CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 3 8. Struttura di un PID Il regolatore PID e un itema dinamico ce elabora il egnale di ingreo errore co

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1 Capitolo 8 Sintonizzazione di Controllori PID Lo cema del controllo in retroazione di gura 8. e comunemente uato nelle applicazioni indutriali della teoria del controllo automatico. L'obiettivo dello cema conite nel forzare la variabile controllata y(t) (l'ucita di un certo itema da controllare) a eguire il piu fedelmente poibile una variabile di riferimento r(t) denita da un generatore di riferimento [9]. Il itema di controllo viene progettato per raggiungere queta pecica tenendo conto di un modello matematico del itema e dell'attuatore, vale adiredel itema di potenza ce traforma il egnale di controllo v(t) generato dal controllore in un egnale di potenza u(t) in grado agire ul itema da controllare. Il itema di controllo acquiice la miura della variabile da controllare tramite un enore ce fornice una variabile di miura ~y(t) proporzionale alla variabile miurata y(t), quindi confronta tale valore con il riferimento r(t), ottenendo una variabile errore e(t). La variabile errore viene inne elaborata dal controllore per calcolare un opportuno valore per il egnale di controllo v(t). Nelle applicazioni indutriali ono peo uati controllori con una truttura a cotituita da un termine proporzionale (P), un termine integrale (I) e uno derivativo (D). Tali controllori, detti regolatori tandard o PID, ono particolarmente apprezzati per la loro emplicita ed ecacia. In queti appunti verra preentata e dicua la truttura di bae di queti regolatori, motrando metodi analitici di intei e anamenti della truttura di bae neceari nelle applicazioni pratice. r(t) Generatore di riferimento v(t) u(t) Sitema da y(t) controllare e(t) Controllore Attuatore ~y(t) Senore Figura 8.: Diagrammi a blocci di un itema di controllo. Nel coro della trattazione lo cema di controllo in retroazione di gura 8. potra eere coniderato in forma emplicata per favorire la comprenione dei concetti epoti. In particolare potra eere tracurata la preenza dell'attuatore (v(t) = u(t)), ovvero tracurata la preenza del enore (~y(t) =y(t)). 3

2 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 3 8. Struttura di un PID Il regolatore PID e un itema dinamico ce elabora il egnale di ingreo errore come dierenza fra il riferimento e la variabile controllata e(t) = r(t) ; y(t) per ottenere un egnale di controllo u(t) fornito in ingreo al itema da controllare. Il regolatore PID nella ua forma bae, a una truttura a ed e parametrizzabile da tre coecienti T i T d : u(t) = e(t) Ti Z t de(t) e()d T d dt (8.) Analizziamo eparatamente nel eguito il ignicato di queti tre termini.. In termini tatici, un elevato riduce l'errore a regime, diminuice eventuali eetti di diturbo e del rumore ulla variabile controllata. Dal punto di vita dinamico, l'introduzione di un termine proporzionale (P) nell'anello di controllo generalmente produce un incremento della largezza di banda del itema retroazionato, per cui i a un aumento della velocita di ripota del itema, e quindi una maggiore prontezza nell'ineguimento del riferimento, ma, allo teo tempo, una diminuzione dei margini di tabilita del itema. 2. Dal punto di vita tatico, la funzione principale del termine integrale conite nell'annullare l'errore a regime per un ingreo a gradino. Infatti tale termine integra l'errore nel tempo e quindi un errore cotante provoca un incremento dell'azione di controllo no a ce l'errore non i e completamente annullato. In termini dinamici, l'introduzione del termine integrale portaadunaumento del ritardo di fae della catena diretta di controllo pari a =2, e quindi determina un peggioramento dei margini di fae ed ampiezza del itema retroazionato. 3. La funzione principale del termine derivativo conite nel migliorare i margini di tabilita del itema fornendo un anticipo di fae all'anello di controllo in retroazione. D'altra parte, ll termine derivativo a la caratteritica di amplicare i egnali con contenuto armonico a frequenze elevate. 8.2 Modice alla truttura del PID Nel paragrafo 8. e tata introdotta la truttura di bae del regolatore PID. Il regolatore PID utilizzato nelle applicazioni indutriali a una truttura piu complea in quanto vi ono problemi di natura pratica ce non poono venire riolti utilizzando emplicemente la (8.). In queto capitolo vedremo una riformulazione della (8.) utilizzata in applicazioni indutriali e l'introduzione di un dipoitivo di antiaturazione del termine integrale nella legge di controllo Limitazione di banda del termine derivativo Il termine derivativo del regolatore PID migliora i margini di tabilita dell'anello di controllo ed introduce una azione di correzione dell'errore di tipo anticipativo. Dal punto di vita applicativo vi ono pero alcuni importanti apetti da valutare: Il termine derivativo amplica ed ealta i egnali a larga banda come il rumore elettromagnetico ulla miura. La funzione di traferimento corripondente al termine derivativo del PID e non propria e quindi non icamente realizzabile. Il contributo del termine derivativo diviene teoricamente innito nel cao in cui venga applicato un ingreo di riferimento r(t) a gradino, introducendo ollecitazioni potenzialmente dannoe per gli organi di attuazione.

3 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 32 Per riolvere i problemi citati e poibile ltrare con un itema del primo ordine l'ucita del termine derivativo, otituendo quindi tale contributo con un termine con funzione di traferimento propria: D(S) = T d T d =N (8.2) dove lacotante di tempo del ltro (T d =N) e olitamente ata tra un decimo ed un venteimo della cotante di tempo del termine derivativo T d. Per evitare ce egnali di riferimento a banda troppo larga, ad eempio un egnale a gradino, producano delle ollecitazioni troppo forti, e poibile modicare lo cema di bae del PID (8.) come motrato in gura 8.2. In tale cema viene fornito all'ingreo del termine derivativo la ola miura dell'ucita y(t). ;y(t) r(t)? e(t) T d T d =N PID?u(t) ; y(t) Sitema T i Figura 8.2: Scema a blocci del PID con limitazione di banda del termine derivativo \AntiWindup" del termine integrale. Gran parte dello tudio dei itemi dinamici viene condotto utilizzando l'approimazione di linearita del itema in eame, ia pure nell'intorno di un punto di lavoro. Una delle principali caue di non linearita conite nella limitazione ica degli attuatori: la coppia fornita da un motore elettrico e limitata, una valvola non puo eere piu ce completamente ciua o completamente aperta. Queto tipo di nonlinearita puo incidere profondamente ul comportamento del controllore PID. Infatti conideriamo lo cema di gura 8.3, r(t) e(t) PID Sitema da controllare v(t) u(t) y(t) Limitazione ull'attuatore Figura 8.3: Scema a blocci di un itema di controllo con limitazione ull'attuatore. A caua della aturazione dell'attuatore, il valore in ucita dal regolatore PID (v(t)) puo eere dierente da quello della variabile di controllo (u(t)). Vi puo eere aturazione ul valore della

4 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 33 variabile di controllo ovvero ulla ua derivata temporale. Tali aturazioni poono venire epree dalle relazioni: 8 < u if v(t) u u(t) = v(t) if u ; <v(t) <u : u ; if v(t) u ; (8.3) du(t) dt 8 >< = >: dv(t) dt d if dv(t) d dt if d ; < dv(t) dt <d d ; if dv(t) dt d ; (8.4) dove u ;, u, d ; e d ono, ripettivamente, il limite minimo e maimo dell'ucita e della derivata temporale dell'ucita dell'attuatore. Per capire come la aturazione dell'attuatore inuice ull'azione di controllo del itema, conideriamo il eguente cao: upponiamo ce il itema i trovi in uno tato di equilibrio (errore nullo). Ad un certo itante viene applicato un gradino al egnale di riferimento r(t), ce ollecita il controllore a fornire un gradino al egnale di controllo v(t). A caua della aturazione il egnale di attuazione u(t) e piu bao di v(t) e quindi la variazione del egnale controllato, e quindi dell'errore, ara inferiore ripetto al cao non limitato. A caua della ridotta velocita della decrecita del egnale di errore, il termine integrale aumenta molto di piu ripetto al cao privo di limitazione. Quando poi l'errore tende ad annullari, il egnale di controllo rimane alto a caua dell'elevato valore dell'integrale, cauando quindi una elevata ovraelongazione e un tempo di aetamento piu elevato. Queto fenomeno viene ciamato windup del PID. Nel eguito verrano motrati alcuni cemi per attenuare il problema della aturazione del termine integrale (dipoitivi di \anti windup"). Ricalcolo del termine integrale. Queta tecnica introduce un termine di compenazione e (t) =v(t) ; u(t) all'ingreo del termine integrale, con egno oppoto a quello del egnale di errore e(t). Il egnale di compenazione e nullo no a ce l'ucita del PID non e aturata, mentre fornice un'azione tendente a diminuire il termine integrale nel cao in cui l'ucita del PID i aturi. In gura 8.4 ono motrati due cemi di antiaturazione: il primo utilizza una miura diretta della variabile di controllo u(t), il econdo impiega una tima di u(t) ottenuta tramite un modello dell'attuatore. Il egnale di compenazione del termine integrale viene ltrato da una funzione di traferimento F () tramite cui e poibile modulare l'azione di deaturazione. Siccome il temine di compenazione entrainunintegratore, olitamente la funzione di traferimento del ltro F () e emplicemente una cotante =T a. Per cegliere correttamente T a occorre coniderare ce per T a molto piccoli l'azione di deaturazione e molto veloce, pero eance facilmente oggetta all'azione di diturbi, e T a e grande l'azione di deaturazione e lenta. Integrazione condizionata In queta tecnica l'ingreo del termine integrale viene azzerato nel cao in cui il egnale di compenazione e (t) =v(t) ; u(t) ia non nullo (vedi gura 8.5). Se ciamiamo e i (t) ilvalore di ingreo del termine integrale, allora l'integrazione condizionata i eprime matematicamente: e(t) e i (t) = e v(t) =u(t) e v(t) = u(t) (8.5) 8.3 Funzioni e modelli uati nel capitolo In queto capitolo verranno utilizzati i eguenti le Maltab e Simulink:

5 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 34 T d PID e(t)? v(t) u(t) Attuatore T i e (t) F () Dipoitivo diantiaturazione (a) Scema con miura della variabile di attuazione. T d PID e(t)? v(t) u(t) Attuatore Modello dell'attuatore T i F () e (t)? Dipoitivo diantiaturazione (b) Scema com tima della variabile di attuazione. Figura 8.4: Controllore PID con dipoitivo di antiaturazione del termine integrale mediante ricalcolo del termine integrale. im pid.mdl, itema in retroazione con PID. PIDat.mdl, ubytem PID con aturazione. e pid.mdl, itema PID e erbatoio. e2 pid.mdl, itema PID e erbatoio. e3 pid.mdl, itema PID antiwindup e erbatoio.

6 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 35 T d PID e(t)? v(t) u(t) Attuatore. e i (t) T i... comparatore Figura 8.5: Scema di antiaturazione mediante integrazione condizionata. data pid.mat, dati di ingreo per il erbatoio. id pid.mdl, identicazione della funzione di trarferimento. ziegler.m, formule di ZieglerNicol. erbatoio.mdl, modello del erbatoio. im2 pid.mdl, cema Simulink per l'eercizio ). im3 pid.mdl, cema Simulink per l'eercizio 2). im4 pid.mdl, cema Simulink per l'eercizio 3). 8.4 Controllo di livello di un erbatoio In queto paragrafo i preenta l'eempio relativo aduncontrollo di livello eettuato attravero un regolatore PID e progettato attravero pecice ulla preciione tatica. Si fa riferimento al erbatoio di ezione circolare pari ad A, con A = m 2 rappreentato in Figura 8. con un condotto di ingreo per introdurre liquido con portata Q i [ m3 ] ed uno di ucita, per prelevarne con portata Q o [ m3 ]. Il itema dinamico puo eere rappreentato econdo uno cema Simulink come in Figura 8.7, in cui la portata netta Q n viene divia per la ezione del erbatoio ed integrata, per ottenere l'altezza del liquido ripetto il fondo,. Lo cema del itema ciuo in retroazione attravero un controllore PID e rappreentato in Figura 8.8. A valle del PID e tata inerita una aturazione, ce limita l'ucita del PID da a :2. L'immiione di liquido viene infatti controllata da una valvola rappreentata nello cema di Figura 8.7 e la aturazione tiene conto appunto del limite in portata dovuto alla valvola tea. In riferimento allo cema Simulink di Figura 8.8, con una portata in ucita pari a :5 m3, un riferimento di livello ato a 9m eunlivello iniziale pari a m progettare un PID con il olo termine proporzionale tale da garantire un errore di livello inferiore a :5m. introdurre il termine integrale per annullare l'errore a regime.

7 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 3 Controllo valvola Q i Portata in ingreo Livello liquido Liquido A Sezione Q o Portata in ucita Figura 8.: Rappreentazione del itema controllato..5 Qo Portata netta Qn Qn. /A Serbatoio (t) Livello Qi Figura 8.7: Scema Simulink del itema controllato. Come puo eere ricavato dallo cema di Figura 8.9, per avere un errore a regime inferiore allo :5m occorre un guadagno uperiore a. Tale guadagno garantice ce il itema lavori in regime lineare, cioe l'ucita del PID non e oggetta alle limitazioni impote dalla aturazione. Nelle Figure 8. ono rappreentati il livello di riferimento rif =9m eillivello del erbatoio (t). Si oervi l'andamento del egnale di controllo all'ucita del regolatore riportato in Figura 8.. Per ottenere l'annullamento dell'errore a regime, i introduce il termine integrale con un guadagno pari a :2. Ance queto valore evita l'intervento della aturazione. Il nuovo regolatore di tipo PI permette di ottenere un errore a regime nullo come evidenziato in Figura 8.2. L'andamento del egnale Q i ottenuto attravero un controllore di tipo PI e riportato in Figura Progetto di un PID con le formule di ZieglerNicol In queto paragrafo i eettuera il progetto di un PID per un itema decritto da una funzione di traferimento utilizzando le relazioni di ZieglerNicol (modicate da Coen e Coon) calcolate in bae alla funzione di traferimento approimata.

8 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 37 Manual Switc.5 Portata netta Livello Maima portata in ucita % portata in ucita Sum. /A Serbatoio Qn data_pid.mat Portata in ingreo Portata netta Qn From File Qi Livello (t) Portata in ingreo PID Qo Saturation PID Controller Sum 9 Riferimento Portata in ucita er Errore Errore a regime Figura 8.8: Scema Simulink del controllo di livello con PID. Q o G p Q A r i Figura 8.9: Scema a blocci del controllo di livello con PID. Si conideri il itema del quarto ordine decritto dalla funzione di traferimento G() = ( )( :25)( :5)( :75) (8.) ce puo eere approimata, utilizzando il metodo delle aree, dalla funzione G a () = e;:52 (:4348) : (8.7) in cui ono tati otituiti i valori di =:52 e T =:4348. Le relazioni di ZieglerNicol ono implementate nella funzione Matlab ziegler.m ce riciede in ingreo, T, C o,ilvalore di regime della ripota del itema eccitato da un gradino di ampiezza M o. function [P,I,D] = ziegler(tau,t,mo,co) % % function [P,I,D] = ziegler(tau,t,mo,co) per il calcolo dei parametri % del PID. tau e' il tempo di ritardo, T la cotante di tempo, Mo l'ampiezza % del gradino applicato e Co l'ampiezza a regime della ripota. %

9 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID e r (t) (t) rif (a) (b) Figura 8.: Livello del erbatoio e livello di riferimento (a) ed errore a regime (b) con regolatore P. m 3..5 Q i Figura 8.: Portata in ingreo al erbatoio. R = tau/t Mo = Co = N = Co/T P = Mo*(4/3R/4)/(N*tau) I = (tau*(32*r))/(38*r) D = (4*tau)/(2*R) Si ottengono i eguenti valori per i parametri del PID >> P P = 2.4

10 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID (t). e r (t) rif (a) (b) Figura 8.2: Livello del erbatoio e livello di riferimento (a) ed errore a regime (b) con regolatore PI. m Q i Figura 8.3: Portata in ingreo al erbatoio con regolatore PI. >> I I = 2.53 >> D D =.343 >> Il modello Simulink per l'identicazione della funzione di traferimento G() con la G a () e riportato

11 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 4 in Figura 8.4 Calcolo di S2 T 32/3 ()(4)(2)(4/3) T Step Sitema da identificare Regime y Calcolo di S Contant Sum Ttau.4348 Polo del itema identificato Rirardo del itema identificato ya Tpt Figura 8.4: Modello Simulink per l'identicazione di G(). mentre il confronto tra la ripota del itema reale e quella del itema approimato e riportato in Figura 8.5. y(t).2.8 G a (). G() Figura 8.5: Confronto delle ripote al gradino di G() eg a (). In Figura 8. viene motrata l'implementazione di un PID in ambiente Simulink, modicata introducendo il blocco di aturazione. Si utilizza queta verione di PID, in cui il blocco di aturazione viene ecluo mettendo ripettivamete come limiti uperiore ed inferiore i valori di inf e inf. Con tali parametri il funzionamento del blocco in Figura 8. e equivalente a quello del PID emplice gia preente nelle librerie di Simulink. Il blocco Subytem PID viene inerito nello cema di Figura 8.7. Si confrontano quindi le ripote del itema controllato enza regolatore e itema in retroazione col PID. La Figura 8.8 riporta le ripote y(t) del itema G() e y c (t) del itema compenato G c (). In Figura 8.8 ono tati ance evidenziati i livelli di % 9% e 5% ripettivamente per la denizione del tempo di alita e il tempo di aetamento. Come i puo oervare dalla Figura 8.8, l'introduzione del PID peggiora le caratteritice dina

12 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 4 PID con aturazione du/dt In P D Derivative Sum Out Sum /2.53 I Integrator Saturation Sum2 Figura 8.: Subytem PID con aturazione in ambiente Simulink. e(t) Step Sum In PID Out 32/3 ()(4)(2)(4/3) ZeroPole yc(t) yc To Workpace y(t) 32/3 ()(4)(2)(4/3) ZeroPole y To Workpace Figura 8.7: Il itema controllato G() in retroazione con il PID. mice della ripota, aumentando la ovraelongazione, ma migliora la velocita della ripota tea, diminuendo il tempo di alita e laciando invariato il tempo di aetamento. 8. PID con cema antiwindup Si conideri lo cema del erbatoio per il controllo di livello utilizzato nel Paragrafo 8.4 in retroazione con un PI claico con p =et i =:2. Imponendounprelievo cotante al erbatoio i ottengono i eguenti andamenti del livello del erbatoio (t) e della portata di ingreo Q i, riportati in Figura 8.9. Il livello di riferimento e ato a 9 mentre il erbatoio parte da un livello iniziale pari a. Succeivamente, facendo riferimento ad un PID econdo uno cema riportato in Figura 8.2, con itema di limitazione della derivata e antiwindup, inerito nel itema erbatoioregolatore di Figura 8.2, i ottendono i riultati riportati in Figura 8.22.

13 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 42 y(t).4.2 G c () 5%.8 9% ;5%. G().4.2 % Figura 8.8: Ripote del itema con e enza compenazione e livelli di riferimento..2 (t).2 Q i (t) Q i ref (a) (b) Figura 8.9: Livello del erbatoio con PID claico con livello di riferimento (a) e portata in ingreo Q i (b). Il PID utilizza i eguenti parametri: d =,T i =:2, T d =,N =5,T t =3e come valori di aturazione [ :2]. La Figura 8.22 riporta il livello del erbatoio confrontato con quello di riferimento e l'andamento del uo di liquido in ingreo. Si puo notare la ripota piu veloce del itema ce utilizza un PID con truttura modicata ripetto a quella di un PID claico. Nel PID claico con aturazione dell'attuatore, infatti, a caua della aturazione del egnale di attuazione e della ridotta velocita della decrecita del egnale di errore, il termine integrale aumenta molto di piu ripetto al cao privo di limitazione. Quando poi l'errore tende ad annullari, il egnale di controllo rimane alto a caua dell'elevato valore dell'integrale, cauando quindi una elevata ovraelongazione e un tempo di aetamento piu elevato.

14 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 43 p e(t) p Proportional 2 y(t) Td Td/N. Derivative PID Out Sum Ti. Integrator Saturation Tt Tt Sum2 Figura 8.2: PID in Simulink a derivata limitata e antiwindup..5 Manual Switc Portata netta Livello Maima portata in ucita % portata in ucita Sum. /A Serbatoio data_pid.mat From File Portata in ingreo Qn Portata netta Qn Qi Portata in ingreo Livello (t) PID 9 Qo Saturation PID con derivata limitata e anti windup Sum Riferimento Portata in ucita er Errore a regime Errore Figura 8.2: Scema Simulink di PID modicato e erbatoio. 8.7 Eercizi propoti in aula didattica.. Data la funzione di traferimento ( ) 3 (8.8) progettare un regolatore PID utilizzando le formule di ZieglerNicol (funzioni del valore del guadagno in retroazione o ce porta il itema al limite della tabilita e del periodo delle ocillazioni ottenute T o ). I parametri o e T o poono eere ottenuti dal luogo delle radici del itema ciuo in retroazione unitaria con un regolatore di tipo P econdo un guadagno proporzionale o. Con le formule di ZieglerNicol progettare quindi un PI, un PID ed un PID con limitazione della derivata (N=) e confrontare i riultati ottenuti con i diveri regolatori. 2. Riprendendo il itema decritto dall Equazione 8.8 realizzare un PID (con N=) con limitazione dell'azione derivativa (cioe ce eettui la derivata olo dell'ucita) e i confronti la ripota con quella ottenuta con PID in forma reale realizzato precedentemente.

15 CAPITOLO 8. SINTONIZZAZIONE DI CONTROLLORI PID 44 (t). Q i (t) Q i ref (a) (b) Figura 8.22: Livello del erbatoio (t) con PID modicato con livello di riferimento (a) e portata in ingreo Q i (b). 3. Riprendendo lo cema ce utilizza il PID con derivata reale della ola ucita, i introduca un diturbo ull'ucita tea (rumore bianco con varianza.) e i calcoli l'andamento nel tempo del egnale di controllo per N =en =3. Fare prove con N divero e giuticare teoricamente i riultati ottenuti.