Massimo Flusso. Ulteriori vincoli. Descrizione del problema. Rete di flusso. Flusso in G

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1 Maimizzare il # di PC prodoi Maimo Flo rre dai 2 Decrizione del problema Una fabbrica (orgene) di PC dee abilire il nmero di PC da aemblare giornalmene. Ti i PC prodoi erranno endi in n negozio (deinazione). La fabbrica ed il negozio ono collegai araero na ree di comnicazione. S di ogni rao della ree è in erizio n frgone che pò raporare n nmero fiao di PC (nmero che dipende dalla grandezza del frgone). rre dai 3 Uleriori incoli In ogni nodo della ree di comnicazione: Non è poibile prodrre PC Non è poibile occare PC In alre parole il nmero di PC che enra in n nodo è gale al nmero di PC che ece dal nodo. GOAL: Qale è il maggior nmero di PC che pò eere raporao dalla orgene alla deinazione enza iolare i incoli del problema? rre dai Ree di flo È n grafo orienao e peao G(V,E) con delle proprieà agginie Eiono de nodi paricolari V deo orgene V deo deinazione/pozzo Ad ogni arco (,) E è aegnao n alore c(,)>=0 deo capacià Per ogni V eiono: (cammino da a ) (cammino da a ) rre dai Flo in G È na fnzione f:vxv R È definia per ogni coppia di erici Indica le nià di bene (e.g., # di PC) che iaggia ra ogni coppia di nodi f(,) indica il flo della ree dal nodo al nodo rre dai 6 1

2 Flo in G La fnzione f:vxv R oddifa le egeni proprieà Vincolo lla capacià f(,) <= c(,), per ogni, V Simmeria obliqa f(,) = - f(,), per ogni, V Conerazione del flo V f(,) = 0, per ogni V-{,} Vincolo lla capacià Il flo da n nodo ad n alro non pò perare la capacià dell arco che conginge i de nodi Oio, da n nodo all alro, non i poono raporare più PC di qelli che enrano in n frgone rre dai 7 rre dai 8 Simmeria obliqa Conerazione del flo Il flo da n nodo ad n alro è l oppoo del flo nella direzione inera In paricolare f(,)=0, dao che f(,) = - f(,) 12 6 rre dai 9 rre dai 10 Uleriori proprieà Se (,),(,) E, allora non c è flo ra il nodo ed il nodo. (,),(,) E implica c(,)=c(,)=0 Dal incolo lla capacià f(,)<=0 e f(,)<=0 Dao che f(,) = -f(,), allora -f(,)<=0 implica f(,)>=0 Qindi, f(,)=0 In alre parole Se i è flo ra il nodo ed il nodo allora: (,) V oppre (,) V o enrambi rre dai rre dai 12 2

3 Valore del flo Noazione Dao n flo f di G, il alore del flo è definio come: f = V f(,) Proeremo che ale anche f = V f(,) Problema: Dao G, deerminare il flo di alore maimo 13 10/13 13 è la capacià 10 è il flo rre dai 13 rre dai 1 Eqialenza Eempio 8/10 3/ 10 /10 0/ f(,)= f(,)= rre dai 1 rre dai 16 Eempio Sorgeni e deinazioni mliple /16 12/ / 0/10 /9 7/7 1/ /13 3 /1 / 2 rre dai 17 rre dai 18 3

4 Sorgeni e deinazioni mliple Noazione implicia per il flo Dai de iniemi di erici X ed Y definiamo: f(x,y) = x X y Y f(x,y) S 3 2 T Come conegenza, la conerazione del flo pò eere cria come: f(,v) = 0, infai f(,v) = V f(,) rre dai 19 rre dai 20 Lemma 1 Sia G=(V,E) na ree di flo e ia f n flo per G. Allora: Per X V, ale f(x,x)=0 Per X,Y V, ale f(x,y) = -f(y,x) Per X,Y,Z V, con X Y=, ale f(x Y,Z)= f(x,z)+f(y,z) f(z,x Y)= f(z,x)+f(z,y) rre dai 21 Flo enrane in Dal precedene lemma poiamo dedrre che: f = f(v,) Ciò ignifica che il flo cene da è gale al flo enrane in, poiché, per la conerazione del flo, il flo in qalnqe alro nodo è gale a zero rre dai 22 Eercizi Sia G na ree di flo e iano f 1 e f 2 de fnzioni flo G. Sia g: VxV R ale che g(,) = f 1 (,) + f 2 (,). proare che g è n flo G. Sia G na ree di flo e iano f 1 e f 2 de fnzioni flo G e α na coane. Sia g: VxV R ale che g(,) = αf 1 (,) + (1- α)f 2 (,). proare che g è n flo G. rre dai 23 Meodo di Ford-Flkeron È n meodo per riolere il problema del maimo flo È baao re idee: Rei reide Percori amenani (agmening pah) Tagli (c) Non è n algorimo in qano da eo i poono deriare ari algorimi rre dai 2

5 Meodo di Ford-Flkeron FORD-FULKERSON-METHOD(G,,) inizializza il flo f a zero while eie n agmening pah p do amena il flo f lngo p endwhile rern f rre dai 2 Rei reide Iniiamene, na ree reida è coiia dagli archi che permeono il paaggio di leriore flo Dao G=(V,E),, ed n flo f in G la capacià reida di (,) è daa da: c f (,) = c(,) f(,) Qanià di flo, da a, che pò eere aggino ad f enza perare la il incolo lla capacià rre dai 26 Eempio c(,)=10, f(,)=8 c f (,)=2 c(,)=0, f(,)=7 c f (,)=7 c(,)=16, f(,)=- c f (,)=20 Ree reida indoa da f È definia come G f (V,E f ), doe E f ={(,) VxV : c f (,)>0} Gli archi in E f ono dei archi reidi È la ree coiia da i gli archi che poono ammeere ancora flo Se almeno n arco ra (,) e (,) è in G, pò accadere che (,) è in G f, qindi: E f <= 2 E rre dai 27 rre dai 28 Ree reida indoa da f Eempio di ree di flo La ree reida è ea ea na ree di flo con capacià c f Poiamo aere c f (,)>0 e c(,)>0 e f(,)<c(,), oppre e c(,)=0 e f(,)>0 Eie na relazione ra il flo in na ree di flo ed il flo in na ree reida 12/ /16 1/ 0/10 /9 8/13 7/7 3 /1 1/20 / rre dai 29 rre dai 30

6 Eempio di ree reida Lemma Sia G=(V,E) na ree di flo e ia f n flo in G. Sia G f la ree reida indoa da f in G e ia f il flo in G f. Allora la fnzione F(,)=f(,)+ f (,) è n flo in G con alore F = f + f rre dai 31 rre dai 32 Proa Lemma 2 Vincolo immeria (f+f')(,)= f(,)+f'(,) = -(f(,)+f'(,) = -(f+f')(,) Vincolo capacià (f+f')(,)= f(,)+f'(,) <=f(,)+c(,)-f(,) = c(,) Vincolo conerazione del flo Σ (f+f')(,)= Σ f(,) + Σ f'(,) = 0 rre dai 33 Proa Lemma 2 (con.) Valore del flo f+f' = Σ (f+f')(,) = Σ f(,) + Σ f'(,) = f + f' rre dai 3 Agmenig pah Daa na ree di flo G=(V,E) ed n flo f, n agmening pah p è n cammino emplice da a nella ree reida G f Daa na agmening pah p definiamo la capacià reida di p come c f (p) = min{c f (,) : (,) è n arco in p} La capacià reida rappreena la maima qanià di flo che i pò raporare lngo gli archi di p rre dai 3 Eempio di agmenig pah p=(, 1 )( 1, 3 )( 3, 2 )( 2,) 7 1 rre dai 36 c(p)= 6

7 Lemma 3 Sia G=(V,E) na ree di flo e ia f n flo in G. Sia p na agmenig pah nella ree reida G f. Definiamo la fnzione f p :VxV R come c f (p) e (,) p f p (,) = -c f (p) e (,) p 0 alrimeni La fnzione f p è n flo in G f con alore f p = c f (p) >0 Corollario 1 Sia G=(V,E) na ree di flo e ia f n flo in G. Sia p na agmenig pah nella ree reida G f. Sia f p definia come nel Lemma 3. Definiamo la fnzione f :VxV R come f =f+f p. Allora f è n flo in G con alore f = f + f p > f rre dai 37 rre dai 38 Taglio di na ree di flo Un aglio (c) di na ree di flo G=(V,E), indicao con c(s,t), è na parizione dei erici V in S e T=V-S con S e T Il flo lngo il aglio è definio come f(s,t)= S T f(,) La capacià del aglio è definia come c(s,t)= S T c(,) rre dai 39 Eempio di aglio /16 8/13 S={, 1, 3 } T={, 2, } 12/ / 0/10 3 /9 /1 7/7 1/20 / f(s,t)=12+(-)+=19 c(s,t)=12+1=26 rre dai 0 Oerazioni Noiamo che il flo araero n aglio pò incldere alori di flo negaii, menre la capacià di n aglio è compoa olo da alori poiii Il proimo lemma mora che il alore del flo in na ree di flo è pari al flo lngo n qaliai aglio della ree rre dai 1 Lemma Sia f n flo in na ree di flo G con orgene e deinazione e ia (S,T) n aglio di G. Allora il flo lngo il aglio (S,T) è f(s,t)= f. rre dai 2 7

8 Corollario 2 Teorema (max-flow min-c) Il alore di n qaliai flo f in na ree di flo G è limiao periormene dalla capacià di n qaliai aglio di G f <= c(s,t) per ogni aglio (S,T) Se f è n flo in na ree di flo G con orgene e deinazione, allora le egeni condizioni ono eqialeni: 1. f è n maimo flo in G 2. G f non coniene agmening pah 3. f = c(s,t) per n aglio (S,T) rre dai 3 rre dai Deerminare il aglio minimo Se non eie na agmening pah in G f, definendo S={ V:eie n percoro da a } e T=V-S abbiamo oeno il aglio di coo minimo rre dai Ford-Flkeron(G,,) foreach (,) E(G) do f(,)=f(,)=0 endfor while (eie p da a in G f ) do c f (p) = min{c f (,) : (,) p} foreach (,) p do f(,)=f(,)+ c f (p) f(,)=-f(,) endfor endwhile rre dai 6 Analii di Ford-Flkeron Il rnning-ime dell algorimo di FF dipende da come i deermina l AP Qando la capacià ame alori reali, e l AP non è cela con cra FF porebbe non conergere mai Se l AP è cela ando la BFS, l algorimo ha n rnning-ime polinomiale Speo il problema del maimo flo i preena con capacià inere rre dai 7 Max-flow con capacià inere Un implemenazione banale ha empo di eeczione O(E f * ), doe f * è il alore del maimo flo Il primo foreach prende empo Θ(E) Il while è eegio al più f * ole dao che il flo amena di almeno na nià ad ogni ierazione Il laoro all inerno del while pò eere reo efficiene, O(E), a econda della rra dai ilizzaa (edi pp. 9 e 96 del libro di eo) rre dai 8 8

9 Eempio Algorimo di Edmond-Karp f * = RT= O(E f* ) RT=O( ) Ua come bae l algorimo di FF La AP è elezionaa ando la BFS Il percoro da a è qello minimo coniderando ogni arco con peo no Il rnning-ime è O(VE 2 ) AP 1 =(,)(,)(,) AP 2 =(,)(,)(,) rre dai 9 rre dai 0 Maimo-maching G=(V,E) è n grafo non direzionao Un inieme M V è n maching e Per ogni V al più n arco in M è incidene, in al cao è mached M V è n maimo-maching e M è di cardinalià maima, cioè per ogni maching M i ha M >= M MM in grafi biparii Un grafo non direzionao G=(V,E) è bipario e V pò eere parizionao in de iniemi L ed R ali che e (,) E, allora o L e R oppre R e L V=L R L R= gli archi ono olo ra L ed R rre dai 1 rre dai 2 Eempio A coa ere MM? maching maimo maching rre dai 3 Ha mole applicazioni praiche L rappreena n inieme di proceori R rappreena n inieme di ak che deono eere eegii imlaneamene Ogni proceore eege n ak per ola Un arco indica che n proceore è in grado di eegire n deerminao ak Si ole maimizzare il nmero di ak eegii conemporaneamene rre dai 9

10 Troare MM con FF A parire da n grafo bipario non direzionao G=(V,E), doe V=L R, definiamo la ree di flo G =(V,E ) doe V =V {,} E ={(,) : L} {(,) : L, R e (,) E} {(,) : R} Ogni arco lla ree di flo G arà capacià niaria rre dai Teorema del MM Sia G=(V,E) n grafo bipario con parizione dei erici V=L R, e ia G =(V,E ) la corripondene ree di flo. Se M è n maching in G, allora eie n flo a alori ineri in G con alore f = M. D alra pare, e f è n flo a alori ineri in G, allora eie n maching in G con cardinalià M = f. rre dai 6 Eempio Ti gli archi da L ad R con flo poiio fanno pare del MM flo = 1 flo = 0 rre dai 7 10