LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI

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1 CPITOLO 34 L CORRENTE ELETTRIC NEI METLLI 1 I CONDUTTORI METLLICI 1 L affermazione non è correa. Gli eleroni di conduzione di un meallo sono caraerizzai da una velocià isananea mediamene molo più ala, circa 10 5 m/s a peraura ambiene. Il range di velocià cui si riferisce la domanda riguarda l effeo di deriva dei poraori di carica, dovuo all applicazione di una differenza di poenziale. La velocià di deriva è direamene proporzionale a i e inversamene proporzionale al quadrao di d; risula quindi dimezzaa rispeo alla siuazione iniziale. 3 La correne è direamene proporzionale al prodoo ra la velocià di deriva e la densià di poraori di carica. Per manenere cosane queso prodoo servirà quindi una velocià di deriva minore in caso di una densià maggiore e viceversa. Il primo filo sarà quindi caraerizzao da una velocià di deriva minore. Si può comprendere il significao di queso risulao ricordando che l inensià di correne è daa dalla quanià di carica che araversa l unià di superficie nell unià di po. Moli eleroni leni o pochi eleroni veloci possono quindi produrre lo sesso effeo in ermin di correne. 4 ( 1, C) ( 1, m 3 )( 3,14) ( 0, m) 8 i v d en 6, m/s v d i en 17 ( 1, C) 1, m 3 3,14 3, m/s 0, m 5 d 4i enπv d 4 0,50 ( 1, C) 5, m 3 4, m/s 3,14 0, m 0,40 mm 6 La sezione del conduore vale V l 15,0 cm 1

2 La densià volumerica degli eleroni si ricava dall espressione della velocià di deriva: n i ev d 6, m 3 Il numero oale di eleroni presene nel conduore si deermina moliplicando la densià di eleroni per il volume del meallo. Quindi: N nv 3, L inensià di correne è i Q Q i I posioni hanno la sessa carica degli eleroni in valore assoluo, ma di segno posiivo. La quanià di carica sopra calcolaa deve essere uguale al prodoo del numero di posioni che arrivano in 10 s per la carica di ogni posione. vro quindi Q Ne i Ne 10 s N i e 1, , C NE c mc T 6, essendo m la massa della lamina e c il calore specifico dell alluminio. E c mc T N 8 i env d 19 J/(kg K) kg ( 30 K) 6, , J n N l v d il en (, 3 ) ( 1,0 10 m) ( 1, C) ( 5, ), m/s n N l N π d 4N πd l l 4( 5, ) ( 1,0 10 m) 6, eleroni/m 3 ( 3,14) 1, m

3 L SECOND LEGGE DI OHM E L RESISTIVITÀ 9 La resisivià è una caraerisica del maeriale ed è quindi indipendene dalla geomeria del conduore. La resisenza, invece, è direamene proporzionale alla lunghezza del conduore e inversamene proporzionale alla superficie della sua sezione. umenando di un faore 100 la lunghezza del conduore, la sua sezione dovrà anch essa aumenare dello sesso faore perché rimanga invariao il valore di resisenza. Quindi il diamero dovrà aumenare di un faore Dai dai ricaviamo innanziuo la resisenza R del filo: R V i 1,0 V 0,78 1,3 Ω L area rasversale del filo risula: π d π( 1, m) 5, m Infine si oiene la resisivià: ρ R l ( 1, 3 Ω) 5, m 0,87 m 7, Ω m 11 i V R Vπd 4ρl 0,9 m ( 3,14) 0, m 1, V 4 1, Ω m,0 1 R ρl 1 1 ρl l ρl R 1 l R d 1 l 1 ρ 1 1 d 1 13 La sezione del filameno è ρ l R 4, m e quindi il diamero è 1 Ω 0 Ω 4, m R 5,0 m, m d π, m 0,4 mm 1 m 3

4 Per avere una resisenza doppia, a parià di dimensioni geomeriche, è necessario uilizzare un maeriale con resisivià doppia, cioè ρ Ω m. Consulando la abella, noiamo che i 14 due maeriali più adai sono ferro e plaino poiché hanno ρ Ω m. ρ l 1 ( m) ( 0, 10 3) 1, Ω m ( 3,14) Dalla prima legge di Ohm si ha i R eq V Calcoliamo la resisenza equivalene: R ρ l ρ l 1 ρ l 1 R eq R R 1 + R 3 3 Quindi la correne risula: i V V 3 V 3 R eq 3 R 1 i 1 V 3,5 V 0, 31 Ω ,5 V 0,31 Ω 17 0,31 Ω i V R 3,5 V 0,6 Ω 5,6 Il resisore singolo deve valere R R eq 3 0,1 Ω quindi, per la prima legge di Ohm, si ha R ρ l l R ρ Rπ d ρ ( 0,1 Ω) ( 3,14) 1, Ω m 0, 10 3 m 47 cm 15 l 1 l + 0,000 l 1,000 l 1,000 10,53 m 10,55 m Poiché il volume non varia, si ha 4

5 l 1 l 1 1 l 0,88 mm 1,000 l R ρ l 1 R ρ 1,000 l ρ l 1 l ( 1,000 1)ρ l 0,0040 R 1,000 l 16 R R 0,40% ρ l 1 1 R ρ l R eq R l ρ 1 l + R l 1 + l 1 i V V ( l 1 + l 1 ) R eq ρl 1 l Se l 1 l l si ha: P V ( l ρl + l 1 ) V ( + 1 ) ρl l V ( ρp + 1 ) 10 V ( 1, Ω m) ( 00 W) 5, m +, m 1 cm 3 PPLICZIONI DELL SECOND LEGGE DI OHM 17 Può essere uilizzao per far variare la differenza di poenziale ai capi di un disposiivo da zero a un valore massimo, oppure per fare variare la correne che fluisce in un conduore. 18 La pare di conduore compresa ra e C vale l L o 3 1,30 m quindi ρ l R, m 5

6 La resisenza massima si oiene quando il cursore è in posizione B. La lunghezza da considerare è perciò quella dell inero reosao, cioè l 3,9 m. Quindi si ha R ρ l 45,0 Ω Si poeva ovviamene giungere allo sesso risulao considerando che resisenza e lunghezza sono direamene proporzionali: se a 1,30 m corrispondono 15,0 Ω allora a 3,90 m devono corrispondere 45,0 Ω. La resisenza del reosao è R V i 6,7 Ω Quindi possiamo deerminare la posizione del cursore: l R ρ,3 m In alernaiva, con una proporzione, si può scrivere: ( 3,9 m) l : 6,7 Ω 3,9 m : 45,0 Ω l 6,7 Ω 45,0 Ω,3 m 19 Indichiamo con R x la resisenza quando il cursore si rova in posizione C qualunque. Dalla prima legge di Ohm si ha i x R x V Quando il cursore si rova in posizione B si ha i R V Dall uguaglianza delle due relazioni si rova i x R x i R R x i R R x 7,80 i x 1,5 60,5 Ω Dalla seconda legge di Ohm oeniamo 37,8 Ω R x ρ x R ρ B e dividendo mbro a mbro x ρ R ρ B R x x B x R x R B 37,8 Ω 60,5 Ω 5,10 m 3,19 m 0 Indichiamo con R x la resisenza variabile del reosao. Per la seconda legge di Ohm abbiamo 6

7 R x ρ x La correne erogaa dal generaore è uguale alla correne che araversa il resisore equivalene R eq R x R x + R x Quando il cursore si rova alla disanza x 1 dal puno la correne vale i 1 V R eq V + ρ x 1 ρ x 1 Quando il cursore si rova alla disanza x dal puno la correne vale i V R eq V + ρ x ρ x Dividendo mbro a mbro oeniamo i 1 i + ρ x 1 ρ x 1 ρ x + ρ x x x 1 x + ρ 1 + ρ x i 1 x 1 + i 1ρx 1 x i x + i ρx 1 x ( i 1 x 1 i x ) ρx 1x ( i i 1 ) ρ x 1 x i i 1 i 1 x 1 i x 1,5 m 1, Ω m 5, m (,3 m) 3,6 5,0 ( 5,0 ) ( 1,5 m) 3,6 (,3 m) 19 Ω 1 La poenza dissipaa dalla lampadina si calcola come segue: R o + R L + R x V P L R L R o V P L R L + R L + R x dove R x è la resisenza della pare di resisore variabile inseria nel circuio (cioè ra e C). La poenza massima dissipaa sulla lampadina si oiene quindi per R x 0 Ω: 7

8 V P L max R L + R L 153 W Ciò equivale a posizionare il cursore in. La poenza minima dissipaa sulla lampadina si oiene invece con l inera resisenza variabile inseria nel circuio, cioè con il cursore in posizione B. Il resisore variabile ha una resisenza oale pari a R ρ l ( 1, Ω m) 30,0 10 m 7, m 6,00 Ω quindi la poenza minima dissipaa sulla lampadina è V P L min R L + R L + R 17 W Indichiamo con x la lunghezza C. La poenza risula: V P L R L + R L + R x R x ρ C ρ x 50,0 Ω P L x R L V ( 105 V) 10,0 Ω + 50,0 Ω + 1, Ω m L espressione della poenza è quindi P L 1, ( x) 3,00 + x m + R L + ρ x x 7, m Poiché P L max P L ( 0), l equazione che risolve il probla è P L ( x) 9 10 P L max 1, , ( 3,00 + x) 10 ( 9 3,00) ( 3,00 + x) 10 ( 9 3,00) x 0,163 m 4 L DIPENDENZ DELL RESISTIVITÀ DLL TEMPERTUR ll isane dell accensione la resisivià del ungseno sarà quella riferia alla peraura ambiene 8

9 di circa 300 K. umenerà poi con l aumenare della peraura, fino a sabilizzarsi al valore relaivo di 700 K. la correne che araversa la lampadina sarà quindi massima inizialmene, quando la resisenza è minima, e poi diminuirà fino a sabilizzarsi su un valore deerminao. Il grafico porebbe essere quello riporao in figura. i i max 0 3 La resisenza dipende anche dalla geomeria del filo, che porebbe dilaarsi, più o meno sensibilmene, con l aumenare della peraura. In paricolare, una dilaazione ermica di volume enderebbe a diminuire la resisenza del filo, dando luogo a un effeo opposo rispeo a quello legao direamene alla resisivià. 4 R 95 C ρ 95 C l R 0 C ρ 0 C l ρ 95 C ρ 0 C ( 1+ α T ) ρ 0 C ρ 0 C 1+ ( 3, K 1 )( 75 K) 1+ 0,9 1, 3 5 La resisivià a 93 K e alla peraura finale T valgono rispeivamene ρ 93 R 93 l ρ T R T l 1, m 1, 7 10 Ω,0 10 Ω ρ T ρ 73 K ( 1+ α T ) 1 m ( 1, m ) 1 m 1, Ω m, Ω m T 1 ρ T 1 α ρ 93 K 1, Ω m 4, K 1 1, Ω m 41 K T 93 K + T 93 K + 41 K 334 K 6 La resisivià del conduore a 100 C vale ρ 100 C l 00 C πr l V i 13, m Il coefficiene di peraura del conduore risula 9

10 ρ 100 C ρ 0 C ( 1+ α T ) α ρ 100 C 1 1 T 6, K 1 7 ρ ρ 37 C 1+ α T ρ ρ 37 C + 0,010 ρ 37 C 1,010 ρ 37 C ρ 0 C ρ ρ 37 C ( 1+ α T ) α T 1, ,010 T 0,010 α 0,010,5 K,5 C 3, K T 37 C +,5 C 40 C 8 La poenza dissipaa per effeo Joule è P i R V R Nei due casi si ha: R 500 Ω V P 500 Ω R 700 Ω V P 700 Ω R V Dividendo mbro a mbro oeniamo R 500 Ω V P 700 Ω R 700 Ω P 500 Ω V Dalla relazione ρ T ρ 0 ( 1+ α T ) possiamo scrivere ρ T l ρ 0 l 1+ α T P P 700 Ω P 500 Ω P 700 Ω R 500 Ω R 700 Ω P 500 Ω R 700 Ω R 500 Ω ( 1+ α T ) Sosiuendo nell espressione della poenza oeniamo P 700 Ω R 500 Ω R 500 Ω ( 1+ α T ) P 500 Ω P 500 Ω 1+ α T 00 W 1+ 4, K K 500 K 1,1 10 W 10

11 00 C R 5 C + R 5 C α T α R 00 C 5 C R 5 C T R R 5 C + R 5 C α T T R R 5 C α R 5 C 50 Ω 30 Ω 30 Ω ( 100 C 5 C) 8, K 1 34 Ω 30 Ω ( 8, K 1 ) 30 Ω T 5 C 15 C T 40 C 15 C 5 CRIC E SCRIC DI UN CONDENSTORE 30 Ogni periodo dell onda quadra dà luogo a una carica (primo siperiodo) e una scarica (secondo siperiodo) del condensaore. Ognuna delle due fasi ha una duraa pari a 5 vole la cosane di po, perciò possiamo affermare, con buona approssimazione, che sia la fase di carica sia la fase di scarica sono complee. I grafici saranno quindi verosimilmene i segueni. È ineressane noare che ra le due fasi di carica e scarica la correne percorre in circuio in versi opposi. f 0 T/ T V C 0 T/ T 11

12 i C 0 T/ T 31 Non è possibile. L energia accumulaa nel condensaore è, infai, spre pari alla meà del lavoro effeuao dal generaore. L alra meà è quella dissipaa dalla resisenza. Quindi non è possibile diminuirne una senza diminuirne anche l alra. 3 1 V W C 1 C f F 5, J τ (, Ω) ( F) 0,0 s C τ R 0,40 s, Ω 1, F 33 τ C τ R 1, s 70 Ω 1, F 19 µf i f R e τ i,6 s 8, 7 m 34 i max f 4 V R o 5, 7 kω + 4, 3 kω, f e R C o 1 f e R C o 1 R o 5 R o 5 ln 5 R o C R o C ln 5 ( Ω) (, 10 6 F) ( 1,6 ) 3,5 10 s W C 1 C f 1 (, 10 6 F) ( 4 V) 6, J 1

13 W J W i 6, J 35 Il po caraerisico del circuio con l inerruore in posizione 1 vale τ 1 C 40 ms quindi i i max e τ i( a ) i max 100 e a τ L energia immagazzinaa nel condensaore vale W C 1 C f, J La correne massima sulla resisenza R è a τ ln100 0,18 s i max V C R 15 m essendo V C la ensione ai capi del condensaore carico, pari alla f del generaore. Il po caraerisico del circuio con l inerruore in posizione è τ R C 3, ms quindi i i max e τ i( 4,8 s) 3,3 m l ermine delle due fasi, uo il lavoro del generaore è dissipao per effeo Joule: il 50% sulla resisenza (nella prima fase) e il 50% sulla resisenza R (nella seconda fase). 36 Q C f e V Q V ( 0) f 00 V C f e V ( 30 s) ( 00 V)e 30 s 0 V e 30 s s ln10 30 s ln10 13 s V ( 40 s) ( 00 V)e 40 s ( 00 V)e 40 s 13 s 9, V 30 s e 10 13

14 37 R eq R R n 1 n + R + n 1+ n C eq C 1 + C C 1 + mc 1 ( 1+ m)c 1 τ R eq C eq n ( 1+ n 1+ m)c R C n + nm + n nm n + m 1 n I valori che soddisfano quesa uguaglianza sono m, n e m 3, n L inensià di correne in funzione del po è i f R e La poenza dissipaa per effeo Joule nella resisenza R è P f R e quindi l energia dissipaa in un po caraerisico è Pd 0 0 f R e In 5 pi caraerisici si ha 5 Pd f R e L energia massima dissipaa vale 1 C f quindi la percenuale cercaa è 1 C f 1 e 4 1 C f 1 e 4 98% d 1 C f ( 1 e 4 ) d 1 C f ( 1 e 10 ) 39 Il lavoro compiuo dal generaore è W g Q f 14

15 dove Q è la carica complessiva rasporaa da un polo all alro nel periodo di po considerao. Poiché Q id si ha: 0 0 f R e d W g f 0 f R e d f R e d 0 f R e d 0 f C e 0 f C( 1 e 1 ) ( 15 V) ( F) ( 1 e 1 ) 1,0 10 J 6 L'ESTRZIONE DEGLI ELETTRONI D UN METLLO 40 L energia poenziale di un elerone fuori da un meallo è uguale a quella che avrebbe all infinio, cioè pari a zero. Infai all eserno del reicolo crisallino non si percepiscono forze eleriche. 41 E 4,48 ev 1, J/eV 7, J 4 K E E i 6, J 5, J 1, J 43 V e W e e 5, J 1, C 3,36 V 44 L energia cineica dell elerone esrao è pari alla differenza ra l energia incidene e il lavoro di esrazione del sodio. Quindi v ( E W i e ) 5, J 3, J m e 9, kg 5, m/s 45 Nell ipoesi che gli eleroni siano esrai dal meallo con velocià nulla, l energia cineica finale degli eleroni sarà pari all energia poenziale elerica dovua alla differenza di poenziale ra i due elerodi: E c ev. La velocià massima sarà perciò 15

16 v 400 V ev 1, C m e 9, kg 1, 10 7 m/s 46 E K + W e W e E 1 m e v 3, J 1 ( 9, kg) ( 3, 10 5 m/s), J V W e e, J 1, C 1,8 V 47 ( 3, m/s) ev 1 mv V mv e 9, kg 1, C 34,8 V 48 Il poenziale di esrazione del rame vale (vedi abella nella eoria) V e ( Cu) 4, 48 V Dal principio di conservazione dell energia si ha E i ev e + 1 m ev ( 1, C) ( 4,48 V) + 1 ( 9, kg) ( 3, m/s) 7, J 7 LʼEFFETTO VOLT 49 Il poenziale di esrazione del rame è maggiore, anche se di poco, di quello dello zinco: 4,48 ev per il rame e 4,7 ev per lo zinco. Queso significa che gli eleroni di conduzione del rame sono più legai al crisallo rispeo a quelli dello zinco. momeno del conao ra i due mealli, un cero numero di eleroni passa dallo zinco al rame, finché non si genera una differenza di poenziale ra zinco e rame pari alla differenza ra i due poenziali di esrazione, cambiaa di segno. 50 L affermazione non è correa. La differenza di poenziale di conao ra i due mealli dovua all effeo Vola è ale da compensare la endenza degli eleroni a migrare verso il meallo con poenziale di esrazione più alo. Queso però non significa che non ci sia movimeno di eleroni ra i due mealli, ma significa che il numero di eleroni che migrano in una direzione è uguale al numero di quelli che migrano nell alra. 16

17 51 In generale non è possibile sfruare l effeo Vola per fare circolare correne in un circuio formao dalla giunzione di due mealli. L unico caso in cui queso è possibile è quando sussise una differenza di peraura ra le due giunzioni (effeo Seebeck). 5 V V Cu V Zn 4,48 V 4,7 V 0,1 V 53 V 1 V e Th V V e Cu V 3 V e Th V e ( Cu) V e ( g) V e ( g) ( 3,47 V 4,48 V ) 1,01 V ( 4,48 V 4,70 V ) 0, V ( 3, 47 V 4, 70 V ) 1,3 V 54 Ricordando che il valore della differenza di poenziale sulla giunzione di due mealli diversi è pari alla differenza ra i poenziali di esrazione cambiaa di segno e che gli eleroni migrano verso il meallo con poenziale di esrazione maggiore, possiamo ricosruire i poenziali di esrazione lungo la caena. Il meallo avrà un poenziale di esrazione minore rispeo al meallo 1, poiché il poenziale negaivo si ha sul meallo verso il quale migrano gli eleroni. nalogamene per gli alri. I poenziali e i lavori di esrazione sono i segueni: V e V e1 V 1 4, 48 V V e3 V e V 3 4,91 V V e4 V e3 V 43 4,7 V V e5 V e4 V 54 4,70 V W e 4,48 ev W e3 4,91 ev W e4 4,7 ev W e5 4,70 ev La differenza di poenziale ai capi del conduore dipenderà solamene dai poenziali di esrazione dei due mealli agli esri del cilindro. Quindi V 51 V e1 V e5 0,07 V 55 Se le due giunzioni sono alla sessa peraura, non circola correne perché la differenza di poenziale dovua all effeo Vola su una delle due giunzioni è uguale e opposa a quella sull alra. Se, invece, le due giunzioni sono a peraura diverse, sono diverse anche le due differenze di poenziale, dao che l energia cineica degli eleroni di conduzione, e quindi il poenziale di esrazione, dipendono dalla peraura. Queso compora un passaggio di correne araverso il circuio. 56 Circa 1000 K. Prendiamo sul grafico due coppie di puni che chiamiamo ( f 1,T 1 ) e ( f,t ). 17

18 L aumeno di forza eleromorice per ogni aumeno di peraura di 1 K sarà f f 1 T T 1 4, 10 5 V/K 57 Nella prima prova risula: T C 100 K V 1 k T 1 ( V/K) 1, 10 3 V Nella seconda prova risula: T 9,6 C 9,6 K V k T ( V/K) 9,6 K 1, 10 4 V 58 Si oengono facilmene i valori dal grafico: T 17,5 C f 3,5 V f 5,0 V T 5,0 C La rea f ( T ) della ermocoppia ha equazione f ( T ) 0,0 T Un volmero con sensibilià 0, V può disinguere una peraura di 1 C. nalogamene, per avere una sensibilià sulla peraura di 0,5 C è necessario avere un volmero di sensibilià 0,1 V. 59 Essendo la ermocoppia cosiuia da 5 giunzioni, la differenza di poenziale sulla singola giunzione si oiene dividendo per 5 la differenza di poenziale oale. Quindi V ( 1, V/K) T V V o 5 T 319 K 46 C T V o 5( 1, V/K) 6 K 60 Se sosiuiamo T 1 T 0 C e V 1 V all equazione V kt + α oeniamo V 1 α, ovvero V kt + V 1 Sosiuendo T T 100 C e V V, oeniamo 18

19 V kt + V 1 da cui possiamo ricavare k V V 1 T Quindi V V V 1 T T + V 1 Ricaviamo la peraura incognia T: T T ( V V 1 ) V V 1 ( 100 C) 3, mv,3 mv 4,5 mv,3 mv 41 C No, non è realisico il risulao perché la peraura è roppo elevaa. In queso caso l ipoesi di una relazione lineare non è opporuna. PROBLEMI GENERLI 1 Combinando le due leggi di Ohm si oiene: i V R R ρ l ρ l πr i πr V ρl,8 Quando i fili vengono affiancai in parallelo, la sezione complessiva raddoppia rispeo al filo singolo, quindi la resisenza si dimezza, quindi raddoppia la correne. Perciò i 5,6. R ρ l 7, 10 5 Ω V Ri, V 3 La resisenza della porzione di ferro è R Fe ρ Fe l Fe 5,0 Ω Poiché i due conduori sono in serie, la resisenza oale sarà daa dalla somma delle resisenze dei due conduori. Quindi la resisenza del secondo conduore è 19

20 R x R o R Fe 3,0 Ω La sua lunghezza sarà di 3,0 m, quindi la resisivià del secondo maeriale è ρ x R x l x Ω m valore che è compaibile con l alluminio. 4 L energia cineica dell elerone esrao è pari alla differenza ra l energia incidene e il lavoro di esrazione del sodio. Quindi E c E i W e 1, 30 ev, J v E c m e (, J) 9, kg 6, m/s 5 Noiamo che R, quindi chiamiamo, per splicià, R e R R. La resisenza equivalene del circuio è R eq R + R 3R La correne che circola nel circuio è i f R eq e R eq 3R e 3 f Poiché R, l energia oale dissipaa per effeo Joule in deve essere la meà di quella dissipaa in R. L energia oale dissipaa nei resisori è W 1 C f quindi W W 1 + W 1 W + W 1 C f W C f 3 1 ( F) ( 16 V) 8, J W 1 1 W 1 ( 8, J) 4, J Sulla base del probla modello del paragrafo 5, possiamo scrivere: 4 Pd W ( 4) W 0

21 1 C f e ( 4 ) + c i 1 C f 1 C f e C f e 4 1 C f e ( ) + c i ( e 4 e 8 ) 1 ( F) ( 16 V) ( e 4 e 8 ), J 6 Noiamo che R, quindi chiamiamo, per splicià, R e R R. La resisenza equivalene del circuio è R eq R R R + R 3 R La correne che circola nel circuio è i f e R eq 3 R eq 3 f R e Sappiamo anche che l energia oale dissipaa nella resisenza equivalene è W 1 C f 1 ( F) ( 16,0 V) 1, J Sulla base del probla modello del paragrafo 5, possiamo scrivere: 0 5 Pd 1 C f W ( 5) W ( 0) e ( 5 ) + c i 1 C f e 0 + c i 1 C f e C f 1 C f ( 1 e 10 ) 1 ( F) ( 16,0 V) ( 1 e 10 ) 1, J Con il numero di cifre significaive dei dai di queso probla, possiamo concludere che il processo di carica del condensaore si conclude in un po pari a cinque pi caraerisici, come affermao nella eoria. 7 Se la lunghezza del filo è ridoa a 1/5 di quella iniziale l, la sezione divena 5 vole quella iniziale, poiché il filo viene ripiegao su se sesso. Quindi, dea R i la resisenza iniziale del filo e R f quella finale, del filo ripiegao, avro: R f ρ l / ρ l 1 5 R i 3, Ω 1

22 8 La geomeria del filo non è essenziale per risolvere il probla. Infai si ha: ρ T ρ 0 ( 1+ α T ) R ρ l R T R 0 ( 1+ α T ) Essendo la correne finale doppia di quella iniziale, si ricava: T R T 1 1 R 0 α i 0 i T 1 1 α 1 α 150 K T 460 K 170 C 9 Se il periodo dell onda quadra è significaivamene maggiore della cosane di po del circuio, l andameno della ensione ai capi di C segue quello della carica sul condensaore e cresce esponenzialmene da zero fino al valore V 0, per poi decrescere fino ad annullarsi. Se il periodo T non è sufficienene lungo, la carica e la scarica del condensaore non saranno complee e l andameno della curva sarà più simile a quello di un onda riangolare che a quello di una curva esponenziale. 10 La resisivià a 700 C vale ρ 700 ρ 0 ( 1+ α T ) 79, Ω m Possiamo allora deerminare la sezione del filameno e quindi il diamero d: P V R R ρ 700 l Plρ 700 V 3, m d π, m 0,00 mm lla chiusura dell inerruore, il filameno è a peraura ambiene (diciamo 0 C). La resisenza del filameno è quindi minima, proprio all isane iniziale. Poi la peraura comincia ad aumenare e con essa anche la resisenza. L isane iniziale è quindi anche quello in cui si ha il picco massimo di correne. Quindi i 0 V V 5,1 R 0 l ρ 0 11 Durane la scarica complea del condensaore sulla resisenza ua l energia immagazzinaa nel

23 condensaore viene dissipaa per effeo Joule ed è equivalene al calore assorbio dall acqua. Quindi possiamo scrivere: Q E cond 1 CV 5, J La variazione di peraura dell acqua risula T Q mc s 1 K essendo c s 4086 J/(kg K) il calore specifica dell acqua disillaa e ricordando che 1 liro di acqua ha una massa pari a 1 kilogrammo. La peraura finale dell acqua è T 305 K 35 C La quanià di calore rasferia all acqua non dipende dal valore della resisenza, essendo pari all energia immagazzinaa nel condensaore. Il valore della resisenza deermina la poenza dissipaa e quindi il po in cui il calore viene rasferio. 1 La capacià di un condensaore a facce piane parallele vale C ε 0 S d dove S è la superficie delle armaure e d è la disanza ra esse. In generale, inolre, la capacià di un condensaore è legaa anche alla differenza di poenziale ai suoi capi e alla carica immagazzinaa secondo la formula C Q/V. La carica immagazzinaa è Q ne. Uguagliando le due espressioni per C oeniamo: S ε 0 d Q V ne V n S ε 0 V ed m 13 Il pacaker è rappresenabile con il circuio seguene: + f R C con f 9,0 V e C 1, F. La differenza di poenziale ai capi del condensaore raggiunge 0,5 V dopo 0,85 s. Nello sesso isane di po la differenza di poenziale ai capi della resisenza è pari a 8,75 V. Possiamo quindi ricavare il po caraerisico del circuio e il valore della resisenza: 3

24 i f i V R R R e τ V R f e τ τ ln V R f 30 s R τ C 3,0 105 Ω 14 L energia immagazzinaa dal condensaore in funzione del po è W C Q C C f 1 e C 1 C f 1 e L energia finale immagazzinaa nel condensaore è W C f 1 C f Chiamiamo l inervallo di po in cui l energia immagazzinaa nel condensaore è W C f / 3: 1 3 W 1 1 C f 3 C f 1 C f 1 e 1 1 e e e e ( 3+ 3) ln 3+ 3 Il numero di cosani di po τ è ln ,86 15 Dalla prima legge di Ohm si ha f i r + R x La poenza oale dissipaa per effeo Joule nelle due resisenze è P i r + i R x i f ( r + R x ) ( r + R x ) f r + R x La poenza dissipaa in funzione di x è r + R x 4

25 P f r + ρ x Poiché la velocià è cosane, possiamo scrivere x B Quindi dopo 10 s il cursore in movimeno deermina per il resisere variabile una lunghezza pari a B ( 10 s) 0,045 m ( 10 s) 0,011 m x 10 s 40 s Quindi la poenza dissipaa dopo 10 s vale f P r + ρ x 10 s ( 5, 7 V) 0,011 m 10 Ω +, Ω m 4, 10 9 m 3,0 W 5