Macchine termiche: ciclo di Carnot

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1 Macchine termiche: ciclo di Carnot Una macchina termica (o motore termico) è un dispositivo che scambia calore con l ambiente (attraverso un fluido motore) producendo lavoro in modo continuo, tramite un ciclo di trasformazioni. Esempi famosi di macchine termiche sono: la macchina a vapore (fluido = acqua allo stato liquido e di vapore); il motore a scoppio (fluido = miscela di aria e benzina); il motore Diesel (fluido = miscela di aria e gasolio). Benché non esistano gas veramente ideali né trasformazioni esattamente reversibili, tali modelli ideali sono molto utili nello studio e progettazione delle macchine termiche. Studiamo quindi motori ideali basati su cicli di trasformazioni reversibili lungo le quali non c è dispersione di energia (ad esempio per attriti e/o turbolenze). Il motore ideale più famoso è basato sul ciclo di Carnot. Esso fa uso di un gas ideale e considera un ciclo costituito da 4 trasformazioni reversibili: due isoterme e due adiabatiche (vedi figura a sinistra). La macchina termica lavora tra due temperature e T 2 (quelle delle due isoterme), e gli scambi di calore (Q 1 e Q 2 ) avvengono solo lungo tali trasformazioni. La macchina produce un lavoro L pari all area del ciclo.

2 Ciclo di Carnot, calore e lavoro Una macchina che realizza il ciclo di Carnot può essere realizzata con un gas ideale confinato in un cilindro : ab) il gas è in contatto con una sorgente ad alta temperatura ( ) ed espandendosi isotermicamente assorbe il calore Q 1 ; bc) la sorgente viene sostituita con una parete isolante e il gas si espande adiabaticamente; cd) la parete isolante viene sostituita con una sorgente a bassa temperatura (T 2 ) alla quale, nella compressione isoterma, il gas cede il calore Q 2 ; da) la sorgente viene di nuovo rimpiazzata da una parete isolante e il gas è compresso adiabaticamente. In un ciclo la variazione di energia interna è nulla. Quindi, per la prima legge della termodinamica è L = Q. Nel caso presente il lavoro prodotto in un ciclo è pari a L = Q 1 Q 2 Anche la variazione di entropia nel ciclo deve essere nulla, dato che S è una funzione di stato. Inoltre, essendo tutte le trasformazioni reversibili e S = 0 nelle adiabatiche: S = Q 1 Q 2 T 2 = 0 Q 1 = Q 2 T 2

3 Ciclo di Carnot, entropia La relazione precedente: Q 1 = Q 2 T 2 è basata sull ipotesi che l entropia sia una funzione di stato, ma è possibile dimostrarla direttamente. Infatti, per le due isoterme, vale: Q 1 = nr log V b V a, Q 2 = nrt 2 log V d, S = Q 1 + Q ( 2 = nr log V b + log V ) d. V c T 2 V a V c D altra parte, per le due adiabatiche vale V γ 1 b = T 2 V γ 1 c Dividendo membro a membro si ottiene V b V a = V c V d, da cui S = 0. e T 2 V γ 1 d = V γ 1 a. E possibile usare tale proprietà del ciclo di Carnot per dimostrare che in un ciclo in cui N sorgenti a temperatura T i scambiano calore Q i con il sistema, vale: N i=1 Q i T i = 0 se tutte le trasformazioni sono reversibli. (da qui si dimostra che l entropia come l abbiamo definita è una funzione di stato) Q Da notare che l entropia della sorgente calda diminuisce di 1 ; l entropia della sorgente fredda aumenta di Q 2 T 2 ; l entropia di tutto il sistema rimane invariata.

4 Rendimento di macchine termiche ideali: macchina di Carnot In una macchina termica viene fornito del calore Q a e prodotta energia meccanica come lavoro L. La qualità di tale trasformazione è misurata dal rendimento η definito come energia ottenuta η = energia assorbita = L Q a Il rendimento di una macchina che realizza il ciclo di Carnot è pari a η C = Q 1 Q 2 Q 1 = 1 Q 2 Q 1 η C = 1 T 2 dove le temperature sono espresse in kelvin. Notare: η < 1 sempre, anche per macchine ideali. Nello schema sopra riportato, notare come parte del calore fornito alla macchina (Q 1 ) sia sempre ceduto alla sorgente a temperatura più bassa (Q 2 ); di conseguenza il lavoro prodotto L potrà al più essere pari alla differenza tra i due.

5 Enunciato di Kelvin Si arriva quindi alla conclusione che non potrà mai essere realizzato il motore perfetto (vedi schema qui accanto), in cui il calore prelevato da un unica sorgente è completamente trasformato in lavoro. Tale conclusione porta in modo naturale al seguente enunciato alternativo della seconda legge della termodinamica (enunciato di Kelvin): Non esiste un ciclo termodinamico avente come unico risultato l acquisizione di calore da un unica sorgente termica e la sua totale trasformazione in lavoro

6 Rendimento di altre macchine termiche I Tutte le trasformazioni sono assunte reversibili e su di un gas ideale. Ciclo di Stirling - costituito da due isoterme e due isocore. Il calore è scambiato in tutte e quattro le trasformazioni. Per le due isoterme, Q 1 = nr log V 2 V 1, Q 2 = nrt 2 log V 1 V 2 Per le due isocore, il calore scambiato è lo stesso in valore assoluto: Q = nc v ( T 2 ) Il rendimento η s di tale ciclo è inferiore a quello del ciclo di Carnot η c : η s = Q 1 Q 2 Q 1 + Q = ( Q 1 Q 2 )/ Q 1 ( Q 1 + Q )/ Q 1 = η c 1 + Q / Q 1 < η c

7 Rendimento di altre macchine termiche II Ciclo Otto (motore a 4 tempi) Non contiene isoterme ma due isocore e due adiabatiche. Il calore è assorbito nella trasformazione 1 2 e ceduto nella trasformazione 3 4: Q 1,2 = E int = nc V (T 2 ), L = ( E int,23 + E int,41 ) = nc V (T 3 T 2 ) nc V ( T 4 ) Il rendimento è dunque η o = L Q 1,2 = nc V (T 2 + T 4 T 3 ) nc V (T 2 ) = 1 T 4 T 3 T 2 Ricordando che per una trasformazione adiabatica T V γ 1 =cost., si trova V γ 1 1 = T 4 V γ 1 4, T 2 V γ 1 2 = T 3 V γ 1 3, ma V 1 = V 2, V 3 = V 4, da cui ( T 2 )V γ 1 2 = (T 4 T 3 )V γ 1 3 e infine η o = 1 ( V2 V 3 ) γ 1 = 1 ( V2 V 3 ) c p c V 1 Il rapporto V 2 /V 3 è detto rapporto di compressione.

8 Macchine frigorifere Una macchina termica che trasferisce calore da una sorgente fredda ad una sorgente calda costituisce una macchina frigorifera (o frigorigena). Una macchina di Carnot che funziona al contrario è una macchina frigorifera. Lo schema qui a lato precisa le relazioni tra il lavoro che si deve fornire alla macchina frigorifera e i calori scambiati con le sorgenti termiche. L efficienza di una macchina frigorifera è misurata con il parametro ε = energia utile energia assorbita = Q 2 L Per il frigorifero di Carnot abbiamo ε c = Q 2 Q 1 Q 2 = T 2 T 2 = T 2 / 1 (T 2 / ) = 1 η c η c = 1 η c 1 dove η c è il rendimento della macchina di Carnot quando funziona nel verso usuale.

9 Secondo principio, enunciato di Clausius Così come il motore perfetto, anche il frigorifero perfetto (schematizzato qui a fianco) non esiste! Infatti, in tal caso la variazione di entropia complessiva del sistema (sorgenti termiche + gas) sarebbe pari a S = Q T 2 + Q < 0 in contrasto con la seconda legge della termodinamica (dato che il sistema è chiuso). Questo porta al seguente enunciato alternativo (di Clausius) della seconda legge: Non esiste una trasformazione il cui unico risultato è il trasferimento di calore da una sorgente a temperatura più bassa ad una a temperatura più alta

10 Rendimento delle macchine reali Tra tutte le macchine termiche che operano tra due sole temperature e T 2 (con > T 2 ), la macchina di Carnot è quella con il rendimento più elevato. Supponiamo di avere una macchina di rendimento η x > η c. Accoppiamola a un frigorifero di Carnot operante tra le stesse temperature e che utilizza tutto il lavoro prodotto dalla nostra macchina. Otteniamo una macchina che: (1) non utilizza lavoro esterno e che, (2) scambia le quantità di calore Q 1 Q 1 e Q 2 Q 2 con le sorgenti alle temperature e T 2 Dato che il lavoro prodotto dalla macchina termica è pari a quello utilizzato dal frigorifero di Carnot, Q 1 Q 2 = Q 1 Q 2, da cui Q 1 Q 1 = Q 2 Q 2 = Q. Se η x > η c abbiamo η x > η c L Q 1 > L Q 1 Q = Q 1 Q 1 > 0 Ma in questo modo, avremmo costruito un frigorifero perfetto! Nessuna macchina termica reale che lavora fra due temperature può avere un rendimento superiore a quella di Carnot.

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