OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA

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1 Liceo Canonale Lugano Viale C Caaneo 4 CH-6900 Lugano Lugano, 4 giugno 008 ESAME SCRIO DI MAURIÀ 007/008 OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MAEMAICA Duraa dell esame: re ore (dalle 0800 alle 00) Sussidi ammessi: -calcolarice ascabile senza schermo grafico, non programmabile e senza calcolo simbolico -riassuno personale manoscrio di 5 fogli A4 al massimo -raccole di formule (esi ufficiali) Valuazione: I quaro problemi hanno lo sesso peso ai fini della valuazione Con l equivalene di re esercizi risoli correamene e inegralmene si oiene il voo 6

2 / Un cannone da guerre sellari Soo la presidenza di Ronald Reagan, negli Sai Unii fu approvao il programma di armameno denominao Sar Wars Si propose, ra l alro, un nuovo ipo di cannone che poesse lanciare i proieili fino ad una velocià di 0,0 Km/s In queso ipo di cannone il proieile è un cubeo di rame che viene accelerao grazie alla forza di Lorenz La canna del cannone è cosiuia da due binari di meallo di forma cilindrica, posi a una disanza d = 6, m Il campo magneico B necessario per accelerare il proieile è generao dalla correne I che arriva passando dai binari su cui scorre il proieile; essa è fornia ai binari conduori dal circuio RC Queso circuio ha una cosane di empo τ = R C = 50,0 ms (si veda lo schizzo) I() B Binari meallici d r x B() B() I() R ( ) ( ) = 0 = 0, v = v 0 = C a) Deerminare la funzione I() che descrive l inensià di correne che araversa il proieile in funzione del empo, a parire dal momeno in cui si chiude l inerruore b) Dimosrare che il campo magneico sul piano congiungene i due binari è dao da µ o () B( x, ) I = +, dove d è la disanza ra i cenri dei binari, x il luogo del campo B π x d x ra i binari sulla congiungene, menre I() è la correne che passa nei binari e µ o la permeabilià magneica del vuoo c) Dao che B varia in funzione della disanza dal binario, deerminare un valore medio del campo magneico ra i due binari Poiché i binari sessi hanno uno spessore, l inegrale deve essere eseguio solo da r a d-r (dove r è il raggio dei binari) Considerare il raggio dei binari uguale a /8 della disanza ra i binari, ossia r = d/8 Per definizione il valore medio di B si calcola con l inegrale: B() : = d r r B( x, ) dx d r d) Scrivere il bilancio delle forze e, dalla IIa legge di Newon, dimosrare che la velocià del ln 7 µ o Io R C RC proieile in funzione del empo è v () = e, dove I o è la correne che π m fluisce araverso il proieile al momeno della chiusura dell inerruore e vale 5, A menre m è la massa del proieile di forma cubica (densià del rame: 8,9 0 3 kg/m 3 ) e) Sapendo che il colpo, parendo da fermo ( 0: v 0 e 0) = = =, raggiunge la velocià massima 0 0 di 3, m/s all uscia della canna, deerminare: il empo impiegao dal proieile per raggiungere ale velocià; la legge oraria del moo del proieile all inerno della canna; la lunghezza della canna

3 / Un moore paricolare Durane la crisi del perolio degli anni 80 la FIA ideò un sisema di riscaldameno a buano combinao chiamao OEM che sfrua il ciclo del moore Oo Il sisema consiseva di un moore della Panda a 4 cilindri di 903 cm 3 di cilindraa L energia meccanica ricavaa dal sisema veniva impiegaa per generare correne elerica, menre il calore prodoo poeva essere uilizzao per riscaldare un immobile A queso proposio consideriamo un ciclo Oo ideale composo di due adiabaiche e di due isocore (si veda il diagramma) Si enga cono che nella fase di compressione si hanno essenzialmene molecole biaomiche menre nella fase di espansione molecole riaomiche Pure il numero di moli aumena durane la combusione (secondo la reazione chimica CH 3 (CH ) CH 3 + 3/ O 4 CO + 5 H O) Si enga perano cono che il rapporo ra il numero di moli conenuo nella fase di compressione e quello conenuo nella fase di espansione è pari a 5/8 Sapendo che p o = 5, Pa, p /p o = 0, V o = 903/4 (quaro cilindri) cm 3, V o /V min = 8 e che o = 350 K, deerminare: a) le pressioni, le emperaure e i volumi alla fine di ogni fase; b) il senso di percorrenza del ciclo del moore; c) il lavoro durane la fase di compressione e durane la fase di espansione; d) il calore prodoo dalla combusione durane la fase di compressione isocora (si prenda il numero di moli che si ha dopo la combusione); e) quano combusibile, espresso in numero di moli di buano, occorre per produrre queso calore, sapendo che il calore di combusione di una mole di buano è, J/mole; f) il rendimeno di queso moore Oo; g) la poenza P del moore, sapendo che gira a '000 giri al minuo Ciclo moore Oo (p,vmin) n p[pa] n (p3,vmin) 3 n (p,vo) V[m 3 ] (po,vo) 0

4 3/ Un sisema di equazioni differenziali lineari a coefficieni cosani È dao il sisema di equazioni differenziali lineari a coefficieni cosani () = 0, () + () ( ) : () = 0, () () a) Verificare che il sisema in quesione è equivalene al sisema di equazioni differenziali ( ) = ( ) + 3 ( ) () + () = 0 5 b) Spiegare perché è lecio supporre l esisenza di una soluzione ( ) λ R, e perché in queso caso deve esisere anche per ( ) () = C e λ c) Verificare che con ( ) = C e λ e ( ) = C e λ il sisema ( ) 3 della forma () = C e λ, una soluzione della forma si rasforma in λ () = 0, () + () ( ) : e scrivere il sisema nella forma λ = A, dove λ () = 0, () () () = e A è una marice x a coefficieni reali () λ = A A λi = e deerminare per quali λ R e quali soddisfaa (si raa di rovare i valori e i veori propri di A) d) Verificare che ( ) 0 () () ( ) e rovare la soluzione paricolare per la condizione iniziale ( ) e) Verificare che 0 5 = = a e + a e sono le soluzioni generali del sisema 3 0 =, ( ) 0 = 0 Considerare ora due serbaoi S e S Il serbaoio S coniene inizialmene una soluzione acquosa di 00 dm 3 con 5 kg di sale disciolo e il serbaoio S una soluzione acquosa di 0 dm 3 anche con 5 kg di sale disciolo All isane 0 = 0 si aivano due pompe: la prima convoglia ogni minuo 0 dm 3 di soluzione da S a S e la seconda 0 dm 3 da S a S Si immagina che dei miscelaori provvedano ad un isananeo e compleo rimescolameno f) Giusificare perché il sisema dinamico si lascia descrivere dal sisema di equazioni differenziali lineari a coefficieni cosani ( ) risolo precedenemene, calcolando la variazione dei conenui di sale () e () in kg nei rispeivi serbaoi (ci si aiui considerando opporunamene le 3 concenrazioni () 00 kg/dm 0 kg/dm ) e ( ) 3 g) Deerminare la quanià di sale presene nei due serbaoi dopo 5 minui h) A lungo andare, il conenuo di sale nei due serbaoi si sabilizzerà su quali valori? è

5 4/ Regressione quadraica La abella ripora i dai sperimenali relaivi allo spazio percorso da un corpo che si muove di moo uniformemene accelerao [s] s [km] 3,0 5,4 8,0, 5,0 a) Spiegare perché si può supporre una legge quadraica ( ) = α + β+ γ b) Per faciliare il calcolo, modificare la abella in maniera ale che a =, 40, 50, 60, 70 corrispondano x =,, 0,, c) Esprimere veorialmene la dipendenza, nella forma = αq+ βx+ γu, indicando espliciamene i veori q, x e u d) Spiegare perché il problema conduce alla necessià di proieare orogonalmene il veore nel soospazio di V 5 generao dai veori q, x e u, e perché ciò conduce alle sperimenale equazioni normali + + = + + = q α qixβ qiuγ qisperimenale qx i α + xβ + xu i γ = x i sperimenale qu i α xu i β uγ uisperimenale e) Verificare che ali equazioni possono essere riscrie nella forma mariciale dove = X Xa X sperimenale x x x 5 = 5 X x x x, X x x x x = x5 x5, sperimenale ψ ψ = ψ 5 α, a = β γ f) Mediane regressione, deerminare la legge quadraica che meglio approssima i dai sperimenali = s = α + β+ γ ed esrapolare la disanza s per = 0 s () () 4