FORMULAZIONE GENERALE ELEMENTI FINITI

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1 FORMULAZIONE GENERALE ELEMENI FINII Finora si è affronao il problema di deerminare la marice di rigidezza di elemeni per i qali era noa na solzione analiica. Si vole ora deerminare na procedra per la deerminazione della marice di rigidezza per qalnqe ipo di elemeno, prché si sia in grado di scrivere na eqazione differenziale di eqilibrio al so inerno Lo scopo è di discreizzare, ovvero condensare le proprieà disribie di ogni elemeno s alcni nodi di conorno che comnicano con il reso della srra e con i carichi eserni La conoscenza degli sposameni nodali consene di ricosrire e le proprieà inerne dell elemeno (sress, srain, emperara, ) La solzione viene deerminaa in forma debole (weak form) in qano l eqilibrio viene soddisfao solo in senso mediao sl dominio dell elemeno Una vola che gli elemeni sono sai formai, essi sono connessi ra loro con le medesime regole già analizzae per le beam

2 Il procedimeno prevede l eseczione di see passi logici I) II) III) IV) Idenificazione della adaa formlazione dell elemeno Scela di insieme di fnzioni con le qali si descriverà il campo inerno di sposameni (mediane loro combinazione lineare) Calcolo fnzioni di forma, che legano gli sposameni inerni con qelli nodali Espliciare legame campo deformazioni inerne - sposameni nodali V) Espliciare legame campo ensioni inerne - sposameni nodali VI) VII) Applicare principio lavori virali (od alro principio variazionale) per deerminare K A calcolo avveno, ricavare ensioni e deformazioni in base solzione Gli svilppi sono inesi nel sisema di riferimeno locale dell elemeno

3 I) Idenificazione della adaa formlazione dell elemeno Si raa di scegliere la ipologia elemeno ( beam, shell, brick, ) e di deerminare il nmero di nodi che lo definiscono Sposameni nodali f f i Forze nodali F F i Sposameni inerni P k i = 1 n. gdl elemeno k = 1 m sposameni inerni definii II) Scela di insieme di fnzioni con le qali si descriverà il campo inerno di sposameni (mediane loro combinazione lineare) Le fnzioni sono in genere di ipo polinomiale, anche se in alcne siazioni (ad esempio campi acsici) pò essere ile ilizzare fnzioni rigonomeriche A meno di casi paricolari, la combinazione lineare di ali fnzioni non fornirà na solzione esaa ma solo approssimaa L insieme delle fnzioni inerpolani pò in eoria essere scelo ad libim, avia affinché la convergenza del rislao sia monoona con l infiimeno, vanno rispeai qaro reqisii fondamenali:

4 1 - Compleezza ai moi rigidi ovvero capacià di avere sposameni rigidi dell elemeno senza l insorgere di ensioni all inerno - Compleezza a deformazioni cosani ovvero consenire sai di deformazioni cosani in o l elemeno (pach es) 3 - Compaibilià lngo le linee o facce di conorno di elemeni conigi non si devono verificare srappi o compenerazioni 4 - Coninià ossia assenza di pni singolari nella descrizione del campo degli sposameni Si noi che in alni casi, si ilizzano elemeni che violano qalcna delle 4 condizioni scciae, ad esempio - Elemeni speciali per descrizione singolarià apice di na cricca - Compaibilià incomplea come nel caso della piasra di Kirchhoff Anche la connessione disaena di elemeni a formlazione diversa pò innescare incompaibilià Connessione erraa elemeni 4 nodi Connessione erraa elemeni 4 e 9 nodi

5 Idenificae le fnzioni inerpolani i (P) per ciascn pno inerno dell elemeno si pò scrivere 1 P 1 11 P 1 P n 1n P k P 1 k1 P k P n kn P In forma mariciale P P α III) Calcolo fnzioni di forma, che legano gli sposameni inerni con qelli nodali Applichiamo la inerpolazione precedene s pni paricolari, i nodi, considerando i i gdl definii per nodo fi 1 k1 P P P i k i = 1 n. gdl elemeno i n kn i In forma mariciale f A α Si noi che, noe le posizioni dei nodi nel riferimeno locale, A è na marice noa, composa di valori nmerici definii

6 Se si fa coincidere il nmero di coefficieni della serie degli con in n. gdl di elemeno, la marice A risla qadraa, condizione necessaria per la sa inversione Ciò consene di risolvere in -1 α A f Che sosiia nella espressione del campo sposameno inerno P -1 P A f N P PA -1 = Fnzioni di forma n. righe N = nmero di sposameni inerni definii n. colonne N = nmero di gdl dell elemeno N(P), in generale, non è na marice qadraa Noare che le fnzioni di forma permeono di descrivere na combinazione lineare paricolare, nella qale i coefficieni sono gli sposameni nodali f Non sempre la marice A risla inveribile, ad esempio non lo è per elemeni concavi Gli elemeni in ci le fnzioni di forma legano gli sposameni nodali a qelli inerni sono dei Lagrangiani

7 Gli elemeni in ci le fnzioni di forma legano gli sposameni nodali e loro derivae a qelli inerni (e loro derivae) sono dei Hermiiani IV) Espliciare legame campo deformazioni inerne - sposameni nodali Le relazioni cinemaiche consenono di correlare sposameni inerni con deformazioni inerne Le loro espressioni dipendono dal problema di riferimeno, ma sono comnqe sempre ricavae da (P) mediane relazioni differenziali Ad es. nel lineare ε P Diff P 1 j i i j xi x j Non sempre avia si ilizzano le deformazioni esé indicae come grandezze rappresenaive dello sao di deformazione, in alcni casi ad esempio (beam o piasre) si ilizzano le crvare (derivae II di, v) -1-1 ε P Diff P Diff P A f Diff P A f Uilizzando nove nomenclare di marici n. righe B = nmero di deformazioni inerne definie n. colonne B = nmero di gdl dell elemeno -1 ε P C PA f ε P B P f

8 V) Espliciare legame campo ensioni inerne - sposameni nodali Il modello cosiivo fornisce il legame ra le ensioni e le deformazioni Si è già viso che la marice di rigidezza del maeriale D dipende dal ipo di configrazione (ensione piana, def. piana, ) e dal maeriale σ P D ε P -1 σ P DB P f DC PA f Se si considera anche la presenza di ensioni reside o deformazioni ermiche σ P σ P D ε P- ε P in in VI) Applicare principio lavori virali (od alro principio variazionale) per deerminare K In precedenza è saa richiesa, per la scela delle fnzioni approssimani, la loro coninià lngo i bordi elemeno, qeso comnqe non garanisce slla coninià delle loro derivae, e qindi di ensioni e deformazioni All'inerfaccia l eqilibrio porà qindi essere violao, anzi l enià di ale violazione è na misra dell infiimeno adoao

9 L eqilibrio che viene richieso all elemeno vale solo in senso globale, araverso n fnzionale deerminao dal lavoro virale Principio del lavori virali PLV. Se na srra, soggea a vincoli, si rova in eqilibrio, allora per ogni sposameno virale compaibile con i vincoli, il lavoro delle forze eserne è gale all energia immagazzinaa dal campo di ensioni inerno, per il ramie delle deformazioni virali * * Coll apice * vengono indicae le grandezze virali f ; ε * f F ) W es (forma qadraica dw in P * ε P σp dv (forma qadraica ) Inegrando sll inero volme dell elemeno e ricordando le posizioni precedeni: W W in in * ε P σp V e dv * f B DB f V e Si possono porare fori inegrale le grandezze discree dv * f B DB dv f Win V e

10 * Ugagliando W in e W es si pò eliminare f in virù del fao che ale gaglianza deve valere non per n solo veore di sposameni virale, ma per na serie infinia di valori, l ci nico reqisio richieso è la compaibilià con i vincoli F B DB dv f Ve F K f K B DB V e dv K risla da na scela approssimaa degli sposameni e qindi è approssimao Per il calcolo occorre inegrare le marici s o l elemeno Si pò agevolmene esendere l applicazione del PLV al caso in ci siano anche preseni forze di volme, di sperficie o ensioni reside V e * ε P σp V * * dv f F P RVolP Ve * * P RSpP ds ε P σp e Effeando e le sali sosizioni mariciali, dopo aver eliminao f * si ha V e dv dv B D B f F N R Vol N R Sp B σ dv P dv P ds P dv V V V V e e e e

11 V e DB dv f F F F F B Vol Sp In al modo e le forze disribie sono ricondoe a forze nodali I precedeni passaggi ci consenono anche di formlare la marice di massa disribia, essendo essa derivane da na proprieà (la densià) che è na caraerisica di volme Applicando il PLV all eqazione di D Alamber: * * f F f N ρpp V e dv Uilizzando sesse fnzioni di forma per accelerazioni già sae per sposameni F N ρ PNf V e dv Dalla qale si evince la forma di M M N ρpn V e dv Negli elemeni hermiiani compaiono anche momeni inerzia Anche la marice delle masse pò essere scria nelle coordinae globali per mezzo della M M

12 VII) A calcolo avveno, ricavare ensioni e deformazioni in base solzione In qesa fase si riscrivono i gli sposameni nodali, elemeno per elemeno, nel sisema di riferimeno locale A qeso pno si possono riprendere le espressioni mariciali già noe per deerminare ensioni e deformazioni inerne ε P B P f σ P DB P f FORMULAZIONE VARIAZIONALE Nel calcolo variazionale si ilizza n fnzionale della eqazione differenziale la ci condizione di sazionarieà soddisfa (in forma debole) l eqazione differenziale sessa Limiaamene al caso srrale che qi ineressa, si definiscono Densià inerna di energia U σ d Energia inerna U d U Per n sisema lineare elasico, l energia inerna si pò scrivere ε σ D ε ε σ ε σ Def. iniziale ens.. iniziale

13 Ω dω σ ε D ε ε D ε ε d d 1 U Il poenziale o energia del lavoro eserno si scrive invece come ˆ e W Ω Γ b dω dγ P b Veore forze volme ˆ Veore forze sperficie Si noi che il poenziale del lavoro eserno è diverso dal lavoro delle forze eserne di n faore 1/ L energia poenziale oale di n sisema è definia come: P dγ b dω Γ Ω ˆ d U W U e Con essa cosriamo il nosro fnzionale che risla essere P dγ b dω dω σ ε D ε ε Dε ε Γ Ω Ω ˆ d d 1 Sperf. Con carichi eserni La formlazione variazionale consise nel considerare no sposameno virale infiniesimo del sisema (compaibile con i vincoli narali o essenziali) ed oenere così di novo il PLV ˆ d d P dγ b dω dω σ ε D ε ε D ε ε Γ Ω Ω

14 Proviamo a chiarire il o con n esempio molo semplice k=5 N/m m=1 kg d 5 1 d U W e 1 K 5 mg m sosiendo U 5 1 J W 1 J 1 1 J e

15 Si ilizza ora n operaore differenziale lineare L per descrivere il legame cinemaico deformazioni sposameni in coordinae caresiane ε L ε L L Con qesa posizione il principio variazionale si scrive L D ε d L D ε d L Ω b dω Γ Ω ˆ dγ σ P dω

16 Meodo di Rayleigh - Riz Il meodo è sao inizialmene proposo da Raileigh e poi eseso da Riz Pr se esisono meodi che consenono la solzione dell eqazione differenziale in forma direa (e.g. Differenze finie) si cerca na solzione parendo direamene dalla forma variazionale Per calcolare l energia poenziale oale occorre assmere n campo di sposameni, e ciò viene fao mediane na fnzione di inerpolazione La fnzione di inerpolazione pò pensarsi in de modi: Fnzione di coefficieni polinomiali incognii: y a1 ax a3x Appropriao per sisemi conini Nessn significao fisico coefficieni Sposameni nodali incognii y N1 1 N N3 3 Ci ineressiamo qi del primo caso viso che il secondo verrà sempre ilizzao nel segio Se si considerano dei soodomini del sisema (elemeni) il meodo di Rayleigh - Riz coincide con il meodo degli elemeni finii

17 Rimanendo al I caso si approssimano gli sposameno nelle 3 direzioni per mezzo delle Le fnzioni k i n k k c i i1 k i k k 1,, 3 (x, devono soddisfare i segeni reqisii: 1) Devono essere fnzioni conine y,z) ) Devono essere ammissibili ossia soddisfare le condizioni al conorno essenziali (sposameni) 3) Devono essere indipendeni e fornire na approssimazione complea in modo da cogliere ano più esaamene qani più ermini si sano Normalmene le k i o sono polinomiali o rigonomeriche k c i I parameri della combinazione lineare si deerminano imponendo l annllarsi della variazione dell energia poenziale oale i1 ci ci ci n 1 3 x, y, z c 1 i c i c 3 i

18 i1 ci ci ci n 1 3 x, y, z c 1 i c i c 3 i Dao che ciò deve valere per valori arbirari di eqazioni k c i la precedene si radce nel sisema di c k i i 1,,n k 1,,3 In praica si è sosiio n problema conino con no con n nmero finio di incognie Alcne imporani osservazioni: Se le condizioni precedenemene definie sono soddisfae, la solzione converge al valore esao con il crescere n Al crescere di n, i coefficieni già calcolai non cambiano Dao che deformazioni e ensioni sono calcolai derivando sposameni approssimai, sono in genere meno accrai degli sposameni Il sisema approssimao è più rigido di qello esao e si ragginge la solzione esaa degli sposameni da soo Rispeo al meodo degli elemeni finii non siamo più vincolai a prendere n prefissao nmero di fnzioni inerpolani e qeso pò, in linea di principio, consenire n calcolo molo preciso

19 Esempio - rave appoggiaa appoggiaa x a xl x a xl 1 x Noare che le c.c. sono idenicamene soddisfae! q x U W L M E J dx L q x dx ; L E J d dx q x dx 1) Un solo coefficiene (a 1 ) a a1 E J L 1 q L 6 3 L E J a 1 a a q xl x 1 1 dx a q L 4 E J ql 96 EJ 1 4 1max ) De coefficieni (a 1 - a ) a a 1 q L 4 E J q 384 E J max 4 5 q L 384 E J La I solzione fornisce n errore del 17 %, la seconda coincide con qella esaa

20 La formlazione variazionale si pò sare solamene se si è in grado di scrivere n fnzionale da minimizzare. Ciò non è sempre possibile (ad esempio problemi di flidodinamica) Viene spesso ilizzaa nella elaborazione di nove ipologie di elemeni finii, ove pò rislare più agevole scrivere la fnzione energia poenziale e poi derivarla per oenere i ermini di rigidezza k i j x i U x j Ridzione dell ordine di inegrazione Si riprende la solzione delle eqazioni differenziali che devono essere risole nel dominio A In B In Con A e B operaori differenziali lineari Possiamo anche riscrivere le precedeni in modo da evidenziarle come eqazioni di eqilibrio rispeo ai carichi imposi A L p In B M In

21 Nella formlazione inegrale, l eqilibrio è soddisfao per na solzione virale v: v d v B d A Non è sao finora messo in lce, ma risla evidene che gli inegrali preseni devono essere limiai e non infinii Qeso pone alcne resrizioni slle famiglie di e v ilizzabili Se ad esempio compaiono derivae seconde delle fnzioni e v è necessario richiedere na coninià di ipo C 1 perché con C l inegrale non è limiao Coninià C Coninià C 1

22 avia in moli casi, è richieso che l operaore differenziale sia aoaggino il che si verifica se esso è lineare, si pò inegrare la precedene forma inegrale per pari, oenendo A è aoaggino se v A d A vd D d Ev F d C v L aspeo ineressane è che D e F sono operaori differenziali che conengono derivae di n ordine minore rispeo agli originari A e B In alri ermini si pò richiedere alle na coninià minore, ad esempio da C 1 a C Alcni aori chiamano qesa diminzione di richiesa s weak form ma ciò fa confsione con qano deo in precedenza