Meccanica Applicata alle Macchine compito del 15/4/99

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Teodora Bello
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1 Compio 15//99 pagina 1 Meccanica Applicaa alle Macchine compio del 15//99 A) Chi deve sosenere l'esame del I modulo deve svolgere i puni 1 e. B) Chi deve sosenere l'esame compleo deve svolgere i puni 1, 3 e. C) Chi deve sosenere l'esame del II modulo deve svolgere i puni 3 e. 1. La figura rappresena un crick per il sollevameno di veure nel caso di sosiuzione della ruoa. 1 Indica la base di appoggio al erreno, da considerare solidale al erreno sesso (cioè 0, il elaio). Rappresena la base che si appoggia soo la veura, da considerare capace solo di moo di raslazione vericale (cioè come se fosse vincolaa ad una coppia prismaica a elaio). Le ase 3,, 5, 6 hanno lunghezza eguale pari a 0.8 m e formano un quadrao nella configurazione mosraa in figura. 7 e 8 rappresenano la vie e la madrevie. La coordinaa libera, q, è lo scorrimeno della madrevie 8 per effeo della roazione della vie 7 ed è ineso che sia misuraa a parire dalla configurazione mosraa nella figura figura. Uilizzando la numerazione proposa in figura (e considerando il corpo come vincolao con una coppia prismaica con 0 a scorrere in vericale): a) Rappresenare con un grafo il meccanismo, individuare le caene cinemaiche e le coppie. Dire quani gradi di liberà ha il meccanismo e quane caene cinemaiche chiuse indipendeni si possono individuare. b) Scrivere le equazioni di chiusura scegliendo le caene cinemaiche più convenieni (semplificare le equazioni aiuandosi con considerazioni geomeriche e considerando le simmerie del meccanismo). c) Calcolare il rapporo di velocià fra lo scorrimeno della madrevie (q) e lo sposameno vericale della base (y). d) Calcolare la forza che la vie esercia sulla madrevie per conrasare una forza assegnaa F 000N. Soluzione.

2 Compio 15//99 pagina Per individuare le caene cinemaiche è uile immaginare il meccanismo secondo una visa esplosa, come soo.si evidenzia in queso modo che esisono diverse coppie rooidali sovrappose: a,b; c,d; e,f; g,h. Inolre ci sono due coppie prismaiche: i che consene al corpo 8 di scorrere su 7 (in realà sarebbe una coppia a vie, ma nello schema piano la roazione aorno all'asse della vie non si considera), l che è la coppia prismaica (fiizia) che obbilga il corpo a raslare in vericale. Dallo schema esploso è facile ricavare il grafo mosrao soo (basa rimpicciolire i corpi fino a farli divenare puni). Il grafo mosra che ci sono 8 corpi (1 e 0 coincidono) e 10 coppie di classe C (di cui i e l prismaiche, le alre rooidali). Ci sono 3 caene cinemaiche indipendeni ( 6 equazioni), 1 grado di liberà e 7 variabili: q,y,3,6,,5,7. Ovviamene il fao che le ase 3,6,,5 abbiano lunghezza eguale comporerà che il quadrilaero relaivo sarà un parallelogramma e che le diagonali saranno rispeivamene vericali e orizzonali (ma quesa inuizione dovrà essere dimosraa con le equazioni di chiusura). Conviene usare le segueni caene cinemaiche: , , La figura soosane mosra i veori necessari per i relaivi poligoni (si sfrua il fao che alcune coppie sono coincideni).

Compio 15//99 pagina 3 Le equazioni di chiusura sono dunque: Z 3 Z 7 Z 6 Z 3 Z Z 5 Z 6 Z 3 Z Z 0 per il parallelogramma si ha: Z 3 cos l 3 cos Z sin 6 l 6 cos Z 3 sin l Z 6 sin 5 l cos 5 sin 5

3 Compio 15//99 pagina 3 Le equazioni di chiusura sono dunque: Z 3 Z 7 Z 6 Z 3 Z Z 5 Z 6 Z 3 Z Z 0 per il parallelogramma si ha: Z 3 cos l 3 cos Z sin 6 l 6 cos Z 3 sin l Z 6 sin 5 l cos 5 sin 5 essendo l la lunghezza (eguale) delle quarop ase (invece i argomeni sono variabili). Per la vie si ha: Z 7 l q cos 7 sin 7 essendo l la lunghezza iniziale della vie (che, come deo, è quella corrispondene alla configurazione quadraa del parallelogramma in figura) e q la corsa della madrevie ( variabili qui). Infine: Z 0 y 0 1 essendo y la posizione vericale della base (più precisamene della coppia rooidale) ed essendo la direzione di scorrimeno vericale. Sosiuendo nella seconda equazione di chiusura (quella del parallelogramma ) si ricava: l cos 6 sin 6 l cos 5 sin 5 cos l cos l 3 sin sin 3

4 Compio 15//99 pagina cos cos 6 cos 3 cos 5 sin sin 6 sin 3 sin 5 e si può facilmene verificare che è una soluzione (ma non l'unica, infai il quadrilaero si porebbe assemblare anche in un alro modo). Espandendo le alre due equazioni di chiusura, e sfruando i risulai sopra, si ricava: q l cos 7 l cos l cos 3 q l sin 7 l sin l sin 3 l cos l cos 3 l sin l sin 3 y La erza equazione mosra che: 3 π in accordo con le considerazioni inuiive espose sopra. A queso puno le prime due equazioni forniscono: l cos π q l cos 7 l cos l sin π q l sin 7 l sin che risole danno: q q l cos 7 l cos l sin 7 7 cos 1 q l l noo la quara equazione fornisce y: y l sin Per calcolare il rapporo di velocià si possono derivare le equazioni di chiusura sopra ripora (oppure solano la prima e la quara uilizzando i risulai ricavai espliciamene per 7 e3 dalla erza e seconda). Derivando ue e quaro le equazioni si oiene: q l sin 7 7 l sin l sin 3 3 cos 7 q

5 Compio 15//99 pagina 5 q l cos 7 7 l cos l cos 3 3 sin 7 q l sin l sin 3 3 l cos l cos 3 3 y a queso puno, per eviare l'inversione di una marice jacobiana x conviene proprio uilizzare i risulai precedeni: 7 3 π Le equazioni si semplificano: l sin q 0 0 l cos y dalla prima equazione si ha: 1 1 l sin q che sosiuio nella quara da: y cos sin q da cui il rapporo di velocià: τ cos sin Per calcolare la forza eserciaa dalla vie si applica il eorema dei lavori viruali ( indicando con Q la forza): Q δq F δy Q δy δq F Q τ F e si vede che il rapporo di velocià (e quindi la forza Q) diminuisce quando le ase si muovono verso la direzione vericale.. Procedura per l'analisi di posizione del quadrilaero RRRR.

Compio 15//99 pagina 6 3. La figura soosane rappresena una lavarice, composa di un elaio di massa m, del cesello di massa m' e di una massa m'' che rappresena la biancheria. Il elaio ha dimensioni 0.

6 Compio 15//99 pagina 6 3. La figura soosane rappresena una lavarice, composa di un elaio di massa m, del cesello di massa m' e di una massa m'' che rappresena la biancheria. Il elaio ha dimensioni 0.8 m x 1. m ( rispeivamene larghezza e alezza). il cesello ha diamero 0.6 m. I baricenri di elaio e cesello coincidono con il cenro C del elaio sesso, che è anche l'asse di roazione del cesello. L'asse del cesello si considera vincolao rigidamene al elaio (cioè non è sospeso elasicamene). La biancheria si assume che sia disposa eccenricamene, nel puno P, ad una disanza r. m dall'asse del cesello C. Il cesello ruoa a velocià angolare cosane ω. Il elaio della lavarice è sospeso elasicamene sulle molle di rigidezza k. Dai (in unià SI): m 0 m' m'' 5 r. Nell'ipoesi di rascurare i moi laerali e di inclinazione del elaio della lavarice (cioé considerando il elaio come capace solo di raslazione vericale) si deermini: a) Le equazioni del moo con approccio lagrangiano. b) La posizione y0 di equilibrio di C in funzione della rigidezza k. (le molle hanno lunghezza libera pari a l0) e le equazioni delle piccole oscillazioni rispeo alla posizione di equilibrio. c) La forza rasmessa al suolo nel caso di molle di rigidezza infinia, per velocià di roazione ω 800 giri / min (cenrifuga) e ω 350 giri / min (cenrifuga a velocià ridoa). d) La forza rasmessa al suolo nel caso di molle di rigidezza k N / m (per ciascuna molla) nel caso delle due velocià sopra ciae. e) Il coefficiene di smorzameno necessario a ridurrela forza rasmessa a meno di 000 N, nel caso di molle della rigidezza sopra indicaa e velocià di cenrifuga ridoa. Calcolare il valore della forza rasmessa in queso caso alla velocià di cenrifuga massima. Soluzione. Equazioni del moo con approccio lagrangiano: Posizione del baricenro C di elaio e cesello (dea y la lunghezza auale delle molle): yc y 0.6 xc

7 Compio 15//99 pagina 7 Posizione del baricenro P della biancheria: yp yc r sin ω xp xc r cos ω Energia cineica (si rascura quella di roazionedel cesello perché cosane): T 1 m m' yc xc 1 m'' yp xp T 1 m'' ω ry' cos ω y' ω r 1 m m' y' avendo indicao con y' la velocià: y y' Energia poenziale delle molle: V' 1 k y l 0 Energia poenziale graviazionale: V'' m m' g yc m'' g yp V'' m m' g y 0.6 gm'' r sin ω y 0.6 Energia poenziale oale: V V' V'' V m m' g y 0.6 k y l 0 gm'' r sin ω y 0.6 Posizione di equilibrio: V y y 0 l 1 m m' m'' g k Equazioni del moo: L T V y' L m m' m'' L y y ky ω m'' r sin ω kl 0 gm gm' gm'' Sosiuendo y con una coordinaa q misuraa dalla posizione di equilibrio: q y y 0

8 Compio 15//99 pagina 8 m m' m'' q kq ω m'' r sin ω l'equazione si semplifica e divena quella di un sisema con forzane armonica, dove il modulo della forza è: F ω m'' r Nel caso di molle di rigidezza infinia quesa è la forza rasmessa al erreno (infai la rasmissibilià vale 1): ω π F 133. ω π F noare che i valori sono elevai. Nel caso la lavarice sia sospesa elasicamene la rasmissibilià vale: T 1 ω 1 essendo (vedere l'equazione): k k m m' m'' Le forze rasmesse divenano: ω π FT ω π FT noare che la forza rasmessa alla velocià di 350 giri / minuo cresce per effeo della risonanza, per ovviare a quesa condizione si può aggiungere uno smorzaore in parallelo alle molle. Indicaa con c la cosane di smorzameno l'espressione della rasmissibilià divena: T 1 1 ζ ω ω ζ ω

9 Compio 15//99 pagina 9 affinché la forza rasmessa sia inferiore a 000 N occorre che la rasmissibilià sia al massimo: ω π 133. T T 000 sosiuendo nell'espressione di T e risolvendo in ζ si ha: ωζ ωζ ωζ ωζ ω ω 1 1 ζ.516 che significa: c ζ k m m' m'' c con c ζ.516 le forze rasmesse divenano: ω π FT 000 ω π FT Descrivere il meodo QFD.

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