Introduzione e modellistica dei sistemi
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- Ferdinando De Angelis
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1 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Inroduzione e modellisic dei sisemi Modellisic dei sisemi eleromeccnici Principi fisici di funzionmeno Moore elerico in correne coninu (DC-moor) DC-moor con comndo di rmur DC-moor con comndo di eccizione Esempio di rppresenzione in vribili di so Poliecnico di Torino
2 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modellisic dei sisemi eleromeccnici Inroduzione I sisemi eleromeccnici operno un conversione eleromeccnic di energi: Conversione di energi eleric in energi meccnic moori elerici Conversione di energi meccnic in energi eleric generori elerici o dinmo eleriche Per esigenze di brevià, in queso modulo srnno consideri solno i moori elerici e in pricolre quelli limeni in correne coninu, noi più semplicemene come DC-moor Srnno or richimi i principi fisici che sono ll bse del funzionmeno dei sisemi eleromeccnici Poliecnico di Torino 2
3 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Forz di Lorenz Un conduore elerico di lunghezz percorso d un correne i ( )eimmersoinuncmpomgneico d inensià B ( ) è sooposo ll forz di Lorenz F () = i () B () B F i 5 Coppi di Lorenz Un spir condurice di superficie A percors d un correne i ( ) e immers in un cmpo mgneico d inensià B ( ) è soopos ll coppi di Lorenz T () = i() AB()sin θ() θ Poliecnico di Torino 3
4 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Legge dell induzione eleromgneic Se un conduore elerico form un circuio chiuso e concen un flusso Φ ( ) di un cmpo mgneico, per l legge di Frdy Henry Lenz dell induzione eleromgneic viene crersi nel conduore un ensione no come forz eleromorice indo (o f.e.m. indo) dφ() e () = d 7 Modellisic dei sisemi eleromeccnici 2007 Poliecnico di Torino 4
5 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Pri principli di un DC-moor (/4) Un moore elerico limeno in correne coninu è cosiuio d Spzzol Mgnee dello sore Avvolgimeni del roore θ, ω Mgnee dello sore Albero Cuscinei Spzzol Colleore Uno sore : è l pre più esern e non rone, responsbile dell generzione del cmpo mgneico medine Semplici mgnei permneni e/o Un serie opzionle di vvolgimeni limeni in correne coninu, cosiueni il circuio di eccizione 9 Pri principli di un DC-moor (2/4) Un moore elerico limeno in correne coninu è cosiuio d Spzzol Mgnee dello sore Avvolgimeni del roore θ, ω Mgnee dello sore Albero Cuscinei Spzzol Colleore Un roore : è l pre più inern e mobile, cosiui d un cilindro di merile ferromgneico lmello e opporunmene sgomo, su cui sono posi numerosi vvolgimeni che formno il circuio di rmur; le circuio gener un cmpo mgneico conceno con quello dello sore Poliecnico di Torino 5
6 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Pri principli di un DC-moor (3/4) Un moore elerico limeno in correne coninu è cosiuio d Spzzol Mgnee dello sore Avvolgimeni del roore θ, ω Mgnee dello sore Albero Cuscinei Spzzol Colleore Un inerruore rone deo colleore spzzole o nello di Pcinoi : permee l circuio di rmur di enrre in cono elerico con due spzzole, rverso le quli il moore riceve energi eleric soo form di correne di rmur Pri principli di un DC-moor (4/4) Un moore elerico limeno in correne coninu è cosiuio d Spzzol Mgnee dello sore Avvolgimeni del roore θ, ω Mgnee dello sore Albero Cuscinei Spzzol Colleore Un lbero moore : solidle con il roore e doo di un proprio momeno d inerzi, è di solio collego meccnicmene ll crcss del moore medine uno o più cuscinei sfer Poliecnico di Torino 6
7 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modello di un DC-moor (/6) Il modello del DC-moor è di nur ibrid: i R L v R e L e i e e + v e - Circuio di eccizione (sore) T m J β θ, ω T r Circuio di rmur (roore) Infi è cosiuio d: Un modello di ipo elerico del roore e dello sore (nel cso in cui sino preseni vvolgimeni sorici) Un modello di ipo meccnico del roore e dell evenule crico pplico 3 Modello di un DC-moor (2/6) i R L v i e v e R e L e Circuio di eccizione (sore) e + - T m J β θ, ω T r Circuio di rmur (roore) Il modello elerico del roore è descrio d di () () () v = Ri + L + e() d v, i = ensione e correne di rmur R, L = resisenz ed indunz equivleni di rmur (proporzionli l numero di spire del roore) e = forz eleromorice indo (f.e.m. indo del roore) Poliecnico di Torino 7
8 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modello di un DC-moor (3/6) i R L v R e L e i e e + v e - Circuio di eccizione (sore) T m J β θ, ω T r Circuio di rmur (roore) Se sono preseni vvolgimeni sullo sore il modello elerico dello sore è descrio d di () () e () v e = Reie + Le d v e, i e = ensione e correne di eccizione R e, L e = resisenz ed indunz equivleni di eccizione (proporzionli l numero di spire dello sore) 5 Modello di un DC-moor (4/6) i R L v R e L e i e e + v e - Circuio di eccizione (sore) T m J β θ, ω T r Circuio di rmur (roore) Il modello meccnico del roore è descrio d J θ() = J ω() = T () T () βω() m J = inerzi dell lbero moore, vene posizione ngolre θ T m = coppi morice del moore T r = coppi resisene (dovu l crico pplico l moore) β = coefficiene d rio equivlene (iene cono dei vri fenomeni d rio, fr cui quelli dovui i cuscinei) r Poliecnico di Torino 8
9 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modello di un DC-moor (5/6) Il fenomeno dell conversione eleromeccnic di energi è descrio dlle relzioni: e () = KΦ() ω() T () = K Φ() i () m e = forz eleromorice indo (f.e.m. indo), [e ] = V K = cosne crerisic del moore, [K ] = V T - m -2 s/rd Φ = flusso del veore di induzione mgneic, [Φ] = T m 2 ω = velocià ngolre dell lbero moore, [ω ] = rd/s T m = coppi morice del moore, [T m ] = N m i = correne di rmur, [i ] = A 7 Modello di un DC-moor (6/6) Se il flusso mgneico dello sore è genero d mgnei permneni Φ( ) = Φ = cosne, Se il flusso mgneico dello sore è genero d spire percorse dll correne di eccizione i e ( ) Φ( ) risul essere un funzione non linere di i e ( ) del ipo: Φ Φ( ) = Φ(i e ( )) i e Poliecnico di Torino 9
10 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modlià di funzionmeno di un DC-moor NelcsodiDC-moorconcomndo di rmur Il flusso mgneico dello sore è enuo cosne, uilizzndo mgnei permneni e/o limenndo il circuio di eccizione con un correne cosne Il comndo del moore è l ensione vribile v ( ) pplic l circuio di rmur del roore NelcsodiDC-moorconcomndo di eccizione L correne di rmur nel roore è enu cosne Il comndo del moore è l ensione vribile v e ( ) pplic l circuio di eccizione dello sore vrino si l correne di eccizione i e ( ) si il flusso mgneico dello sore Φ( ) = Φ(i e ( )) 9 Modellisic dei sisemi eleromeccnici 2007 Poliecnico di Torino 0
11 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici DC-moor con comndo di rmur (/2) Il flusso mgneico dello sore è enuo cosne Φ () =Φ, uilizzndo mgnei permneni e/o limenndo le spire dello sore con un correne cosne i e l equzione del circuio di eccizione è di ipo sico: di v () e e = Reie + Le = Reie = ve, d Le equzioni dinmiche si riducono quindi : di () () () v = Ri + L + K Φω() d J θ() = J ω() = K Φi () T () βω() r 2 DC-moor con comndo di rmur (2/2) Poiché le equzioni dinmiche sono: di () () () v = Ri + L + K Φω() d J θ() = J ω() = K Φi() Tr() βω() le vribili di so sono, in generle: i () x () x () = θ() = x() 2 ω() x () 3 menre le vribili di ingresso sono: v () () u u () = T r () = u () Poliecnico di Torino
12 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Modellisic dei sisemi eleromeccnici DC-moor con comndo di eccizione (/4) L correne di rmur del roore è enu cosne i() = i, uilizzndo un generore idele di correne i l equzione del circuio di rmur è di ipo sico: di v () = Ri + L + K Φ () ω() = Ri + K Φ() ω(), d Le equzioni dinmiche si riducono quindi : di () () e () v e = Reie + Le d J θ() = J ω() = K Φ() i T () βω() r Poliecnico di Torino 2
13 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici DC-moor con comndo di eccizione (2/4) L correne di eccizione dello sore i e ( ) vri nell inorno del puno di funzionmeno i e il flusso mgneico dello sore vri su vol nell inorno del vlore Φ ( ie( )) =Φ ( ie) =Φ= Keie si può pprossimre l crerisic non linere di Φ con l legge linere Φ K e i e Φ() Ke ie() Φ Φ( ) = Φ(i e ( )) i e i e 25 DC-moor con comndo di eccizione (3/4) Grzie ll pprossimzione linere Φ( ) K e i e ( ), l equzione dinmic dell pre meccnic diven: J θ() = J ω() = K Φ() i T () βω() KK i () i T() βω() * K * = K ie() Tr() βω() l si può rienere in prim pprossimzione linere: * J θ() = J ω() K i () T () βω() r e e r e r Poliecnico di Torino 3
14 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici DC-moor con comndo di eccizione (4/4) Poiché le equzioni dinmiche sono: di () () e () v e = Reie + Le d * J θ() = J ω() K ie() Tr() βω() le vribili di so sono, in generle: ie () x () x () = θ() = x() 2 ω() x () 3 menre le vribili di ingresso sono: v () u () e u () = = Tr () u () 2 27 Modellisic dei sisemi eleromeccnici 2007 Poliecnico di Torino 4
15 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (/4) Ricvre l rppresenzione di so del seguene sisem eleromeccnico, in cui y = θ 2 i R L giunzione elsic smorz v DC-moor comndo in rmur, con sore mgnei permneni β K 2 e + J J 2 T m θ,ω θ 2,ω 2 cuscineo sfer Equzione dinmic dell mgli di rmur: di ) v = Ri + L + K Φω d e β 2 lbero moore T d crico (pnnello solre) 29 Esempio di rppresenzione (/4) Ricvre l rppresenzione di so del seguene sisem eleromeccnico, in cui y = θ 2 i R L giunzione elsic smorz v DC-moor comndo in rmur, con sore mgnei permneni Equzione del moo dell lbero moore d inerzi J : 2) J θ = K Φi βω K 2 ( θ θ 2) β2 ( ω ω 2) T m β 2 β K 2 e + J J 2 T m θ,ω θ 2,ω 2 cuscineo sfer lbero moore T d crico (pnnello solre) Poliecnico di Torino 5
16 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (/4) Ricvre l rppresenzione di so del seguene sisem eleromeccnico, in cui y = θ 2 i R L giunzione elsic smorz v DC-moor comndo in rmur, con sore mgnei permneni β K 2 e + J J 2 T m θ,ω θ 2,ω 2 cuscineo sfer Equzione del moo del pnnello solre d inerzi J 2 : 3) J θ = T K 2 2 2( θ θ d 2 ) β2( ω ω 2 ) β 2 lbero moore T d crico (pnnello solre) 3 Esempio di rppresenzione (/4) Ricvre l rppresenzione di so del seguene sisem eleromeccnico, in cui y = θ 2 i R L giunzione elsic smorz v DC-moor comndo in rmur, con sore mgnei permneni Vribili di so: β K 2 e + J J 2 T m θ,ω θ 2,ω 2 i () x () θ () x () 2 θ () () 2 x 3 ω () x () 4 ω2 () x5() x () = = cuscineo sfer β 2 lbero moore T d crico (pnnello solre) Poliecnico di Torino 6
17 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (/4) Ricvre l rppresenzione di so del seguene sisem eleromeccnico, in cui y = θ 2 i R L giunzione elsic smorz v DC-moor comndo in rmur, con sore mgnei permneni β K 2 e + J J 2 T m θ,ω θ 2,ω 2 cuscineo sfer Vribili di ingresso: v () u () u () = T () = d u () 2 β 2 lbero moore T d crico (pnnello solre) 33 Esempio di rppresenzione (2/4) Equzioni dinmiche: ) v = R i + L di / d + K Φω 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Vribili di so e di ingresso: i () () x θ () x () 2 v () () () () (), () u x = θ 2 = x u 3 = = T () u () ω () x () d 2 4 ω 2() x5 () Equzioni di so: v R KΦ R KΦ u x = di d = i = x x + = f (,, xu) 4 L L L ω L L L Poliecnico di Torino 7
18 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (2/4) Equzioni dinmiche: ) v = R i + L di / d + K Φω 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Vribili di so e di ingresso: i () () x θ () x () 2 v () () () () (), () u x = θ = 2 x 3 u = = T () u () ω () x () d 2 4 ω 2() x5 () Equzioni di so: x = dθ 2 d = ω = x = f (,, xu) 4 2 x = dθ d = ω = x = f ( xu ) ,, 35 Esempio di rppresenzione (2/4) Equzioni dinmiche: ) v = R i + L di / d + K Φω 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Vribili di so e di ingresso: i () () x θ () x () 2 v () () () () (), () u x = θ = 2 x 3 u = = T () u () ω () x () d 2 4 ω 2() x5 () Equzioni di so: x = dω 4 d = θ = KΦi βω K2 ( θ θ2 ) β2 ( ω ω2 ) J KΦ K K β + β β = x x + x x + x = f (,, xu) J J J J J = Poliecnico di Torino 8
19 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (2/4) Equzioni dinmiche: ) v = R i + L di / d + K Φω 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Vribili di so e di ingresso: i () () x θ () () x 2 v () () () () (), () u x = θ = x u 2 3 = = T () u () ω () x () d 2 4 ω 2() x5 () Equzioni di so: x = dω 5 2 d = θ = 2 T d K2 ( θ2 θ ) β2 ( ω2 ω ) J2 = K K β β u = x x + x x = f (, x, u) J J J J J Esempio di rppresenzione (2/4) Equzioni dinmiche: v R i L di d K ) = + / + Φω 2) ( ) ( ) J θ = KΦi βω K θ θ β ω ω ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Vribili di so e di ingresso: i () () x θ () () x 2 v () () () () (), () u x = θ x u 2 = 3 = = T () u () ω () x () d 2 4 ω 2() x5 () Equzione di usci: y = θ 2 = x = g (, x, u) Poliecnico di Torino 9
20 Fondmeni di Auomic Modellisic dei sisemi eleromeccnici Esempio di rppresenzione (3/4) R Equz. di so: x = K L x Φ 4 L x + L u x = x 2 4 x = x 3 5 K K x K Φ β + β β = 4 J x J x J x J x + J x K K β β x = 5 J x 2 J x + 3 J x 4 J x 5 J u Equz. di usci: y = x 3 Se J,J 2,K 2,β,β 2,R,L,K e Φ sono cosni il sisem è LTI h come rppresenzione di so ( x) = Ax () + Bu () y () = C x() + Du() 39 Esempio di rppresenzione (4/4) Se J,J 2,K 2,β,β 2,R,L,K e Φ sono cosni ilsisem è LTI h come rppresenzione di so ( x) = Ax () + Bu () y () = C x() + Du() R 0 0 K Φ 0 0 L L L A =, B = 0 0, K K2 K2 β β2 β Φ J J J J J K 2 K2 β2 β2 0 0 J2 J2 J2 J2 J 2 C = [ ], D = [ 0 0] Poliecnico di Torino 20
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