LO STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE NELLE STRUTTURE IN C.A.

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1 UNIVERSIA DEGLI SUDI DELLA BASILICAA Coro di ECNICA DELLE COSRUZIONI LO SAO LIMIE ULIMO DI ORSIONE NELLE SRUURE IN C.A. Docente: Collaboratori: Prof. Ing. Angelo MASI Ing. Vincenzo MANFREDI Ing. Giueppe VENURA Ing. Giueppe SANARSIERO 1

2 La ollecitazione di ORSIONE La ollecitazione di ORSIONE i preenta quando l azione applicata NON paa per il centro di taglio C della ezione. La ORSIONE è empre accompagnata da fleione e taglio. La ORSIONE viene uualmente tracurata, alvo poi tenerne conto per una verifica puntuale di alcuni elementi caratteritici per i quali tale ollecitazione non è tracurabile, come accade ad eempio per le travi a ginocchio, elementi trutturali neceari per otenere le rampe del corpo cala. V C d Momento torcente V d 2

3 ORSIONE: primaria e econdaria Qualora l equilibrio tatico di una truttura dipenda dalla reitenza torionale degli elementi che la compongono arà neceario un calcolo completo della torione nei riguardi ia degli tati limite ultimi che di eercizio(orioneprimaria). Qualora, in trutture ipertatiche, la torione inorga olo per eigenze di compatibilità e la tabilità della truttura non dipenda dalla reitenza torionale, non arà generalmente neceario coniderare la torione allo tato limite ultimo(orioneecondaria). Nei cai in cui la torione non è eenziale per la tabilità, poono comunque eere richieti adeguati accorgimenti per limitare un ecceiva feurazione allo tato limite d eercizio (valori minimi di taffe e ferri longitudinali) 3

4 ORSIONE: primaria e econdaria (a) (b) orione econdaria (a) o di congruenza orione primaria (b) o di equilibrio 4

5 ORSIONE: diagramma tenioni tangenziali La legge di ditribuzione delle tenioni tangenziali dovute alla torione varia con la forma della ezione, per cui non i è in grado di tabilire, anche in via approimata, una relazione che poa eere valida per qualiai forma. Pertanto, i fornicono di eguito, per le ezioni di più comune impiego, le epreioni delle τ max. L ipotei di bae è di materiale elatico, omogeneo ed iotropo ezione circolare A partire dalla teoria di De Saint-Venant, per azione di un momento torcente, in una ezione circolare in fae elatica i originano tenioni tangenziali di intenità crecente vero l eterno della ezione. 5

6 ORSIONE: ezione circolare Definito il modulo di reitenza della ezione W t W t r π 2 3 La maima tenione prodotta all etremo vale: τ max Wt 2 π r 3 Nel cao di una ezione anulare di raggi r e e r i, ripettivamente eterno ed interno, i ha: τ max π 2 ( r 4 e 6 r e r 4 i )

7 ORSIONE: ezione circolare La rotazione dφ delle parti terminali di un concio elementare dx ripetto all ae baricentrico per effetto di vale: in cui: d φ GJ - G è il modulo elatico tangenziale (1) - J è il momento di inerzia torionale (momento di inerzia polare) Per la ezione circolare vale: J r π 2 4 dx (1) G E /(1+ν), con ν modulo di Poion 7

8 ORSIONE: ezione rettangolare Nel cao di ezioni rettangolari, di bae b ed altezza a (b a, βb/a 1), vale empre: dove il modulo di reitenza della ezione τ max vale: 2 con W t k 1 a b W t β Il momento di inerzia torionale è pari a: k 1 J k 3 2 a b k β In preenza di ezioni cotituite da n parti a peore cotante, il momento di inerzia torionale i ottiene ommando i contributi calcolati per le ingole parti. 8

9 ORSIONE: ezione anulare Per le ezioni ad anello chiuo di piccolo peore vale la formula di Bredt, per la quale, ipotizzando che la tenione i mantenga cotante ullo peore (come il fluoqlungo l intero perimetro), i ha: (τ t r) d qτ t τ t rd 2 q da 2qA Da cui i ricava: (con t peore della ezione anulare) A q 2A conaarea racchiua dalla linea media della ezione anulare. 9

10 ORSIONE: ezione anulare Il valore della tenione tangenziale max econdo la formula di Bredt è valutato attravero: τ max 2 A t 10

11 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Le travi oggette a torione denotano un comportamento nettamente differente nei due tadi non feurato e feurato. La caratteritica principale della diverità è la forte riduzione della rigidezza torionale che i verifica dopo la feurazione, fino a diventare 1/4-1/5 del valore iniziale. y 0 O A B G C J θ E S J θ C r 0 max reitenza a torione in aenza di appoite armature D θ 11

12 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Iotatiche di trazione e compreione in una trave ollecitata a torione (in preenza di ole tenioni tangenziali τ, i valori delle tenioni principali di trazione σ I e compreione σ II coincidono con il valore della τ) trazione Feure da torione Andamento delle feurazioni in una trave in c.a. (confrontare con l andamento delle tenioni principali di trazione) 12

13 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) raliccio paziale cotituito da: - bielle di calcetruzzo compreo inclinate di un angolo θ - bielle di acciaio teo rappreentate dalle armature longitudinali e dalle taffe chiue dipote ortogonalmente alla linea d ae 13

14 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Per la progettazione (e verifica) delle ezioni ottopote a momento torcente i aume un modello di calcolo con ezione cava a parete ottile di peore t. Le tenioni tangenziali ono ipotizzate cotanti all interno dello peore della parete. L angolo θ di inclinazione delle bielle di cl è coniderato variabile, in funzione delle quantità di armatura longitudinale e traverale (modello a inclinazione variabile) Coro di ecnica delle Cotruzioni Prof. Angelo MASI 14

15 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Valutazione dello forzo nell armatura longitudinale S l Lo forzo di corrimento Q v1 ulla faccia verticale di lunghezza a e peore t vale: Q v1 τ t a Le altre componenti del poligono di forze ono: -S l1 trazione nelle barre longitudinali nella ingola parete -S c compreione nel puntone di cl inclinato dell angolo θ Singola parete della ezione cava 15

16 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Lo forzo di trazione nelle barre longitudinali in una ingola parete vale: Sl1 v1 Q cotθτ t a cotθ Lo forzo di trazione totale i ottiene ommando i contributi di ogni parete: S l 4 i 1 S li cotθ S l 4 i 1 τ t a Definendo perimetro medio p il valore i p e coniderando la formula di Bredt i ha: τ t p cotθ p cotθ 2A 16 4 i 1 a i

17 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Uguagliando il maimo valore di trazione delle barre S ld (capacità) con lo forzo S l indotto dall azione torcente (domanda) i ottiene il valore del momento torcente Rld che produce la crii dell armatura longitudinale: S ld Rld fyd Al p cotθ 2 A Rld f yd A l 2 A p 1 cot θ Momento torcente reitente delle barre longitudinali 17

18 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Valutazione dello forzo nell armatura traverale S Lo forzo di corrimento traverale Q h ulla faccia orizzontale vale: Q h τ t z Le altre componenti del poligono di forze ono: -S trazione nelle barre traverali -S c compreione nel puntone di cl Singola parete della ezione cava 18

19 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Lo forzo di trazione nelle armature traverali è valutato attravero: S Qh tgθτ t z tgθ z tgθ 2A Uguagliando il maimo valore di trazione delle barre S d con lo forzo S indotto dall azione torcente i ottiene il valore del momento torcente Rd che produce la crii dell armatura traverale: S d A z Rd fyd z tgθ 2 A Rd 2 A fyd A cotθ Momento torcente reitente delle armature traverali 19

20 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Valutazione dello forzo di compreione delle bielle di cl S c La componente di compreione S c del poligono di forze è pari a: S c Qh coθ τ t a enθ 2A τ t z coθ a enθ τ t a cotθ coθ Singola parete della ezione cava 20

21 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Lacapacità del puntone compreo è valutabile attravero: S cd α ν σ t a coθ c cd dove α c tiene conto degli effetti dovuti alla preenza di un eventuale forzo aiale e ν della reale ditribuzione delle tenioni nella ezione della biella 21

22 S.L.U. ORSIONE (raliccio paziale reitente) Uguagliando il maimo valore di compreione delle bielle di cl S cd (capacità) con lo forzo indotto dall azione torcente S c (domanda) i ottiene il valore del momento torcente Rcd che produce la crii della biella comprea: S cd αν σ c cd t a co θ Rcd 2A a enθ Rcd cotθ 2 A αcν σcd t coθ enθ 2 A αcν σcd t 2 1+ cot Momento torcente reitente delle bielle compree θ La maima reitenza i ottiene per una inclinazione θ

23 S.L.U. ORSIONE (NC2018) La verifica dello SLU per ollecitazioni di torione è oddifatta e: Rd Ed dove Ed è il valore di calcolo del momento torcente agente e Rd è il momento torcente reitente pari al mimino tra il valore della reitenza delle bielle di cl compree (Rcd), delle barre longitudinali (Rld), e delle armature traverali (Rd): Rd min (Rcd, Rld,Rd) La verifica è riferita a ezioni primatiche cave o piene il cui chema reitente è riconducibile ad un traliccio periferico in cui gli forzi di trazione ono affidati alle armature longitudinali e traverali ivi contenute e gli forzi di compreione ono affidati alle bielle di calcetruzzo. 23

24 S.L.U. ORSIONE (NC2018) La verifica dello SLU per ollecitazioni di torione è oddifatta e: Rd Ed Rd min (Rcd, Rld,Rd) Rld f yd A l 2 A p 1 cot θ Momento torcente reitente delle barre longitudinali Rd 2 A fyd A cotθ Momento torcente reitente delle armature traverali Rcd 2 A t f ' cd cotθ/(1+ cot 2 θ) Momento torcente reitente delle bielle compree 24

25 S.L.U. ORSIONE (NC2018) Momento torcente reitente delle bielle di calcetruzzo(rcd) La reitenza delle bielle i calcola attravero la eguente epreione: Rcd ' cd 2 A t f cotθ/(1+ cot θ) t 2 c A area racchiua nel perimetro medio u m t A c /u 2c peore della ezione cava; A c b x H area della ezione; um u perimetro della ezione; A area racchiua entro la fibra media del perimetro della ezione; f cd f' cd reitenza a compreione ridotta del calcetruzzo d anima (f ' cd 0,5 f cd ); θ angolo di inclinazione delle bielle di cl con limitazione: A b H NOA: la tenione del cl è ridotta perché le bielle ono preo-inflee 25

26 S.L.U. ORSIONE (NC2018) Momento torcente reitente delle armature traverali e longitudinali (Rd, Rld) La reitenza delle armature traverali i calcola attravero la eguente epreione: A u m A l A θ Rd A 2 A fyd cotθ La reitenza delle armature longitudinali i calcola attravero la eguente epreione: Rld ΣAl 1 2 A f u cotθ yd m è l area della taffa; è il perimetro medio del nucleo reitente, pao delle taffe; area compleiva delle barre longitudinali; area racchiua nel perimetro medio della ezione cava angolo di inclinazione delle bielle di cl con la limitazione: 26 t A um c b H

27 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE COMPORAMENO A ROURA DELLE SEZIONI Nelle ezioni in c.a. ottopote a torione ono poibili 3 divere condizioni di verifica: Snervamento imultaneo delle armature (taffe + barre longitudinali) Rottura delle bielle di cl e contemporaneo nervamento delle taffe Rottura delle bielle di cl e contemporaneo nervamento delle barre longitudinali 27

28 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 1: ROURA SIMULANEA DELLE ARMAURE (SAFFE + BARRE) Il valore cotθ è determinato imponendo l uguaglianza tra Rd e Rld A 2 A fyd cotθ Rd Rld ΣAl 1 2 A f u cotθ yd m 1/ 2 Rld Rd cotθ (al / a) dove a l Al / um e a A / (cotθ) Se riulta che e Rcd Rld Rd allora la torione reitente della ezione ( Rd ) è uguale alla torione reitente delle taffe ovvero delle barre longitudinali ( Rld Rd ) (cao1) Rd Rld Rd 28

29 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE 100 momento torcente [knm] θ45 θ21.8 rld rcd cao cotθ ' 2 Rcd 2 A t fcd cotθ/(1+ cot θ) ΣA θ 1 cotθ d momento agente l Rld 2 A f yd Rd 2 A fyd cotθ u Prof. Angelo MASI m Coro di ecnica delle Cotruzioni 29 A

30 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE Se Rcd calcolato in corripondenza del valore cotθ è minore di Rd (ovvero Rld) allora la crii avviene per: CASO 2: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE SAFFE oppure CASO 3: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE BARRE LONGIUDINALI Biogna, quindi, determinare il valore della cotθ per i cai di rottura 2 e 3 (cotθ; cotθl ). La torione reitente Rd è data dal valore più grande aunto in corripondenza dei due valori di cotθ econdo la eguente epreione: Rd max { (cotθ ); (cotθ )} Rcd 30 Rcd l

31 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 2: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE SAFFE Il valorecotθ è determinato imponendo l uguaglianza tra Rd e Rcd Rcd Rd cotθ t fcd A f ' yd 1 CASO 3: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE BARRE LONGIUDINALI Il valorecotθ l è determinato imponendo l uguaglianza tra Rld e Rcd Rcd Rld cotθ l t f A ' cd l f yd um A u l f m yd 31

32 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE 100 momento torcente [knm] θ45 θ21.8 cao 2 CLS+taffe θ cotθ 32

33 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE momento torcente [knm] θ45 θ21.8 cao 3 Cl + arm.long θ l cotθ 33

34 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE In coniderazione del limite di norma ul valore di cotθ i poono avere dei otto-cai di verifica. Se riulta cotθ 1/ 2 (al / a) > 2.5 allora nella ezione i attinge la crii imultanea delle bielle di cl e delle armature traverali (CASO 2.1) Il valore di cotθ è determinato ponendo: Rcd Rd cotθ t fcd A f ' yd 1 Il valore del momento torcente reitente è dato da: Rcd 2 A t f ' cd cotθ /(1+ cot 2 θ ) ovvero da: Rd A 2 A f yd cotθ 34

35 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 2.2 Se riulta cotθ > 2.5 allora il momento torcente reitente è dato da: Rd 2 A A f yd cotθ dove cotθ

36 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE Se riulta allora nella ezione i attinge la crii imultanea delle bielle di cl e delle armature longitudinale (CASO 3.1) Il valore di cotθ è determinato ponendo: Il valore del momento torcente reitente è dato da: Rcd Rcd Rld cotθ ' 2 2 A t f cotθ /(1+ cot θ ) ovvero da: cd l l t f A ' cd l f l yd um A u l f m yd Rld A 2 A u m l f yd 1 cotθ l 38

37 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 3.2 Se riulta cotθ l < 1 allora il momento torcente reitente è dato da: Rld A 2 A u m dove cotθ l 1 l f yd 1 cotθ l 40

38 Metodo di Progetto/verifica grafico delle armature Per il progetto/verifica dell armatura reitente a torione può eere realizzato un diagramma riportante la funzione della torione reitente del cl (Rcd) e le funzioni della torione reitente delle barre longitudinali (Rld) e traverali (Rd) per diveri valori del rapporto di armatura (ωw; ωl) al variare del valore dicotθ. Le oluzioni poibili ono tutti i punti di interezione tra le funzioni Rld e Rd che ricadono entro i valori cotθ 1.0 e cotθ 2.5 e delimitati dai punti della funzione Rcd e del valore della torione agente Sd AENZIONE: Se il valore della torione agente Sd riulta eere maggiore del valore maimo della torione reitente del cl Rcd (valutato per cotθ 1) biogna neceariamente definire una nuova geometria della ezione di cl ovvero utilizzare un cl di reitenza maggiore 45

39 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE 100 momento torcente [knm] θ45 θ21.8 area di verifica oddifatta rd > d cl taffe arm. long. d cotθ rcd rd d rld 46

40 S.L.U. SOLLECIAZIONI COMPOSE (NC2018) ORSIONE, FLESSIONE E SFORZO NORMALE Le armature longitudinali calcolate con le regole richiete per garantire la reitenza richieta nei riguardi della ollecitazione torcente devono eere aggiunte a quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per fleione. Si applicano inoltre le eguenti regole: - nella zona tea all armatura longitudinale richieta dalla ollecitazione di fleione e forzo normale, deve eere aggiunta l armatura richieta dalla torione; - nella zona comprea, e la tenione di trazione dovuta alla torione è minore della tenione di compreione nel calcetruzzo dovuta alla fleione e allo forzo normale, non è necearia armatura longitudinale aggiuntiva per torione. 47

41 S.L.U. SOLLECIAZIONI COMPOSE (NC2018) ORSIONE E AGLIO Per quanto riguarda la crii lato calcetruzzo, la reitenza maima di una membratura oggetta a torione e taglio è limitata dalla reitenza delle bielle compree di calcetruzzo. La verifica è oddifatta e riulta: Ed Rcd + V V Ed Rcd 1 I calcoli per il progetto delle taffe poono effettuari eparatamente per la torione e per il taglio, ommando o ottraendo u ogni lato le aree richiete ulla bae del vero delle relative tenioni. AENZIONE: Per l angolo θ delle bielle compree di conglomerato cementizio deve eere aunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torione. 48