L INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

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1 CAPITOLO 38 L INDUZIONE ELETTOMAGNETICA LA COENTE INDOTTA Sposare la spira, in modo da farla enrare e uscire dal campo magneico. uoare la spira all inerno del campo magneico. Variare l inensià del campo magneico manenendo ferma la spira. Cambiare la forma della spira. Il flusso del campo magneico non cambia in valore assoluo, ma si invere di segno: Φ BS cosα Φ BS cos( π α) BS cosα quindi Φ Φ 3 Φ BAcosα (,6 T) (,6 4 m )cos 7,6 6 Wb Φ BAcosα (,6 T) (,6 4 m )cos 3 6,5 6 Wb 4 B Φ Acosα 7,5 3 Wb ( m) cos 45, T 5 Nel caso della bobina, il flusso è Φ NBS cosα Siccome il campo al cenro della bobina è perpendicolare alla bobina sessa, avremo cosα : N Φ BS, Wb (,5 T), 4 m 6 Φ BAcos ω 9, 5 T, 4 π(, 4 m) 7 Φ L max B L S 45 T,5 m, Wb cos ( rad/s )(, s),6 7 Wb

2 Φ max T B T S ( 4 6 T) (,5 m), 7 Wb Φ L B L S cosα NB T S cosα NB T B L 8 α arccos NB, 5 T arccos B L 45 T Φ max BS Bπ d ( 4 6 T) 85 (, 33 3 T)π,65 cm Φ BS cosα,7 Φ max cosα,7 α 46 Φ 3BS cosα Φ max cosα 3 α 7 7, 8 Wb LA LEGGE DI FAADAY-NEUMANN 9 Puoi avvolgere il filo a formare una bobina con moli avvolgimeni (grande N) e farla enrare e uscire rapidamene dal campo magneico (piccolo ). No, l accelerazione del magnee è un po più piccola. Il magnee induce una correne nell anello conduore e il campo magneico generao da quesa correne si oppone al campo del magnee in cadua. Ne risula una forza sul magnee direa verso l alo. La somma veoriale di quesa forza direa verso l alo e della forza peso (che ha verso opposo) fa sì che l accelerazione sia minore di quella di gravià. Φ.5 Wb 3. Wb s i.37 V 37 Ω. A Φ BA cosα cosα Φ 3.37 V,5 T,39 4 Wb s A na 35 π, m Φ Φ cos 3 cos π,5 m 3,9 6 V 4,4 m B A ( 5,8 3 T) ( 4,4 m ),6 4 Wb,6 4 Wb,5 s, 3 V 3,9 5 Wb

3 4 Φ (,45 V) (,5 s), Wb A Φ B, Wb 5,8 3 T 9 m n A 9 m A π,,6 4 m 5 Φ B A B BC v,4 T, m 3, m/s 3, s 3,6 3 Wb i Φ 3,6 3 Wb 3, s 5, Ω,4 4 A 6 La differenza di poenziale è massima quando l aereo vola sopra ai poli, alla massima velocià, con direzione perpendicolare al campo magneico erresre. La differenza di poenziale in queso caso è 7 i Blv ( 6 5 T) 79,75 m ( 76 km/h) ( 6 5 T) ( 79,75 m) ( 36,7 m/s) V dφ B! d h m 36 km s d d πr d B( ) πr B + B cos( ω + ϕ ) d πr B ω sen( ω + ϕ ) f max em πr B ω π(,5 m) (, T) ( 3 rad/s),4 V πrρ π(,5 m) ( Ω/m) 3,8 Ω i max f max em, 4 V 3,8 Ω, A i max f max em πr B ω πrρ rb ω ρ i i max rb ω ρ rb ω ρ r B ω ρ r r 8 v velocià di cadua dell asa Φ Blv Blv 3

4 q C Blv q C Considerando le variazioni nel empo di v e q, abbiamo: Bl v q C a v i BlaC L equazione del moo è ma mg ilb da cui a g ilb m Sosiuendo i oeniamo a g + CB l m 9,8 m/s + (,8 F) (, T), m, kg,9 m/s 3 LA LEGGE DI LENZ 9 Il campo indoo ha verso opposo a quello eserno e la correne indoa ha verso aniorario. Se il campo magneico diminuisce nel empo, invece di aumenare, la correne indoa ha verso orario e il campo indoo ha lo sesso verso di quello eserno. Aniorario. 4

5 Flusso del campo magneico (Wb),5,5,5,5 5 5 Per la legge di Faraday-Neumann: d d Φ ( B! ) Tempo (ms) quindi, l andameno qualiaivo della ensione è Flusso del campo magneico (Wb) Tensione ai capi della bobina (V),5,5,5,5 5 5 Tempo (ms) Una possibile spezzaa che approssima la curva del flusso magneico è la seguene: 5

6 Flusso del campo magneico (Wb),5,5,5,5 5 5 Tempo (ms) Parendo da queso grafico, l andameno qualiaivo della ensione risula: Flusso del campo magneico (Wb) Tensione ai capi della bobina (V),5,5,5, Tempo (ms) Dal grafico approssimao con una spezzaa, si calcola l andameno della ensione ai capi della bobina ramie la formula: Φ! B La correne che scorre nella bobina, come si evince dal grafico della ensione, invere due vole

7 il verso di percorrenza e, precisamene, ciò accade nei puni in cui il grafico della ensione inerseca l asse dei empi. Φ BA 3 4 m,8 T, s 5,6 4 V Il campo indoo è rivolo a sinisra. La correne indoa circola in senso orario guardando la spira da desra. 3 Scarica del condensaore: i( ) i e /τ i V τ C Campo magneico nella spira: B( ) k i( ) k i e /τ Poiché le spire sono appoggiae sul avolo, il campo magneico prodoo dalla correne di scarica è perpendicolare al piano della spira. Il flusso del campo magneico e la fem indoa risulano: BA Bπr Φ! B d d Φ ( B! d ) ki πr d e τ ki πr d e τ ki πr Il campo magneico è perpendicolare alla spira e direo verso l alo (basso) se la correne nel circuio C circola in senso aniorario (orario). Il verso della correne indoa si oppone alla variazione di flusso nel circuio e quindi è lo sesso della correne che circola nel circuio. 4 i V Quando la sbarra si muove si genera la fem Blv e quindi la correne i V Blv Sulla sbarra agisce una forza F ilb mg Bl ( V Blv) mg A regime F N 7 C e C

8 v r V mg Bl Bl T (, m) 9,8 m/s (, m), kg V T Ω m/s 4 L AUTOINDUZIONE E LA MUTUA INDUZIONE 5 Il rapporo /L ha le dimensioni fisiche dell inverso di un empo, quindi L/ è la cosane induiva del circuio. 6 È la grandezza fisica che descrive quano è inenso l effeo dell auoinduzione e rappresena la cosane di proporzionalià ra il flusso del campo magneico che araversa il circuio e l inensià di correne che fluisce nel circuio. 7 Se gli assi sono perpendicolari, il coefficiene di muua induzione è minimo, al conrario è massimo se sono paralleli. 8 No, L dipende solo dal numero di spire della bobina, dalla sezione della bobina e da faori di ipo geomerico. 9 L Φ i 8, 5 Wb 8, A, 4 H 3 L i ( 5,5 H) 5, A 6,9 V 4, s 3 La variazione ΔΦ ( B! ) del flusso del campo magneico oale araverso la spira è la somma della variazione ΔΦ del flusso del campo magneico eserno, generao dalla calamia, e dalla variazione LΔi del flusso del campo magneico inerno, generao dalla correne che scorre nella spira: ΔΦ ( B! ) ΔΦ + LΔi, allora ΔΦ + LΔi, da cui ricavo Δi ΔΦ Poiché si ha ΔΦ B! L. Inolre, dao che all isane iniziale, nella spira non scorre correne, la variazione Δi è uguale all inensià i della correne indoa che araversa la spira alla fine, cioè i ΔΦ L. Il segno in quesa equazione indica che il verso della correne indoa è ale che il campo magneico da essa generao produce, araverso la spira, un flusso che si oppone alla variazione del flusso del campo magneico eserno. Queso fenomeno è caraerisico del diamagneismo. Nel caso della spira supercondurice si parla di diamagneismo «perfeo» perché il flusso del campo magneico inerno non solo conrasa, ma annulla compleamene quello del campo magneico eserno. 8

9 3 Φ Mi 35 3 H,85 A 3, Wb M i 35,8 A,85 A ( 3 H) 7, 4 3 V 4,5 s 33 i V 6, Ω,6 A i( ) i e L, i e L ln, 3 L,3 L,3,5 H 6, Ω,56 s i L i e L L i e L L i e 34 L di d ma, poiché la variazione è lineare, si può scrivere L i A i,43 H,5 s 4,3 3 V < quindi la correne ha verso opposo rispeo alla correne del circuio. Poiché il risulao oenuo per la forza eleromorice ha segno, significa che la forza eleromorice indoa si oppone al fluire della correne elerica, che sa aumenando. 35 A circuio chiuso si ha i V All aperura del circuio la correne segue la legge i( ) i e L i e τ τ L,6 H 4, Ω,4 s La indoa è V e L V e τ 9

10 La indoa dopo un empo pari a,4 s equivale alla indoa dopo un empo τ : 36 ( τ) V e τ i( ) i e L i e τ τ τ L,6 H 4, Ω,4 s V e 4 V 8,8 V e Primo caso: riduzione della correne al %., i i e τ τ, e ln ( ) τ,3 τ Secondo caso: riduzione della correne allo,5%.,5 i i e τ,5 e τ τ Gli isani di empo corrispondeni sono:,9 s, 3,4 s 5,3(,4 s), s ln ( ) 5, 3 τ 37 M Φ i,33 Wb,345 A,675 H L Φ i,85 Wb, 46 H, 345 Wb M Φ i Φ i M, 3 Wb 3, 4 A,675 H 38 λ N πr π, m 6, 3 m ρλ (, 3 Ω/m) ( 6, 3 m) 7,6 3 Ω L µ N λ λ l S 4π 7 N/A ( 7,6 3 Ω),5 4 Ω 3,6 5 H, m π, m

11 N N l l N L µ 4N S µ N S µ S l l L 3,6 5 H l 7, 5 H 5 ENEGIA E DENSITÀ DI ENEGIA DEL CAMPO MAGNETICO 39 B µ Ni l Se i raddoppia allora anche B raddoppia, quindi: w finale B! ( B) iniziale 4w B µ! 4 Alla chiusura del circuio si genera una forza eleromorice indoa, che si oppone al fluire della correne: per porare la correne al valore di regime I, il generaore inserio nel circuio deve compiere un lavoro conro ale effeo riardane. Queso lavoro (energia) viene immagazzinao nel circuio e rilasciao per effeo Joule all aperura del circuio. 4 W Li L V 4 l µ N 5, 4 3 H L S 4π 7 N/A w B! B Ni µ µ µ l 4π 7 N/A 5, V 36 Ω ( ) 5, 4 5 J 6, 3 4 H π, m µ Ni l, m ( ) 3 3 A, m, m 6 mj/m 3 43 N L µ S 4π 7 N/A l ( 6),5 m π,5 m W L Li ( 3,5 3 H) ( 3 3 A),58 4 J 3,5 3 H

12 w! B W L Sl 44 π,5 m w B! B µ µ µ π,58 4 J (,5 m) i d,484 J/m3 µ i 4π d 4π 7 N/A 4π (,5 A), m 3,6 7 J/m 3 45 W L L I W L L I N N r r l l N W L L µ S l W L L N µ l S N N S S l N l N πr l πr l N ( r ) r N quindi il primo solenoide può immagazzinare più energia. l l w B! w! B µ µ N I l N I l N l N l N N l l quindi i due solenoidi presenano la sessa densià di energia. 46 A regime: i V Transiorio di scarica: i( ) V e V i,5 V,8 A 9 Ω L i e L i e i, s L i e

13 L L (, s) ( 9 Ω), 4 H W L Li (,4 H) (,8 A), 3 3 J 47 Il numero di avvolgimeni è,95 m N 5 m 475 L induanza del solenoide è N L µ S 4π 7 N/A l Infine la fem risula: L ( 475), 4 H,95 m 7,5 5 m i,,5 A 3,5 A ( 4 H) 8,8 4 V,5 s La variazione percenuale di densià di energia magneica è ( w B )! iniziale w B! finale iniziale w! B L Sl I ( finale I iniziale ) L Sl I iniziale (,5 A) 3,5 A 3,5 A cioè la densià di energia magneica diminuisce dell 8%.,8 3

14 POBLEMI GENEALI NB S V i ma W i mj Φ B S Blv Blv (,5 T) ( m) ( m/s), V mv i, V, A ma, Ω Dao che la sbarrea si muove con velocià cosane, la somma delle forze che agiscono su essa deve essere nulla. Il campo magneico esercia sulla sbarrea una forza magneica di valore F Bli, che si oppone al moo della sbarrea sessa, insieme alla forza di ario. Quindi 3 F Bli (,5 T), A ( m), 3 N La forza aiva, rivola verso desra, vale, mn e la forza magneica fornisce un conribuo di, mn. Per equilibrare la forza rainane è necessaria una forza di ario pari a: F a, mn, mn, mn i( ) f L e 5 Ω L ln i f 75 3 H 5 Ω ln, 38 3 A 4,5 V i f 4,5 V 5 Ω 9, A W L Li,5( 75 3 H) ( 9, A) 3, 4 J 6,3 6 s 4 L i, H ( 6, 7 ) A ( 5 ) s, 7 V 4

15 L i, H 3 L i 3, H 4 L i 4, H L i, H 5 9, 6,7 A ( 5) s 9, 9, A ( 5 ) s N L µ S 4π 7 N/A l 9, V V ( 9,) A ( 5) s 3,6 V ( 9, ) A ( 5 ) s, V 5, m L i (, 6 H) 45 3 A 3 s 4,5 5 V 6 Φ! B BS cos ω d d Φ ( B! ) BSω sen( ω ) i( ) Q π/ω BSω sen ω i( )d BSω π/ω sen( ω )d BSω ω π(,5 3 ), 6 H cos ω π/ω BS, m,3 T 5, Ω,3 3 C 7 B µ Ni l N Bl µ i,5 T 4π 7 N/A (,8 m) 3 3 A 3 3 N L µ S 4π 7 N/A l,8 m W L Li ( 4 H) ( A) 4 J π (, 3 m ) 4 H 5

16 8 N 9 i Φ ( B! ) 3 V Φ ( B! ) 3 Ω (,3 T T)π, m,5 s,89 A i,5 A 4, 3 Ω, 3 V Φ (, 3 V) (, s) 4, 3 Wb B Φ A Φ πr 4, 3 Wb π 5, m,5 T Il verso della correne indoa è orario perché la cadua del conduore fa aumenare l area del conduore chiuso. Il flusso araverso la spira aumena, quindi la correne indoa per opporsi a queso effeo deve generare un campo che enra nella pagina. Sulla sbarra agiscono due forze, una di ipo graviazionale, verso il basso, daa dal peso mg, l alra di ipo magneico, direa verso l alo. La forza eserciaa dal campo magneico è F Bli B l B Blv l B l v Quindi la forza oale che agisce sulla sbarra è daa da F o mg B l v Nel momeno in cui quesa forza divena nulla, la sbarra si muove con velocià cosane: v mg l B Bbv i Bbv 9,8 m/s 6, m/s ( m) (,4 T), kg Ω La forza magneica sul lao CD vale F ibb B b v f ma m v B b v 6

17 v B b m v Nell inervallo di empo da a la velocià passa da v a v e la disanza percorsa vale v a quindi v B b a m B m v, kg ab, m ( Ω ) ( m/s ) (, m) T 3 Bbv i Bbv La forza magneica sul lao del CD vale F ibb B b v f ma m dv d B b v dv v mb b d v dv mb b v d v ln v lnv mb b e ln v v v e mb b v e mb b v(, s) 3 m/s 4 e i 3 i,5 A ( kg) T Ω (, m) (, s) m/s 7

18 B µ N l i 4π 7 N/A 5, m,5 A 3, 3 T Φ N B A ( 4, )( 3, 3 T) ( 4 m ), 3 Wb Φ, Wb, s, V Poiché la correne nel solenoide eserno si riduce, la correne nel solenoide inerno deve generare un campo magneico parallelo a quello eserno. 5 i i dφ d dφ d Φ α L cos L sen α B L B sen ( α ) In queso ulimo passaggio è saa usaa la formula di duplicazione senα cosα sen α Quindi i L Bα cos( α) Al empo, s si ha (,6 3 A ),64 T, m π 6 s π cos 6 s (, s),5 Ω 8