberi binari di ricerca Inserimento Inserimento implementazione link(tree p, Tree u, Item k) if u nil then u.parent = p if p nil then if k < p.key then p.left = u else p.right = u % Registrazione padre % Attaccato come figlio sinistro % Attaccato come figlio destro Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 24 / 78
27 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Tree removenode(tree T, Item k) Rimuove il nodo contenente la chiave k dall albero T Restituisce la radice dell albero (potenzialmente cambiata) Implementazione dizionario remove(item k) tree = removenode(tree, k) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 25 / 78
28 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione p 3 5 u Caso 1 Il nodo da eliminare u non ha figli elimi- Semplicemente si na! Esempio Eliminazione 5 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 26 / 78
29 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 2 p 6 8 Caso 2 Il nodo da eliminare u ha un solo figlio f Si elimina u 1 3 f Si attacca f all ex-padre p di u in sostituzione di u (short-cut) Esempio Eliminazione 4 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 27 / 78
30 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 7 2 u Caso 3 Il nodo da eliminare u ha due figli Eliminazione 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 28 / 78
31 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 7 2 u s Caso 3 Si individua il successore s di u Il successore non ha figlio sinistro Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 28 / 78
32 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 7 2 u s Caso 3 4 Si stacca il successore Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 28 / 78
33 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 7 2 u s Caso Si attacca l eventuale figlio destro di s al padre di s (short-cut) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 28 / 78
34 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione 7 3 u Caso 3 Si copia s su u 4 4 Si rimuove il nodo s Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 28 / 78
35 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Implementazione Tree removenode(tree T, Item k) Tree t Tree u = lookupnode(t, k) if u nil then if u.left == nil and u.right == nil then % Caso 1 link(u.parent, nil, k) delete u else if u.left nil and u.right nil then % Caso 3 [...] else % Caso 2 [...] return T Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 29 / 78
36 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Implementazione Tree removenode(tree T, Item k) Tree t Tree u = lookupnode(t, k) if u nil then if u.left == nil and u.right == nil then % Caso 1 [...] else if u.left nil and u.right nil then % Caso 3 Tree s = successornode() link(s.parent, s.right, s.key) u.key = s.key u.value = s.value delete s else % Caso 2 [...] return T Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 30 / 78
37 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Implementazione Tree removenode(tree T, Item k) Tree t Tree u = lookupnode(t, k) if u nil then if u.left == nil and u.right == nil then % Caso 1 [...] else if u.left nil and u.right nil then % Caso 3 [...] else if u.left nil and u.right == nil then % Caso 2 link(u.parent, u.left, k) if u.parent = nil then T = u.left else link(u.parent, u.right, k) if u.parent = nil then T = u.right return T Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 31 / 78
38 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Dimostrazione Caso 1 - nessun figlio Eliminare foglie non cambia l ordine dei nodi rimanenti Caso 2 - solo un figlio (destro o sinistro) Se u è il figlio destro (sinistro) di p, tutti i valori nel sottoalbero di f sono maggiori (minori) di p Quindi f può essere attaccato come figlio destro (sinistro) di p al posto di u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 32 / 78
39 Alberi binari di ricerca Cancellazione Cancellazione Dimostrazione Caso 3 - due figli Il successore s è sicuramente dei nodi nel sottoalbero sinistro di u è sicuramente dei nodi nel sottoalbero destro di u quindi può essere sostituito a u A quel punto, si ricade nel caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 33 / 78
40 Alberi binari di ricerca Costo computazionale Costo computazionale Ricerca: costo computazionale nerale Osservazione e operazioni di ricerca sono onfinate Tutte ai le nodi operazioni posizionati sono confinate ai nodi posizionati lungo un cammino semplice dalla ungo un singolo percorso path) dalla radice ad una foglia radice ad una foglia empo di ricerca: O(h) h = Altezza dell albero anda Tempo di ricerca: O(h) ual è il caso pessimo? anda Domande ual è il caso Qualottimo? è il caso pessimo? Qual è il caso ottimo? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 34 / 78
41 Alberi binari di ricerca Costo computazionale Costo computazionale Osservazione Le operazioni di ricerca sono confinate ai nodi posizionati lungo un cammino semplice dalla radice ad una foglia h = Altezza dell albero Tempo di ricerca: O(h) Domande Qual è il caso pessimo? Qual è il caso ottimo? Caso pessimo: h = O(n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 35 / 78
42 Alberi binari di ricerca Costo computazionale Costo computazionale Osservazione Le operazioni descritte sono confinate ai nodi posizionati lungo un cammino semplice dalla radice ad una foglia Caso ottimo: h = O(log n) h = Altezza dell albero Tempo di ricerca: O(h) Domande Qual è il caso pessimo? Qual è il caso ottimo? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 36 / 78
43 Algoritmi e Strutture Dati Alberto Montresor Università di Trento 2018/10/25 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
44 Altezza degli ABR Qual è l altezza media di un albero di ricerca? Caso "semplice": inserimenti in ordine casuale E possibile dimostrare che l altezza media è O(log n) Caso generale (inserimenti + cancellazioni): Difficile da trattare Nella realtà Non ci si affida al caso Si utilizzano tecniche per mantenere l albero bilanciato Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 37 / 78
45 ABR bilanciati Fattore di bilanciamento Il fattore di bilanciamento β(v) di un nodo v è la massima differenza di altezza fra i sottoalberi di v Alberi AVL (Adelson-Velskii e Landis, 1962) β(v) 1 per ogni nodo v Bilanciamento ottenuto tramite rotazioni B-Alberi (Bayer, McCreight, 1972) β(v) = 0 per ogni nodo v Specializzati per strutture in memoria secondaria Alberi 2-3 (Hopcroft, 1983) β(v) = 0 per ogni nodo v Bilanciamento ottenuto tramite merge/split, grado variabile Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 38 / 78
46 Esempio di rotazione Rotazione v u u T3 v T2 T1 T2 T3 T1 Alberto Montresor!27 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 39 / 78
47 Alberi Red-Black Definizioni Alberi Red-Black Un albero red-black è un albero binario di ricerca in cui: Ogni nodo è colorato di rosso o di nero Le chiavi vengono mantenute solo nei nodi interni dell albero Le foglie sono costituite da nodi speciali Un albero red-black deve rispettare questi vincoli 1 La radice è nera 2 Tutte le foglie sono nere 3 Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri 4 Ogni cammino semplice da un nodo u ad una delle foglie contenute nel sottoalbero radicato in u hanno lo stesso numero di nodi neri Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 40 / 78
48 Alberi Red-Black Definizioni Alberi Red-Black Memorizzazione Tree Tree parent Tree left Tree right int color Item key Item value Nodi Nodo sentinella il cui scopo è evitare di trattare diversamente i puntatori ai nodi dai puntatori nil Al posto di un puntatore nil, si usa un puntatore ad un nodo Ne esiste solo uno, per risparmiare memoria Nodo con figli foglia nell ABR corrispondente Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 41 / 78
49 Alberi Red-Black Definizioni Altezza nera Altezza nera di un nodo v L altezza nera b(v) di un nodo v è il numero di nodi neri lungo ogni percorso da v (escluso) ad ogni foglia (inclusa) del suo sottoalbero. Altezza nera di un albero Red-Black L altezza nera di un albero Red-Black è pari all altezza nera della sua radice Entrambe ben definite perché tutti i percorsi hanno lo stesso numero di nodi neri (Vincolo 4) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 42 / 78
50 Alberi Red-Black Esempi Esempi Alberi 3. Red-Black: Entrambiesempio i figli di I un nodo rosso sono neri.. Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri. Ma un nodo nero può avere figli neri! Ma un nodo nero può avere figli neri! Alberi Red-Black: esempio I Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri. Ma un nodo nero può avere figli neri! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
51 Alberi Red-Black Esempi Esempi 4. Ogni percorso da un nodo interno ad un nodo ha lo stesso numero di nodi neri. Altezza nera di questo albero: 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
52 Alberi Red-Black Esempi Esempi Più colorazioni sono possibili Versione 1 Altezza nera di questo albero: 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
53 Alberi Red-Black Esempi Esempi Più colorazioni sono possibili Versione 2 Altezza nera di questo albero: 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
54 Alberi Red-Black Esempi Esempi Cambiare colorazione può cambiare l altezza nera Altezza nera di questo albero: 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
55 Alberi Red-Black Esempi Esempi Cambiare colorazione può cambiare l altezza nera Stesso albero, altezza nera di questo albero: 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
56 Alberi Red-Black Esempi Esempi Questo albero può essere un albero Red-Black? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
57 Alberi Red-Black Esempi Esempi Per il vincolo 4, l altezza nera massima deve essere 3. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
58 Alberi Red-Black Esempi Esempi Supponiamo che 60 e 70 siano entrambi neri. Impossibile per il vincolo 3. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
59 Alberi Red-Black Esempi Esempi Quindi, almeno uno fra 60 e 70 deve essere rosso. Per il vincolo 3, al massimo uno fra 60 e 70 deve essere rosso. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
60 Alberi Red-Black Esempi Esempi Proviamo a colorare di rosso il nodo 60. Esistono percorsi con 2 nodi neri e con 3 nodi neri. Impossibile per il vincolo 4. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
61 Alberi Red-Black Esempi Esempi Proviamo a colorare di rosso il nodo 70. Esistono 2 percorsi con 2 nodi neri; per il vincolo 4, devono esserci al più 2 nodi neri lungo tutti i percorsi! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
62 Alberi Red-Black Esempi Esempi Questa è l ultima possibilità. Impossibile perchè non rispetta il vincolo 1 (La radice deve essere nera) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
63 Alberi Red-Black Esempi Esempi Questo albero non può essere un albero Red-Black! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 43 / 78
64 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Durante la modifica di un albero Red-Black È possibile che le condizioni di bilanciamento risultino violate Quando i vincoli Red-Black vengono violate si può agire: Modificando i colori nella zona della violazione Operando dei ribilanciamenti dell albero tramite rotazioni Rotazione destra Rotazione sinistra Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 44 / 78
65 Alberi Red-Black Inserimento Rotazione a sinistra Rotazione a sinistra TREE rotateleft(tree x) TREE y x.right TREE p x.parent (1) x.right y.left % Il sottoalbero B diventa figlio destro di x (1) if y.left = nil then y.left.parent x (2) y.left x % x diventa figlio sinistro di y (2) x.parent y (3) y.parent p % y diventa figlio di p (3) if p = nil then if p.left = x then p.left y else p.right y return y p Operazioni (1) far diventare B figlio destro di x (2) far diventare x il figlio sinistro di y (3) far diventare y figlio di p, il vecchio padre di x A x B y C Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 45 / 78!46
66 Alberi Red-Black Inserimento Rotazione a sinistra Rotazione a sinistra TREE rotateleft(tree x) TREE y x.right TREE p x.parent (1) x.right y.left % Il sottoalbero B diventa figlio destro di x (1) if y.left = nil then y.left.parent x (2) y.left x % x diventa figlio sinistro di y (2) x.parent y (3) y.parent p % y diventa figlio di p (3) if p = nil then if p.left = x then p.left y else p.right y return y p Operazioni (1) far diventare B figlio destro di x (2) far diventare x il figlio sinistro di y (3) far diventare y figlio di p, il vecchio padre di x A x B y C Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 45 / 78!46
67 Alberi Red-Black Inserimento Rotazione a sinistra Rotazione a sinistra TREE rotateleft(tree x) TREE y x.right TREE p x.parent (1) x.right y.left % Il sottoalbero B diventa figlio destro di x (1) if y.left = nil then y.left.parent x (2) y.left x % x diventa figlio sinistro di y (2) x.parent y (3) y.parent p % y diventa figlio di p (3) if p = nil then if p.left = x then p.left y else p.right y return y p Operazioni (1) far diventare B figlio destro di x (2) far diventare x il figlio sinistro di y (3) far diventare y figlio di p, il vecchio padre di x A x B y C Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 45 / 78!47
68 Alberi Red-Black Inserimento Rotazione a sinistra Rotazione a sinistra TREE rotateleft(tree x) TREE y x.right TREE p x.parent (1) x.right y.left % Il sottoalbero B diventa figlio destro di x (1) if y.left = nil then y.left.parent x (2) y.left x % x diventa figlio sinistro di y (2) x.parent y (3) y.parent p % y diventa figlio di p (3) if p = nil then if p.left = x then p.left y else p.right y return y p Operazioni (1) far diventare B figlio destro di x (2) far diventare x il figlio sinistro di y (3) far diventare y figlio di p, il vecchio padre di x A x B y C Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 45 / 78!48
69 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento in alberi Red-Black Inserimento Si cerca la posizione usando la stessa procedura usata per gli alberi binari di ricerca Si colora il nuovo nodo di rosso Quale dei quattro vincoli può essere violato? 1 La radice è nera 2 Tutte le foglie sono nere 3 Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri 4 Ogni cammino semplice da un nodo u ad una delle foglie contenute nel sottoalbero radicato in u hanno lo stesso numero di nodi neri Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 46 / 78
70 Alberi Red-Black Inserimento Come modificare la insertnode() Tree insertnode(tree T, Item k, Item v) Tree p = nil Tree u = T while u nil and u.key k do p = u u = iif(k < u.key, u.left, u.right) if u nil and u.key == k then u.value = v else Tree new = Tree(k, v) link(p, new, k) balanceinsert(new) if p == nil then T = n % Padre % Cerca posizione inserimento % Chiave già presente % Crea un nodo coppia chiave-valore % Primo nodo ad essere inserito return T % Restituisce albero non modificato o nuovo nodo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 47 / 78
71 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento in alberi Red-Black Principi generali Ci spostiamo verso l alto lungo il percorso di inserimento Ripristinare il vincolo 3 (figli neri di nodo rossso) Spostiamo le violazioni verso l alto rispettando il vincolo 4 (mantenendo l altezza nera dell albero) Al termine, coloriamo la radice di nero (vincolo 1) Nota Le operazioni di ripristino sono necessarie solo quando due nodi consecutivi sono rossi! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 48 / 78
72 Alberi Red-Black Inserimento balanceinsert(tree t) balancenode(tree t) Nodi coinvolti Il nodo inserito t n Suo padre p p z Suo nonno n Suo zio z t balanceinsert(tree t) t.color RED while t 6= nil do TREE p t.parent % Padre TREE n iif(p 6= nil, p.parent, nil) % Nonno TREE z iif(n = nil, nil, iif(n.left = p, n.right, n.left)) % Zio if p = nil then % Caso (1) Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 49 / 78!52
73 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 1: Caso 2 Nuovo nodo t non ha padre Primo nodo ad essere inserito o siamo risaliti fino alla radice Si colora t di nero Padre p di t è nero Nessun vincolo violato $%& # # #<!"# $'& # ( #<!"# $-.&, "! "! "! Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 50 / 78!53
74 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 1: Caso 2 Nuovo nodo t non ha padre Primo nodo ad essere inserito o siamo risaliti fino alla radice Si colora t di nero Padre p di t è nero Nessun vincolo violato while t = nil do TREE p t.parent % Padre TREE n iif(p.parent = nil, p.parent, nil) % Nonno TREE z iif(n = nil, nil, iif(n.left = p, right, left)) % Zio if p = nil then % Caso (1) t.color BLACK t nil else if p.color = BLACK then % Caso (2) t nil else if color then % Caso (3) Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 51 / 78!54
75 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 3 t rosso p rosso z rosso Se z è rosso, è possibile colorare di nero p, z, e di rosso n. Poiché tutti i cammini che passano per z e p passano per n, la lunghezza dei cammini neri non è cambiata. Il problema può essere ora sul nonno: violato vincolo (1), ovvero n può essere una radice rossa violato vincolo (3), ovvero n rosso può avere un padre rosso. Poniamo t = n, e il ciclo continua. * * #<* ( + ( + $)& # #, 0 /, 0 / "! "! Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 52 / 78!55
76 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 3 Se z è rosso, è possibile colorare di nero p, z, e di rosso n. t rosso p rosso z rosso Poiché tutti i cammini che passano per z e p passano per n, la lunghezza dei cammini neri non è cambiata. Il problema può essere ora sul nonno: violato vincolo (1), ovvero n può essere una radice rossa violato vincolo (3), ovvero n rosso può avere un padre rosso. Poniamo t = n, e il ciclo continua. nil else if z.color = RED then % Caso (3) p.color z.color BLACK n.color RED t n else Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 53 / 78!56
77 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 4a,4b t rosso p rosso z nero Si assuma che t sia figlio destro di p e che p sia figlio sinistro di n Una rotazione a sinistra a partire dal nodo p scambia i ruoli di t e p ottenendo il caso (5a), dove i nodi rossi in conflitto sul vincolo (3) sono entrambi figli sinistri dei loro padri I nodi coinvolti nel cambiamento sono p e t, entrambi rossi, quindi la lunghezza dei cammini neri non cambia $12& $13&45(67892:6 * * #<( ( + # + # ( " 0 /, 0 /!, "! Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 54 / 78!57
78 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 4a,4b Si assuma che t sia figlio destro di p e che p sia figlio sinistro di n t rosso Una rotazione a sinistra a partire dal nodo p scambia i ruoli di t e p rosso p ottenendo il caso (5a), dove i nodi rossi in conflitto sul vincolo (3) sono entrambi figli sinistri dei loro padri z nero I nodi coinvolti nel cambiamento sono p e t, entrambi rossi, quindi la lunghezza dei cammini neri non cambia t n else if (t = p.right) and (p = n.left) then % Caso (4.a) n.left rotateleft(p) t p else if (t = p.left) and (p = n.right) then % Caso (4.b) n.right rotateright(p) t p else Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 55 / 78!58
79 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 5a,5b t rosso p rosso z nero Si assuma che t sia figlio sinistro di p e p sia figlio sinistro di n Una rotazione a destra a partire da n ci porta ad una situazione in cui t e n sono figli di p Colorando n di rosso e p di nero ci troviamo in una situazione in cui tutti i vincoli Red-Black sono rispettati in particolare, la lunghezza dei cammini neri che passano per la radice è uguale alla situazione iniziale $;2& $;3&45(67892:6 * ( #<!"# ( + # * # +, 0 / "!, "! 0 / Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 56 / 78!59
80 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento 7 casi possibili Inserimento - 7 casi possibili Caso 5a,5b t rosso p rosso z nero Si assuma che t sia figlio sinistro di p e p sia figlio sinistro di n Una rotazione a destra a partire da n ci porta ad una situazione in cui t e n sono figli di p Colorando n di rosso e p di nero ci troviamo in una situazione in cui tutti i vincoli Red-Black sono rispettati in particolare, la lunghezza dei cammini neri che passano per la radice è uguale alla situazione iniziale else if (t = p.left) and (p = n.left) then n.left rotateright(n) else if (t = p.right) and (p = n.right) then n.right rotateleft(n) p.color BLACK n.color RED t nil % Caso (5.a) % Caso (5.b) Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 57 / 78!60
81 Alberi Red-Black Inserimento All together, now! All together, now! balanceinsert(tree t) t.color RED while t = nil do TREE p t.parent % Padre TREE n iif(p = nil, p.parent, nil) % Nonno TREE z iif(n = nil, nil, iif(n.left = p, n.right, n.left)) % Zio if p = nil then % Caso (1) t.color BLACK t nil else if p.color = BLACK then % Caso (2) t nil else if z.color = RED then % Caso (3) p.color z.color BLACK n.color RED t n else if (t = p.right) and (p = n.left) then % Caso (4.a) rotateleft(p) t p else if (t = p.left) and (p = n.right) then % Caso (4.b) rotateright(p) t p else if (t = p.left) and (p = n.left) then % Caso (5.a) rotateright(n) else if (t = p.right) and (p = n.right) then % Caso (5.b) rotateleft(n) p.color BLACK n.color RED t nil Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 58 / 78!61
82 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black 30 T t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 59 / 78!62
83 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black 30 T t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 60 / 78!62
84 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è nero, t è rosso 30 T t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 61 / 78!63
85 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è nero, t è rosso 30 T t Caso 2: nessun cambiamento Non cambia l altezza nera di nessun nodo! Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 62 / 78!63
86 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black: 30 T x Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 63 / 78!64
87 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black: 30 T x Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 64 / 78!64
88 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso T n p z t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 65 / 78!65
89 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso T Vincolo 3 è violato n p z t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 66 / 78!65
90 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso T Vincolo 3 è violato Caso 3: z è rosso n p z t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 67 / 78!65
91 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso 30 T Coloriamo di nero p Coloriamo di nero z Coloriamo di rosso n n p z t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 68 / 78!66
92 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso 30 T t Vincolo 3 è ripristinato Altri vincoli mai stati violati Il padre del padre di t è il nuovo t Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 69 / 78!67
93 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso 30 T Caso 5a: z è nero t p n z Vincolo 3 è nuovamente violato tra il nuovo t e suo padre Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 70 / 78!68
94 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black p è rosso, t è rosso 30 T Caso 5a: z è nero x Coloriamo di nero t Coloriamo di rosso n Rotazione sinistra Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 71 / 78!69
95 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black T p è rosso, t è rosso 30 Caso 5a: z è nero 15 t Vincolo 3 è ripristinato Altri vincoli mai stati violati Abbiamo finito Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 72 / 78!70
96 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Esempio Inserimento in alberi Red-Black 30 T x L unico caso un cui si procede a ripristinare verso l alto è il caso 3. Negli altri casi, si esce dal while e si termina Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 73 / 78!71
97 Alberi Red-Black Inserimento Inserimento Complessità Complessità totale: O(log n) O(log n) per scendere fino al punto di inserimento O(1) per effettuare l inserimento O(log n) per risalire e aggiustare (caso 3) Nota E possibile effettuare una top-down insertion Si scende fino al punto di inserimento, aggiustando l albero mano a mano Si effettua l inserimento in una foglia Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 74 / 78
98 Alberi Red-Black Cancellazione Cancellazione in Alberi Red-Black L algoritmo di cancellazione per alberi Red-Black è costruito sull algoritmo di cancellazione per alberi binari di ricerca Dopo la cancellazione si deve decidere se è necessario ribilanciare o meno Le operazioni di ripristino del bilanciamento sono necessarie solo quando il nodo cancellato è nero! Perché? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 75 / 78
99 Alberi Red-Black Cancellazione Cancellazione in Alberi Red-Black Se il nodo cancellato è rosso Altezza nera invariata Non sono stati creati nodi rossi consecutivi La radice resta nera Se il nodo cancellato è nero Possiamo violare il vincolo 1: la radice può essere un nodo rosso Possiamo violare il vincolo 3: se il padre e uno dei figli del nodo cancellato erano rossi Abbiamo violato il vincolo 4: altezza nera cambiata L algoritmo balancedelete(t, t) ripristina la proprietà Red-Black con rotazioni e cambiamenti di colore. Ci sono 4 casi possibili (e 4 simmetrici)! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 76 / 78
100 Alberi Red-Black Cancellazione Cancellazione in Alberi Red-Black balancedelete(tree T, Tree t) while t T and t.color = black do Tree p = t.parent % Padre if t = p.left then Tree f = p.right % Fratello Tree ns = f.left % Nipote sinistro Tree nd = f.right % Nipote destro if f.color == red then % (1) p.color = red f.color = black rotateleft(p) % t viene lasciato inalterato, quindi si ricade nei casi (2),(3),(4) else if ns.color == nd.color == black then % (2) f.color = red t = p else if ns.color == red and nd.color == black then % (3) ns.color = black f.color = red rotateright(f) % t viene lasciato inalterato, quindi si ricade nel caso (4) else if nd.color == red then % (4) f.color = p.color p.color = black nd.color = black rotateleft(p) t = T else Alberto Montresor % Casi (5)-(8) (UniTN) speculari a (1)-(4) ASD - Strutture dati 2018/10/25 77 / 78
101 Alberi Red-Black Cancellazione Cancellazione in Alberi Red-Black La cancellazione è concettualmente complicata, ma efficiente Dal caso (1) si passa ad uno dei casi (2), (3), (4) Dal caso (2) si torna ad uno degli altri casi, ma risalendo di un livello l albero Dal caso (3) si passa al caso (4) Nel caso (4) si termina Complessità In altre parole, è possibile visitare al massimo un numero O(log n) di casi, ognuno dei quali è gestito in tempo O(1) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2018/10/25 78 / 78
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