Ottimizzazione Combinatoria Flussi, Cammini e Tagli

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1 Oimizzazione Combinaoria Flui, Cammini e Tagli Prof. Anonio Saano Diparimeno di Informaica e Siemiica Univerià di Roma La Sapienza A.A.

2 DATI: Un grafo orienao G(N,A) Un veore capacià c A DIREMO: FLUSSO di (G, G,c,d) u - un veore x R A ale che: (x,c ) (,) Fluo in un grafo orienao Un veore domanda d R N (,) u - v - N (u) (,) (,) (,) N + (u) [ vincolo di capacià ] x c x + i x - viu v N ( u) v N ( u) i fluo enrane (,) i d u (,) (,) - (,) (,) 5 u - fluo ucene [ree di fluo enza guadagno] (,) (,) N 6 6 (,) domanda

3 Problema del Fluo di Coo Minimo DATO: un veore di coi aociai agli archi w R A (MCF) min w v N i T x x E w viu + ( u) vi N x c x x ( u) coefficieni della riga aociaa al nodo u, i d u, A u N u + v u : v N ( u) : v N ( u) i i (MCF) i - i - - riga u della marice di incidenza M min w T x Mx d A x c Archi non incideni in u min w T x x Q Q x : Mx d, A x { c }

4 Eempio: Problema di Diribuzione Un grafo orienao G(N,A) Nodo Sazione Arco Traa ferroviaria c R A Numero di vagoni diponibili ulla raa d u negaiva: Diponibilià del bene miuraa in vagoni d u poiiva: Domanda del bene miuraa in vagoni w R A Coo per vagone (,) Problema: Trovare min{w T x: x Fluo} (,) (,) (,) - (,) (,) x R A Fluo x Vagoni uilizzai ulla raa c Vagoni diponibili ulla raa Ma non ui i flui ono acceabili! 5 - (,) 6 (,)

5 Soluzioni frazionarie e inere (/,) - (8/,) (/,) (,) (,) (8/,) 5 - (7/,) 6 (5/,) x fluo frazionario w T x non è il vero coo.. il vero coo è w T x e occupiamo / vagoni dobbiamo pagare vagoni dobbiamo arroondare la oluzione x ad x w T x è il coo olo e x ha componeni inere Vogliamo flui ineri (,) (,) (,) (,) - (,) (,) 5 - (,) 6 (,)

6 Fluo inero di coo minimo S { x, x,, x m } x i Z A A fluo inero di di (G,c,d) min { w T x: : x S x } Problema di Oimizzazione Combinaoria P S conv(s) Formulazione Q Mx d M d A x R : Mx d M x d, x n Ix c I c P S Q?

7 Fluo inero di coo minimo (II) Q conv(s) )? Q Mx d M d A x R : Mx d M x d, x n Ix c I c M TUM? Applichiamo il crierio di oale unimodularià con Q N e Q M M I Q oalmene unimodulare Ogni verice di Q ha componeni inere P S Q fluo combinazione convea di flui ineri -

8 (MCF) Fluo inero di Coo Minimo min w T x x Q A w x { x : Mx d, x c } Q A Q formulazione oima Problema di Programmazione Lineare oimo x * Z A fluo inero di (G,c,d) Vediamo due imporani cai paricolari

9 DATI: Cammino di coo minimo da a - Grafo orienao e conneo G(N,A) - Due nodi peciali e - cammino orienao da ad ogni u N - Coi ugli archi w A Coo di un cammino P di G(N,A) w ( A(P )) w(p ) w A( P ) a b d w d c P*{d,dc,cf,f} c(p*)7 7 P{f,f} c(p)8 f TROVARE: Il CAMMINO ORIENTATO P* da a avene COSTO MINIMO P*: w(p*) w(p) cammino orienao P da a di G(N,A) A vole, per emplicià di noazione, e quando queo non produce confuione denoeremo con P l inieme A(P)

10 Veore di Incidenza di un Cammino Rappreenazione di un cammino Definizione: x P {,} A veore di incidenza di P P x P b a c P x P P Proprieà di x P x P u - u δ G () x P + u u δ G () (i) Da ece un olo arco di un cammino P x P u - u δ G () (ii) In enra un olo arco di P x P - δ G (v) x P vu + vu δ G (v) x P + u u δ G () (iii) In ogni nodo v {,} Numero archi di P enrani Numero archi di P uceni d x P f a b c bc ac cf da df d c f

11 Flui - e Cammini DATI: Un grafo orienao G(N,A) Un veore capacià c A Un veore domanda d min w T x A w x Q x fluo inero di (G, d, A ) Q { x Mx d, x } : A

12 Rappreenazione grafica di x Q (Supporo) DEFINIZIONE: Dao un veore x diremo SUPPORTO di x l inieme di archi S(x){e A: x e >} Rappreeneremo un veore x evidenziando gli archi del upporo (ad e. in roo) e (a vole) indicando il valore della componene di x e accano all arco e

13 Veore di incidenza di un cammino fluo inero x P veore di incidenza di un cammino orienao P (i) da ece un olo arco di P (ii) in enra un olo arco di P (iii) In ogni nodo v {,} (, ) (,) - (, ) (,) (,) (,) 5 (, ) (, ) - un arco di P enrane e un arco di P ucene OPPURE - neun arco di P enrane o ucene x P fluo inero di (G, d, A ) Vicevera? No! (, ) (,) - (, ) (,) (,) (,) 5 (, ) (,)

14 Flui ineri e verici di Q I verici di Q ono (flui) ineri (M oalmene unimodulare) ma non ui i flui a componeni inere x Q ono verici / (, ) (,) - (, ) (,) (,) (,) 5 (,) (, ) (,) - (,) + / (,) (,) (,) 5 (, ) (,) - (, ) (,) (,) (,) (,) 5 (,) E allora quali ono i verici di Q? (SBA)

15 x P Veori del Poliedro dei Cammini (Eempi) Q { x R A : Mxb, x A } x P Q P cammino - - x - x - x + x x - x - x x + x - x x P P cammino - x P Q ^x / / / / / / / / ^ x Q / / Non è un cammino!

16 Q Soluzioni Ammiibili di Bae (SBA) { x Mx d, x } : A Poliedro dei cammini da a A n ; N m n m [G conneo coniene un albero ricoprene ] rango(m) m- [ Teorema ] M M Mx M M una riga di M ridondane Bae B oomarice (m- m-) non-ingolare di M b Poiamo eliminare la prima riga oenendo la marice b M Verice (SBA) x B b nm + n

17 Soluzioni di Bae TEOREMA F: x Q è una Soluzione di Bae (SBA) e e olo e S(x ){e A: x e >} (upporo di x ) è una FORESTA di G(N,A) DIMOSTRAZIONE: Verice (SBA) x B b nm + n B oomarice (m- m-) non-ingolare di M Gli archi T B corripondeni alle colonne di B definicono un ALBERO RICOPRENTE Quindi: e x è una SOLUZIONE DI BASE x è una oluzione di bae NON-DEGENERE S(x ) T B S(x ) Albero x è una oluzione di bae DEGENERE S(x ) T B S(x ) Forea Vicevera: e S(x ) FORESTA G(N,A) conneo albero ricoprene T S(x ) La oomarice B di M le cui colonne corripondono agli archi di T (e le cui righe ono m- righe di M) è non-ingolare TT B T B ALBERO RICOPRENTE x Q Soluzione di Bae

18 Soluzioni di Bae / x Q x Q / / SOLUZIONE NON DI BASE SOLUZIONE DI BASE / / x Q x Q / / SOLUZIONE NON DI BASE SOLUZIONE DI BASE

19 Soluzioni di Bae e Cammini TEOREMA F: x Q è una SOLUZIONE AMMISSIBILE DI BASE e e olo e è VETTORE DI INCIDENZA DI UN CAMMINO ORIENTATO P da a. DIMOSTRAZIONE: x è una SOLUZIONE AMMISSIBILE DI BASE [Teorema F] Gli archi in S(x ) definicono una FORESTA H(N,S(x )) di G(N,A) Sia z una foglia di H divera da e e ia f S(x ) l unico arco incidene u z L equazione del iema Mx b corripondene a z arà: - x (δ G (z)) - + x (δ G (z)) x f e f δ G (z) - - x (δ G (z)) - + x (δ G (z)) - x f e f δ G (z) + Conraddicendo l ipoei che f S(x ) f z Neun nodo z, è una foglia di H

20 Teorema F (...) Quindi: Neun nodo z, è una foglia di H Ma H è una forea e ogni ua componene connea che coniene un arco ha almeno due foglie H ha olo due foglie e f z H H ha una ola componene connea con un arco Ovvero: H è un CAMMINO P CON ESTREMI e (più nodi iolai) e v e p P(v,e,v,e,v,...,v p,e p,v p+ ) Ma x Q ed è quindi un fluo inero v v p H In ogni nodo z, ho un arco enrane e uno ucene x è il veore di incidenza di un cammino orienao da a e e e p v v p+ v v v v p

21 Cammini Minimi e Programmazione Lineare TROVARE: Il CAMMINO ORIENTATO P* da a avene COSTO MINIMO w(p) w w x P wt x P A(P) A TROVARE: Un VETTORE DI INCIDENZA x P di un CAMMINO ORIENTATO P da a avene COSTO MINIMO w T x P [Teorema F] TROVARE: Una SOLUZIONE DI BASE (VERTICE) x del Poliedro Q {x R A : Mxb, x A } avene COSTO MINIMO w T x [Teoria della Programmazione Lineare] RISOLVERE IL PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE: (CM) min w T x min w T x Mxb x Q { x R A : Mxb, x A } x A Il METODO DEL SIMPLESSO individua la oluzione di bae (verice) avene coo minimo.

22 Problema Primale e Problema Duale PROBLEMA PRIMALE: (CM) min c T x Mxb x A u v - - PROBLEMA DUALE: (DCM) max b T y M T y c PROBLEMA DUALE: (DCM) max y -y y v - y u c b T M b u v - - per ogni A M T rango(m)n- Una (qualunque) riga di M è ridondane Poiamo eliminare la riga corripondene ad e porre y

23 Eempi di oluzioni primali e duali PROBLEMA PRIMALE: (CM) min c T x Mxb x A PROBLEMA DUALE: (DCM) max y y v - y u c y per ogni A

24 Ammiibilià e Limiaezza PROBLEMA PRIMALE: (CM) min c T x Mxb x A PROBLEMA DUALE: (DCM) max y y v - y u c y per ogni A IPOTESI Eie un cammino orienao da a Il problema primale ammee empre una oluzione Il problema primale può eere illimiao inferiormene? ovvero: il problema duale può non ammeere oluzioni? ESEMPIO -5 y y y - y y - y -5 y - y y y y - y non ammee oluzioni!

25 Condizione di Limiaezza TEOREMA F: Il Problema Duale ammee oluzioni (il Problema Primale non è illimiao) e e olo e il grafo G(N,A) non ha cicli orienai di coo oale negaivo. DIMOSTRAZIONE: (pare e) Se G(N,A) non coniene cicli con coo negaivo Sia P * u il cammino di lunghezza minima da ad un generico nodo u N-{} [ è foremene conneo ad ogni u] Poni y u c(p * u) per ogni u N-{} Se y v y u c per ogni A y è una oluzione duale Se, invece, y v y u > c per qualche A c(p * v) c(p * u) > c c(p * v) >c(p * u)+c v Se v non appariene a P * u(,,u) P (,,u,,v) è un cammino con: c(p )c(p * u)+c < c(p * v) CONTRADDIZIONE P * v P * u P u Quindi: v appariene a P * u(,,u) Deo P (v,,u) il oo-cammino di P * u da v ad u C P {} è un ciclo c(p * v)>c(p * v)+c(p )+c >c(p )+c c(c) P * v C v P CICLO NEGATIVO! u

26 Condizione di Limiaezza ( ) (pare olo e) Se y è una oluzione duale G(N,A) non coniene cicli negaivi Supponi (per aurdo) che C(,,,,k,k,) ia un ciclo di G(N,A) avene coo oale c(c) negaivo. Poichè y è una oluzione duale abbiamo: y y c y y c y y k c k c(c)< + k k- CONTRADDIZIONE

27 Condizioni di Scaro Complemenare PROBLEMA PRIMALE: (CM) min c T x Mxb x A PROBLEMA DUALE: (DCM) max y y v - y u c y per ogni A x oluzione del primale y oluzione del duale CONDIZIONI DI SCARTO COMPLEMENTARE (x,y ) ono OTTIME per i ripeivi problemi e e olo e: x (c - y v + y u ) per ogni A x* VETTORE DI INCIDENZA DI UN CAMMINO P* è OTTIMO Se e olo e eie una oluzione duale y* ale che: y* v y* u +c per ogni A con x* ( P*)

28 Eempio IL VETTORE DI INCIDENZA DEL CAMMINO (,,,,,,) è OTTIMO? Ovvero: il CAMMINO (,,,,,,) è di LUNGHEZZA MINIMA? y - y -c y - y -c y - y -c SOLUZIONE DUALE NON-OTTIMA (non e un cerificao di oimalia ) y - y -c CERTIFICATO DI OTTIMALITA y - y -c y - y -c

29 Grafo Ridoo DEFINIZIONE: Daa una oluzione duale y diremo GRAFO RIDOTTO ripeo ad y il grafo G(y ) (N,F ) con F { A : y v y u +c } G(y ) è il oografo ricoprene di G(N,A) definio dagli archi aociai ai vincoli duali y v - y u c oddifai all uguaglianza da y y v - y u c F y - y -c y - y -c y - y -c y - y -c y - y -c y - y -c

30 Condizione di Oimalià TEOREMA F: Un cammino orienao P da a in G(N,A) ha coo minimo e e olo e eie una oluzione duale y con la proprieà che P è un cammino orienao da a nel grafo ridoo G(y ). DIMOSTRAZIONE: Sia P un cammino orienao da a in G(N,A) Sia x P il uo veore di incidenza x P è OTTIMO e e olo e [CONDIZIONI DI SCARTO COMPLEMENTARE] Eie una oluzione duale y : x P (c -y v +y u ) per ogni Eie y : y v y u +c per ogni P (x P ) ESEMPI P cammino orienao da a in G(y ) y oima y non-oima

31 DATI: Algorimo di Floyd-Warhall - Grafo orienao e conneo G(N,A) - Coi ugli archi w A TROVARE: il cammino orienao di coo minimo ra ogni coppia di nodi Aggiungiamo gli archi A ponendo w Eie un cammino orienao ra ogni coppia di nodi Il problema del cammino minimo ammee empre una oluzione DEFINIZIONE: poo {,, K n } N, d ( ) { } Sia: P i, k, k, K, k, j, k N,, K, d Sia ij q h d il cammino minimo ra i e j con nodi inerni olo nell inieme N d E: N { } ( ),, P 6,,, 7, P ( 5, ) 67 5

32 Algorimo di Floyd-Warhall (II) d ( ) { } Sia: P i, k, k, K, k, j, k N,, K, d Sia ij q h d il cammino minimo ra i e j con nodi inerni olo nell inieme N d d k ij k k D [d ij ] i, j,..,n D [w ij ] i, j,..,n D coo del cammino minimo n coi dei cammini minimi ra i e j con nodi inerni nell inieme N Marice dei coi dei cammini minimi ALGORITMO: D D L D k D k L D k P ij D n

33 Algorimo di Floyd-Warhall (III) Semplice formula per paare dalla marice k k D [d ij ] i, j,..,n alla marice coi dei cammini minimi che k k D [d ij ] i, j,..,n uilizzano i nodi {,, K,k- } N k coi dei cammini minimi che uilizzano i nodi {,, K,k } N k k P ij i k P ik k P ij k k P ij k P kj j due poibili cai: k - P ij non uilizzail nodok k - uilizzail nodo k P ij k P ij d k ij min { ( k ) ( k ) ( k ) d,d + d } ij ik kj

34 Algorimo di FLOYD-WARSHALL Inizializzazione Fori: on Forj: on do begin D[i,j]:w w(i,j); pred[i,j]: [i,j]:i; end; i k P ik Fork: on Fori: on Forj: on do begin if D[i,j]>D[i,k]+D +D[k,j] hen begin D[i,j]: D[i,k]+D +D[k,j]; pred[i,j]: pred[k,j]; end; end; pred[i,j] Predeceore di jnel cammino ra ie j D[i,i]< k k P ij k P kj pred[k,j] j Ciclo negaivo che paa per il nodo i

35 Algorimo Algorimo di di Floyd Floyd-Warhall Warhall: Eempio Eempio D - - pred pred D D pred D pred D pred

36 Algorimo di Floyd-Warhall Warhall: Eempio - - D pred Come i ricoruice il cammino minimo ra i e j? E. P Si pare dal nodo e i cerca il predeceore pred (, ) Poi i cerca il predeceore di nel cammino da a pred (, ) Infine il predeceore di nel cammino da a pred (, ) Raggiuno STOP

37 Algorimo di Floyd-Warhall Warhall: Ciclo negaivo -5 - D Non eie una oluzione

38 Fluo - in un Grafo Orienao DATI: Un grafo orienao G(N,A) Un nodo orgene N Un nodo pozzo N-{} Un veore capacià c A DIREMO: FLUSSO - di (G,c) u un veore x R A ale che: (,) (,) (x,c ) (,) (,) (,) v x c [ vincolo di capacià ] x - δ G (v) x + u u δ G () x vu + vu δ G (v) - v {,} [ conervazione del fluo ] x u - u δ G () [ nulla ece da e nulla enra in ] (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 8

39 - x(δ G (v)) + x(δ G (v)) - per ogni nodo v {,} x(δ G ()) - Fluo - in un Grafo Orienao x(δ G ()) x(δ G ()) f (x (x) fluo enrane in x(δ G ()) - x(δ G ()) - x(δ G ()) - f (x (x) fluo ucene da Sommando ue le equazioni oeniamo - + x( δ G (v)) - x( δ G (v)) f (x) - f (x) v N v N Poichè ogni arco appariene ad una (e una ola) ella enrane e ad una (e una ola) ella ucene, - + abbiamo che: δ G (v) δ G (v) A v N v N x(a) - x(a) f (x) - f (x) f (x) f (x) f(x) fluo enrane in fluo ucene da valore f(x) del fluo x 9

40 Fluo - in un Grafo Orienao: Eempi (,) (,) (,) fluo x (,) (,) (,) (,) f (x ) f (x )f(x ) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) fluo x f (x ) f (x )f(x ) (,) (,) (,)

41 - x(δ G (v)) Problema del Fluo Maimo + x(δ G (v)) - per ogni nodo v {,} x(δ G ()) - x(δ G ()) x(δ G ()) f(x) x(δ G ()) - x(δ G ()) - x(δ G ()) - f(x) Si vuole maimizzare il fluo f(x) ucene da (enrane in ) (MF) max f - x(δ G (v)) (MF) max f + x(δ G (v)) - per ogni nodo v {,} - x(δ G ()) f + - x(δ G ()) - f x c per ogni arco A Mx-bf x c A M: Marice di Incidenza di G b: b -; b ; b v v N-{,} PROBLEMA DI FLUSSO DI MINIMO COSTO (MCF)

42 (MF) Mx A Problema del Maimo Fluo max bf x f c N - b [ M b] Marice di incidenza del grafo oenuo aggiungendo l arco (MF) max Mx A + x bx x c N PROGRAMMAZIONE LINEARE

43 (MF) ( z R z N ) ( y R y A ) I A Duale del Maimo Fluo max Mx x + c x bx N x A ; x DUALE del Maimo Fluo (DMF) ( x R x A ) ( x ) min T M z z y z A c + I T y y A A (DMF) z z + z u y z v A min y c T y A

44 Soluzioni Duali del Maimo Fluo TEOREMA F5: Il duale del maimo fluo T (DMF) z z + z y u z v A y min c y A Ammee una oluzione oima N A oima { }, z + y DIMOSTRAZIONE: Una riga della marice [ M b] Poiamo porre (nel duale) z eie una oluzione oima inera (z,y,y ) di (DMF) poniamo { o X u N: z } { o X u N: z } u u è ridondane La marice dei vincoli di (DMF) è TUM, I ermini noi ono ineri e oerviamo che: z o z o z o X ( z o )

45 Soluzioni duali del Maimo Fluo(II) (z,y,y ) oluzione oima inera di (DMF) X { o u N: z } { o X u N: z } u u ( z o ) u X,v X y o z o v z o u c T MA IL VETTORE: * zu * zu * y * y inolre [ vincolo duale ] o o y cy cy c u X u X u X,v X alrimeni c T y * A [ c A ;y A ] c A:u X,v X z z y * u * * A:u X,v X LB LOWER BOUND per il DUALE z z * v * A + y * è ammiibile per il duale [ z e X ] A:u X,v X LB gap (z* z*,y* y*) è OTTIMA A

46 Capacià dei agli - Coa rappreena la oluzione duale? : ESEMPIO: o o o z z z o o o z z z o o y y o y alrimeni z z y y o u o u o o u X u X u X,v X alrimeni X X TAGLIO - di (G,c) - Taglio che epara da - z veore di incidenza di X - y veore di incidenza di δ + (X).. e coa rappreena la funzione obieivo duale? : La omma delle capacià degli archi di δ + (X) CAPACITA del TAGLIO - δ + (X) di (G,c) c T y o c A:u X,v X

47 Maimo Fluo e Minimo Taglio ABBIAMO DIMOSTRATO DUE COSE:. Per ogni TAGLIO - δ + (X) la oluzione: è ammiibile per il duale ed ha valore z z y y o u o u o o pari alla omma delle capacià degli archi del aglio FLUSSO MASSIMO f* Capacià di ogni aglio - [ dualià debole ] c T y o A:u X,v X u X u X u X,v X c alrimeni. La oluzione oima del problema duale ha valore pari alla capacià di un paricolare aglio - δ + (X* X*) T * c y c A:u X*, v X* FLUSSO MASSIMO f* capacià minima di un aglio - [ dualià fore ] Max-Flow Flow-Min-Cu Theorem

48 Fluo x (,) Eempi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) f(x) c({}) c({,,})5 c({,,,})6 Fluo x f(x ) c({}) f(x ) è maimo! (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 8