Lezione 26 I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE CORRENTI

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1 Appuni ei cori i Irulic e Iroinmic Lezione 6 I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IRALICI. IL MOTO VARIO NELLE CORRENTI L compleià ello uio el moo vrio nelle correni ipene lle ipoei ce i inroucono, le quli loro vol ipenono ll nur ell impino in cui i relizz il rniorio. Si poono iniviure ue ivere iuzioni. Nell prim le vrizioni i preione ono moee e quini il fluio può eere coniero enià cone. Nell econ, invece, i nno vrizioni i preione noevoli e è necerio conierre l enià vribile. Conierimo ue ci eemplificivi. CASO : ENSITA COSTANTE Nei erboi ell impino in fiur l iribuzione i preione può eere rienu pri quell iroic, eeno il fluio conenuo in ei pricmene fermo

2 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Queo fo impone ei limii l vlore ce l preione può umere ll imbocco e llo bocco ell cono e quini lle vrizioni i preione ce poono eere oerve in uo l impino. L enià el fluio può quini eere conier cone coì come cone può eere un l ezione ell cono. Al uo inerno l equzione i coninuià impone unque Menre l equzione el moo fornice ( ) H λ j ove j n emplice nlii elle rnezze ce compiono nell epreione i j mor ce j non ipene coì come il ermine. L equzione el moo può quini eere iner ll ezione inizile quell finle forneno H H j L ove H e H rppreenno il crico ole nelle ezioni finli e inizili ripeivmene, menre è ivenuo in quno non ipene. I vlori H e H poono eere lei l livello nei erboi meeno in cono le iipzioni concenre i eneri H z ζ H z ζ

3 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) ove i è inico con z il livello nel erboio ripeo quello in conizioni ice. Aveno uno l uperficie ell ezione ei ue erboi uule, eriv ce il livello nel erboio riul pri z. ζ vle menre ζ è pri.5, quno è poiivo. Quno è neivo, ζ vle.5 e ζ è pri. Si unque z ζ z ζ λ L L λl z ζ ζ (NOTA ) n emplice bilncio i m ll inerno el erboio mor ce zs Eeno l uperficie ell ezione ell cono e S l uperficie liber ei ue erboi. Seue quini ce S z e L S z S z z λl z. 5 Tle equzione può fcilmene eere iner uilizzno un meoo numerico. n ie ul compormeno ell oluzione può eere oenu rcurno le iipzioni i eneri, umeno cioè il fluio iele. In l co z z LS L oluzione è unque z c en c co LS LS NOTA : Si noi ce i le perie i crico iribuie, i quelle concenre ono e une proporzionli invece ce in quno il moo può inverire l u irezione ripeo ll irezione

4 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Le coni c e c poono eere eermine imponeno le conizioni inizili. A eempio e per il fluio è fermo e z è pri z i z c c L oluzione mor quini ce i il livello nei erboi i l velocià nell cono ocillno nel empo con perioo T π LS Inolre fr velocià e pelo libero eie uno fmeno i 9 S z LS L preenz elle iipzioni inuce un enuzione elle ocillzioni e il fenomeno non è più perioico. L enuzione è no miore quno più rne riul il ermine S λl.5 L Per vlori elevi elle iipzioni i può vere un len ice i z prire z enz ce il livello nel erboio um vlori neivi

5 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) CASO : LIO COMPRIMIBILE Conierimo or l impino in fiur, coiuio un erboio, un cono e un vlvol po nell ezione erminle ell cono (ezione A). Quno l vlvol po in A è complemene per e il moo è reime, il fluio efluice con un velocià mei. Eeno il imero ell cono, l por Q è pri π 4. Aumimo ce il crico cineico, pri i rcurbile ripeo. Ciò cce quno l cono ermin con un rerinimeno (vei fiur) e l velocià el eo ucene ll cono è molo miore ell velocià ll inerno ell cono

6 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Ponimoci il problem i uire co uccee quno l vlvol po in A i ciue in un empo τ, eo empo i ciuur. In le inervllo emporle l ezione i effluo p l vlore ω (vei fiur) zero con un lee ce è e lee i ciuur ω η ( ) ( ) ω

7 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Nonone i rcurbile ripeo, l velocià è peo elev e quini elev è l inerzi el fluio. Se il empo i ciuur τ è piccolo, ono necerie forze e quini preioni eleve per fermre il fluio. In le iuzione l comprimibilià el fluio non può eere rcur coì come non poono eere rcure le vrizioni ell ezione ell cono ce i moific eeno il merile ell cono oo i elicià. Per uire ciò ce cce è quini necerio fre riferimeno lle equzioni elle correni in form comple H ( ) ( ) Ee venono comunque emplifice inrouceno lcune ipoei. In primo luoo il fluio può eere ipoizzo iele. Infi eeno rcuro nell equzione el moo ce iviene j molo minore i il ermine j può eere H Il fluio è uppoo inolre broropico, i ume cioè ce l enià ipen olo ll preione ( p) Le ulime ipoei riurno l nur ell oluzione ce i uppone i ipo proporio, cioè le ce con c cone imenionle [ c ] Eeno riul e c. Quini Si ume infine ce ( LT ) (, ) ( c, ) c c c

8 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Ciò implic ce c Seue unque ce Le ipoei ce l oluzione i propori e ce c non poono eere verifice in queo momeno, ee rnno conrolle un vol ce l oluzione rà eermin. L equzione el moo conuce Tuvi, riul per le ipoei fe, molo minore i eeno c e quini E coiuice l prim elle equzioni emplifice el fenomeno in eme enomino COLPO ARIETE. L econ equzione eriv ll equzione i coninuià ce conuce Per le rioni preceenemene epoe i econi ermini ll inerno elle prenei qure ono rcurbili ripeo i primi e coneuenemene poono eere rcuri

9 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Or le vrizioni nel empo ell enià e ell ezione evono eere lee lle vrizioni ell preione ce loro vol ono lee lle vrizioni i. Si infi z p γ Tuvi l quo z ell cono non vri nel empo e peno ce γ γ ( p), i p γ L equzione i o (LEZIONE 5) per un fluio broropico impone Seue quini p p p γ p Imponeno l equilibrio ll rlzione vericle i mezz cono oe lle forze ce l eerno eerci u i e, riul (rcurno il peo el fluio) p σ eeno lo peore ell cono e σ l enione ll inerno el merile con cui e è relizz

10 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) E eviene unque ce vrizioni i preioni comporno vrizioni ell enione σ ce loro vol ono lee ll eformzione ell ezione rvero il moulo i elicià E el merile ell cono. Riul p E p E σ σ Teneno inolre cono ce 4,, 4 / / / / π π π π eue E p p E / / Infine p p E γ L equzione i coninuià iviene unque E E E E γ γ veno inrooo l cone. E

11 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) le equzioni ce overnno il moo vrio nell cono poono eere crie nell form e coiuicono le coiee equzioni emplifice el colpo riee percé veremo nel euio ce urne il rniorio i poono mnifere noevoli ovrppreioni ce poono nneire l cono e. L oluzione elle equzioni può eere eermin olo opo ver pecifico le conizioni l conorno. Nel problem in eme, nell ezione immeimene vlle el erboio i : Sezione B Infi veno rcuro il crico cineico ripeo e le perie i crico, i può ffermre ce H. L conizione l conorno nell ezione erminle ell cono può eere oenu pplicno il eorem i Bernoulli fr l ezione A e l ezione el eo immeimene vlle ell ezione conr (ezione C). A A C C

12 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Nell ezione C l preione reliv è null. Inolre l quo z può eere rcur ripeo l crico A coì come il crico cineico A. Seue unque C A Il principio i conervzione ell m impone inolre A A ω C ω C C A C ( ) eeno C C il coefficiene i conrzione ce le l ezione conr ll ezione i effluo el fluio l ermine el ro converene. L relzione preceene eve vlere qulunque empo e in pricolre nce ll ine inizile. A A A C C ω Seue quini ( ) ω A A A A ω veno uno A A e C C C C. Quini nell Sezione A η ( )

13 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Riumeno e inrouceno un e x ireo ll ezione A vero l ezione B con oriine nell ezione A, i x x in x L (NOTA ) η ( ) in x e x L oluzione el problem formulo preceenemene ipene ll form ell funzione η ( ) cioè ll lee i ciuur. Tuvi è poibile bilire lcune ue proprieà enerli. In primo luoo noimo ce e oifno l e equzione ce form x Ciò può eere fcilmene verifico per, erivno l prim equzione per x, moliplicnol per e oreno l econ equzione eriv ripeo l empo. In moo nloo è poibile verificre ce l meeim equzione è oif. Le ue funzioni inconie unque ono crerizze ll meeim ipenenz pzio emporle. Per eerminre le ipenenz inroucimo le ue nuove vribili inipeneni x ; x NOTA L cone inroo nell equzione el moo le imenioni i un velocià. E poibile imorre ce e corripone ll velocià el uono nell cono. Nelle conoe in cciio il vlore i i ir orno m menre in un fluio inefinio 4 m

14 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Noimo inolre ce ; ; x x Soiueno li epreioni nell equzione inizile i Tle equzione, e equzione i Almber o equzione ell cor vibrne, come oluzione enerle ( ) ( ) f f eeno f e f funzioni opporune. Ricorno le epreioni i e i x f x f E quini fcile verificre ce i f ce f verificno l efinizione i funzioni proporie con c e c ripeivmene. Infi f x f f c x f f f f x f f c x f f f Inolre eeno c e peno ce l orine i è pri m 3 è poibile verificre ce c, coniero ce l velocià el fluio nell cono è in enerle ell orine i m. Noimo ce l funzione ( ) f f i prop, non cmbino l u form, nell irezione poiiv (neiv) ell e x con velocià ( ). A queo puno ue le ipoei formule inizilmene riulno verifice. Conclueno i

15 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) x x f f x x L inrouzione elle coni e è poibile eeno le funzioni f, f,, rbirrie. Le funzioni f, f,, ono lee fr i loro, come è poibile morre conierno le equzioni inizili x f f oveno le equzione eere verific qulunque vlore uno e emere unque ; f f x x f f Inizilmene eeno e, le funzioni fr f e f ono enrmbe nulle. Non ppen inizi l mnovr i ciuur, nell ezione A l conizione l conorno f ì ce e i moificino. Ciò può vvenire olo e f e f umono vlori iveri zero. I vlori i f eneri in A non ono qui i ineree percé f i prop nell irezione neiv ell e x e quini i vlori eneri in A non vnno inerere l cono, efini vlori i x li ce x L. L funzione f un vol ener in A, i prop ll inerno ell cono vero B ove iune opo un empo pri L. In B, i vlori i f iveri zero, ce rrivno provenieni A, enerebbero fr umere vlori iveri. Tuvi l conizione l conorno impone e unque in B, per miori i L, i enerno vlori i f iveri zero e in pricolri uuli f. Tli vlori non nulli i f, eneri in B, i propno vero A con velocià e iunono in A olo opo un

16 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) empo θ L ll inizio ell mnovr i ciuur. Il empo ce un on ce vii con velocià impie percorrere l inz L è eo ur i fe. Nell ezione A per ui i empi minori i θ, il vlore i f è nullo e i Quini eliminno f i oiene x f x f Se il empo i ciuur τ è inferiore θ, in A per ( ) τ θ i e quini Il vlore è il ovrccrico ce i mnife in A, in occione i un ciuur ce vviene in un empo τ minore i θ (ciuur bruc), e ce un ur pri θ τ. E poibile poi imorre ce le ovrccrico è il mimo ovrccrico poibile. E poibile ricvre l mim ovrppreione ll conocenz el leme fr p e. p mx p Teneno preene ce m, K m 3 / e può riunere vlori i m, è fcile veere ce le ovrppreioni ce i poono enerre poono cure l rour ell cono e. Per vlori i miori i θ, f ume vlori iveri zero nce in A e non è più poibile ricvre e in moo emplice. Speo è necerio ricorrere meoi numerici ce, uvi, uilizzno un form iver elle equzioni ce verrà ricv nel euio

17 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) LE EQAZIONI LNGO LE CRVE CARATTERISTICHE Primo lle equzioni emplifice el colpo riee x x e moliplicimo l prim equzione per un cone e ommimo l econ equzione x x Se x il ermine i inir iviene. Se x nce il ermine fr prenei qure iviene l eriv i ripeo l empo. Si unque Ciò è poibile e e olo e e cioè e quini e L equzione ± x ± o ± può eere fcilmene iner forneno ± ( ) Tli relzioni fr e nno però vliià olo quno ono oife le equzioni ce conucono x ± x ± cone

18 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) In lre prole olo un oervore ce i muove con velocià ( ) cioè con lee x co ( x co) nel pino orrio verà il crico e l velocià lee ll ( ) relzione ( ) ( ) ( ) ( ). Le curve (ree) el pino orrio efinie x ± co ono ee curve creriice e le vlono olo luno li curve. equzioni ± ( ) n emplice meoo (rfico) per eerminre il vlore i e nelle ezioni A e B è quello i nlizzre il fenomeno nel pino (, ). Per eempio conierimo un ciuur bruc, con lee i ciuur rppreen in fiur Anlizzimo il fenomeno nel pino (, ) - 5 -

19 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Per quno icuo in preceenz, il puno nel pino (, ) ce rppreen l iuzione in B per qulunque empo inferiore o uule θ è il puno ( ) nell ezione B e nell ezione A ripeivmene l enerico empo in ( ),. Inicno con Bn e A n l iuzione nθ, il puno B. 5 i roverà,. n oervore ce i rov in B ll ine.5 θ e i muove con velocià vero A, vi iunerà l empo θ. urne il movimeno l oervore verà un crico e un velocià lei ll relzione ( ) rppreen in fiur ll re. E unque eviene ce il puno A ce rppreen l iuzione in A ll ine ezione A impone ce θ eve rovri u le re. ove? L conizione l conorno nell η ( ) ino il vlore i, le conizione l conorno rppreen nel pino (, ) un curv ull qule eve rovri il puno A l empo coniero. Nel co in eme τ θ e per θ η vle zero. L curv ce rppreen l conizione l conorno in A eener quini nell e. Il puno A ovenoi rovre conempornemene luno l re e luno l curv, vrà - 5 -

20 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) coorine O, (vei fiur). L proceur può eere coninu per eempio per rovre l poizione i B. 5. Infi un oervore ce i rov in A ll ine θ e i muove vero B con velocià, vi iunerà l empo.5θ. urne il uo movimeno verà un velocià e un crico lei ll relzione ( ) A A (re ). Quini il puno B. 5 ovrà rovri luno le re. Inolre in B, l conizione l conorno impone ce e è quini fcile eerminre B. 5 come inerezione ell re e ell re. Proeueno nel empo è poi poibile eerminre l poizione i, B.5, A3 oervi ce, opo ce nell ezione A l empo empo A e coì vi. Si θ i è prooo il mimo ovrccrico, l θ il crico cene l i oo i i un qunià pri ( ). Se il vlore i ( ) è elevo e non è rne, è poibile ce l preione riun il vlore ell enione el vpore e ce quini il fluio cvii. In l co i formno ll inerno ell cono elle bolle ce poi imploono quno l preione umen nuovmene. Aveno rcuro le iipzioni, lo o el iem ocill con perioo θ, infi B. 5 coincie con B. 5, A 3 coincie con A e coì vi. I riuli oenui morno ce eie un fe in cui il fluio, inizilmene nimo velocià, rllen comprimenoi e rformno l u eneri cineic in eneri elic i compreione. Que fe ermin quno il fluio è fermo e l preione mim. A queo puno il fluio i il invereno l u velocià ce ume vlori neivi vi vi creceni, menre l preione iminuice. Quno l preione riune il vlore inizile, l velocià neiv è mim e pri. A queo puno il fluio rllen nce e coninu epneri e quini vere un velocià neiv. L fe i epnione ermin quno l preione riune il vlore minimo. In le iuzione. Inizi quini un fe i compreione le l fo ce l velocià riorn poiiv. opo mezz fe l velocià vle e l preione riorn vere il uo vlore oriinrio e il fenomeno i ripee ienicmene per l mncnz i iipzioni. Quee ulime cuno nell relà un len enuzione el fenomeno (vei fiur) e l ermine el proceo i riune un iuzione zionri ecri e

21 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) Veimo or co uccee in preenz i un mnovr len le ce τ θ. In pricolre eminimo il co in cui l funzione η i quell rppreen nell fiur oone Anlizzimo il fenomeno nel pino (, ) Come nel co preceene ( ) B e un oervore ce preno B ll ine.5θ i.5, muove vero l ezione A, l riune l empo ecrii ll re θ oervno, urne il rio, vlori i e

22 LEZIONE 6 I rniori neli impini irulici Il moo vrio nelle correni (Novembre 7) ove eve cere il puno A. Al empo. ( ) θ l vlvol po in A non è ncor ciu e quini ( ) η θ Nel co in eme η ( θ ) è pri.5 e l conizione l conorno in A è ecri, nel pino (, ) ll prbol. E eviene unque ce A crà nell inerezione fr l re e l curv. n oervore ce, rovnoi in A ll ine iunerà l empo θ, i muove con velocià vero l ezione B vi.5θ, oervno vlori i e lei ll relzione (re 3) ( ) A A Teneno cono ce in B eve eere uule, è fcile poizionre B. 5. Coninuno nell proceur è poi poibile oenere A,..., B. 5 Si noi ce il ovrccrico ce i relizz in A è in queo co inferiore ( )