CAPITOLO 7 La crescita economica I: l accumulazione del capitale e la crescita demografica

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1 CAPITOO 7 a crecita economica I: l accumulazione del capitale e la crecita demografica Domande di ripao 1. Nel modello di crecita di Solow, quanto più elevato è il aggio di riparmio, tanto più elevati ono lo tock di capitale e il livello del prodotto aggregato di tato tazionario; vicevera, quanto più bao è il aggio di riparmio, tanto più bai ono lo tock di capitale e il livello del prodotto aggregato di tato tazionario. Un maggiore riparmio porta a una più rapida crecita economica olo nel breve periodo. Un aumento del aggio di riparmio accelera la crecita fino a quando l economia non raggiunge il nuovo tato tazionario. Dunque, e l economia è caratterizzata da un elevato aggio di riparmio, avrà anche uno tock di capitale conitente e un elevato livello di reddito, ma non potrà mantenere nel tempo un elevato tao di crecita. 2. È ragionevole ipotizzare che l obiettivo dei reponabili della politica economica ia quello di maimizzare il beneere economico dei membri della ocietà. Dato che il beneere economico dipende dal livello dei conumi, i reponabili della politica economica dovrebbero cegliere lo tato tazionario con il più elevato livello di conumo. Il livello di capitale di regola aurea è quello che maimizza il conumo nello tato tazionario. Supponiamo, per eempio, che non ci ia crecita demografica o progreo tecnologico. Se lo tock di capitale di tato tazionario aumenta di una unità, il prodotto aggregato aumenta in miura pari al prodotto marginale del capitale, PMK; ma l ammortamento aumenta di un ammontare, coicché l aumento netto del prodotto aggregato diponibile per il conumo è pari a PMK. o tock di capitale di regola aurea è quello per cui PMK, cioè il prodotto marginale del capitale è uguale all ammortamento. 3. Se l economia parte da un livello di capitale uperiore a quello di regola aurea e riduce il proprio tock di capitale, portandoi al livello di regola aurea, il livello dei conumi aumenta permanentemente. Di coneguenza, i reponabili della politica economica vorranno cegliere il livello di capitale di regola aurea, perché a un maggior conumo corriponde un maggior beneere economico. Nel cao oppoto, e l economia parte da un livello di capitale inferiore a quello di regola aurea, il raggiungimento del livello di regola aurea comporta una riduzione dei conumi correnti a fronte di un aumento del conumo futuro. In tal cao la deciione dei reponabili della politica economica non è chiara: e queti hanno a cuore oprattutto il beneere delle generazioni attuali, ripetto a quello delle generazioni future, potrebbero decidere di non prendere provvedimenti tei a raggiungere lo tato tazionario di regola aurea; e invece hanno a cuore in egual miura il beneere di tutte le generazioni, ceglierebbero di portare l economia allo tato tazionario di regola aurea: la generazione attuale arebbe cotretta a conumare meno, ma infinite generazioni future beneficerebbero di queto acrificio e potrebbero conumare di più. 4. Quanto più elevato è il tao di crecita demografica, tanto più bao è lo tock di capitale di tato tazionario per occupato e il livello di reddito di tato tazionario. Per eempio, la figura 7.1 motra lo tato tazionario per due livelli di crecita demografica: un livello bao n 1 e un livello elevato n 2. Se il tao crecita demografica è elevato (n 2 ), la retta che rappreenta la crecita demografica e l ammortamento è più alta e il livello di capitale per occupato di tato tazionario è più bao. 42

2 ( n 2 )k Figura 7.1 Invetimento, Invetimento di equilibrio ( n 1 )k f (k) k 2 * k 1 * Capitale per occupato k Nello tato tazionario il tao di crecita del prodotto aggregato è n g: quanto maggiore è il tao di crecita demografica n, tanto più alto è il tao di crecita del prodotto aggregato. Tuttavia, nello tato tazionario il prodotto per occupato crece al tao g e, perciò, non è influenzato dalla crecita demografica. Problemi e applicazioni pratiche 1. (a) Una funzione di produzione ha rendimenti di cala cotanti e, aumentando tutti i fattori di produzione di una tea percentuale, il prodotto aumenta della medeima percentuale. In forma matematica, una funzione di produzione ha rendimenti di cala cotanti e zy F(zK, z) per ogni numero poitivo z. Ciò ignifica che e moltiplichiamo le quantità di capitale e lavoro per una grandezza poitiva z, l ammontare di prodotto viene a ua volta moltiplicato per z. Per eempio, e raddoppiamo le quantità di capitale e lavoro impiegate (ponendo z 2), anche la quantità di prodotto raddoppia. Per vedere e la funzione di produzione Y F(K, ) K 1/2 1/2 ha rendimenti di cala cotanti, criviamo: F(zK, z) (zk ) 1/2 (z) 1/2 zk 1/2 1/2 zy a funzione di produzione Y K 1/2 1/2 ha dunque rendimenti di cala cotanti. (b) Per trovare la funzione di produzione per occupato, dividiamo la funzione di produzione Y K 1/2 1/2 per : Y K Se definiamo y Y/, poiamo ricrivere l epreione opra come: y K 1/2 / 1/2 Definendo k K/, poiamo inoltre crivere che: (c) Dei paei A e B appiamo che: y k 1/2 tao di ammortamento 0,05 a aggio di riparmio del paee A 0,1 b aggio di riparmio del paee B 0,2 y k 1/2 è la funzione di produzione per occupato derivata nella parte (b) per i paei A e B. a crecita dello tock di capitale k è pari all ammontare dell invetimento f (k) al netto dell ammortamento k, cioè k f (k) k. Nello tato tato tazionario lo tock di capitale non aumenta, per cui poiamo crivere queta relazione come f (k) k. Per trovare il livello di capitale per occupato di tato tazionario, otituiamo la funzione di produzione per occupato nella condizione di invetimento di tato tazionario e riolviamo per k*: 43

3 Ricrivendo abbiamo: k 1/2 k k 1/2 / k (/) 2 Per trovare il livello di capitale per occupato di tato tazionario, k*, ineriamo il aggio di riparmio di ciacun paee nell epreione opra riportata: Paee A: k a * ( a /) 2 (0,1/0,05) 2 4 Paee B: k b * ( b /) 2 (0,2/0,05) 2 16 Avendo trovato k* per ciacun paee, poiamo calcolare il livello di reddito per occupato di tato tazionario per i paei A e B. Sapendo che y k 1/2 : y a * (4) 1/2 2 y b * (16) 1/2 4 Sappiamo che, di ogni unità di reddito, i lavoratori riparmiano una frazione e conumano una frazione 1. In altre parole, la funzione di conumo è c (1 )y. Poiché conociamo i livelli di reddito di tato tazionario di ciacun paee, troviamo che: Paee A: c a * (1 a )y a * 1(1 0,1)(2) 1,8 Paee B: c b * (1 b )y b * 1(1 0,2)(4) 3,2 (d) Utilizzando le eguenti informazioni ed equazioni, poiamo calcolare il reddito per occupato y, il conumo per occupato c, e il capitale per occupato, k: a 0,1 b 0,2 0,05 k 0 2 per entrambi i paei y k 1/2 c (1 )y Paee A Anno k y k 1/2 c (1 a )y i a y k k i k 1 2 1,414 1,273 0,141 0,100 0, ,041 1,429 1,286 0,143 0,102 0, ,082 1,443 1,299 0,144 0,104 0, ,122 1,457 1,311 0,146 0,106 0, ,102 1,470 1,323 0,147 0,108 0,039 Paee B Anno k y k 1/2 c (1 a )y i a y k k i k 1 2 1,414 1,131 0,283 0,100 0, ,183 1,477 1,182 0,295 0,109 0, ,369 1,539 1,231 0,308 0,118 0, ,559 1,600 1,280 0,320 0,128 0, ,751 1,659 1,327 0,332 0,138 0,194 Notiamo che ci vorranno cinque anni perché il conumo per occupato del paee B uperi il conumo per occupato del paee A. 2. (a) a funzione di produzione del modello di crecita di Solow è Y F(K, ) o, eprea in termini di prodotto per occupato, y f(k). Se una guerra riduce la forza lavoro, diminuice, ma il rapporto k K/ aumenta. a funzione di produzione ci dice che il prodotto totale diminuice perché è diminuito il numero di lavoratori, ma il prodotto per occupato aumenta perché ciacun lavoratore ha a dipoizione più capitale. (b) a riduzione della forza lavoro fa ì che, dopo la guerra, lo tock di capitale per occupato ia più alto di prima. Quindi, e prima della guerra l economia i trovava in tato tazionario, dopo la guerra i ritrova con uno tock di capitale uperiore al livello di tato tazionario. Queto è motrato nella figura 7.2 come un aumento di capitale per occu- 44

4 pato, da k* a k 1. Quando l economia ritorna allo tato tazionario, lo tock di capitale per occupato paa di nuovo da k 1 a k*, per cui anche il prodotto per occupato diminuice. ( n) k Figura 7.2 Invetimento, invetimento di equilibrio f (k) k* k 1 k Capitale per occupato Perciò nel periodo di tranizione vero il nuovo tato tazionario la crecita del prodotto è più lenta. Sappiamo che, nello tato tazionario, il progreo tecnologico determina il tao di crecita del prodotto per occupato. Quando l economia ritorna allo tato tazionario, il prodotto per occupato è pari al tao di progreo tecnologico, come avveniva prima della guerra. 3. (a) Seguiamo il paragrafo «a tendenza allo tato tazionario: un eempio numerico» (p. 159 del libro di teto). a funzione di produzione è Y K 0,3 0,7. Per dedurre la funzione di produzione per occupato, f(k), dividiamo entrambi i membri della funzione di produzione per la forza lavoro (il numero di lavoratori) : Riordinando, otteniamo: Y K 0,3 0, 7 Y K Poiché y Y/ e k K/, queta equazione diventa: (b) Rammentiamo che: y k 0,3 03, k f (k) k Per definizione, lo tock di capitale di tato tazionario per occupato, k*, è il valore di k in corripondenza del quale lo tock di capitale è cotante, coicché k 0. Ne conegue che, nello tato tazionario: oia: 0 f (k) k k * f( k*) Data la funzione di produzione contemplata in queto problema, abbiamo: Riordinando, otteniamo: k * ( k*) 0,3 ( k*) 07, 45

5 oia: k* 1/ 07, Sotituendo queta equazione del capitale per occupato di tato tazionario nella funzione di produzione per occupato della parte (a), otteniamo: y* 03, / 07, Il conumo è pari alla quantità di prodotto che non viene invetita. Poiché l invetimento di tato tazionario è uguale a k*, ne conegue che: c* f ( k ) ( k *) 0,3/0,7 1/0,7 [Nota. Per un approccio alternativo alla rioluzione di queto problema, oerviamo che il conumo è uguale anche alla quantità di prodotto che non viene riparmiata: c* = ( ) f ( k*) = ( )( k*), = ( ) , / 07, È ufficiente qualche manipolazione algebrica per dimotrare che queta equazione è uguale alla precedente.] (c) a tabella ottotante motra i valori di k*, y* e c* corripondenti ai aggi di riparmio indicati nella prima colonna, calcolati uando le equazioni elaborate nella parte (b). Supponiamo che il tao di ammortamento ia pari al 10% (oia a 0,1). [ ultima colonna motra il prodotto marginale del capitale, che calcoleremo nella parte (d) dell eercizio]. k* y* c* MPK 0 0,00 0,00 0,00 0,1 1,00 1,00 0,90 0,30 0,2 2,69 1,35 1,08 0,15 0,3 4,80 1,60 1,12 0,10 0,4 7,25 1,81 1,09 0,08 0,5 9,97 1,99 1,00 0,06 0,6 12,93 2,16 0,86 0,05 0,7 16,12 2,30 0,69 0,04 0,8 19,50 2,44 0,49 0,04 0,9 23,08 2,56 0,26 0, ,83 2,68 0,00 0,03 È importante notare che un aggio di riparmio del 100% ( 1,0) maimizza il prodotto per occupato. In queto cao, ovviamente, non viene conumato alcunché, quindi c* 0. Il conumo per occupato raggiunge il maimo valore in corripondenza di un aggio di riparmio di 0,3 (oia del 30%), cioè quando è uguale alla quota del prodotto riconducibile al capitale. Queto è il livello di della regola aurea. (d) Poiamo differenziare la funzione di produzione Y K 0,3 0,7 ripetto a K per trovare il prodotto marginale del capitale, PMK: K 03, 07, Y y PMK = 03, = 03, = 03, K K k a tabella nella parte (c) motra il prodotto marginale del capitale per ogni valore del aggio di riparmio. (Oervate che nel capitolo 3 è tato derivato il PMK per la funzione di produzione di Cobb-Dougla. a precedente equazione corriponde al cao particolare in cui 0,3.) 4. Supponiamo che l economia inizi con uno tock di capitale di tato tazionario inferiore al livello di regola aurea. effetto immediato di dedicare una quota maggiore del prodotto nazionale all invetimento è che l economia i ritrova con un livello di conumo ridotto: il «tenore di vita», miurato dal conumo, diminuice. All aumentare del aggio di invetimento, lo tock di capitale crece più rapidamente, quindi i tai di crecita del prodotto e del 46

6 prodotto per occupato aumentano. a produttività del lavoro è la quantità prodotta in media dal ingolo lavoratore, cioè il prodotto per occupato; di coneguenza, la produttività aumenta. In breve, l effetto immediato è un calo del tenore di vita, ma un accelerazione della crecita economica. Nel nuovo tato tazionario il prodotto crece al tao n g, mentre il prodotto per occupato crece al tao g. Ciò ignifica che nello tato tazionario la crecita della produttività è indipendente dal aggio di invetimento. Poiché l economia inizia con uno tock di capitale di tato tazionario inferiore al livello di regola aurea, l aumento del aggio di invetimento implica che il nuovo tato tazionario arà caratterizzato da un più alto livello di conumo e quindi da un tenore di vita più elevato. In concluione, un aumento del aggio di invetimento provoca un aumento del tao di crecita della produttività, ma non ha alcun effetto nel lungo periodo. Il tenore di vita, d altra parte, diminuice nell immediato e crece oltanto ucceivamente. Pertanto la citazione riportata mette in evidenza oltanto la crecita, ma non il acrificio neceario per coneguirla. 5. Come riportato nel teto, poniamo k K/ il capitale per occupato. equazione che decrive l evoluzione nel tempo di k è: k Riparmio ( n)k Se tutto il reddito detinato al capitale viene riparmiato, e e il capitale è remunerato in miura corripondente al uo prodotto marginale, il riparmio è pari a PMK k. Sotituendo queta epreione nell equazione precedente otteniamo: k PMK k ( n)k Nello tato tazionario il capitale per occupato non varia, quindi k 0. Coniderando l equazione precedente, criviamo: oppure: il che equivale a: PMK k ( n)k PMK ( n) PMK n In queta economia nello tato tazionario il prodotto marginale netto del capitale, PMK, è pari al tao di crecita del prodotto, n. Ma tale condizione decrive lo tato tazionario di regola aurea. Poiamo quindi concludere che queta economia raggiunge il livello di accumulazione del capitale di regola aurea. 6. Conideriamo dapprima gli tati tazionari. Nella figura 7.3 il rallentamento della crecita demografica pota vero il bao la retta che rappreenta la crecita demografica e l ammortamento. Il nuovo tato tazionario ha un maggiore tock di capitale per occupato, k* 2, e dunque una maggiore quantità di prodotto per occupato. ( n 1 )k ( n 2 )k Figura 7.3 Invetimento, invetimento di equilibrio f (k) k 1 * k 2 * Capitale per occupato k 47

7 Che coa accade ai tai di crecita di tato tazionario? Nello tato tazionario il prodotto totale crece al tao n g, mentre il prodotto pro capite crece al tao g. Di coneguenza, il rallentamento della crecita demografica fa diminuire la crecita del prodotto totale, mentre la crecita del prodotto pro capite rimane invariata. Prendiamo ora in coniderazione la tranizione. Sappiamo che il livello del prodotto pro capite di tato tazionario è più elevato quando la crecita demografica rallenta. Quindi, durante la tranizione vero il nuovo tato tazionario, per un po di tempo il prodotto pro capite crece a un tao maggiore di g. Nei decenni ucceivi alla diminuzione del tao di crecita demografica i regitrerà una dratica riduzione del tao di crecita del prodotto totale, in coincidenza con un accelerazione della crecita del prodotto pro capite. 7. In preenza di rendimenti decrecenti di lavoro e capitale, e i aumentano nella tea proporzione i fattori capitale e lavoro, il prodotto aumenta in miura proporzionalmente inferiore. Per eempio, e i raddoppiano i fattori capitale e lavoro, il prodotto aggregato crece in miura inferiore al doppio. Queto può accadere in preenza di un fattore di produzione fio (per eempio, la terra), che diventa caro al crecere dell economia. In tal cao la crecita demografica fa aumentare il prodotto totale, ma il prodotto per occupato diminuice, poiché ciacun lavoratore ha a dipoizione una quantità minore del fattore di produzione fio. In preenza di rendimenti crecenti, e i raddoppiano i fattori capitale e lavoro il prodotto aggregato crece in miura uperiore al doppio. Queto può accadere e la pecializzazione del lavoro crece al crecere della popolazione. a crecita demografica provoca un aumento non olo del prodotto totale, ma anche del prodotto per occupato, poiché l economia è in grado di beneficiare più rapidamente delle economie di cala. 8. (a) Per trovare il prodotto pro capite y, dividiamo il prodotto totale per il numero dei lavoratori: [ ] k ( 1 u*) y K k ( 1 u*) ( 1 u*) 1 dove nel paaggio finale abbiamo utilizzato k K/. Oervate che la dioccupazione riduce l ammontare di prodotto pro capite per ogni dato livello del capitale pro capite, perché alcuni individui non producono niente. Il livello di capitale pro capite di tato tazionario è quello in corripondenza del quale l aumento del capitale pro capite che deriva dall invetimento è eattamente uguale alla diminuzione provocata dall ammortamento e dalla crecita demografica. (Per maggiori dettagli, vedi il libro di teto, cap. 4). y * ( nk)* k* (1 u) 1 ( + n)k* 1 k* = ( 1 u*) n + a dioccupazione riduce il prodotto marginale del capitale e, di coneguenza, ha lo teo effetto di uno hock tecnologico negativo che riduce la quantità di capitale che l economia può riprodurre nello tato tazionario. a figura 7.4 motra graficamente il fenomeno: un aumento della dioccupazione pota vero il bao la curva f(k) e il livello di capitale pro capite di tato tazionario

8 Figura 7.4 Invetimento, invetimento di equilibrio ( + n)k f(k, u * 1 ) f(k, u * 2 ) k* 2 k* 1 Capitale per occupato Infine, per trovare il prodotto di tato tazionario ineriamo nella funzione di produzione il valore dello tock di capitale di tato tazionario: 1 1 y* = ( 1 u*) ( u*) + n 1 1 = ( 1 u*) + n a dioccupazione riduce il prodotto per due ragioni: per un dato k, la dioccupazione riduce y e anche il valore di tato tazionario di k*. (b) a figura 7.5 motra l andamento del prodotto nel tempo. Appena la dioccupazione cende da u 1 a u 2, il prodotto balza vero l alto dal uo valore iniziale di tato tazionario y*(u 1 ). economia ha la tea quantità di capitale (poiché ci vuole tempo per aggiutare lo tock di capitale), ma queto capitale è combinato con più lavoro. In quel momento l economia è fuori dallo tato tazionario: ha meno capitale di quanto arebbe neceario per far fronte all aumento del numero di lavoratori nell economia. economia inizia la ua tranizione accumulando più capitale, aumentando il prodotto oltre il livello al quale era balzato. Alla fine, lo tock di capitale e il prodotto convergono al nuovo, più alto livello di tato tazionario. 1 y Figura 7.5 y*(u )* 2 y*(u *) 1 u* cende t 9. Non c è un unico modo per ripondere a queta domanda. Per eempio, nel ito internet della Banca mondiale abbiamo eguito il link a «Data and Reearch». Si poono ottenere 49

9 informazioni dettagliate ia attravero il link «Country profile» o conultando la più recente edizione del WDI (World Development Indicator: web.worldbank.org/wbsite/ EXTERNA/DATASTATISTICS/). A titolo di eempio, abbiamo decio di confrontare i dati del Regno Unito (che nel 2006 aveva un reddito pro capite di dollari) con quelli del Pakitan (che nello teo anno aveva un reddito pro capite, a parità di potere d acquito, di 2350 dollari, inferiore di ben quattordici volte). Come poiamo tabilire quali iano i fattori rilevanti? Nel teto è piegato che le differenze di reddito ono dovute a differenze nello tock di capitale, nel lavoro o nella tecnologia. Il modello di crecita di Solow ci offre un itema di riferimento per valutare l importanza di tali fattori. Un evidente differenza tra i due paei è il livello di itruzione della popolazione. Tali differenze poono eere interpretate come il egnale di più generali differenze di «capitale umano» (analogo al capitale fiico) o di differenze tecnologiche (e la forza lavoro è più i- truita, può utilizzare tecnologie più ofiticate). Per i notri copi, interpreteremo l itruzione come un egnale tecnologico, dal momento che permette di aumentare il prodotto per occupato, dato lo tock di capitale per occupato. Sempre dal ito della Banca mondiale abbiamo etrapolato i eguenti dati (luglio 2006): Crecita Tao di demografica Invetimento/PI analfabetimo (2004, (2004) (2004) popolazione con più di 15 anni) Regno Unito 1,5% 17% tracurabile Pakitan 2% 17% 50% Come poiamo tabilire quali di queti fattori ha il peo maggiore? Poiché il rapporto invetimento/pi è uguale nei due paei, biogna tabilire e la differenza di reddito pro capite ia attribuibile alla crecita della forza lavoro (approimata dalla crecita demografica) o al tao di analfabetimo (o, più in generale, alla tecnologia). Poiamo ragionare in termini più formali ul problema utilizzando il modello di Solow. Seguiamo l approccio del paragrafo «a tendenza allo tato tazionario: un eempio numerico» (p. 159 del libro di teto). Per il momento, ipotizziamo che i due paei abbiano la medeima tecnologia di produzione: Y K 0,5 0,5. (Queto ci permette di tabilire e le differenze nel riparmio e nella crecita demografica poano piegare la differenza di reddito pro capite; in cao contrario, l unica poibile piegazione reterebbe la tecnologia.) Come nel teto, poiamo eprimere queta equazione in termini di funzione di produzione per occupato f (k): Sappiamo che, nello tato tazionario: y k 0,5 k f (k) ( n)k Il valore del capitale di tato tazionario, k*, è il valore di k per il quale lo tock di capitale è cotante, icché k 0. Ne conegue che, nello tato tazionario: ovvero, 0 f (k*) ( n)k* k* f( k*) n Data la funzione di produzione di queto problema, ne conegue che: Riordinando: ovvero: k* k ( ) 05 *, n + ( k* ) 05, n + 50

10 k * n + Sotituendo queta equazione al capitale per occupato di tato tazionario nella funzione di produzione per occupato, otteniamo: 2 y * n + Se ipotizziamo che Regno Unito e Pakitan i trovino nello tato tazionario e abbiano lo teo tao di ammortamento (diciamo, il 5%) allora il rapporto tra il reddito pro capite nei due paei arà: y y UK PAK UK PAK n n PAK UK + 005, + 005, Queta equazione ci dice che e, per eempio, il aggio di riparmio del Regno Unito foe il doppio di quello del Pakitan, il reddito per occupato nel Regno Unito arebbe il doppio di quello del Pakitan (a parità delle altre condizioni). Ma, eendo il aggio di riparmio identico nei due paei, abbiamo: y y UK PAK n n PAK UK , 005, a differenza di crecita demografica può piegare oltanto un fattore 1,27 (0,07/0,55) della differenza rilevata tra i livelli di prodotto per occupato. Per la parte retante della differenza, la reponabilità è da attribuire alla tecnologia. elevato livello di analfabetimo rilevato in Pakitan è coerente con tale concluione. 51